Documento 406108

Estadística para ingenieros y técnicos de Institutos profesionales
Autor: Edgardo Ojeda Barcos
Curso de Estadística
Dirigido a:
Estudiantes de Carreras Técnicas e Ingenierías
De Institutos Profesionales
Edición revisada
Marzo del 2006
Autor:
Profesor Edgardo Ojeda Barcos
Licenciado en Organización de la Producción,
Universidad Argentina de la Empresa.
Postítulo en Ingeniería de Calidad,
Universidad de Santiago de Chile.
Derechos de autor en trámite
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Uso académico exclusivo, prohibida su reproducción sin consentimiento del autor
Estadística para ingenieros y técnicos de Institutos profesionales
Autor: Edgardo Ojeda Barcos
ÍNDICE
Capítulo 1
1.1
1.2
Introducción al concepto de Estadística
Gráficos
Capítulo 2
2.1
2.2
2.3
Distribuciones de frecuencias, Histogramas
Distribución de frecuencias acumuladas y ojivas.
Ejercicios de aplicación
Capítulo 3
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Capítulo 4
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Capítulo 5
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Promedios
Media Aritmética
Media Aritmética Ponderada
Propiedades de la Media Aritmética
Cálculo de la Media Aritmética para datos agrupados
Ejercicios de aplicación.
La Mediana
La Moda
Relación empírica entre la media aritmética, la mediana y la
moda
Medidas de la dispersión de una distribución de datos
Dispersión o variación
Rango o Intervalo
La Desviación Típica
Desarrollo de tres fórmula para el cálculo de la Desviación
Típica
Propiedades de la desviación Típica
Varianza
Desviación Media
Ejercicios en clase.
Ejercicios de Aplicación
Cuantilos
Definición
Medidores de Tendencia Central
Medidores de la Dispersión
Procedimiento de Cálculo
Procedimiento de Calculo para datos Agrupados
Obtención de los valores correspondientes cuando el
número de datos es distinto de 100
Ejercicios en clase.
Ejercicios de aplicación.
Capítulo 6
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Autor: Edgardo Ojeda Barcos
6
6.1
6.1.1
6.1.2
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
Teoría elemental de Probabilidades
Definición de Probabilidad
Definición Clásica
Definición como Frecuencia Relativa
Concepto de Probabilidad
Regla de la adición de Probabilidades
Regla del producto de las probabilidades
Aplicación de ambas reglas
Probabilidades con y sin reposición
Probabilidad de las causas. Formula de Bayes – Laplace
Ejercicios de aplicación.
Capítulo 7
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
Análisis Combinatorio y Probabilidades
Principio fundamental del análisis combinatorio
Factorial de n
Permutaciones
Combinaciones
Probabilidades y Análisis Combinatorio
Generalización del número combinatorio y probabilidades
Ejercicios de aplicación
Capítulo 8
8
8.1
8.2
8.3
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
Las Distribuciones Binomial, Poisson y Normal
La Distribución Binomial
Distribución de Poisson
Relación entre la Distribución Binomial y la Distribución de
Poisson
La Distribución Normal, Curva Normal o Distribución
Gaussiana.
Relación entre la Distribución Binomial y la Normal
Ejercicios de comprensión sobre la Distribución Normal
Distribución Hipergeométrica.
Aproximación Normal a Binomial
Ejercicios de aplicación.
Capítulo 9
9
9.1
9.2
9.3
9.4
Correlación y Regresión
Introducción
Análisis de Correlación
Análisis de Regresión
Ejercicios de Aplicación
Capítulo 10
10
10.1
10.2
10.3
Teoría del muestreo.
Muestreo aleatorio.
Distribución de muestreo.
Muestreo de poblaciones pequeñas.
8.4
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Capítulo 11
11
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
Capítulo 12
12
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.7.1
12.7.2
12.8
Capitulo 13
13
13.1
13.2
13.3
Capitulo 14
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
14.10
Autor: Edgardo Ojeda Barcos
Estimación
Estimación por punto y por intervalo
Intervalo de confianza
Estimación de la media aritmética.
Margen de error y coeficiente de confianza.
No siempre se conoce el valor de la desviación típica
poblacional.
Distribución t, o Distribución de Student.
Intervalos de confianza para las proporciones o porcentajes
de defectuosos.
Números Índices.
Relaciones de precios.
Relaciones de Cantidad o de Volumen
Relaciones de valor
Relaciones de Enlace y en Cadena.
El método de agregación simple.
El método de agregación Simple de relaciones.
El método de agregación ponderada.
Indice de Laspeyres.
Indice de Paasche.
Deflación de series en el tiempo.
Series de Tiempo
Análisis de series en el tiempo
Estimación de las variaciones estacionales. El Índice
Estacional
Ejercicios de Aplicación
Pruebas de Hipótesis
Hipótesis Estadísticas.
Contrastes de Hipótesis y significación, o reglas de
decisión.
Errores de Tipo I y de Tipo II .
Nivel de significación.
Contrastes mediante la distribución normal.
Tres distintos niveles de significancia.
Selección de un nivel de significancia.
Uso de la distribución t para la toma de decisiones.
Ejercicios de aplicación desarrollados.
Ejercicios de Aplicación.
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Capitulo 15
15
15.1
15.2
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Análisis de Varianza
Distribución F
Análisis de Varianza y Cálculo de F, con una variable de
clasificación.
Bibliografía
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Prólogo a la edición de Marzo de 2006.
A mis queridos alumnos.
El presente trabajo, tiene una finalidad claramente establecida, facilitar el estudio y
la comprensión de la materia Estadística, a los estudiantes de Ingeniería y de
carreras técnicas.
El libro no tiene pretensiones de originalidad, por ello, y sin querer amenguar el
mérito que tienen las variadas partes, que sí, son originales, el libro es una
compilación de diversos autores y libros de estudio que actualmente están vigentes.
Todas las fuentes que han sido consultadas, están catalogadas, al final del estudio.
Por otra parte, en el contenido del libro, se han volcado todas las dudas y consultas
frecuentes y que han sido recolectadas a lo largo de innumerables cursos realizados
por el autor.
Este libro, no pretende reemplazar la asistencia a clase, lo cual ha sido debidamente
contemplado, es decir, la asistencia a clase sigue siendo indispensable para la
correcta aprehensión de la materia. Tampoco se desea limitar a los alumnos a la
exclusiva lectura de éste estudio, ya que un alumno de nivel terciario, tiene
necesariamente que aprender a consultar distintas fuentes de información.
A lo largo de sucesivas revisiones se han ido incorporando temas de interés para las
distintas carreras, como Ingeniería Química, Alimentos, Prevención de Riesgos, de la
Madera, etc, por lo cual, el libro se transforma en una herramienta de consulta para
las distintas carreras de Institutos profesionales.
Por último, una recomendación muy útil, si bien este consejo es válido para cualquier
disciplina, en el estudio de la estadística, es particularmente importante. Para ser
exitosos en el aprendizaje de la estadística se requiere ser persistente, tanto en la
asistencia a clase como en la continuidad del estudio. La estadística es una cadena
interminable que se va construyendo con un conocimiento arriba de otro; una clase
que se pierde, un concepto que no se entiende, crea grandes lagunas difíciles de
superar. Por esto recomiendo: a) asistir a todas las clases, b) llegar a cada clase con
una comprensión suficiente de los conceptos vistos anteriormente para poder
entender y participar en el desarrollo siguiente.
El objetivo de todo futuro profesional es: APRENDER.
Edgardo Ojeda Barcos
Profesor de Estadística y Control de Calidad
Santiago de Chile.
Marzo de 2006.
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Capítulo 1
1.1 Introducción al concepto de la Estadística
La palabra estadística es un concepto muy conocido y por cierto muy amplio.
Podríamos decir que la estadística tiene que ver con la recopilación y comprensión de
datos numéricos.
Sin embargo, para comprender mejor el campo de la Estadística nos referiremos a un
ejemplo y dejaremos al estudiante la generalización de dicho ejemplo.
Supongamos que por necesidades académicas necesitamos conocer la edad
promedio de todos los alumnos del Inacap en todo el país. La forma perfecta de
hacerlo sería consultar a los miles de alumnos a lo largo del país, y luego de una
larga, tediosa y cara tarea, sumaríamos todas las edades, las dividiríamos por el total
de alumnos y obtendríamos el dato buscado.
Sin embargo, la Estadística nos ofrece un camino, más corto, más rápido y
conveniente para obtener la información, suficientemente válida y muy cercana al
dato anterior.
Imaginemos que tenemos un gran recipiente donde colocáramos tantas fichas como
alumnos y cada ficha tuviera el dato de la edad de cada alumno. Ese gran recipiente
sería nuestro Universo o Población.
Alguien con sentido común propondría tomar algunas fichas al azar y calcular el
promedio de dicho pequeño grupo de unidades. Intuitivamente podremos aceptar que
el dato obtenido no necesariamente será el valor verdadero del total de las fichas,
pero sin duda guardará cierta relación y además será la mejor información disponible.
DEFINICION DE ESTADISTICA
Generalizando, podremos decir que la Estadística es la metodología científica
que se encarga de INFERIR los valores de los parámetros de la Población o
Universo mediante la extracción sistemática de MUESTRAS.
Estas técnicas pueden además, darnos información acerca de la confiabilidad,
(certeza) con que los datos son obtenidos.
En los trabajos estadísticos podemos distinguir dos áreas de trabajo, la primera se
llama Estadística descriptiva, y es la que se encarga de la recopilación, el
ordenamiento e interpretación de la información o datos.
La segunda área, es la llamada Estadística Inductiva o Inferencia Estadística, es
decir la que por elaboración de los datos anteriores, nos ofrecen respuestas a los
interrogantes planteados unidos a información probabilística acerca de la confiabilidad
de dicha información.
1.2 Gráficos
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La estadística encuentra en los gráficos, una herramienta indispensable para
ayudar a entender, interpretar y comunicar sus conclusiones.
En éste estudio, solo veremos algunos de ellos. El primero será las llamadas Series
de Tiempo.
Crecimiento Demográfico en EE.UU. ( en millones de personas)
Año
Población
1860 70 80
31
40 50
90 1900 10 20 30 40 50 60 70 80
63 76
92 106 123 132 151 179 203 227
250
Millones
200
150
100
50
0
1860
70
80
90
1900
10
20
30
40
50
60
70
80
Años
La misma información puede representarse como un gráfico o diagrama de barras.
250
Millones
200
150
100
50
0
1860
70
80
90
1900
10
20
30
40
50
60
70
80
Años
Otros Gráficos
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Datos de producción de una región hipotética:
Año
Tn trigo
Tn maíz
Total
75
76
77
78
79
80
81
82
200
185
225
250
240
195
210
225
75
90
100
85
80
100
110
105
275
275
325
335
320
295
320
330
Porcentual
trigo
73 %
67 %
69 %
75 %
75 %
66 %
66 %
68 %
Gráfico de trazos
250
200
150
T r ig o
Tn
M a iz
100
50
0
75
76
77
78
79
80
81
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Gráfico de Barras
300
250
200
Trigo
Tn 150
Maiz
100
50
0
75
76
77
78
79
80
81
82
Años
Gráfico de Barras Acumuladas
400
350
300
250
Maiz
Tn 200
Trigo
150
100
50
0
75
76
77
78
79
80
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Gráfico de Barras Porcentuales
120
100
80
Maiz
Tn 60
Trigo
40
20
0
75
76
77
78
79
80
81
82
Años
Gráfico de barras horizontales
81
79
Años
Trigo
77
75
0
50
100
150
200
250
300
Tn
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Gráfico circular abierto.
praderas
34%
bosques
12%
areas urbanas
desiertos
bosques
desiertos
10%
praderas
huertas
10%
huertas
areas sembradas
areas urbanas
6%
areas sembradas
28%
1.3 Ejercicios de Aplicación.
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico.
1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.8, 1.9, 1.10, 1.16, 1.17, 1.18, 1.19, 1.20, 1.21, 1.22, 1.23, 1.24,
1.23, 1.27, 1.29, 1.30, 1.48, 1.52, 1.59, 1.71, 1.76.
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Capítulo 2
2.1 Distribuciones de frecuencias, Histogramas
Cuando se realiza una recolección de datos muy extensa, por ejemplo, 50 o más
datos, resulta muy difícil interpretar la información recibida.
Una primera investigación que podríamos realizar, sería la de encontrar el mayor valor
y el menor de ellos lo cual nos informaría acerca del INTERVALO el cual se
encuentran todos los datos.
Lo segundo podría ser ordenarlos de menor a mayor, pero aun seguiría siendo una
larga lista de números.
El siguiente procedimiento, nos permitirá ordenarlos e interpretar valiosa información
estadística.
Este ordenamiento consiste en crear CLASES, dentro de las cuales clasificaremos los
datos. El procedimiento es dividir la distancia del INTERVALO en intervalos más
cortos que llamaremos clases. La pregunta que nos haremos es: ¿en cuantas clases
dividiremos el INTERVALO?
Existe una regla empírica, (práctica) que dice lo siguiente:
Si el total de datos es n, el número de clases que buscamos será
n
Para entenderlo mejor, haremos un ejemplo.
Supongamos que se han tomado 84 datos de una medida de diámetros de ejes para
un instrumento de precisión.
Los datos tal como se obtuvieron son:
881
886
885
889
910
912
880
875
883
874
915
907
905
890
889
891
846
881
933
928
874
925
892
893
872
911
878
866
885
905
861
955
904
869
866
924
882
893
939
868
910
876
877
867
901
894
885
903
890
920
894
891
916
887
898
879
859
901
915
901
863
899
886
912
923
888
896
897
865
892
857
907
878
870
902
921
891
880
906
883
867
895
889
882
En total son 84 mediciones, por lo tanto n = 84
El mayor valor es
El valor mínimo es
955
846
El INTERVALO es
109
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De acuerdo con la regla empírica, descrita anteriormente, el número de CLASES que
deberemos hacer será 84  9.17 , este número debe aproximarse al valor entero, es
decir 9.
El paso siguiente será, dividir el INTERVALO, 109, por el dato hallado,
109 / 9 = 12.1
Nuevamente deberemos tomar el número entero, es decir 12.
El número 12 es par, existen razones que veremos mas adelante para preferir que
este número sea impar, por lo tanto elegiremos 11, ¿podría servir 13? La respuesta
es sí, pues éste es un procedimiento aproximado.
Este valor es denominado:
ANCHO DE CLASE.
Bien, este ANCHO DE CLASE: 11, nos servirá para construir nuestras CLASES.
¿Por cual número comenzaremos?
Es costumbre comenzar exactamente por el menor de los datos encontrados, es decir
846, pero podríamos empezar por algún otro número, algo menor por ejemplo 840 y
el resultado obtenido sería igualmente válido.
Para nuestro ejemplo comenzaremos con el mínimo leído, esto es 846 y lo
utilizaremos como LÍMITE INFERIOR DE LA CLASE 1.
Para hallar el LÍMITE DE LA CLASE 2, sumaremos 11 a 846, es decir que el límite de
la clase 2 es: 857, y el de la clase 3 será 868.
Nos queda ahora, determinar el LÍMITE SUPERIOR DE LA CLASE 1 y subsiguientes.
El LÍMITE SUPERIOR DE LA CLASE 1 será una unidad significativa menor que el
límite inferior de la clase 2, es decir: 856 y el límite superior de la clase 2 será: 867.
De esta forma las clases serán:
CLASES
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
LIMITE INFERIOR
846
857
868
879
890
901
912
923
934
945
LIMITE SUPERIOR
856
867
878
889
900
911
922
933
944
955
En este paso debemos preguntarnos, ¿porqué son 10 las clases, si habíamos
calculado 9?. Porque descartamos el 12 y preferimos el número impar (11),
Ahora tenemos que determinar con qué FRECUENCIA caen los datos dentro de estas
celdas llamadas CLASES.
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Para ello procederemos a marcar con un pequeño trazo vertical, cada dato dentro de
su clase, Por ejemplo, los números 881 y 880, pertenecen a la clase 4 y el número
905 a la clase 6. De esta forma se registran los 84 datos.
Así se construye la siguiente tabla:
CLASES
LÍMITE
LÍMITE
DIAGRAMA
FRECUENCIA
INFERIOR
SUPERIOR
DE TILDES
DE CLASE
1
846
856
/
1
2
857
867
//// ////
9
3
868
878
//// //// /
11
4
879
889
//// //// //// ////
19
5
890
900
//// //// //// /
16
6
901
911
//// //// ////
14
7
912
922
//// //
7
8
923
933
////
5
9
934
944
/
1
10
945
955
/
1
84
84
TOTAL
Este perfil obtenido con el diagrama de frecuencias ya nos está dando valiosa
información estadística, vemos que los datos están concentrados con preferencia
alrededor de la CLASE 4 y que un valor representativo del grupo debería estar
dentro de esa clase.
Para terminar con el estudio de los diagramas de frecuencia, veremos algunas
características más que serán necesarias en cálculos futuros:
ANCHO DE CLASE, en nuestro ejemplo es 11, y se obtiene como diferencia entre el
límite inferior de una clase y el límite inferior de la clase inmediatamente anterior.
MARCA DE CLASE, es el promedio entre los límites superior e inferior de una clase
determinada. Por ejemplo, para la clase 1 de nuestro ejemplo, tenemos:
Limite inferior de la clase:
Limite superior de la clase:
846
856
Promedio: (846+856)/2 =
851
Por lo tanto, la MARCA DE CLASE del grupo 1 será 851.En éste punto recordaremos
que al principio de éstos cálculos mencionamos que era conveniente utilizar un
número impar. Ahora explicaremos el porqué de esa recomendación.
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Si el numero no hubiera sido impar, la MARCA DE CLASE, no hubiera sido un número
exacto, hubiera tenido un valor decimal que habría que mantener, necesariamente, y
esto trae aparejado, un aumento de las posibilidades de error en los cálculos.
Sin embargo, si pese a la recomendación de usar impar, prefirió un número par, no
habrá error si mantiene durante todos los cálculos, el valor decimal que se genera por
dicha causa.
En nuestro caso, no hay decimales, la marca de clase de la clase uno dio 851 exacto.
Luego sumamos el ancho de clase, 11, para hallar las marcas de clases sucesivas.
CLASES
LÍMITE
LÍMITE
INFERIOR
SUPERIOR
1
846
856
851
1
2
857
867
862
9
3
868
878
873
11
4
879
889
884
19
5
890
900
895
16
6
901
911
906
14
7
912
922
917
7
8
923
933
928
5
9
934
944
939
1
10
945
955
950
1
TOTAL
MARCA
CLASE
DE FRECUENCIA
DE CLASE
84
Es recomendable, calcular primero la frecuencia y después la marca de clase para
que esta columna no interfiera durante la clasificación de los datos.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA:
Se denomina Distribución de Frecuencia, al resultado de la marca de clase, que
posteriormente será la variable X y la frecuencia que corresponde para cada valor de
la marca de clase.
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Distribución de Frecuencia:
MARCA
DE FRECUENCIA
CLASE (X)
DE CLASE
851
1
862
9
873
11
884
19
895
16
906
14
917
7
928
5
939
1
950
1
84
HISTOGRAMA
Con los datos de la distribución de frecuencias se procede a construir el histograma.
HISTOGRAMA
19
20
18
16
FRECUENCIA
16
14
14
11
12
9
10
7
8
5
6
4
2
1
1
1
939
950
0
851
862
873
884
895
906
917
928
CLASES
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FRONTERA DE CLASE:
La FRONTERA DE CLASE , es un punto en la Clasificación de clases intercalado
entre las marcas de manera que no caiga en ninguna de las dos clases contiguas.
Esto se logra promediando el Límite Superior de una clase con el Límite Inferior de la
siguiente, y tomando un decimal más que la última cifra significativa, según los datos
que se estudian.
En nuestro ejemplo, la FRONTERA DE CLASE entre la 1º y 2º clase será: 856,5
Luego entre la 3º y 4º será : 878.5
La siguiente tabla resumen figuran todos los datos estudiados:
CLASES
L. I.
L. S.
MARCA
FRONTERAS
FRECUENCIA
1
846
856
851
845.5
1
2
857
867
862
856.5
9
3
868
878
873
867.5
11
4
879
889
884
878.5
19
5
890
900
895
889.5
16
6
901
911
906
900.5
14
7
912
922
917
911.5
7
8
923
933
928
922.5
5
9
934
944
939
933.5
1
10
945
955
950
944.5
1
Total
84
Para terminar de interpretar los HISTOGRAMAS, el alumno puede imaginar que los
valores de las fronteras de clases, están exactamente en las líneas que separan cada
uno de los bloques del HISTOGRAMA.
2.2 Distribuciones de Frecuencias Acumuladas y Ojivas
La frecuencia total de todos los valores menores que la frontera de clase superior de
un intervalo de clase dado se llama FRECUENCIA ACUMULADA hasta ese intervalo
de clase inclusive.
Una tabla que presente tales frecuencias acumuladas se denomina una
DISTRIBUCIÓN ACUMULADA.
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Un gráfico que represente las frecuencias acumuladas por debajo de cualquiera de
las fronteras de clase superiores respecto de dicha frontera se llama un POLÍGONO
DE FRECUENCIAS ACUMULADAS U OJIVA
A continuación, desarrollaremos un ejemplo, la altura de 100 estudiantes de una
universidad XYZ, este ejemplo fue tomado del libro “Estadística” de Murray R, Spiegel
y lo utilizaremos para varios desarrollos como el que sigue:
Altura en metros.
1.51 - 1.59
1.60 - 1.68
1.69 - 1.77
1.78 - 1.86
1.87 - 1.95
Total
Marca
1.55
1.64
1.73
1.82
1.91
Frecuencias
5
18
42
27
8
100
F. Acumulada F. relativa
5
5
23
18
65
42
92
27
100
8
100
Nota: la frecuencia relativa coincide con las frecuencias, simplemente por n=100, si n
es cualquier otro valor, ambas columnas, no coincidirán.
Otros detalles son
Limite inferior
......
1.51
1.60
1.69
1.78
1.87
Limite Superior
......
1.59
1.68
1.77
1.86
1.95
Frontera
1.505
1.595
1.685
1.775
1.865
1.955
Ancho de Clase
.09
.09
.09
.09
.09
El siguiente gráfico explica lo anterior:
120
Frecuencias
100
HISTOGRAMA Y OJIVA
80
60
42
40
20
27
18
8
5
0
1,55
1,64
1,73
1,82
1,91
Altura
2.3 Ejercicios de Aplicación.
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico.
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Capítulo 2:
Para resolver estos problemas, el alumno deberá usar los métodos y criterios
vistos en clase, los cuales difieren de los usados en el libro.
Distribución de frecuencias: 2.2, 2.3, 2.6, 2.7, 2.20, 2.21, 2.23, 2.26, 2.27, 2.28,
2.29.
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Capítulo 3
3 Promedios
La palabra PROMEDIO, es una palabra genérica, es decir, existen varios tipos de
PROMEDIOS.
Los PROMEDIOS que estudiaremos son: MEDIA, MEDIANA, MODA, MEDIA
GEOMÉTRICA Y MEDIA ARMÓNICA.
Los promedios tienen en común que buscan el valor central de los datos estudiados.
Por esta razón se los denomina: MEDIDORES DE LA TENDENCIA CENTRAL.
3.1 Media Aritmética
Para definir la Media Aritmética, primero describiremos algunos conceptos básicos:
NOTACIÓN DE ÍNDICES:
de los N datos.
Si tenemos un universo de N datos, Xj será cualquiera
valores., esto es: X1, X2 ,..., XN
N
NOTACIÓN DE SUMA:
X
J
 X1  X2 ... XN
J1
UNIVERSO o POBLACIÓN: Son todos los valores o datos que existen.
MUESTRA: Es un parte tomada al azar de la POBLACIÓN, y que son representativos
de la POBLACIÓN.
DEFINICIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA: Es la suma de todos los valores de la
POBLACIÓN o de la MUESTRA, dividido por el numero total de los datos
considerados.
MEDIA ARITMÉTICA =
X
X 1  X 2  ...  X N

