¿Cuántos hacen falta? Escuela: _________________________________________________ Fecha: ___________ Profr. (a): _______________________________________________________________
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¿Cuántos hacen falta? Plan de clase (1/3) Escuela: _________________________________________________ Fecha: ___________ Profr. (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen su propia simbología para enunciar la regla general de una sucesión con progresión aritmética. Consigna: En equipo, respondan y hagan lo que se indica. 1. Juan está formando triángulos usando lápices de la siguiente manera. a) ¿Cuántos lápices se necesitan para formar 100 triángulos? _____________________ b) ¿Cómo lo calcularon? ___________________________________________________ _____________________________________________________________________ c) ¿Cuál es la regla para calcular el número de lápices que se necesitan para formar cualquier cantidad de triángulos? __________________________________________ _____________________________________________________________________ d) Inventen una manera de simbolizar la regla anterior: ___________________________ 2. En una fiesta se acomodan mesas y sillas de la siguiente manera. a) ¿Cuántas sillas se necesitan para 100 mesas? _______________________________ b) ¿Cómo lo calcularon? ___________________________________________________ _____________________________________________________________________ c) ¿Cuál es la regla para calcular el número de sillas que se necesitan para cualquier cantidad de mesas? ____________________________________________________ _____________________________________________________________________ d) Inventen una manera de simbolizar la regla anterior: ___________________________ Consideraciones previas: Una manera de iniciar a los estudiantes en el estudio del álgebra es a través del reconocimiento de patrones en sucesiones. Generalizar y simbolizar forman parte del pensamiento algebraico. Permita que los alumnos utilicen los símbolos que elijan. Es muy probable que surjan expresiones con asteriscos, bolitas, cuadritos e incluso letras y que no siempre sigan la sintaxis del lenguaje algebraico. Para el caso de los lápices, una manera de hallar la regla general es multiplicando por dos el número de triángulos y aumentando uno al resultado, las simbolizaciones podrían ser: tx2+1 * por 2 más 1 (t)(2) + 1 2 veces T más 1 2t + 1 2x + 1 Es muy común que los estudiantes utilicen las iniciales de lo que quieren representar, quizás porque esto también les facilita reconocer a qué se refieren. Si esto sucede es muy importante que enfatice que la t representa un número (el número de triángulos) y no los triángulos (objetos). También será una buena oportunidad para platicar acerca de las diferentes maneras de simbolizar la multiplicación. Para el desafío de las sillas y las mesas podrían encontrar reglas en lenguaje común, por ejemplo: El número de mesas se multiplica por 2 y al resultado se le agrega 2. Al número de mesas se le suma 1 y este resultado se multiplica por 2. Estas expresiones darán simbolizaciones diferentes. Una de las riquezas didácticas de iniciar el álgebra a través de generalizaciones de este tipo es que los estudiantes encontrarán expresiones algebraicas diferentes y esto dará lugar a tratar de demostrar si son o no equivalentes; no es propósito de este desafío llegar a esa parte, en otro desafío se abordará esta cuestión. Al terminar la confrontación grupal indique a los alumnos que en álgebra los números se simbolizan con letras, muestre con algunas de las expresiones que ellos usaron la manera en que quedarían expresadas usando letras (procure no usar las iniciales de las palabras que desea simbolizar, no es incorrecto pero puede hacer que los alumnos pierdan de vista que se trata de números). Por ejemplo, si para el problema de las mesas alguien simbolizó: * x2+2 Usted puede platicar a los alumnos que pueden poner una letra en lugar del asterisco: a x 2 + 2, y que al confundirse la equis con el signo por, en álgebra es mejor poner: 2a + 2. Lo anterior puede hacerse con otras expresiones simbólicas que hayan surgido. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Adorno de mosaicos Plan de clase (2/3) Escuela: _________________________________________________ Fecha:___________ Profr. (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética. Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen en lenguaje algebraico la regla general de sucesiones con progresión aritmética e identifiquen expresiones algebraicas equivalentes. Consigna: En equipo, respondan y hagan lo que se indica. 