LAAP-ANº12_1ºMEDIO_MATEMà TICA_GUIANº2

Liceo Polivalente Arturo Alessandri Palma
Departamento de Matemática
GUÍA DE APRENDIZAJE N° 2
SECTOR: Matemática
Nivel / Curso: 1° A, B, C, D, E, F, G
PROFESOR – A: Janet Espinosa
CONTENIDO: Estadística
APRENDIZAJE ESPERADO: Conocer las medidas de tendencia central
Instrucciones: Leer resumen de contenidos, analizar los ejemplos, responder ejercicios propuestos y
enviar evaluación. Tendrás una semana para responder la guía.
Fecha inicio guía: 20 de agosto de 2011
Fecha de Recepción: Las
respuestas de la evaluación deben enviarse antes
del 6 de septiembre, 12:00 hrs (a.m.)
Medidas de Tendencia central:

Media aritmética ( x ): Corresponde al promedio de los datos.
Media en datos no agrupados:
Ejemplos resueltos:
1) 4, 7, 11, 12, 16, 19, 21, 24, 28
x
4  7  11  12  16  19  21  24  28 142

 15,7
9
9
Entonces el promedio es 15,7
2) Determinar la media de los datos de la tabla
xi
1
2
3
4
5
6
ni
5
3
1
6
2
4
1 5  2  3  3  1  4  6  5  2  6  4
5  3  1 6  2  4
5  6  3  24  10  24
x
21
72
x
 3,428
21
x
Entonces el promedio aproximado es 3,43 o 3,4
Media en datos agrupados
Para calcular la media en datos agrupados debe calcular la marca de clase
Ejemplo: Determinar la media aritmética de los datos de la tabla
ni
3
8
5
2
6
10 - 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
50 - 60
Desarrollo:
A la tabla debemos agregarle una columna para anotar la marca de clase (promedio de cada
intervalo)
ni
10 - 20
3
20 - 30
8
30 - 40
5
40 - 50
2
50 - 60
6
Total
24
Marca de clase
(xi)
10  20
 15
2
20  30
 25
2
30  40
 35
2
40  50
 45
2
50  60
 55
2
ni  x i
Según lo agregado a la tabla ahora
podemos calcular la media aritmética
3·15 = 45
8·25 = 200
840
 35 , por lo tanto el promedio o
24
media es 35
x
5·35 = 175
2·45 = 90
6·55 = 330
840
Es resumen la media aritmética se
calcula dividiendo el total de n i  x i por el
total de individuos.
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Moda (Mo): es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia absoluta. Puede haber más de
una. Cuando los datos están agrupados en clases se puede tomar la marca de clase o utilizar la
fórmula :
d1
M0 = Li +  
donde:
d1  d 2
Li = límite inferior de la clase modal,
 =amplitud del intervalo,
d1= diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior
d2 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase posterior.
Ejemplo: Calcular la moda en datos no agrupados
1)
4, 7, 11, 12, 16, 19, 21, 24, 28
Respuesta: acá la moda no existe ya que no se repite ningún dato.
2) 3, 5, 7, 1, 2, 5, 12, 3, 3
Respuesta: la moda es 3
3) 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 6, 8
Respuesta: La moda es 1, 3 y 5
4)
xi
1
2
3
4
5
6
ni
5
3
1
6
2
4
Respuesta: en esta tabla la moda es 4 ya que corresponde al valor que
tiene la frecuencia absoluta más alta (6)
4) Calcular la moda en datos agrupados
10 - 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
50 - 60
ni
3
8
5
2
6
Respuesta: Para determinar la moda debemos determinar los valores que debemos reemplazar
d1
en la fórmula: M0 = Li +  
d1  d 2
Li = 19,5 (ya que 20 es el valor menor del intervalo y su forma más pequeña de escribir el número
20 es 19,5)
 =10
d1= 8 – 3 = 5
d2 = 8 – 5 = 3
Mo  19,5  10 
Ahora reemplazamos en la fórmula
5
53
50
 19,5  6,25  25,75
8
Por lo tanto la moda para los datos de la tabla es 25,75 o 25,8
Mo  19,5 
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
Mediana (Me): es el valor de la variable tal que el número de observaciones menores que él es
igual al número de observaciones mayores que él. Si el número de datos es par, se puede
tomar la media aritmética de los dos valores centrales.
En datos no agrupados los datos se deben ordenar en forma creciente o decreciente.
Cuando los datos estén agrupados en clases se puede utilizar la fórmula:
n
 Ni1
Me = Li+   2
donde:
ni
Li: limite real inferior de la clase mediana
 : Amplitud del intervalo,
n: total de individuos
Ni-1: Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana
ni: Frecuencia absoluta de la clase mediana
Ejemplos: Calcular la mediana en datos no agrupados
1) 4, 7, 11, 12, 16, 19, 21, 24, 28
Respuesta: acá la cantidad de datos es impar (9 datos) por lo tanto la mediana esta ubicada en el
9
lugar  4,5  5 lugar . Por lo tanto la mediana es 16
2
2) 3, 5, 7, 1, 2, 5, 12, 3,
