Docentes: Departamento de Matematica Sr. Ricardo Carrillo Curso: Cuarto Medio

Docentes:
Sr. Ricardo Carrillo
Srta. Claudia Barrientos
Departamento de Matematica
Curso: Cuarto Medio
Unidad 3: Estadistica y Prob.
Guia N° 1 - 2013
GUÍA EJERCICIOS MATEMATICA
1. ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA
La estadística está ligada con los métodos científicos, en la toma, organización, recopilación, presentación y
análisis de datos usados tanto para la deducción de conclusiones como para tomar decisiones de acuerdo con los
análisis.
El término estadística se usa también para denotar a números que se derivan de los datos, como promedios,
medias, desviación standard, etc.
1.1 Población y muestra
Al analizar una colección de datos que se refieren a las características de un grupo de individuos u objetos,
como por ejemplo la estatura o los promedios de notas de un curso del Colegio, a veces es prácticamente imposible
analizar al grupo completo de individuos u objetos, llamado población o universo, por lo que se analiza una pequeña
parte del grupo o población, llamada muestra. Una población puede ser finita o infinita.
La estadística que trata las condiciones bajo las cuales tales inferencias son válidas, se llama estadística
inductiva o estadística inferencial.
La parte de la estadística que trata solamente de describir y analizar a un grupo dado (muestra) sin sacar
conclusiones o inferencias de un grupo mayor, se llama estadística descriptiva o deductiva.
1.2 Variables: Pueden ser Cualitativas y Cuantitativas. Las variables cuantitativas se clasifican en:
a) Continuas: Si los valores que arroja la variable pertenecen a un intervalo continuo. (Números decimales)
b) Discretas: Si los valores que arroja la variable son finitos o pertenecen al conjunto de los números naturales.
Ejemplo 1
Se desea realizar un estudio estadístico de las estaturas de los alumnos de los cursos de E. Media del Colegio;
entonces:
Población: Alumnos de Enseñanza media del colegio.
Muestra: Alumnos de los cursos A de E. Media del colegio.
Variable estadística: ”Estatura de los alumnos de Enseñanza media del colegio”. Esta Variable es de tipo Continuo.
1.3 Distribución de frecuencias
Cuando tenemos una gran cantidad de datos es conveniente distribuirlos en clases o categorías y determinar
el número de datos pertenecientes a cada clase. Dicho número de datos es la frecuencia de clase.
Una ordenación tabulada de los datos separados en clases, con las frecuencias correspondientes, se llama
distribución de frecuencias o tabla de frecuencias.
Agrupación de datos por intervalos de clase: intervalos iguales en los que se divide el número total de
observaciones. Es conveniente utilizar los intervalos de clase cuando se tiene un gran número de datos de una
variable continua.
¿Cómo saber cuántos intervalos considerar? ¿Cómo determinar su amplitud?
Primero debemos determinar el rango de los datos, que es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores
obtenidos.
Rango = xmáx – xmín
Luego debemos establecer el número de intervalos (N) y determinar la amplitud (A) de los mismos.
De esta forma,
A = rango / N
Obs.: (N tú lo eliges, pero es conveniente que no sea muy pequeño)
Ejemplo 2
En un curso de 40 alumnos, se desea estudiar el comportamiento de la variable estatura, registrándose los
siguientes valores:
1,52 1,64 1,54 1,64 1,73 1,55 1,56 1,57 1,58 1,58 1,59 1,53 1,60 1,60 1,61 1,61 1,65 1,63 1,79 1,63
1,62 1,60 1,64 1,54 1,65 1,62 1,66 1,76 1,70 1,69 1,71 1,72 1,72 1,55 1,73 1,73 1,75 1,67 1,78 1,63
En esta recolección de datos, el rango es:
R = xmáx – xmín  R = 1,79 – 1,52 = 0,27
Y si queremos trabajar con una amplitud A = 0,05; ¿cuál es, para nuestro caso, el número de intervalos?
De ser necesario, podemos aproximar el valor hallado. Así:
N = R / A  N = 0,27/0,05 = 5,4  5 intervalos
De esta modo, el primer intervalo será [1,52; 1.55[ y el segundo [1,55; 1,6[, y así sucesivamente hasta
cubrir “todos los datos”.