N
X
N
Muy frecuentemente, uno o varios datos de los registrados se repiten, es dicho caso la
fórmula anterior de interpreta de la siguiente manera:
Si los datos : X1, X2 ,..., XN se repiten con frecuencia f1, f2 ,..., fk veces, entonces la
MEDIA ARITMÉTICA se define de la siguiente forma:
k
f . X  f . X ... fk . Xk
X 1 1 2 2

f1  f2 ... fk
fX
j
j
j 1
k
f
j
j 1
El siguiente ejemplo aclarará el concepto:
Si los datos: 5, 8, 6, y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4, y 1
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X
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3 * 5  2 * 8  4 * 6  1* 2
 5.7
3 2 41
Con respecto a los índices utilizados en las fórmulas de las medias, el estudiante
habrá notado que en la primera fórmula, el subíndice utilizado, es N, esto es el total de
unidades consideradas y en el segundo caso, cuando hay repetición de algunos datos,
el subíndice utilizado es k.
En éste último caso k es el numero de datos distintos, sin repetición, de ésta manera,
la sumatoria de las frecuencias será igual a N
El siguiente ejemplo, aclara lo que hemos dicho:
Datos
3
4
5
8
9
Frecuencia
2
1
3
5
3
Es decir, tenemos 2 datos 3, 1 dato 4, 3 datos 5, etc.
El total de datos es 3*2+4*1+5*3+8*5+9*3 = 92,
entre si son solo 5, por ello es k = 5
N = 92 , pero los datos diferentes
3.2 Media Aritmética Ponderada:
esta variante de la media aritmética, se usa
cuando se hace necesario dar distinto “peso” a cada dato. Esto significa, asociar con
los datos en estudio, con factores o “pesos” :
W1, W2 ,..., WK
De esta forma, la
MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
X
es:
X 1 W1  X 2 W2  ...  X k Wk
W1  W2  ...  WK
Un ejemplo típico de esto es la ponderación de las notas de los parciales y los
exámenes finales en INACAP. El reglamento indica que la nota final (PROMEDIO
PONDERADO), estará formado por el 75% del promedio de notas de los parciales y
el 25% de la nota final. Si un alumno tiene promedio 6.5 en los parciales y 4,9 en el
final la nota será:
MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA =
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6.5 * 0.75   4.9 * 0.25   6.1
0.75  0.25
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Nótese que la MEDIA ARITMÉTICA (no ponderada) es 5,7
3.3 Propiedades de la Media Aritmética.
Propiedad Nº 1
La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números respecto de su
media aritmética es cero.
Ejemplo:
Las desviaciones de los números: 8, 4,
ARITMÉTICA cuyo valor es : 6.5 son:
Datos
menos
8
4
3
11
7
6
-
3, 11,
Media
Aritmética
6.5
6.5
6.5
6.5
6.5
6.5
7 y 6
respecto de su MEDIA
igual
Desviación
=
=
=
=
=
=
+1.5
-2.5
-3.5
+4.5
+0.5
-0.5
total:
+0.00
Probar genéricamente que la suma de las desviaciones de X1, X2, ... Xn respecto de
su MEDIA ARITMÉTICA es cero
Las desviaciones con respecto a la media se denotan de la siguiente manera:
d1 
X1