Respuesta: En este ejercicio debemos ordenar en forma creciente o decreciente los datos
1, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 12 , ahora, como la cantidad de datos es par (8 datos) tenemos 2 datos centrales
8
35 8
los que se encuentran en
 4 lugar y 5° lugar, entonces la mediana es:
 4
2
2
2
3)
xi .
1
2
3
4
5
6
ni
5
3
1
6
2
4
Respuesta: en esta tabla la mediana la encontraremos en la frecuencia absoluta acumulada. Por lo
tanto debemos agregar algunos datos a nuestra tabla
xi
1
2
3
4
5
6
Total
ni
5
3
1
6
2
4
21
Ni
5
5+3 =8
8+1 =9
9+6 =15
15+2 =17
17+4 =21
Entonces el total de datos (21) es impar, tenemos que la
mediana se encuentra ubicada en el lugar
21
 10,5  11 y la frecuencia absoluta acumulada que
2
incluye este lugar es 15 por lo tanto la mediana es 4
3) Calcular la mediana en datos agrupados
10 - 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
50 - 60
ni
3
8
5
2
6
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Respuesta: Para determinar la mediana debemos completar la tabla y determinar los valores
n
 Ni1
que debemos reemplazar en la fórmula: Me = Li+   2
ni
10 - 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
50 - 60
Total
ni
3
8
5
2
6
24
Ni
3
3+8 = 11
11+5 =16
16+2 =18
18+6 =24
24
 12 y 13° , por lo
2
tanto la frecuencia absoluta acumulada que incluye estos lugares es 16, entonces la clase que
buscamos es 30 -40. Con esta información podemos determinar los datos de nuestra fórmula
La clase que tiene la mediana corresponde a la que incluya los lugares
Li: 29,5
 : 10
n: 24
Ni-1: 11
ni: 5
12  11
5
Ahora reemplazamos en la fórmula
1
10
Me  29,5  10   29,5 
 29,5  2  31,5
5
5
Por lo tanto la mediana para los datos de la tabla es 31,5
Me  29,5  10 
Ejercicios Propuestos:
1. Determinar la media de los siguientes datos: 3, 4, 7, 12, 8, 1, 3, 5, 4, 2, 9 Resp: 5,3
2. Determinar la mediana de los siguientes datos: 3, 7, 10, 5, 3, 7, 6, 5, 8, 3, 2, 9 Resp: 5,5
3. Sabiendo que 5 es la media aritmética de los números 8, 7, 5, 3, m, 1, 5, 9¿Cuál es el valor
de m? Resp: 2
4. La moda de los siguientes datos 1, 14, 13, 1, 7, 8, 3, 14, 13, 2 es Resp: 1, 13 y 14
5. Sabiendo que 11 es la media aritmética de los números 5, 15, m, 7, 11, 6, 4, y 14 ¿Cuál es
el valor de m?
a) 36
b) 8
Resp: 26
c) 26
d) 10
e) 18
6. En un curso de 45 alumnos, se sabe que 2 alumnos tiene 16 años, 9 alumnos tienen 17
años, 30 alumnos tienen 18 años, 4 alumnos tienen 19 años ¿Cuál es la media aritmética
de las edades de los alumnos del curso?
a) 17.8
b) 17.5
Resp: 17,8
c) 18
d) 18.2
e) 18.5
7. De acuerdo con la siguiente tabla de frecuencias de temperatura máxima de 12 días ¿Cuál
es la mediana de la temperatura de esos 12 días?
a) 26,5°
b) 27°
c) 28°
d) 29°
e) 30°
xi
29°
28°
26°
24°
ni
4
2
3
3
Resp: 27°
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8. Las calificaciones obtenidas por 10 alumnos en un control son 4-5-7-5-3-5-4-5-5-2 ¿Cuál
de las siguientes alternativas es verdadera?
a) la media aritmética es 4.2
b) la moda es 4 y 5
Resp: D
c) la mediana es 3
d) Moda=Mediana=5
e) N.A.
9. La media correspondiente a la siguiente información 1,3,8,5,2,6,3,4,7,1 es :
a) 3.0
b) 4.0
Resp: 3,5
c) 3.5
d) 4.5
e) 5.0
10. Determinar la media, moda y mediana en la siguiente tabla de frecuencias:
Clase
10 - 15
15 - 20
20 - 25
25 - 30
30 - 35
35 - 40
40 - 45
45 - 50
Frecuencia
10
15
22
29
16
15
6
4
Resp: x  27,4 , Mo = 26,3 Me = 26,5
ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN
[email protected]
1. Determinar la media aritmética, la mediana y la moda en la siguiente tabla:
Clases
2. Dada la tabla. Determina
xi
1
2
3
4
5
6
ni
5
3
1
6
2
4
Frecuencias
10 - 20
10
20 - 30
14
30 - 40
21
40 - 50
31
50 - 60
18
60 - 70
15
70 - 80
7
80 - 90
4
X , Mo, Me
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OBSERVACIONES:
1. Los trabajos que ingresen al correo de historia después de la hora indicada NO
SERÁN REVISADOS. DEBES ENVIAR, SÓLO LA ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN
2. No olvides enviar tus trabajos siguiendo las siguientes instrucciones:
a. Crea un correo con tu nombre real, por ejemplo
[email protected], j.perezgutié[email protected] para que tu
profesor pueda identificar a cada alumno
b. Al enviar tu trabajo o tus consultas, debes escribir en ASUNTO el
sector de aprendizaje, el curso y tu nombre, por ejemplo:
Historia-1ºA-JuanPérezGutiérrez.