Luego estamos en condiciones de completar la siguiente tabla:
Intervalo
de
Clase
Marca de clase (x)
fi
fr
fr%
Fa
Fa%
Frecuencia
Absoluta
Frecuencia
Absoluta
Relativa
Frecuencia
Absoluta
Porcentual
Frecuencia
Acumulada
Frecuencia
acumulada
Porcentual
1.4 Representación gráfica de datos estadísticos.
Para una lectura más rápida y clara de los datos estadísticos, es preferible representarlos a través de gráficos.
Las representaciones más utilizadas son: el gráfico de barras, el histograma de frecuencias, el polígono de
frecuencias, y el gráfico circular.
a) Diagrama de Barras:
Cada valor de las variables se representa mediante una barra proporcional a la frecuencia con que se presenta. Son
apropiados para datos medidos en escala nominal u ordinal.
b) Histogramas: Se usa para variables agrupadas en intervalos,
asignando a cada intervalo un rectángulo de superficie proporcional
a su frecuencia. Su diferencia de un diagrama de barra es que en
éste las barras están
separadas, mientras que
en el histograma están
juntas, pues la variable
es continua.
c)
Poligono
de
Frecuancia: Es la línea
que une los puntos medios correspondie-ntes a las frecuencias de cada
valor. Se debe tomar siempre dos puntos cuya frecuencia sea cero,
correspondiente al inicio y fin del polígono.
d) Diagramas circulares: Son utilizados en aquellos casos donde nos interesa no sólo mostrar el número de veces
que se da una característica o atributo de manera tabular sino más bien de manera gráfica, de tal manera que se
pueda visualizar mejor la proporción en que aparece esa característica respecto del total.
1.5 Medidas de tendencia central
I. La moda
La moda de una serie de datos es aquel valor que se presenta con mayor frecuencia, es decir, es el valor que
más se repite. La moda puede no existir y si existe, puede no ser única.
Ejemplo 1: Dada la siguiente serie ordenada de datos:
2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 17; la moda es 9 (se repite 3 veces)
Ejemplo 2: La siguiente serie ordenada de datos no tiene moda.
1, 4, 6, 10, 11, 13, 16
Ejemplo 3: La moda de la siguiente serie de datos es 2 y 4.
2, 2, 4, 4, 5, 8, 10
II. La mediana
La mediana de una colección de datos ordenados por magnitud es el valor central, si el número total de
datos es impar, o la media aritmética de los valores centrales, si el número de datos es par. Geométricamente, la
mediana es el valor de x que corresponde a la vertical que divide un histograma en dos partes de igual área.
Ejemplo 1: Dada la siguiente serie ordenada de datos:
3, 4, 5, 5, 5, 8, 8, 8, 10; la mediana es 5 (ocupa la posición central en una serie impar de datos)
Ejemplo 2: Dada la siguiente serie ordenada de datos:
5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18
9

11
la mediana es
= 10 (promedio de los dos datos centrales en una serie par de datos)
2
III. La media aritmética o promedio
Es el promedio aritmético del total de datos obtenidos de la muestra o población.
x=
 xi
donde xi es cada dato y n es el número total de datos.
n
Ejemplos:
1. La siguiente tabla muestra la venta de revistas en un kiosco del centro de Santiago.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
¿Cuál es la variable?
¿Qué tipo de variable es?
La moda es 12 (se repite 3 veces).
La mediana es:
8 - 8 - 10 - 12 - 12 - 12 - 15
La media es:
x
Día
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
8  8  10  12  12  12  15
 11
7
Nº de revistas
15
10
12
8
12
12
8
2.
Se desea conocer el rendimiento en la P.S.U. de Matemática de los alumnos de un Preuniversitario. Para tal
efecto, se eligen 2 cursos aleatoriamente: MAT-111 y MAT-222. Los puntajes obtenidos en estos cursos son los
siguientes:
MAT - 111:
437
551
681
551
456
639
772
489
472
662
722
494
563
560
582
670
717
510
508
624
617
472
477
572
620
589
579
MAT - 222:
468
375
556
482
622
437
387
608
769
605
781
522
589
489
660
551
795
723
i.