d2 
...
X2
...
 X
... ...
dN  XN

X
X
Entonces:
n
d
j

j 1
 X
n
j 1
J

X 
 X  X   X   X 
N X
 X X 
 X  NX   X  
N
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0
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Con esto queda demostrada la propiedad.
Propiedad nº 2
La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números Xj respecto
de un cierto número a es mínima, si y solo si, a = Media Aritmética.
N
 (X
j
 a)2
minimo
j 1
si y solo si
a= X
Esta propiedad la podemos comprobar usando los datos que se dieron en el ejemplo
de la propiedad nº 1
Si a es 6,5 o sea la media aritmética el resultado de la sumatoria de los cuadrados es :
41.50
Si a fuera 6 el resultado de dicha suma es 43,00
Se sugiere al alumno calcular el resultado para a = 8
Esta propiedad es conceptualmente importante para futuros desarrollos.
Propiedad nº 3
Si n1 números tienen media m1, y n2 números tienen media m2, y ..., nk números
tienen media mk , entonces la media de todos los números es:
X
n1m1  n2m2 ...nkmk
n1  n2 ...nk
Veamos un ejemplo:
Los 90 empleados de la sucursal A de una Empresa ganan en promedio $ 230.000, y
los 75 empleados de la sucursal B ganan en promedio $ 325.000. ¿Cual es el
promedio de sueldos de las dos sucursales?
X
 nm  90 * 230.000  75 * 325000  273.182
90  75
n
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Propiedad nº 4
Esta propiedad parte de la suposición de que empezamos los cálculos suponiendo o
estimando cual podría ser el valor de la MEDIA ARITMÉTICA, técnicamente esto
significa que estamos conjeturando la media.
La propiedad se enuncia de la siguiente manera:
Si A es una MEDIA SUPUESTA O CONJETURADA y si dj = xj - A son las
desviaciones de xj respecto de A, tenemos que:
Para datos sin repetición:
X A+
Para datos con repetición:
X A+
Donde:
d
N
 fd
N
N = f
Esta última ecuación es importante y debemos insistir en el concepto de que el
número total de datos, N , es igual a la sumatoria de todas las frecuencias, f
El siguiente ejercicio demuestra y generaliza la propiedad º 4.
a) Para N datos sin repetición,
Si N números, X1, X2, ...,XN, tienen desviaciones respecto de un número A, dadas por:
d1 = X1 - A
d2 = X2 - A
... ... ...
dN = XN - A
Probar que :
X A+
 fd
N
Solución:
Como dj = Xj - A
es
Xj = A + di
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el operador sumatoria y dividiendo
por N nos queda:
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N X  
X
(A + d)
N

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 A  d  A + d
N
N
N
Nótese que el signo  se anula con N pues la sumatoria de A es N veces A.
b)
Para el caso en que X1, X2, ...,XN tengan frecuencias f1, f2, ..., fN
y
d1 = X1 - A
d2 = X2 - A
...
...
...
dk = Xk - A
Probar que:
X
 f X   f (A+ d)   f A   f d  A +  f d
N
N
N
N
N
Pues f = N
3.4 Cálculo de la media aritmética para datos agrupados
Para el cálculo de la media aritmética, utilizaremos tres tipos de fórmulas. Estas se
denominan fórmulas larga, corta y de compilación respectivamente.
La fórmula larga es la aplicación de la definición de la MEDIA ARITMÉTICA es decir
la fórmula “madre”:
X
 fX
N
La fórmula corta es la aplicación del método de la MEDIA CONJETURADA, es decir,
donde desde el principio del cálculo, conjeturamos el valor de la MEDIA ARITMÉTICA
como un valor A y determinamos el valor de las diferencias entre dicho valor A y
cada una de las X,
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X A+
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 fd
N
El método por compilación requiere una transformación de la última fórmula.
Si todos los intervalos de clase tienen idéntico ancho de clase c, las desviaciones
pueden expresarse como:
dj = c * uj
donde, uj pueden ser 0, 1, 2, etc. y la fórmula de la media aritmética se convierte
en:
  fu 

X  A + c 
 N 
llamada Fórmula del Método de Compilación para calcular la Media Aritmética.
3.5 Ejercicio de aplicación
El siguiente ejercicio, basado en la distribución de frecuencias vista en el capítulo nº 2,
se utilizará las tres fórmulas vistas en los párrafos anteriores.
Recordemos la distribución, se trata de la altura de 100 estudiantes y el diagrama de
frecuencias es el siguiente:
Altura = X
1.55
1.64
1.73
1.82
1.91
frecuencia
05
18
42
27
08
f=N=100
Desarrollo fórmula nª 1, Método Largo
Altura = X
1.55
1.64
1.73
1.82
1.91
X
frecuencia
05
18
42
27
08
f=N=100
fX
07.55
29.52
72.66
49.14
15.28
fX=174.35
 fX  174.15  1.74
 f 100
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Desarrollo fórmula nº 2, Método Corto
Debemos partir haciendo una conjetura de cual puede ser la media del conjunto de
datos, observando la distribución es fácil concluir que la media aritmética se
encontrará cerca de 1,73 metros.
De ésta forma diremos que A es igual a 1,73.
A: ===>
Altura = X
1.55
1.64
1.73
1.82
1.91
X A
frecuencia = f
05
18
42
27
08
f=N=100
desviación d=X-A
-0.18
-0.09
+0.00
+0.09
+0.18
fd
-0.90
-1.62
+0.00
+2.43
+1.44
fd=+1.35
135
.
 fd  173
. 
 174
.
N
100
Desarrollo fórmula nº 3, Método de Compilación.
En éste cálculo deberemos aplicar el concepto: d = cu, siendo u una variable que
puede ser: 0, ±1, ±2, ±3, etc.
Seguimos conjeturando que A = 1.73, pero ahora, vamos a observar que en la
columna d del calculo anterior, los números -0.18, -0.09, 0.00, 0.09, y 0.18, tienen
como factor común el número 0.09. Por lo tanto, si sacamos este factor común, los
números de la columna quedarán reducidos a los valores: -2, -1, 0, 1, 2 de tal forma el
esquema de cálculo es el siguiente: (en este razonamiento se volverá a insistir,
cuando se estudie la desviación típica)
X
1.55
1.64
1.73
1.82
1.91
f
5
18
42
27
8
f=100
u
-2
-1
+0
+1
+2
fu
-10
-18
+00
+27
+16
fu=15
  fu
 15 
 c  173
X  A  
. 
.
 0.09  174
 100 
 N 
Finalmente destaquemos los siguientes aspectos importantes:
1º La MEDIA CONJETURADA puede ser cualquier X dentro de los datos en estudio,
pero cuanto mas cercano esté al verdadero valor, menores serán los cálculos por
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realizar. Por la forma de la distribución es fácil conjeturar donde se encontrará la
MEDIA ARITMÉTICA. El procedimiento aconsejado es conjeturar la marca de clase
que presente la mayor frecuencia de datos.
2º Cualquier X que sea elegido, el resultado final será siempre el mismo.
3.6 La Mediana
La MEDIANA de un conjunto de datos ordenados en magnitud, es, o el valor central, o
la media de los dos valores centrales.
Ejemplo:
5, 6, 8, 9, 11, 15, 17
La MEDIANA es el número 9, pues antes que él, hay 3 números y después de él hay
otros 3.
5, 6, 8, 9, 11, 15, 17, 19
Ahora la MEDIANA es la media aritmética entre el número 9 y el 11, o sea 10.
El símbolo que representa a la MEDIANA es el siguiente:
~
X
Geométricamente, la MEDIANA, es el valor de X, que corresponde a la recta que
divide un HISTOGRAMA en dos partes de igual área.
El siguiente ejemplo sirve para destacar ciertas cualidades de la MEDIANA frente a la
MEDIA ARITMÉTICA.
Cinco empleados de una Empresa, ganan $4.52, $5.96, $5.28, $11.2, y $5.75 la hora.
Hallar la MEDIANA, y la MEDIA ARITMÉTICA.
Lo primero que debemos hacer es ordenar los datos: 4.52, 5.28, 5.75, 5.96, 11.20
Por lo tanto, la MEDIANA es: 5.75
La MEDIA ARITMÉTICA es
6.54
Como puede apreciarse, la MEDIANA, no está afectada por el valor extremo 11.20,
tal como lo está la MEDIA ARITMÉTICA. El valor 6.54 esta fuertemente sesgado
(corrido) hacia la derecha por causa de un valor que no parece ser del grupo al cual
corresponden los otros cuatro datos. Esta cualidad hace que la MEDIANA sea muy útil
para el estudio de sueldos
Ejercicio:
En la tabla que sigue, se estudian los pesos de 40 unidades de un producto X, con la
precisión de 1 gramo. Construir la tabla de frecuencias, hallar la media aritmética, y
calcular la mediana por interpolación y por cálculo directo
138, 146, 168, 146, 161, 164, 158, 126, 173, 145, 150, 140, 138, 142, 135, 132, 147,
176, 147, 142, 144, 136, 163, 135, 150, 125, 148, 119, 153, 156, 149, 152, 154, 140,
145, 157, 144, 165, 135, 128
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Los pesos máximo y mínimo son: 176 y 119, el intervalo o rango es 57. Elegiremos un
ancho impar = 7. El diagrama de frecuencias resultante es:
Clases
118-124
125-131
132-138
139-145
146-152
153-159
160-166
167-173
174-180
Marca
clase
121
128
135
142
149
156
163
170
177
de Distribución
marcas
/
///
///// //
///// ///
///// ////
/////
////
//
/
de frecuencias
1
3
7
8
9
5
4
2
1
f=40
u
fu
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
- 4
- 9
-14
- 8
0
5
8
6
4
fu=-12
  fu
 12 
 c  149  
X  A  
 7  147
 40 
 f 
X  147
Calculo de la MEDIANA por el método de la interpolación.
f
118-124
sería el
125-131
132-138
139-145
146-152
153-159
tres
160-166
167-173
escala
174-180
0.8
___

Por lo tanto, para “llegar” al dato 20, que
121 /
1
128 ///
135 ///// //
142 ///// ///
149 ///// ////
156 /////
3
de la MEDIANA, necesitamos 1, que lo toma7 19 datos remos de la clase 149
8 __
9 _ _
5 
El cálculo interpolando, será por regla de
163 ////
170 //
4 12 datos
2
Si 9 datos, producen un salto de 7 en la
177 /
1 _ _
de las X, 1 producirá, proporcionalmente
Para hallar la MEDIANA sumaremos este valor hallado, 0,8 a la frontera de la clase
correspondiente, en éste caso, 145.5,
145.5 + 0.8 = 146.3
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El resultado del cálculo de la MEDIANA por interpolación es
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146.3
Por último, podríamos darnos la tarea de ordenar todos los datos, y encontrar el
valor 20 y 21 y hallar la media:
119, 125, 126, 128, 132, 135, .................., 145, 145, 146, 146, 147...........
1. 2, 3, 4,
5, 6, ................., 18, 19, 20, 21, 22..........
De acuerdo a la definición, la MEDIANA es la media entre los valores 20 y 21, esto es:
146
3.7 La Moda
Otro de los medidores de la tendencia central es la MODA.
La MODA el valor que más se repite, es decir el de mayor frecuencia. La MODA
puede no existir, e incluso, puede no ser única.

