Definiciones_de_potencia_aparente_en_redes_trifasicas

FLUJO DE POTENCIAS EN REDES TRIFÁSICAS.
ASPECTOS GENERALES
Definiciones clásicas de la potencia aparente en redes trifásicas
El cálculo de la potencia aparente, en circuitos trifásicos desequilibrados, puede
realizarse mediante varias definiciones. A continuación, se presentan algunas de ellas: las dos
primeras consideran las potencias definidas por Budeanu y, la última, las tensiones y
corrientes de la red o bien las componentes de potencia de Fryze 6?.
 La potencia aparente vector, viene dada por la expresión:
2
2
 c

 c

 c

SVEC    Pk     Qbk     Dk 






 k a 
 k a

 k a 
2
 La potencia aparente aritmética, es la suma de las potencias aparentes de las fases:
S AVA 
c

k a
2
Pk2  Qbk
 Dk2
siendo Pk la potencia activa, Qbk , Dk las potencias reactiva y de distorsión de Budeanu,
respectivamente, correspondientes a la fase k.
 La potencia aparente eficaz se define como:
S RMS 
c

k a
2
Pk2  QFk

c
Vk
k a
Ik
Vk , I k son los valores eficaces de la tensión e intensidad de la fase k. QFk es la
potencia reactiva de Fryze demandada por la fase k, por tanto, incluye no sólo el efecto
reactivo, sino también el de distorsión.
De las expresiones anteriores, se deduce:
i. En la potencia aparente vector, se compensan las potencias reactiva y de distorsión de
las fases, lo que no ocurre en las restantes.
ii. Las potencias eficaz y aritmética son idénticas.
En general, se verifica:
SVEC  S AVA  S RMS
Por tanto, en redes trifásicas, de acuerdo a la potencia aparente considerada, el factor de
potencia tomará valores diferentes; se cumple:
FPVEC 
P
SVEC
 FPAVA 
P
S AVA
 FPRMS 
P
S RMS
siendo FPVEC , FPAVA, FPRMS , los factores de potencia correspondientes a las potencias
aparentes vector, aritmética y eficaz, respectivamente.
Definiciones globales de la potencia en redes trifásicas
Se consideran los dos Grupos de mayor impacto: el primero, es el IEEE Working
Group, encabezado por A. Emanuel; tras una encuesta, cumplimentada por 50 compañías
eléctricas de Estados Unidos y Canadá, ha propuesto una definición de potencia aparente en
régimen no-sinusoidal. El segundo Grupo, la Escuela Alemana, dirigido por M. Depenbrock,
presenta una metodología, que no sólo formula una definición de potencias y plantea una
división de la misma, sino que incluso establece las bases para la determinación de circuitos
equivalentes y, por tanto, podría permitir la compensación de la potencia no-activa 7.
Aunque estos dos Grupos son los que cuentan con más seguidores, no por ello debe
olvidarse la existencia de otros equipos de trabajo, con menor influencia para liderar nuevas
teorías en este ámbito.
En nuestra opinión, en redes monofásicas y trifásicas a tres hilos, el modelo del Grupo
de IEEE es el adecuado. Sin embargo, en redes a cuatro hilos es preciso tener en cuenta el
efecto del neutro; en 8 se tiene en cuenta la intensidad que circula por el neutro.
Formulación del IEEE Working Group
El Grupo del IEEE, determina los parámetros de una red trifásica equivalente
equilibrada, definiendo como Potencia Aparente Equivalente S e :
Se  3Ve I e
siendo Ve , I e :
V 2 V 2 V 2
Ve2  a b c
3
I 2 I 2 I 2
I e2  a b c
3
donde Va, Vb, Vc, son las tensiones entre los respectivos conductores de línea y un neutro
cualquiera e Ia, Ib, Ic, son las corrientes de línea.
Sin embargo, en redes a tres hilos resulta más conveniente el cálculo de Ve a través de
las tensiones de línea Vij , empleando:
V 2 V 2 V 2
Ve2  ab bc ca
9
Una vez definidos los valores Ve, Ie, se descomponen -como en las redes monofásicas-,
las distintas magnitudes en sus componentes fundamental y armónica:
-2-
2
Ve2  Ve21 VeH
2
I e2  I e21  I eH
siendo
2
2
2
2 Vab1 Vbc1 Vca1
Ve1 
9
I 2 I 2 I 2
I e21  a1 b1 c1
3
2
VeH