Población: Alumnos del PREUNIVERSITARIO
ii.
Muestra: MAT - 111 y MAT - 222
iii.
Media aritmética
x
iv.
v.
vi.
vii.
437  551  681  .......... 551  795  723
 577 ,9
45
Mediana. Se ordenan de menor a mayor los puntajes. Si el número total de alumnos es par, tomar los
centrales adyacentes y hacer la semisuma. Si es impar, es el valor central.
Mediana = 572
Moda.
MOD = 551 (se repite 3 veces)
Tabla de distribución de frecuencias. Elegimos clases de 50 en 50 puntos.
CLASE
RANGO DE PUNTAJE
Nº DE ALUMNOS
1
351 – 400
2
2
401 – 450
2
3
451 – 500
9
4
501 – 550
3
5
551 – 600
11
6
601 – 650
7
7
651 – 700
4
8
701 – 750
3
9
751 – 800
4
i)
Gráfico de barras
Puntajes de Matemática Preu
12
10
8
Nº de
alumnos
6
4
2
0
351 – 401 – 451 – 501 – 551 – 601 – 651 – 701 – 751 –
400
450
500
550
600
650
700
750
800
Puntajes
ii)
Polígono de frecuencias
Puntajes de Matemática Preu
12
10
8
Nº de
alumnos
6
4
2
0
351 –
400
401 – 451 –
450
500
501 – 551 – 601 – 651 –
550
600
650
700
701 – 751 –
750
800
Puntajes
Ejercicios:
1. El siguiente gráfico muestra la variación del IPC durante seis meses.
Con la información del gráfico señala
cuáles afirmaciones son verdaderas y
cuáles son falsas:
a) La variación del IPC más alta del
período ocurrió en Junio.
b) La variación del IPC acumulada en el
período es de un 5,5%.
c) En el mes de Junio ocurrió la variación
de IPC más alta del año.
d) En febrero no hubo variación del IPC.
e) En abril, el IPC registró una variación
negativa.
f) Siempre hubo variación del IPC en el
período registrado.
g) El IPC más bajo del período se registró
en enero y abril.
h) La variación promedio del IPC en el
período fue de un 0,92% aprox.
% de variación
2
1,5
1
0,5
0
E
F
M
A
M
J
Meses
2. El siguiente gráfico muestra los resultados de una prueba de Matemática aplicada a un curso.
Con esta información indica cuál de las
siguientes afirmaciones es verdadera y
cuál es falsa:
Nº de alumnos
a) 5 alumnos obtuvieron nota 4.
b) 6 alumnos obtuvieron nota inferior a 4.
c) 1 alumno obtuvo nota 0.
d) El curso tiene 21 alumnos.
e) La media del grupo es un 4,5.
f) La mediana es 4,5.
g) 21 alumnos rindieron la prueba.
h) La moda es 4.
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
Notas
3) Un alumno tiene dos notas (con escala de 1 a 7), en
matemáticas. Si el promedio es 5,5 y la suma de sus
notas es 11; ¿Cuáles son las notas?
A) 4,0 y 7,0
B) 5,5 y 5,5
C) 5,0 y 6,0
D) 4,5 y 6,5
E) Cualquiera de las anteriores
4) Si la media aritmética de la muestra: 3 - 4 - 5 - 6 - 7
es: 5, y la media aritmética de la muestra: 7 - 8 - 9 - 10 11 es: 9, y la media aritmética de la muestra: 11 - 12 13 - 14 - 15 es: 13; ¿Cuál es la media aritmética de la
muestra: 15 - 16 - 17 - 18 - 19?
A) 16
B) 16,5
C) 17
D) 17,5
E) 18
5) La mediana de los siguientes valores: x, x - 1, x + 2,
x + 3, x -2 es:
A) x
B) x - 2
C) x + 3
D) x - 1
E) x + 2
6) La frecuencia de la moda de la muestra {2, 2, 3, 3, 4,
4, 4, 5, 7, 7} es:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7