El símbolo de la moda es:
X
3.8 Relación empírica entre la Media Aritmética, la Mediana y la Moda.
Para curvas de frecuencias unimodales y que sean poco asimétricas, tenemos la
siguiente relación empírica:
MEDIA - MODA = 3 ( MEDIA -MEDIANA)
3.9 Media Geométrica.
La media geométrica G de un conjunto de números positivos, X1 , X2 , ..... , XN es la
raíz enésima del producto de todos esos números:
G  N X1. X2 . ... . XN
Ejercicio 1 : La media geométrica de 2, 4, y 8 es:
G  3 2.4.8  3 64  4
Ejercicio 2 : Hallar a) la media geométrica y b) la media aritmética de los números
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3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12
G  7 3x5 x6x6x7x10x12  7 453.600
logG 
1
(log453.600)  0.8081
7
G  6.4
X
1
3  5  6  6  7  10  12  7
7
Esto ilustra el hecho que la media geométrica de un conjunto de números positivos en
menor que la media aritmética
Ejercicio 3 : Los números X1,X2, ... XK ocurren con frecuencia f1, f2 ... fk
G  N X1X1...X1 X 2 X 2 ...X2 ... Xk Xk ...Xk 
f1veces
f2 veces
fk veces
G  N X1f1 X 2f2 ...Xkfk
logG 
1
1
log(X1f1 X 2f2 ...Xkfk )  f1logX1.f2logX2 ...fk logXk  
N
N
1
N
f .logX
 f logX   N
k
j
j
j1
3.10 Media armónica.
La MEDIA ARMÓNICA H, de un conjunto de números X1,X2, ... XN es el recíproco de
la media aritmética de los recíprocos de esos números.
1
H
1
N
N
X
j1

1
j
N
X
1
En la práctica es más fácil recordar que :
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1
1

H N

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1
X
Ejemplo: Una persona viaja de A a B con una velocidad media de 40 km. por hora y
regresa a 100 Km. por hora. La distancia entre A Y B es de 400 Km.
Entonces:
Tiempo para ir de A a B =
400 Km
 10 h
40 Km
h
Tiempo para ir de B a A =
400 Km
 4h
100 Km
h
Tiempo total : 14 hs.
Recorrido total = 800 Km.
Velocidad promedio:
800
Km
 57.14 hora
14
Este promedio es la media armónica de 40 y 100
1
H
1
N
N
X
j1

1
j
N

1
X

2
Km
 57.14 hora
1
1

40 100
Nótese que podríamos haber estado tentados a tomar la media aritmética de 40 y 100
= 70 km./h, lo cual es incorrecto.
Relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica
H  G 
X
3.11 Ejercicios en clase.
Mediante la utilización de urnas con datos de una población normal, se deberá
elaborar en clase el siguiente trabajo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Extracción de 40 datos con participación de todos los alumnos.
Elaboración de la distribución de frecuencias.
Histograma.
Cálculo de la media aritmética.
Cálculo de la moda.
Cálculo de la mediana por interpolación.
3.12 Ejercicios de Aplicación.
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico.
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Capítulo 3
Media Aritmética: 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.19, 3.23, 3.24, 3.55, 3.59, 3.60,
3.61.
Mediana: 3.28, 3.29.
Moda: 3.31
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Capitulo 4
4 Medidas de la dispersión de una distribución de datos.
4.1 Dispersión o Variación.
La dispersión o variación de los datos intenta dar una idea de cuán repartidos se
encuentran éstos.
Hay varias medidas de tal dispersión, siendo las más comunes el RANGO o
INTERVALO y la DESVIACION TIPICA.
Existen otros estimadores, pero están fuera del propósito de éste curso.
4.2 Rango o Intervalo
Es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de todos ellos.
Ejercicio:
Hallar el RANGO de los conjuntos :
Grupo 1: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5
Grupo 2: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Solución:
En primer lugar tendremos que ordenar los datos:
Grupo 1 : 3, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 18
Grupo 2 : 3, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 18
En ambos casos vemos que el resultado es 15, y observamos que el RANGO no tiene
la capacidad de informarnos sobre lo que sucede dentro del grupo, pues una rápida
inspección nos deja ver que el grupo 1 es mucho más disperso que el grupo 2. Esto
es una limitación a tener en cuenta en los estudios, sin embargo, el RANGO es el
medidor de dispersión más utilizado por la facilidad de cálculo.
En nuestro ejemplo, se puede mejorar la información, si decidimos eliminar, en ambos
grupos, los valores extremos, así, el RANGO sería 10 para el grupo 1 y 1 para el
grupo 2.
Como conclusión, podremos decir, que cuando hay valores muy extremos, el rango es
una pobre medida de la dispersión.
4.3 La Desviación Típica
La DESVIACIÓN TÍPICA es el medidor de la dispersión más importante.
DEFINICIÓN: La DESVIACIÓN TÍPICA de un conjunto de N números: X1, X2, ...XN
se denota por  y se define por:
 X

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j 1

2
N
j
X
N
 X  X 
2

N
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Si X1, X2, ...,Xk se repiten con frecuencias f1, f2, ..., fk, la desviación típica se expresa
como:
 f X
k
j
σ
j
X

2
j1
f
2

k
 f X  X 
N
pues f=N
j
j1
Sobre el tamaño de N:
Hay un aspecto importante con respecto al tamaño de N. Si N es 30 o menor a 30, el
cociente en la fórmula, deberá ser N – 1. La demostración de esta conveniencia no
entra en los alcances de este curso, pero debe considerarse que la respuesta es
mejor cuando se divide por N – 1. Esta consideración es extensiva a todos los
desarrollos de fórmulas que veremos a continuación.
Ahora es necesario analizar un aspecto de las denominaciones. Existe en la
bibliografía diversos criterios para la denominación de la desviación típica y de la
media aritmética.
Población y Muestra, Estadísticos y Parámetros.
El alumno tiene que tener muy claro a esta altura del desarrollo de la materia, los
conceptos de UNIVERSO O POBLACION y de MUESTRA.
El UNIVERSO O POBLACION son todos los individuos que lo componen, por
ejemplo, todos los estudiantes del país del INACAP o la producción de clavos de todo
un día.
MUESTRA es una cantidad estadísticamente seleccionada y tomada al azar que
representa al UNIVERSO O POBLACION.
A partir de ahora nosotros llamaremos al total de datos POBLACION.
Las diferentes denominaciones que utilizaremos son las siguientes, el alumno
deberá estar atento a los cambios de la denominación , según lo que se esté
tratando. En general, la letras griegas corresponde a la población, y las letras
latinas a las muestras, usando siempre, las letras griegas para los desarrollos
de fórmulas.
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La MEDIA ARITMETICA de la POBLACION
se denomina con el signo griego:

La MEDIA ARITMETICA de la MUESTRA se
X
denomina con el signo:
La CANTIDAD DE DATOS DEL UNIVERSO
se denomina con la letra:
N
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La DESVIACION TIPICA de la POBLACION se
denomina con el signo griego:

La DESVIACION TIPICA de la MUESTRA se
denomina con el signo:
S
La CANTIDAD DE DATOS DE LA MUESTRA
se denomina con la letra:
n
Por otra parte, llamaremos Estadísticos a los medidores de la muestra, es decir a la
Media Aritmética y la Desviación Típica de la Muestra: X y S, y llamaremos
Parámetros a los medidores que describen la Población entera:  y 
Ejercicios de comprensión:
Hallar la S para los siguientes conjuntos de números:
a)
3, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 18
a)
X
 X  76  9.5
N
8
 X
 9.5
8
a)
S
b)
j1
3, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 18
X
b)
j
8 1
 X
2
8
2
 5.2
b)
S
j1
72
9
8
j
 9.0 
8 1
 4.1
Como se puede apreciar, la DESVIACION TIPICA
da un valor significativamente
inferior para b) respecto de a), lo cual indica que los datos están menos dispersos en
este último grupo, cosa que pudimos apreciar observando directamente los datos. Por
esta razón la DESVIACION TIPICA es un excelente medidor de la dispersión de los
valores alrededor del dato central, usualmente, la MEDIA ARITMETICA.
Nótese que por ser una muestra de 8 unidades se ha utilizado para denominar la
desviación típica la letra S en lugar de .
Ejercicio:
Hallar la DESVIACION TIPICA de las alturas de los 100 estudiantes.
La MEDIA ARITMETICA calculada en el capítulo anterior fue de 1.74 mts.
La siguiente tabla contiene la información para hacer los cálculos:
X
F
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(X-1.74) (X-1.74)2
f(X-1.74)2
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05
18
42
27
8
f=100
1.55
1.64
1.73
1.82
1.91
-0.19
-0.10
-0.01
+0.08
+0.17
 f X  X
2
S
n

0.04
0.01
0.00
0.01
0.03
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0.18
0.18
0.00
0.17
0.23
f(X-X)2=0.77
0.77
 0.09
100
4.4 Desarrollo de tres fórmulas para el cálculo de la Desviación Típica
Las fórmulas vistas en la definición no son prácticas para el cálculo, por lo cual
haremos ciertas transformaciones, con la finalidad de que los cálculos sean
minimizados.
Desarrollo fórmula 1, Método Largo
El primer desarrollo es simplemente otra forma de escribir la misma fórmula de la
definición:
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

2
 f (X  X )

2
N
 f (X  X )
2
elevando al cuadrado
N
 f X

 fX
2
 2XX  X 2
N
   fX
2
N
2
N
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 2XX  X
2
 fX

N
2

2X  fX
N
  fX 

 

 N 
 fX

2
N

2
Sacando ahora la raiz cuadrada obtenemos la fórmula 1
 fX
2
=
N
  fX 

 

 N 
2
Aplicaremos ésta fórmula a nuestro ejercicio de comparación de métodos:
Marca
clase
1.55
1.64
1.73
1.86
1.95
de f
05
18
42
27
08
f=100
S
X2
fX2
2.40
2.69
2.99
3.31
3.65
12.01
48.41
125.7
89.43
29.18
fX2=304.75
304.75
2
 17435
.
 0.09
100
Desarrollo Fórmula 2, Método Corto.
Volvemos a utilizar los mismos conceptos desarrollados para el mismo cálculo en la
MEDIA ARITMÉTICA.
Siendo A la media conjeturada y d la desviación de Xj respecto de A, será:
d=X-A
por lo tanto
X = A+d
Este resultado se reemplaza en la fórmula:
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X
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 X   A  d   A   d  A  d
N
N
N
N
entonces : X  X  A  d  A  d   d  d 
y reemplazando :
 f X - X
 f d  d 
2
σ=
2

N
N
Ahora bien, con ésta segunda fórmula podemos hacer el mismo desarrollo que
hicimos con la primera y el resultado será el mismo, por lo tanto la fórmula 2 es
f d
2
σ
N


f d

 N 


2
Apliquemos ahora esta fórmula al ejercicio de las alturas de los alumnos:
X
1.55
1.64
1.73 ==> A
1.82
1.91
f
05
18
42
27
08
f=100
fd
2
S
n
d=X-A
-0.18
-0.09
+0.00
+0.09
+0.18
fd
-0.90
-1.62
+0.00
+2.43
+1.44
fd = 1.35
fd2
0.16
0.15
0.00
0.22
0.26
fd2 = 0.79
2
  fd 
0.79  1.35
 
 

  0.09

100  100 
 n 
2
Desarrollo Fórmula 3, Método de Compilación:
En el cuadro de desarrollo de la fórmula 2, podemos observar en la columna del
medio, que la columna de 5 números tienen un factor común que es 0.09 pues:
-0.18 = -2 * 0.09, -0.9 = -1 * 0.09, +0.00 = 0.0 * 0.09, +0.09 = +1 * 0.09,
+0.18 =+2 * 0.09
Este valor 0.09 es precisamente el ancho de clase = c por lo tanto la variable d la
podemos reemplazar por otra variable llamada u :
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d=c*u
Esta variable u toma los valores : ...-2, -1, 0, +1 , +2, ... etc.
Si reemplazamos d en las fórmulas anteriores
f d
2
σ
N

2

f d


 N 


 f cu
2
N




 f cu 
N


2
f u
2
c*
N


f u

 N 


2
Por lo tanto la fórmula final será:
f u
2
σ c*
N


f u

 N 


2
Esta última fórmula es la llamada FÓRMULA DE COMPILACIÓN
Aplicaremos esta fórmula al ejercicio de las alturas de los estudiantes:
X
1.55
1.64
1.73
1.82
1.91
f
05
18
42
27
08
f = 100
u
-2
-1
+0
+1
+2
fu
-10.00
-18.00
+00.00
+27.00
+16.00
fu = 15
fu2
20.00
18.00
00.00
27.00
32.00
fu2 = 97
Apliquemos estos resultados a la fórmula 3:
f u
2
SC*
n




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 f u
n


2
2
 0.09 *
97  15 

  0.09
100  100 
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4.5 Propiedades de la Desviación Típica
Propiedad nº 1
La desviación típica puede generalizarse como:
 f X  a
2
σ
N
Donde a es un promedio distinto de la MEDIA ARITMÉTICA. De tales desviaciones
típicas, la mínima es aquella donde a = MEDIA ARITMÉTICA
Propiedad nº 2
Es la más importante de las propiedades de la desviación típica.
Para distribuciones normales, es decir, perfectamente simétricas, resulta que entre
los extremos de la distribución:
MEDIA ARITMÉTICA
CURVA NORMAL.

1  = CONTIENE EL 68.27 % DEL AREA BAJO LA
MEDIA ARITMÉTICA
CURVA NORMAL.

2  = CONTIENE EL 95.45 % DEL AREA BAJO LA
MEDIA ARITMÉTICA
CURVA NORMAL.