2
2
2 
 Vabh
Vbch
Vcah




9
h 1 

2
I eH

2
2
2 
 I ah
 I bh
 I ch




3
h 1 

En las expresiones el subíndice e significa que es la magnitud equivalente; así Ve es la
Tensión Equivalente al sistema trifásico desequilibrado dado, e IeH es la Intensidad
Armónica Equivalente del mismo.
La Potencia Aparente Equivalente Se, puede descomponerse en la Potencia Aparente
Equivalente Fundamental Se1, y la Potencia Aparente Equivalente No-fundamental SeN:
2
Se2  Se21 SeN
La Potencia Aparente Fundamental Se1, se descompone para establecer el grado de
desequilibrio de la red:
Se21  S12 Sd21
La Potencia Aparente Fundamental de Componente Directa S1 , viene dada por:
S1  3V1 I1
donde V1 , I 1 son los valores eficaces de la tensión y la corriente fundamental de secuencia
directa, respectivamente; Sd1 es la Potencia Aparente de Desequilibrio, resultante de las
Potencias Aparentes de Secuencia Inversa S 1 , y Homopolar S 1o .
-3-
A su vez, S1 puede descomponerse en P1 , Q1 Potencia Activa y Reactiva de
Secuencia Directa, respectivamente. La figura 1, muestra el flujo de potencias de una red
trifásica.
Si la red fuera a cuatro hilos, es necesario considerar el efecto del neutro, por la pérdida
de potencia que podría originarse en el mismo; para el caso particular en que la resistencia del
neutro tenga el mismo valor que la de las fases, la intensidad equivalente, toma el valor:
I a2  I b2  I c2  I n2
2
I* 
3
siendo In, la corriente que circula por el neutro, e I* la intensidad equivalente.
Figura 1. Flujo de potencias de una red trifásica.
En redes a cuatro hilos, resulta más adecuado considerar las tensiones fase-neutro, para
la determinación de la tensión equivalente Ve. La Potencia Aparente Equivalente, en este caso
viene dada por la expresión:
S*  3 Ve I e  Va2  Vb2  Vc2
I a2  I b2  I c2  I n2
En lo sucesivo, tanto en circuitos a tres como a cuatro hilos, se designará la Potencia
Aparente Equivalente como S* .
Propuesta de Depenbrock
M. Depenbrock, líder de la Escuela Alemana, basándose en los trabajos de Fryze y
Buchholz, presentó en la Conferencia Blindleistung, celebrada en Aachen en 1979, la teoría
-4-
que luego se conoció como el método FBD -Fryze, Buchholz, Depenbrock-, que define un
circuito monofásico equivalente que consume idéntica potencia aparente que el sistema
polifásico dado.
El método FBD, considera activos todos los conductores del sistema polifásico, lo que
excluye el concepto de hilo neutro; para el cálculo de las tensiones de rama, toma como punto
de referencia el neutro flotante de una carga equilibrada en estrella.
Define la potencia aparente como el máximo valor del producto de la tensión y corriente
equivalente:
S  V I 
siendo
V2 
k
 V
 1
donde V , V , son los valores eficaces de las tensiones equivalente y de rama,
respectivamente.
I 2 
k
 I
 1
I  , I , son las corrientes equivalente y de rama, respectivamente.
A pesar de algunas interesantes aportaciones conceptuales, el método FBD ha sido
desplazado por el propuesto por el Grupo de IEEE, cuya descomposición de potencias resulta
de una mayor sencillez y donde las diferentes componentes de potencia se relacionan,
directamente, con las particularidades de la red.
Pérdidas en la línea
Se determina la expresión de las pérdidas, en la línea de alimentación, a partir de las
magnitudes globales definidas. Se supone que los cuatro conductores de línea tienen el mismo
valor de resistencia RL .
La potencia perdida en la línea, para un régimen genérico de funcionamiento i, es:


2
2
2
2
PLi  I ai
 I bi
 I ci
 I ni
RL
Por tanto:
PLi  3 I*2i R L
La mínima pérdida de potencia en la línea, para el mismo valor de potencia transmitida
a la carga, tiene el valor:


PLmn  I a2  I b2  I c2 RL
-5-
siendo las corrientes I a , I b , I c sinusoidales y en fase con la componente directa de la tensión,
es decir, la condición de pérdidas mínimas implica que la tensión de alimentación sea
sinusoidal equilibrada1.
Por tanto, la potencia consumida en la carga, en régimen de pérdidas mínimas, es:
P1  3V1 I 1 cos1
siendo  1 , el desfase entre la tensión y la corriente de la componente directa.
PLmn  3I 12 cos2 1 RL
Dividiendo, miembro a miembro, PLmn y PLi , resulta:
PLmn I 12 cos2  1