1. Un albañil está formando una tira de adorno pegando mosaicos azules y blancos de la siguiente manera. a) ¿Cuántos mosaicos blancos se necesitan para 100 mosaicos azules? _____________ b) ¿Cómo lo calcularon? ___________________________________________________ _____________________________________________________________________ c) ¿Cuál es la regla para calcular el número de mosaicos blancos que se necesitan para cualquier cantidad de mosaicos azules? ____________________________________ _____________________________________________________________________ d) Escriban usando lenguaje algebraico la regla anterior: _________________________ 2. Consideren la siguiente sucesión. Figura 1 Figura 2 Figura 3 a) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 85? __________________ b) ¿Cómo lo calculaste? ___________________________________________________ _____________________________________________________________________ c) ¿Cuál es la regla para calcular el número de cuadritos de cualquier número de figuras? ______________________________________________________________ _____________________________________________________________________ d) Simboliza la regla anterior usando el lenguaje algebraico _______________________ Consideraciones previas: Además de seguir trabajando el reconocimiento de patrones y la expresión de la regla general usando lenguaje algebraico, en este desafío es muy importante que los estudiantes reconozcan expresiones algebraicas equivalentes y apliquen la manipulación de las letras para comprobar dichas equivalencias. En la primera actividad el alumno puede darse cuenta que por cada mosaico azul, hay cinco mosaicos blancos, esta figura se repite hasta donde se desee “cerrar el adorno” ahí se deberá aumentar 3 mosaicos blancos; de aquí que la expresión algebraica es: 5n 3 ; tal vez otros alumnos propongan otra expresión como: 5n 1 8 ; que se obtiene al tomar un mosaico azul y “rodearlo” de mosaicos blancos, para los mosaicos azules siguientes solo será necesario agregar 5 mosaicos blancos, con el sentido de completar el adorno de mosaicos. En la segunda actividad puede darse lugar a diferentes expresiones algebraicas, dependiendo de cómo los alumnos analizaron o visualizaron la sucesión. Por ejemplo: Analizan o visualizan: Figura 1 Figura 1 Con una tabla: Número de figura Cuadritos Figura 2 Figura 3 Figura 2 Se dan cuenta que: Regla en lenguaje algebraico El número de cuadritos verticales es igual al número de figura. El número de cuadritos que queda en cada lado es uno menos que el número de figura. n + 2 (n-1) Aparece tres veces el número de la figura menos uno (cuadritos negros) y a ese resultado se le suma 1 (rojo). 3(n-1) + 1 Figura 3 1 2 3 4 1 4 7 10 Se ve que va aumentando de tres en tres, hay que multiplicar por tres el número de figura y al resultado se le resta 2. 3n - 2 En la puesta en común, además de comparar los procedimientos y resultados es importante invitar a los alumnos a que comprueben si las diferentes expresiones que surjan son equivalentes. En un primer momento pueden hacerlo probando con diferentes números, hágales notar que esta manera no es confiable porque no se puede probar con “todos” los números que existen. Invítelos a que hagan las operaciones indicadas para simplificar y comprobar la equivalencia. El trabajo con este desafío es una excelente oportunidad para usar la notación con paréntesis, resolver multiplicaciones sencillas usando paréntesis y simplificar expresiones algebraicas sencillas. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Sucesiones Plan de clase (3/3) Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________ Profr. (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética. Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen en lenguaje algebraico, la regla general de sucesiones numéricas con progresión aritmética. Consigna 1: En equipo, consideren la siguiente sucesión numérica para responder o hacer lo que indica. 7, 11, 15, 19, 23,… a) ¿Cuál número ocupa el cuarto lugar de esta sucesión? __________________________ b) Si la sucesión continúa, ¿cuál número estará en el lugar número 20 de la sucesión? ___ c) ¿Y en el lugar 100? _____________________________________ d) ¿Cómo lo supieron? _____________________________________________________ ______________________________________________________________________ e) Con lenguaje verbal, escriban la regla general que permite determinar cualquier término de la sucesión: ________________________________________________________ ______________________________________________________________________ f) Escriban con lenguaje algebraico la regla general de la sucesión: __________________ Consigna 2: En equipo, escriban algebraicamente la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones: a) 2, 4, 6, 8, 10, … Regla: _______________________ b) 5, 10, 15, 20, 25, … Regla: _______________________ c) 3, 5, 7, 9, 11, … Regla: _______________________ d) 6, 11, 16, 21, 26, … Regla: _______________________ e) 8, 18, 28, 38, 48,… Regla: _______________________ Consideraciones previas: Las secuencias numéricas no tienen el apoyo visual para analizar el patrón por lo que el análisis es numérico. Es muy probable que algunos alumnos lo resuelvan “al tanteo”. Otra manera es analizar y encontrar la constante que se suma o se resta de un término al siguiente. Por ejemplo, para: 7, 11, 15, 19, 23… En una tabla se observa: Número de posición Término 1 2 3 4 5 7 11 15 19 23 Se observa que “va de 4 en 4” por lo que hay que multiplicar por 4 el número de posición y sumarle o restarle “algo”. Ese “algo” puede determinarse a partir de observar que 4 x 1 es 4 y el primer término es 7 por lo que se requiere sumar 3. La regla general es: 4n + 3 Permita que los alumnos los resuelvan con sus propios procedimientos y solo apóyelos (con pistas y sin dar respuestas) si nota que se les están dificultando mucho. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15