3  = CONTIENE EL 99.73 % DEL AREA BAJO LA
Geométricamente, en una distribución normal, la distancia entre el punto de inflexión
de la curva, y la perpendicular al eje de las absisas, en el valor correspondiente a la
Media Aritmética, es la DESVIACIÓN TÍPICA de dicha población.
Mas adelante, cuando se estudie la distribución gaussiana se insistirá en este
concepto.
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4.6 Varianza
La VARIANZA es otro medidor de la dispersión ligado, en este caso, a la Desviación
Típica.
La VARIANZA es el cuadrado de la DESVIACIÓN TÍPICA
Este medidor de la dispersión es muy importante y se utiliza para ciertos Analisis de
Varianza que pertenecen al campo de la Estadística Aplicada.
4.7 La Desviación Media
La Desviación Media o desviación promedio, de un conjunto de números X1, X2,
...,Xk es abreviada por MD y se define como :
N
X
j 1
Desviación Media: DM 
j
X
N

 X X
N
 X X
Ejemplo:
Hallar la Desviación Media del conjunto :
2, 3, 6, 8,11
Media Aritmética: 6
DM 
2  6  3  6  6  6  8  6  11  6
5
 2.8
Si X1, X2, ...,Xk se repiten con frecuencia f1, f2, ..., fk,
Entonces la DM, se puede escribir como:
k
f X
j
DM 
j
X
j 1
N

fX X
N
 X X
k
Donde:
f  f  N
j 1
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Ejercicio:
Hallar la DM del conjunto a) 3, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 18.
b) 3, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 18.
Solución:
a) La media aritmética es 9.5
DM 
 X X
N

34
 4.25
8

18
 2.25
8
b) La media aritmética es 9.0
DM 
 X X
N
La DM indica que b) tiene menor dispersión que a)
Ejercicio:
Hallar la DM de las alturas de los 100 estudiantes de la Universidad XYZ.
La Media Aritmética ya calculada era 1.74
Altura = X
1.55
1.64
1.73
1.82
1.91
DM 
frecuencia
5
18
42
27
8
f=N=100
f X  X
N