PLi
I*2i
que puede expresarse en función de las potencias aparentes, resultando:
PLmn  S1 cos 1 



PLi
S* i


2
 Ve 


V  
 1 
2
siendo S 1 cos  1 / S* i , la relación entre la Potencia de Componente Directa y la Potencia
Aparente Equivalente, que se designa FP i , Factor de Potencia de Componente Directa. Por
tanto:
V 
PLmn
 FP2i  e 
V  
PLi
 1 
2
En la mayoría de los casos FP i  FP* i , Ve  V1 , resultando:
PLmn
 FP*2i
PLi
Intercambio de energía reactiva en la alimentación
En redes monofásicas sinusoidales con carga lineal, se asocia la demanda de potencia
reactiva con la presencia de elementos L/C, por lo que se define -por muchos autores- como
1
También se obtiene factor de potencia unidad si la tensión de alimentación es equilibrada nosinusoidal y la carga resistiva simétrica. No obstante, no se considera, este caso, porque implica una
distorsión de la tensión de alimentación.
-6-
energía de almacenamiento, de manera que en circuitos con carga resistiva o en aquéllos en
resonancia a la frecuencia de la excitación, no existe generación de energía reactiva en el
alternador; sin embargo, en redes trifásicas desequilibradas, incluso con tensión sinusoidal y
carga resistiva lineal, puede establecerse un intercambio de energía reactiva entre las fases del
alternador, a pesar de no existir elementos almacenadores de energía.
(a)
(b)
Figura 2. Intercambio de energía reactiva. (a) Circuito con alimentación sinusoidal equilibrada.
(b) Diagrama fasorial correspondiente al caso ii.
Sea el circuito trifásico de la figura 2, alimentado por un alternador trifásico sinusoidal
equilibrado, siendo Ea  300 V . Se consideran cuatro casos -todos ellos con carga resistiva
lineal-, siendo su configuración la indicada en la tabla I.
Tabla I. Valores de las cargas y tipos de conexión correspondientes a los casos i a iv.
CASO
Ra ()
Rb ()
Rc ()
i
0
5
25 
Triángulo abierto
ii
5
5
25 
Tres hilos
iii
5
5
25 
Cuatro hilos
iv
5
5
5
Carga equilibrada
Conexión
Según se muestra en la tabla II, en el caso i, las fases a y c del alternador están
generando potencia reactiva capacitiva y la b inductiva, aunque la consumida -en conjunto- es
nula, porque no existe ningún elemento reactivo en la red. En el caso ii, se atenúa el
fenómeno, pero sigue generándose reactiva en dos de las fases. Si se modifica la topología del
circuito ii, conectando un hilo neutro de impedancia despreciable, caso iii, el alternador de
alimentación deja de generar energía reactiva. Obviamente, también desaparece la generación
de reactiva, para el caso iv, red equilibrada, siendo éste el de máxima eficiencia energética.
-7-
Tabla II. Valores de las potencias aparentes -expresados en kVA- y de los factores de potencia, según
distintas definiciones, correspondientes a los casos i al iv.
CASO
SEa
SEb
SEc
SVEC
SAVA
S*
FPVEC FPAVA
FP*
i
32,4-j12,5
27+j15,6
5,4-j3,1
64,8
72,1
81,5
1
0,898
0,795
ii
14,7-j5,7
14,7+j5,7
4,9
34,3
36,4
39,6
1
0,942
0,868
iii
18
18
3,6
39,6
39,6
44,5
1
1
0,889
iv
18
18
18
54
54
54
1
1
1
En la tabla II se indican, además de los valores de las potencias aparentes complejas
generadas por las fases del alternador, las potencias aparentes definidas, así como el factor de
potencia correspondiente a cada definición. Se observa que el más exigente es el FP* , ya que
sólamente alcanza el valor unidad, cuando la red está equilibrada con carga resistiva lineal;
por el contrario, FPVEC es la unidad, en todos los casos, por el hecho de que la potencia
reactiva total demandada por la carga -al ser resistiva- es nula.
Por tanto, las potencias reactivas intercambiadas entre las fases del alternador -en los
caos i y ii-, deben considerarse potencias de desequilibrio, ya que la carga es resistiva.
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