X-1.74
0.19
0.10
0.01
0.08
0.17
fX-1.74
0.95
1.80
0.42
2.16
1.36
=6.69
6.69
 0.07
100
Recordemos que el valor de la Desviación Típica fue 0.09
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Como ejercicio adicional determinaremos el porcentaje de estudiantes que miden
entre:
a) Media aritmética  1DM
b) Media aritmética  2DM
c) Media aritmética  3DM
Solución: en primer lugar recordemos del Capítulo 2:
Limite inferior
1.51
1.60
1.69
1.78
1.87
Limite Superior
1.59
1.68
1.77
1.86
1.95
Frontera
1.595
1.685
1.775
1.865
1.955
Marca de clase
1.55
1.64
1.73
1.82
1.91
Ancho de clase : 0.09
50
42
1.67
1.81
Frecuencias
40
27
30
18
20
10
8
5
0
1,55
1,64
1,73
1,685
1,82
1,91
1,775
a) 1.74+ 0.07 = 1.81 y 1.74 - 0.07 = 1.67
Es decir nos interesa saber cuantos alumnos se encuentran dentro del intervalo de
1.67 a 1.81 mts.
Este intervalo incluye a todos los integrantes de la tercera clase, los 42, más,
(1.67- 1.685) / 0.09 de los de la segunda, más,
(1.81- 1.775) / 0.09 de los de la segunda, más,
O sea, el número de estudiantes, en el intervalo: Media aritmética  1DM, es :
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42 + (0.015/0.09)x18 + (0.035/0.09)x 27= 42 + 3 + 10.5 = 55.5
Es decir que entre más 1DM y menos 1DM se encuentran el 55.5 % de los
estudiantes.
Con el mismo criterio se procederá con el resto de los intervalos:
b) Media aritmética  2DM = 1.74  2 x 0.07
Esto es de 1.60 a 1.88, los cálculos serán ahora, los siguientes.
42 y 27 entran todos, más
(1.685-1.60) / 0.09 de la segunda, más
(1.88 - 1.865) / 0.09 de la quinta clase, o sea:
42 + 27 + (0.015/0.09)x18 + (0.035/0.09)x 8= 42 + 27 + 17 + 1.3 = 87.3
Es decir que entre más 2DM y menos 2DM se encuentran el 87.3 % de los
estudiantes.
b) Media aritmética  3DM = 1.74  3 x 0.07
Esto es de 1.53 a 1.95, los cálculos serán ahora, los siguientes.
(1.595-1.53) / 0.09 de la segunda, más
(1.95 - 1.865) / 0.09 de la quinta clase, osea:
42 + 27 + 18 + (0.0722/0.09)x 5 + (0.085/0.09)x 8= 42 + 27 + 18 + 4 + 7.6 = 98.6
Es decir que entre más 3DM y menos 3DM se encuentran el 98.6 % de los
estudiantes.
4.8 Ejercicios en clase.
Utilizando la distribución de frecuencias del ejercicio de clase que se realizó para el
capítulo 3, se deberá calcular:
a)
b)
c)
d)
el Rango o Intervalo.
La Desviación Típica.
La Varianza.
La Desviación Media.
4.8 Ejercicios de Aplicación.
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El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico.
Desviación Típica: 4.18, 4.19, 4.40, 4.41.
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Capítulo 5
5
CUANTILOS
5.1 DEFINICIÓN:
Los cuantilos son una familia de Estimadores Estadísticos que se utilizan
indistintamente tanto para estimar la tendencia central de una distribución como para
calcular valores que nos informe acerca de la dispersión que estos presentan y poder
compararlos entre distribuciones.
Si bien por la importancia de la MEDIANA se la toma fuera de la familia de los
cuantilos, en rigor ésta es el primer cuantilo. Es decir, es el valor que, habiendo
ordenado la serie de datos, se encuentra exactamente en el medio de la fila.
Con el mismo criterio podremos encontrar los valores que dividen serie en 4 partes
iguales, es decir, si tenemos una serie de 100 datos, ordenados de menor a mayor,
los datos números 25, 50 y 75 dividen la lista en 4 partes iguales.
Por ésta razón, estos cuantilos se denominan : CUARTILOS
Si la serie no fuera de 100 datos, fuera por ejemplo de 180, los datos buscados serian
el 45, el 90 y el 135. Es decir aquel valor que separe el 25%, el 50% y el 75%.
Con el mismo criterio, existen los DECILES, que dividen la serie en 10 partes y los
PERCENTILES, que dividen la serie en 100 partes iguales.
Los QUARTILOS son tres, Q1, Q2 Y Q3
Los DECILES son 9, D1, D2, ... , D9
Los PERCENTILES son 99, P1, P2, ..., P99.
Nótese que la MEDIANA es igual a Q2 = D5 = P50
5.2 MEDIDORES DE LA TENDENCIA CENTRAL
Una buena propiedad de los cuantiles es que no están afectados por los valores
extremos o de borde, los cuales a veces reflejan anomalías o valores que se apartan
de la distribución por causas específicas. Los cuantilos utilizan valores que están
adentro de la distribución y por lo tanto son valores normales.
Para medir la tendencia central comenzamos por definir los estimadores del
PROMEDIO o valor central de la distribución:
PROMEDIO CUARTÍLICO = (Q3 + Q1)/2
PROMEDIO PERCENTÍLICO, 10 - 90 = (P90+P10)/2
Nótese con mucha atención que estos valores, no tienen por que coincidir con la
MEDIANA = Q2 = D5 = P50, esto sucede, únicamente si la distribución es simétrica
, solo así, coincidirán todos los estimadores de la tendencia central. Más adelante, al
estudiar las distribuciones Gaussianas comprenderemos mejor éste asunto. En
general, las distribuciones reales, no son perfectas, por lo tanto, cada uno de los
estimadores, darán valores parecidos pero no iguales. El estudioso estadístico,
determina, cual de los valores se ajusta mejor a los fines que persigue.
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5.3 MEDIDORES DE LA DISPERSIÓN
Como puede comprenderse, por la cantidad de valores que podríamos seleccionar,
sería posible determinar una gran lista de posibles estimadores, los cuatro que se
mencionan a continuación son los más comunes.
INTERVALO CUARTÍLICO:
INTERVALO PERCENTIL 10,90 :
INTERVALO SEMI INTERCUARTÍLICO :
INTERVALO SEMI PERCENTÍL 10,90 :
Q3 - Q1
C90 - C10
(Q3 - Q1)/2
(C90 - C10)/2
En el siguiente ejemplo, se ilustra la utilización de los distintos estimadores.
Los siguientes datos, 99 en total están ordenados de menor a mayor :
#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
dato
18
19
19
21
21
21
23
24
25
26
26
29
30
31
31
32
32
33
33
33
#
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
dato
33
33
34
35
35
35
35
35
35
36
36
38
38
39
39
39
39
40
40
41
#
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
dato
42
43
44
45
46
49
50
55
55
56
57
59
60
60
60
65
65
67
67
68
#
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
dato
70
70
71
73
73
74
75
75
76
78
80
83
83
86
89
92
92
93
95
99
#
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
dato
100
102
105
105
106
108
110
111
112
113
115
118
119
120
122
122
123
124
125
En esta tabla, que representa una población de 99 datos, identificaremos primero,
cada uno de los valores a ser usados en los cálculos:
CUARTILOS: Q1 = 35, Q2 = 56, Q3 = 89
MEDIANA = Q2 = D5 = P50 = 56
PERCENTIL 10 = 26, PERCENTIL 90 = 113
Nótese que el estudio se realizó sobre 99 datos y no sobre 100, pues con 99 se logra
la simetría perfecta para cada uno de los cuantilos. Por ejemplo, la Mediana tiene 49
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datos a cada lado del dato 50,
posteriores, etc.
Q1
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tiene 24 datos anteriores, y Q3 24 datos
5.4 PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO
Estimación de los valores centrales:
MEDIA ARITMÉTICA :
MEDIANA:
PROMEDIO CUARTÍLICO:
PROMEDIO PERCENTÍLICO 90,10:
X/99:
(Q3+Q1)/2: (89+35)/2:
(P90+P10)/2 : (113+26)/2:
62
56
62
69.5
Estimación de la dispersión de los valores:
DESVIACIÓN TÍPICA: (a partir de la fla. gral. con calculadora):
INTERVALO SEMI INTERCUARTÍLICO:
(Q3-Q1)/2: (89-35)/2:
INTERVALO PERCENTÍLICO 90,10:
(P90-P10)/2: (113-26)/2:
32.3
27.0
43.5
Como puede observarse, los resultados son bien diferentes, esto se debe a varios
factores, en primer lugar, la distribución de los datos seleccionados, no son simétricos
ni se parecen a una distribución Normal o Gaussiana. Si bien aún no hemos estudiado
el tema de la distribución NORMAL o Gaussiana, el alumno ya puede formarse una
idea de que esta importante distribución es de forma de campana, y tiende a ser
simétrica.
La distribución que hemos utilizado no lo es, y eso asegura que los distintos
estimadores estadísticos difieran entre si. La pregunta es entonces: ¿para que sirven?
La respuesta es: para comparar, es decir, podemos comparar sucesivas
distribuciones entre sí, y ver si se dispersan más o menos que la anterior y si los
valores centrales se acercan a lo que se especifica. ¿Cual usar?, el que a criterio del
analista responda mejor a los objetivos que se buscan. Lo importante es que una vez
determinado cual será el estadístico a utilizar, seamos coherentes y utilicemos para
comparar siempre el mismo estadístico.
5.5 Procedimiento de cálculo para datos agrupados.
Cuando la cantidad de datos es grande, y estos se encuentran agrupados en
CLASES, el cálculo de los distintos estimadores debe realizarse por el método de la
interpolación. Para estudiarlo volveremos a nuestro ejemplo de las alturas de los 100
estudiantes.
La tabla de distribución es la siguiente:
Fronteras de Límites de Marca de frecuencia
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Ojiva
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clase nº 1
clase nº 2
clase nº 3
clase nº 4
clase nº 5
clases
1.505
1.595
1.685
1.775
1.865
clases
1.51-1.59
1.60-1.68
1.69-1.77
1.78-1.86
1.87-1.95
clase
1.55
1.64
1.73
1.82
1.91
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de clases
5
18
42
27
8
f=100
05
23
65
92
100
Supongamos que nos interesa buscar el valor de Q1, esto es el valor 25
De acuerdo con la ojiva, el valor 25 se encuentra en la clase nº 3, en esta clase hay
42 datos, pero solo necesitamos 2 para llegar a 25. El razonamiento por interpolación
es el siguiente:
42 valores que están en la clase nº 3, producen un cambio en el ordenamiento de
dimensión 0.09, es decir el ancho de clase., proporcionalmente, 2, que son los que
necesito, produciran,:0.004
Este valor es la alícuota que debe sumarse, ¿a quién? a la frontera de clase: 1.685,
por lo cual el valor buscado es 1,689, y aproximando, 1,69.
Resultado, Q1 = 1,69
De igual forma., podemos calcular Q3 y con ambos saber cuanto es el intervalo y el
promedio INTERCUARTÍLICO.
Por último y para dejar el tema completo, calcularemos otro dato, en éste caso, el
valor del percentilo 90, es decir P90.
De acuerdo a la ojiva, el valor 90, está en la clase 4, el razonamiento, igual al anterior
será:
27 datos producen un incremento en las X de 0.09, por lo tanto, 25 serán :
(25*0.09)/27=0.083
Este valor lo sumamos a la frontera de clase 1.775, con lo cual obtenemos : 1.858 y
aproximando a los valores significativos da 1.86
Resultado P90 = 1.86
Se sugiere al alumno, calcular P10 y con ambos valores calcular el intervalo semi
percentílico y el promedio correspondiente.
5.6 Obtención de los valores correspondientes cuando el numero de datos es
distinto de 100:
Por razones pedagógicas, se ha utilizado una distribución de 100 datos para hacer
estos cálculos, pero el alumno debe saber encontrar cualquier dato en una distribución
dada. Daremos dos ejemplos:
Ejemplo uno:
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Distribución de 80 datos, el valor de Q1 será el dato 20, es decir, 80 * 0.25
el valor de P90 será el 72, es decir 80 * 0.90
Ejemplo dos
Distribución de 120 datos, Q1 será el valor 30, (120 * 0.25)
el valor de P90, será el 108, ( 120 * 0.90)
5.7 Ejercicios en clase:
Utilizando la distribución de frecuencias determinada en clase para el cálculo de la
media aritmética y la desviación típica (Capítulos 3 y 4), el alumno deberá calcular la
mediana, los tres cuartilos, el promedio y el intervalo semiintercuartílico.
Posteriormente se deberá realizar una tabla donde se ingresen todos los medidores
de tendencia central y de dispersión para compararlos y discutir sobre ellos.
5.8 Ejercicios de Aplicación.
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico.
Capítulos 3 y 4:
Cuantílos: 3.44, 3.107, 3.108, 4.6, 4.7, 4.8, 4.48, 4.52.
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Capítulo 6
6 Teoría elemental de Probabilidades
6.1 Definición de Probabilidad
6.1.1 Definición Clásica:
Supongamos que un suceso tiene h posibilidades de ocurrir entre n posibilidades,
cada una de las cuales tiene la misma oportunidad de ocurrir que las demás.
Entonces, la probabilidad de que ocurra E (éxito), se describe como:
p  Pr E 
h
n
La probabilidad de que no ocurra E, es decir, la probabilidad de Fracaso, se escribe
como:
q  PrnoE 
n h
h
 1   1  p  1  PrE pues p + q = 1
n
n
6.1.2 Definición como frecuencia relativa:
La definición clásica de probabilidad tiene el cuestionamiento de que la palabra
“misma oportunidad” aparecen como sinónimas de “equiprobables” lo cual produce un
círculo vicioso.
Por esta razón, algunos autores defienden una definición estadística de probabilidad.
Para ellos, la probabilidad estimada o probabilidad empírica, de un suceso, se define
como la frecuencia relativa de ocurrencia del suceso cuando el número de
observaciones es muy grande. La probabilidad misma es el límite de esa frecuencia
relativa cuando el número de observaciones crece indefinidamente.
El siguiente ejemplo servirá para aclarar el concepto:
Si en una serie de 1000 tiradas de una moneda salen 529 caras, la frecuencia relativa
es de 529/1000 = 0,529.
Si en otras 1000 veces, salen 493, la frecuencia relativa acumulada será:
(529+493)/2000=0.511.
Si continuamos indefinidamente con éste método, el límite será 0,50000.....
6.2 Concepto de Probabilidad.
El siguiente gráfico ilustra progresivamente, el concepto de la probabilidad, desde un
suceso con imposibilidad absoluta hasta un suceso con certeza absoluta.
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Certeza absoluta
100%
95%
90%
85%
80%
75%
70%
65%
60%
55%
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
05%
00%
100%
Que un hombre muera algún día
83.3% Que salga “no cuatro” al arrojar un dado normal. (5 en 6)
70%
No figura en cartas españolas (28 en 40)
50%
Cara al arrojar una moneda ( 1 en 2)
32.4% Primera docena en la ruleta (12 en 37)
7.7% K en un mazo de pocker (4 en 52)
0.0% que salga un 7 al arrojar un dado normal.
Imposibilidad absoluta
Como podemos ver, las probabilidades resultan del cociente:
P
Casos favorables
Total de casos
El suceso buscado, puede ser de afirmación o de negación, (“que no salga figura”).
La probabilidad se puede expresar como fracción decimal o porcentual:
P
12
 0.324
37
ó también 32.4%
De la definición de probabilidad se deduce que :
0
ó
 P 
1
0  P  100
El alumno, tiene necesariamente que comprender en éste punto, que la expresión de
las probabilidades, no puede ser mayor que uno (100%) ni menor que cero(0%)
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6.3 Regla de la adición de probabilidades
Consideremos el siguiente ejemplo:
Calcular la probabilidad de que quede el 4 ó el 5 en la cara superior de un dado
normal arrojado libremente.
Es evidente que si al arrojar un dado sale un cuatro, no podría salir el 5 y viceversa.
Es decir, estos sucesos son excluyentes entre sí, son EXCLUYENTES entre si, se
eliminan uno a otro. Si ocurre un suceso, no puede ocurrir el otro.
Para estos casos, se aplica la regla de la adición de las probabilidades que dice:
La probabilidad de que ocurra un suceso compuesto de dos o más sucesos que
se excluyen entre si, es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de
estos sucesos.
En todos estos casos el enunciado del problema pide la probabilidad de un suceso
compuesto de uno ó de otro. Es decir, 4 ó 5 en nuestro ejemplo.
Por esta razón se conoce ésta regla como la REGLA O .
Resolviendo nuestro problema tenemos:
1
 0.167
6
1
P5   0.167
6
__________
____
1
P4 ó 5   0.333
3
P4 
Observemos que en estos casos, (sucesos EXCLUYENTES) la probabilidad total es
mayor, o a lo sumo igual, que la mayor probabilidad de los sucesos intervinientes, es
decir:
Pt  Pi
6.4 Regla del producto de las probabilidades.
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Se arrojan dos dados normales, uno rojo y otro azul.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 en el rojo y 5 en el azul?
Observar que esta situación es distinta que la anterior, si sale un 4 en el dado rojo
nada impide que salga el 5 en el azul.
Estos son acontecimientos NO EXCLUYENTES entre sí, no se eliminan el uno al
otro.
La regla es del producto y dice:
La probabilidad de que ocurra un suceso compuesto de dos o más eventos, que
no se excluyen entre si, es igual al producto de las probabilidades que tiene
cada uno de esos sucesos.
Nuestro problema pide la probabilidad de un suceso compuesto de uno y otro, es
decir, 4 y 5 , por esta razón la llamaremos regla y
1
 0.167
6
1
P5   0.167
6
__________
_____
1 1 1
P4 y 5  * 
6 6 36
P4 
Del ejemplo precedente, se ve que la probabilidad total, en estos casos, esa menor
que la menor probabilidad de los sucesos intervinientes.
Es decir:
Pt  Pi
El alumno deberá notar que las probabilidades en la segunda regla son menores que
en la primera regla, la circunstancia de que la regla de multiplicar, intuitivamente
generadora de valores mayores que la suma, se explica por la circunstancia de que la
multiplicación se efectúa con números decimales, y esto arroja siempre un valor más
pequeño, ejemplo:
0.2 * 0.3 = 0.06
donde 0.06 es, pese a la multiplicación, menor que 0.2 y 0.3.
6.5 Aplicación de ambas reglas
Se arrojan dos dados, calcular la probabilidad de que se obtenga un 4 y un 5.
Este problema parece el mismo que el anterior pero no es así. el 4 ó el 5 puede salir
en cualquiera de los dados. Supongamos que un dado es rojo y el otro azul.
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Podemos obtener 4 en el rojo y 5 en el azul. o bien 5 en el rojo y 4 en el azul. en
ambos casos satisfacemos lo que el enunciado pide.
Si sale 4 en el rojo (suceso simple), nada impide que salga el 5 en el azul. Entonces
corresponde el producto de las probabilidades.
Lo mismo ocurre para el 4 en el azul y el 5 en el rojo.
Pero, si sale 4 en el rojo y 5 en el azul(suceso compuesto) no puede salir el 5 en el
rojo y el 4 en el azul. Por lo tanto corresponde la suma de las probabilidades de cada
uno de estos sucesos compuestos.
1
 0.167
6
1
P5   0.167
6
1 1 1
P4 y 5  * 
 0.0278
6 6 36
1 1 1
P5 y 4  * 
 0.0278
6 6 36
P4 
P tot al P 4 y5  P5y4  0.0278 0.0278 0.0556
Veamos otro ejemplo:
Se arrojan dos dados normales.
Calcular la probabilidad de obtener 9 como suma de las caras superiores.
En este caso, el problema se satisface con 4 alternativas:
que salga 3 y 6 ó 4 y 5 ó 6 y 3 ó 5 y 4
Ptotal = P3y6 + P4y5 + P6y3 + P5y4
Cada término de la suma vale 1/36= 1/6 * 1/6
Ptotal= 4 * 1/36 = 1/9
6.6 Probabilidades con y sin reposición
Cuando un elemento es extraído de una Población, y tenemos que volver a sacar
otro elemento, se nos presentan dos posibilidades. La primera es reponer a la
Población el primer elemento retirado, con lo cual la Población queda como al
principio, es decir que la segunda extracción tendrá la misma probabilidad de
extracción que el primero.
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La segunda alternativa, que es la más frecuente, es que no se reponga la primera
unidad extraída, con lo cual la probabilidad para la segunda extracción habrá
cambiado.
Para aclarar el tema desarrollemos un suceso muy simple, supongamos que tenemos
una Población de 10 especimenes, y que tenemos que extraer dos unidades, la
probabilidad de la primera extracción es de 1/10=0.1000, ahora bien, la segunda
extracción tendrá distinta probabilidad según lo que hagamos con el primer
espécimen, si lo volvemos a la población, la probabilidad volverá a ser de 1/10, pero si
no lo volvemos, la población es ahora de 9 especimenes, por lo tanto, la probabilidad
de la segunda extracción será 1/9= 0.1111
Veamos otro ejemplo, Calcular la probabilidad de hallar una pieza defectuosa y otra
buena si se toman dos piezas de un lote de 20 piezas cuya fracción defectuosa es del
5%.
Esto quiere decir que 19 piezas son buenas y una es mala.
Con reposición:
P(buena) = 19/20 = 0.95
P(mala)
= 1/20 = 0.05
Por lo tanto la probabilidad de que la primera sea buena y la segunda mala es:
0.95 * 0.05 = 0.0475
Pero, otro resultado posible, y que también satisface el enunciado del problema es
que la primera sea mala y la segunda buena, el resultado será el mismo:
0.05 * 0.95 = 0.0475
Y el resultado final será:
0.0475+0.0475 = 0.0950 = 9.5%
Sin reposición
Los sucesos posibles son, a)buena - defectuosa y b) defectuosa - buena
Para a) sin reponer la pieza extraída:
19 1
*
 0.05
20 19
1 19
Pb 
*
 0.05
20 19
Pa 
Ptotal  Pa  Pb  0.05  0.05  0.10
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Como se ve ambos resultados son distintos.
En la práctica, lo más frecuente es que las extracciones sean sin reposición, pero
también sucede que las poblaciones son cantidades grandes, y cuando así sucede, la
modificación que se produce en la población por sucesivas extracciones no son
significativas para el cálculo de probabilidades.
6.7 Probabilidad de las causas, Fórmula de Bayes - Laplace
Probabilidad de las causas
Para comprender éste tipo de problemas, recurriremos a la idea de trabajar con urnas.
Supongamos 4 urnas A con 7 bolillas blancas y 3 rojas, en cada una, y 6 urnas
B con 2 bolillas blancas y 8 rojas en cada una
Se escoge una urna al azar y de la misma se extrae una bolilla, también al azar,
obteniendo una bolilla blanca, es decir que el suceso b se ha producido.
¿Cuál es la probabilidad de que la urna escogida sea de la familia de urnas A ?
Antes de que se sacase una bolilla y se conociera su color, la probabilidad de ser
elegida una urna
A ó B , estaba perfectamente definida, (1/4 y 1/6), pero el conocimiento de la bolilla
extraída, altera esa probabilidad.
Como el suceso se ha producido, la probabilidad es a “posteriori”,. es decir, buscamos
la probabilidad a “ posteriori “ de la causa A o de la causa B , sabiendo que el
suceso b se ha producido.
Para resolverlo se aplica la fórmula de Bayes - Laplace
P blA  
Wi pi
Wi pi
Donde:
P blA 
es la probabilidad a ” posteriori” de la causa A.
Wi es la probabilidad a “priori” de la causa A
pi es la probabilidad de que actuando la causa A el suceso se verifique.
 Wi pi es la sumatoria de los productos análogos posibles.
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De acuerdo a esto tenemos :
Wi = 4/10, probabilidad de la urna
pi = 7/10 , probabilidad de extraer una blanca en A
Por lo tanto la probabilidad de que la urna sea del grupo A , si la bolilla es blanca:
PblA  
4 7
.
Wi pi
28
 4 7 10 10 6 2 
 0.70
Wi pi 10 . 10   10 . 10  40
y también podemos calcular el complementario:
PblB  
6 2
.
Wi pi
12
 4 7 10 10 6 2 
 0.30
Wi pi 10 . 10   10 . 10  40
Como es de esperar la suma de ambos resultados deberá ser necesariamente igual a
uno.
Ejercicios de comprensión:
Los siguientes problemas se les sugieren resolver al alumno. Los resultados están al
terminar el enunciado.
Problema 1:
Se tiene un grupo M formado por 4 urnas, con 4 bolillas rojas y 2 azules cada una.
Otro grupo N, formado por 6 urnas conteniendo cada una 3 bolillas rojas y 5 azules.
Se selecciona una urna al azar del grupo de diez y de ella se extrae una bolilla,
también al azar, resultando roja.
¿Cual es la probabilidad de que la urna seleccionada provenga del grupo N ?
Respuesta: 45.80%
Problema 2 :
Supongamos que una caja contiene bolillas blancas y rojas marcadas con P; Q; ó R
como sigue:
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Marcadas con P: 5 blancas y 3 rojas,
Marcadas con Q: 4 blancas y 4 rojas,
Marcadas con R: 1 blanca y 7 rojas.
Se extrae una bolilla al azar y resulta blanca, ¿Cual es la probabilidad de que la bolilla
blanca seleccionada esté marcada con la letra P? Cuál con la letra Q? ¿y con la letra
R?
Respuesta: 50,0%, 40,0% y 10,0% respectivamente.
6.8 Ejercicios de aplicación.
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico.
Capítulo 6:
Probabilidades: 6.3, 6.5, 6.6, 6.8, 6.33, 6.42, 6.43, 6.44, 6.45, 6.46, 6.47, 6.50, 6.51,
6.90.
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Capítulo 7
7. Análisis Combinatorio y Probabilidades
7.1 Principio fundamental del análisis combinatorio.
El análisis combinatorio nos provee una herramienta muy importante para el cálculo
de probabilidades complejas y que no podríamos valorizar con los métodos que
hemos aprendido hasta ahora. Este cálculo matemático se unirá a lo visto en el
capítulo anterior para desarrollar lo que llamaremos distribución binomial en el
próximo capítulo
El principio fundamental dice:
Si un suceso puede ocurrir de n1 maneras y si cuando éste ha ocurrido, otro
suceso puede ocurrir de n2 maneras, entonces el número de maneras en que
ambos pueden ocurrir en el orden especificado es:
n1 * n2
Ejemplo: Si hay 3 candidatos para gobernador y 5 para alcalde, los dos cargos se
pueden ocupar de 3 * 5 = 15 formas.
7.2 Factorial de n.
La factorial de n, denotada por n! se define como:
n! : n(n-1)(n-2)....3*2*1
.
Ejemplos:
5! = 5*4*3*2*1 = 120
4!*5! = 4*3*2*1*5*4*3*2*1 = 2880
Y se define:
Factorial del número cero = uno
0! = 1
7.3 Permutaciones.
Una permutación de n objetos tomados de r en r es una selección ordenada de r
objetos de entre n.
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El número de permutaciones de n objetos tomados de n en n se denota por Pn,r y
viene dado por:
Pn,r = n(n-1)(n-2)...(n-r+1)= n! / (n-r)!
En particular, el número de permutaciones de n objetos tomados de n en n
Pn,n = n!
Ejemplo, el número de permutaciones que se pueden dar de las letras a, b, y c,
tomadas de a dos son:
P(3,2) = 3*2 = 6
Son
ab, ac, ba, ca, bc, y cb
7.4 Combinaciones.
Una combinación de n objetos tomados de r en r es una selección de r de ellos,
sin importar el orden de los r escogidos.
El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r se denota por:
 n n(n  1)(n  2)...(n  r  1)
n!

  
r!
r !(n  r )!
 r
Otra forma de denotar al numero Combinatorio es: Cn,r
Ejemplo: El número de combinaciones de las letras a, b, y c, tomadas de dos en dos
es:
 3 3.2.1
3
 
2.1
 2
Son ab, bc y ac
Nótese que ab y ba son la misma combinación pero no la misma permutación.
7.5 Probabilidades y análisis combinatorio.
Para interpretar el tema lo haremos a través de un ejercicio.
Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules.
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Si se sacan 3 bolas al azar, determinar la probabilidad de que:
a) las 3 sean rojas
b) las 3 sean blancas
c) 2 rojas y una blanca
d) al menos una sea blanca
e) una de cada color
En primer lugar debemos destacar que esto problemas se resuelven siempre
sobre la base de que la extracción se realiza sin reposición.
a) las 3 sean rojas
De acuerdo con el anterior razonamiento, esto se resuelve así:
 8   7   6  14
Pr1,r2 ,r3   
 0.0491, 4.91%
. .  
 20   19   18  285
Ahora bien, si razonamos de acuerdo a los números combinatorios, tenemos:
8
 
3
numero de selecciones de 3 entre 8
14
Pr1,r2 ,r3  
   
 0.0491, 4.91%
numero de selecciones de 3 entre 20  20  285
 
3
Con el mismo criterio resolveremos los otros casos.
b) Que las tres sean blancas:
3
 
 3   1  0.00088,
 20  1140
 
3
0.088%
c) Que dos sean rojas y una blanca:
 8  3 
  
2 1
7
P2 son rojas y 1blanca     
 0.0737, 7.37%
95
 20 
 
3
d) Para resolver este caso, que al menos una sea blanca, tenemos dos caminos, el
primero sería calcular la probabilidad de que una sea blanca, de que dos sean blancas
y que las tres sean blancas y luego sumar los tres resultados. Pero otro camino, que
suele ser más corto, es calcular que ninguna sea blanca y esto restarlo de uno.
Nosotros resolveremos por el segundo camino y se sugiere al alumno que lo confirme
por la otra vía.
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17 
 
3
34
Pninguna sea blanca    
 0.5965,
 20  57
 
3
59.65%
por o tanto :
Pal menos una blanca  1 
34 23

 0.4035,
57 57
40.35%
e) Una de cada color. Aquí debemos prestar atención de que no están pidiendo que
salgan en un orden determinado, El cálculo por la vía del número combinatorio nos da
precisamente el resultado acumulado de todas las alternativas posibles.
 8  3  9 
   
1 1 1
18
Psacar una de cada color      
 0.1895,
95
 20 
 
3
18.95%
7.6 Generalización del número combinatorio y probabilidades
Este importante ejercicio nos introduce en la llamada DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Determinar la probabilidad de sacar tres veces el 6 en 5 tiradas de un dado.
Representemos la 5 tiradas por 5 espacios
_
_
_
_
_
En cada espacio tendremos los sucesos 6 o no 6
6
Por ejemplo:
6 6 6
6
6
o
6
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6
6 6
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Ahora bien la probabilidad de un suceso como cualquiera de los dos descritos es:
3
1 1 5 1 5  1  5 
P 66666  * * * *    
6 6 6 6 6  6  6 


2
Cualquiera de las combinaciones nos dará el mismo resultado.
Pero la pregunta es: ¿cuántas combinaciones hay?
 5
 3
la respuesta es    10
de tales sucesos mutuamente EXCLUYENTES por lo
tanto la probabilidad requerida es:
3
2
 5  1   5 
125
P       
 0.0322,
3888
 3  6   6 
3.22%
Ahora podremos generalizar:
5 es el total de intentos que llamaremos
N
1/6 es la probabilidad de éxitos y lo llamaremos p
5/6 es la probabilidad de fracasos y lo llamaremos q
por último 3 es la probabilidad
llamaremos X,
de obtener tantas veces p en N intentos y lo
Con ésta generalización la fórmula se puede escribir:
 N  x n x 
 X N X
N!
 p q
p q
 
 X! N  X ! 
X
Fórmulade la distribución binomial
7.7 Ejercicios de Aplicación.
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico.
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Capítulo 6:
Permutaciones: 6.17, 6.18, 6.19, 6.20, 6.21, 6.22, 6.24, 6.66, 6.71, Combinaciones:
6.25, 6.26, 6.27, 6.28, 6.29, 6.30. 6.72, 6.74, 6.75, 6.78.
Probabilidades y análisis combinatorio: 6.32, 6.33, 6.34, 6.35.
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Capítulo: 8
LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, POISSON Y NORMAL.
8.1 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Definición: Si p es la probabilidad de que ocurra un suceso en un solo intento
(llamada probabilidad de éxito),entonces la probabilidad de que el suceso ocurra
exactamente X veces en N intentos ( o sea X éxitos y N-X fracasos viene dado por :
 N
N!
PX    pX qN  X 
pX qN  X
X !N  X !
 X
Ejemplo: La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 tiradas de una moneda
es:
N=6, p=½,q=½,X=2
2
 6  1   1 
    
 2  2   2 
6 2
2
4
6!  1   1 
15

 0.2344,
    
2!4!  2   2 
64
23.44%
Se recomienda al alumno que, antes de desarrollar la fórmula, identifique claramente
los valores de N, p, q y X, tal como se muestra en éste ejercicio.
VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS
Se dice que una variable es discreta, cuando los datos se cuentan, y es continua
cuando los datos se miden. por ejemplo, la producción de sillas es discreta pues un
lote puede ser, por ejemplo de 25 sillas o de 43 sillas, pero no de 25,6 ó 43,25 sillas
pues la fracción no es silla. En cambio, el diámetro de un perno es una variable
continua pues la puedo medir con tanta precisión como resolución tenga el
instrumento, ejemplo 12,345 milímetros.
La distribución de probabilidad binomial se aplica a variables discretas
únicamente.
DESARROLLO DEL BINOMIO
La distribución de probabilidad discreta se llama DISTRIBUCIÓN BINOMIAL porque
para: X = 1, 2,..., N corresponde a términos sucesivos de la fórmula binomial o
desarrollo del binomio.
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 N
 
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 N
 
q  p N  qN   1 qN1p   2 qN 2p 2 ...p N
donde:
 N  N
1,   ,   ,... se llaman
 1  2
Coeficientes Binomiales
ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:
VALOR MAS PROBABLE: Np
VARIANZA : Npq
DESVIACION TIPICA =
Npq
TRIÁNGULO DE PASCAL
El triángulo de Pascal, nos da los valores de cada término del binomio:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1
5 10
10
5
1
....................................................
Si observamos el desarrollo del binomio de Newton, vemos que cada sumando
representa una probabilidad y, si N, p y q son constantes, cada término nos da la
probabilidad para X = 0, 1, 2, ... hasta N.
Por esta razón se lo denomina también DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Si generalizamos tenemos:
q  pN  P0  P1  P2 ...PN
Por otra parte, q+p = 1 por lo cual la suma anterior también es igual a uno.
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En otra palabras, la probabilidad de que el suceso esperado se cumpla cero vez, una
vez, dos veces, hasta N veces, es igual a uno.
Si graficamos en un sistema de coordenadas un polígono de frecuencias, que
represente la distribución binomial, tenemos:
P (X)
...
...
...
...
P(3)
P(2)
P(1)
P(0)
P(0)
0
P(1)
|
1
P(2)
|
|
2
P(3)
|
|
|
3
...
P(Np)








Np
...
P(n-3)
|
|
|
n-3
P(n-2)
|
|
n-2
P(n-1)
|
n-1
P(n)
n
Como puede apreciarse de este gráfico, la representación de cada una de las
probabilidades para cada n y un determinado p conforman un “peine” donde están
todas la posibles probabilidades para cada X. El alumno deberá tener presente los
siguientes aspectos:
a) la suma de todas las probabilidades del “peine” tiene que dar 1
b) recordar siempre que p+q = 1, por lo tanto, aunque solo se especifique p, el valor
de q esta automáticamente fijado pues, q = 1 - p
EJERCICIOS DE COMPRENSIÓN
Para terminar de comprender esto a fondo veremos una familia de distribuciones
binomiales en los siguientes gráficos, las probabilidades evolucionan con los valores
de p.
El valor de N = 10 se mantendrá fijo en los siguientes gráficos:
p = variará desde 0,10 hasta 0,90 y, en consecuencia, q = variará desde 0,90 hasta
0,10
X = serán todas las posibles, es decir: 0, 1, 2, ...., hasta 10
La suma de todos los valores de P de cada gráfico totaliza 1
Como puede observarse, las barras comienzan recostadas sobre la izquierda y se
desplazan, simétricamente hacia la derecha.
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si p es igual a 0,10
45
40
probabilidad
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
valor de las X
10
s i p e s ig u a l a 0 ,2 0
35
probabilidad
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
v a lo r d e la s X
8
10
s i p e s ig u a l a 0 ,3 0
30
probabilida d
25
20
15
10
5
0
0
Derechos de autor en trámite
2
4
6
v a lo r d e la s X
8
10
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s i p e s ig u a l a 0 ,4 0
30
probabilidad
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
v a lo r d e la s X
8
25
10
s i p e s ig u a l a 0 ,5 0
probabilida d
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Ú N IC O G R Á F IC O D O N D E E X IS T E S IM E T R IA
PUES
p = q
s i p e s ig u a l a 0 ,6 0
30
probabilidad
25
20
15
10
5
0
0
Derechos de autor en trámite
2
4
6
v a lo r d e la s X
8
10
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s i p e s ig u a l a 0 ,7 0
30
probabilida d
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
v a lo r d e la s X
8
10
s i p e s ig u a l a 0 ,8 0
35
probabilidad
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
v a lo r d e la s X
8
10
s i p e s ig u a l a 0 ,9 0
40
probabilidad
35
30
25
20
15
10
5
0
0
Derechos de autor en trámite
2
4
6
v a lo r d e la s X
8
10
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Todos estos gráficos constituyen una familia de distribuciones binomiales, en función
de N constante, en este caso igual a 10 intentos, por lo tanto, las veces que
podremos tener éxito van de cero a 10, estas son las X. Las probabilidades de éxito se
han variado de 0,10 a 0,90 lo cual dio origen a la familia de las DISTRIBUCIONES
BINOMIALES.
8.2 DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La ley binomial resulta muy laboriosa para el caso de la resolución de la mayoría de
los casos de Control de Calidad, por ello, una buena aproximación es la ley de
POISSON, donde se deberá tener en cuenta algunos supuestos para que la
aproximación sea aceptable.
Estos supuestos son:
N deberá tender a valores muy grandes.
p deberá tender a valores muy pequeños
el producto Np deberá permanecer constante
Estas condiciones, son las más frecuentes en asuntos de Control de Calidad, en
efecto, la muestras, N son siempre grandes, valores cercanos a 100 y superiores casi
siempre a 50. La fracción defectuosa, p, casi siempre es menor al 5% por lo cual la
aproximación resulta siempre muy satisfactoria.
Con estos supuestos la fórmula BINOMIAL :
 N
P X    p X qN X
 X
se reduce a:
 Xe  
P X 
x!
donde X = 0, 1, 2,...
y  es una constante dada = Np
 otra forma de escribirla sera 
P X
X
Np e  Np


X!
Siendo ambas fórmulas llamadas de POISSON
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8.3 RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y LA DISTRIBUCIÓN DE
POISSON:
En la distribución binomial, si N es muy grande y la probabilidad p de ocurrencia de un
suceso es muy pequeña, de modo que q = 1 - p es casi 1 se lo denomina un suceso
raro.
En la práctica, un suceso es raro si el número de ensayos es al menos 50 (N  50),
mientras que Np es menor que 5. En tal caso la distribución binomial queda
aproximada muy estrechamente por la DISTRIBUCIÓN de POISSON.
La siguiente tabla muestra las diferencias entre ambas distribuciones:
MEDIA
VARIANZA
DESVIACIÓN TÍPICA
BINOMIAL
 = Np
2 = Npq
 = Npq
POISSON
=
2 = 
= 
Ejercicio de comprensión:
Entre las 2 y las 4 de la madrugada, el número medio de llamadas telefónicas por
minuto que recibe una pequeña central telefónica es de 2,5.
Hallar la probabilidad de que durante un minuto concreto se produzcan:
a) cero llamadas
b) una llamada
c) dos llamadas
d) tres llamadas
e) cuatro llamadas o menos
f) más de seis llamadas
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a) P(0) 
2.50 e 2.5
1
1
 2.5 
 0.0821,
0!
12.18
e
b) P(1) =
2.51 e 2.5
2.5

 0.2052,
1!
12.18
20.52%
c) P(2) =
2.52 e 2.5
6.25

 0.2565,
2!
24.37
25.65%
d) P(3) =
2.53 e 2.5 15.63

 0.2138,
3!
73.10
21.38%
e) P(4) =
2.54 e 2.5
39.06

 0.1336,
4!
292.38
8.21%
13.36%
P(4 ó menos) = 8.21% + 20.52% + 25.65% + 21.38% + 13.36% = 89.12%
f )P(más de 6), necesitamos, P(5) y P(6)
P(5) =
2.55 e 2.5
97.66

 0.0668,
5!
1461.90
6.68%
P(6) =
2.56 e 2.5
244.14

 0.0278,
6!
8771.40
2.78%
P(más de 6) = 100% - (89.11% + 6.68% + 2.78%) = 1.43%
8.4 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL, CURVA NORMAL O DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA
Uno de los más importantes ejemplos de una distribución de probabilidad continua es
la DISTRIBUCIÓN NORMAL, también conocida como CURVA NORMAL ó
DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA. Está definida por la ecuación:
Y
1
σ 2π


 21  ( X μ  
e  σ 
Donde: µ= media aritmética de la población
y = desviación típica de la población.
El área total bajo la curva es igual a uno, (o 100%), significa que el 100% de las
probabilidades están representadas por la curva. Consecuentemente, el área bajo la
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curva entre X=a y X=b con a < b representa la probabilidad de que X esté entre a y
b . Esta probabilidad se denota por:
Pr{ a < X < b }
VARIABLE CANÓNICA : Z
Esta importante variable Z , se utiliza para transformar la anterior fórmula de Gauss.
La expresión, denominada Unidades Estandard, se define:
Z
X   

Estas unidades Estandard o unidades de Desviación Típica, ( pues está dividido por
sigma ) transforma a la ecuación de Gauss en la siguiente:
Y
1  21 Z 2
e
2
Como se demostrará más adelante, en esta expresión el valor de sigma es igual a
uno, motivo por el cual, desaparece del denominador.
Esta fórmula, que es única, igual para cualquier población, con tal de que calculemos
el valor de Z, tiene la siguiente representación:
CURVA NORM AL DE GAUSS
40
PR OBA BILID ADES
35
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
VALO R ES D E Z
2
3
Esta “campana” tiene características peculiares:
a) la media aritmética es igual a cero.
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b) el punto de intersección de la perpendicular a la absisa en el valor 1 y -1 con
la curva marca un punto en dicha curva, dicho punto es el punto de inflexión de
la curva, es decir, donde la tangente cambia de signo.
c) la distancia del punto de inflexión a la perpendicular a la absisas en el valor
de X = 0 es el valor de la desviación típica y vale uno.
d) el área dentro de ciertos valores es siempre el mismo según el siguiente
esquema:
Área bajo la curva normal desde MENOS UNA DESVIACIÓN TÍPICA (-1) hasta
MAS UNA DESVIACIÓN TÍPICA (+1)
AR EA BAJO LA C UR VA NO R M AL
IG U A L A 6 8 .2 7 %
40
PR OBA BILIDAD ES
35
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
D E S D E -1 A + 1 D E S V IA C IO N T IP IC A
AR EA BAJO LA C UR VA NO R M AL
IG U A L A 9 5 ,4 5 %
40
PR OBAB ILID ADES
35
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
D E S D E -2 A + 2 D E S V IA C IO N T IP IC A
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AR EA BAJO LA C UR VA NO R M AL
IG U A L A 9 9 ,7 3 %
40
PR OBA BILIDAD ES
35
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
D E S D E -3 A + 3 D E S V IA C IO N T IP IC A
8.5 RELACION ENTRE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL y la NORMAL
Si N es grande y si ni p ni q son próximos a cero, las dos distribuciones se aproximan
estrechamente por una distribución normal con variable canónica dada por:
Z
X  Np
Npq
En el capítulo 8.8, se estudiará la aproximación de la curva normal a los resultados por
la fórmula Binomial.
8.6 EJERCICIOS DE COMPRENSION SOBRE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.
Los siguientes ejercicios, tienen como objetivo aprender el uso de las tablas de
Gauss.
EJERCICIO Nº 1
Hallar el área bajo la CURVA NORMAL en cada uno de los casos siguientes:
a) entre z = 0 y z = 1.20
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CURVA NORMAL DE GAUSS
45
PROBABILIDADES
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
-3
-2
-1
Area bajo la curva entre z = 0 y z = 1,2
De tablas leemos que para z = 1,2 es 0,3849, por lo tanto: Pr {0  z  1,2} =
0,3849
Esto significa que el área bajo la curva normal para z entre 0 y 1,2 es del 38.49%
b) Entre z = - 0.68 y z = 0
CURVA NORMAL DE GAUSS
45
PROBABILIDADES
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Area bajo la curva entre z = -0,68 y z = 0
En tablas se lee para z = 0.68 es 0.2518 por lo tanto,
Pr {-0,68  z  0} =0.2518
Esto significa que el área bajo la curva, para z= -0,68 y z=0 es el 25.18%
c) Entre z = - 0.46 y z 2.21
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CURVA NORMAL DE GAUSS
45
PROBABILIDADES
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Area bajo la curva entre z = -0,46 y z = 2,21
En tablas se lee que, para z = 0.46 es 0.1772 por lo tanto,
Pr {-0,46  z  0} =0.1772
7Nótese que en la lectura se prescindió del signo menos.
Por otra parte, para z = 2.21 se lee 0.4864. lo cual significa :
Pr {0  z  2.21} =0.4864
Para encontrar el área total debemos sumar ambos resultados:
0.1772+0.4864 = 0.6636
Esto significa que el área bajo la curva, para z= - 0.46 y z=2.21 es del 66.36%
d) Entre z = 0.81 y z = 1.94
CURVA NORMAL DE GAUSS
35
PROBABILIDADES
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Area bajo la curva entre z = 0,81 y z = 1,94
Para z = 0.81 es 0.2910 por lo tanto, Pr {0.81  z  0} =0.2910
Para z = 1.94 es 0.4738 esto es : Pr {0  z  1.94} =0.4738
Para encontrar el área entre los dos puntos elegidos, debemos restar ambos
resultados: 0.4738 - 0.2910 = 0.1828
Esto significa que el área bajo la curva, para z= 0.81 y z=1.94 es del 18.28%
e) A la izquierda de z = - 0.6, esto significa, entre z = -  y z = - 0.6
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Tener presente que desde z = -  y z = 0 la superficie bajo el área es 0.5000 (50%)
CURVA NORMAL DE GAUSS
35
PROBABILIDADES
30
25
20
15
10
5
0
-3
0
1
-2
-1
Area bajo la curva entre z = - infinito
2
3
y z = - 0,6
Para z = 0.6 es 0.2258 por lo tanto, Pr {0.6  z  0} =0.2258
Para z = -  es 0.5000, esto es : Pr { -   z  0} =0.5000
Para encontrar el área entre los dos puntos elegidos, debemos restar ambos
resultados: 0.5000 - 0.2258 = 0.2742
Esto significa que el área bajo la curva, para z = -  y z=- 0.6 es del 27.42%
f) A la derecha de z - 1.28, esto es ,entre z = - 1.28 y z = + 
CURVA NORM AL DE GAUSS
40
PR OBA BILIDAD ES
35
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
A r e a e n tr e z = -1 ,2 8 y z = + in fin ito
Para z = 1.28 es 0.3997 por lo tanto, Pr {-1.28  z  0} = 0.3997
Para z = 0 y z= + es 0.5000, esto es : Pr {0  z  +} = 0.5000
Para encontrar el área entre los dos puntos elegidos, debemos sumar ambos
resultados: 0.3997+0.5000 = 0.8997
Esto significa que el área bajo la curva, para z = -1.28 y z =+  es del 89.97%
g) A la derecha de z = 2.05, y a la izquierda de z = - 1.44
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CURVA NORMAL DE GAUSS
16
PROBABILIDADES
14
12
10
8
6
4
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
A la izquierda de -1,44 y a la derecha de
2,05
Área total bajo la curva = 1-(área entre-1.44 y 0) - (área entre 0 y 2.05)
1 - 0.4251 - 0.4798 = 0.0951, esto es 9.51%
EJERCICIO Nº 2
Este ejercicio ayuda a entender el uso de los procedimientos anteriores para el cálculo
de las probabilidades en eventos reales.
Se recomienda al alumno dibujar las “campanas” e ir identificando las áreas
escogidas.
Si los diámetros de las bolillas de cojinetes están normalmente distribuidas con media
0.6140 mm y desviación típica 0.0025 mm determinar el % con diámetro:
a) entre 0.6100 y 0.6180 mm
b) mayores que 0.6170 mm
c) menores que 0.6080 mm
Solución:
a)- z = (0.6100-0.6140) / 0.0025 = - 1.60
+ z = (0.6180-0.6140) / 0.0025 = + 1.60
Área solicitada = probabilidad buscada = 0.4452 + 0.4452 = 0.8904
La probabilidad de que el diámetro de las bolillas se encuentren entre 0.6100mm y
0.6180 mm es del 89.04%
b) z = (0.6170 - 0.6140) / 0.0025 = 1.20
Area para z = 0.3849
Area solicitada: 0.5000 – 0.3849 = 0.1151
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La probabilidad de que el diámetro de las bolillas sea mayor que 0.6170 mm es del
11.51%
c) z= (0.6080 - 0.6140) / 0.0025 = 2.40
Para z = 2.40, es 0.4918
El área buscada es 0.5000 - 0.4918 = 0.0082
Probabilidad = 0.82 %
Ejercicios en clase:
Se desarrollan ejercicios inversos, dado un área, determinar z.
Ejemplo 1: determinar la nota mínima para el 10% mejor de un curso con media 65 y
desviación típica 9.
Ejemplo 2: Calcular a las cuantas horas deberán cambiarse las ampolletas de
una ciudad, si la vida media es 750 horas y la desviación típica es 35 horas, y se
desea hacerlo cuando falle el 20% de las ampolletas.
8.7 LA DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA.
Esta distribución es Discreta, es una alternativa junto a la Distribución Binomial y
la Distribución de Poisson. Veamos en que caso nos interesa esta distribución
Discreta.
Cuando la magnitud de la muestra es grande, por lo general, del 20% de la cuantía
del lote (Población), la ley Binomial no puede dar una aproximación satisfactoria de
esta distribución. Teóricamente, la fórmula Hipergeométrica es la distribución finita
correcta. Es decir, la fórmula Binomial nos entrega buenos resultados cuando n es
pequeña en relación a N, pero si no lo es debemos acudir a la relación
Hipergeométrica.
En los casos donde el tamaño de la muestra es significativa frente al tamaño de la
Población, sucede que cada vez que se extrae una unidad del lote , cambia el valor
de p del resto del lote.
Supongamos que se extrae una muestra de 5, de un lote de 20 unidades, que tiene 2
unidades defectuosas, esto es p’ = 0,10, la magnitud de la muestra es de 25% del
lote.
La fórmula de la Distribución Hipergeométrica es la siguiente:
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 L  d  d

 
 c   n  c  c
P  
 L
n
 
 n
L = Tamaño del Lote (Población)
d = Unidades defectuosas en el Lote
n = tamaño de la muestra.
c = Unidades defectuosas en la muestra.
Esta fórmula se interpreta así la probabilidad de que una muestra al azar, de n
unidades , contenga c unidades defectuosas, para un tamaño de lote (Población) L
en el cual existen d unidades defectuosas.
Nos preguntamos la probabilidad para c= 0, 1 y 2, los resultados serán:
Para c = 0
 20  2  2 

 
0  5  0  0 
P  
 0.553
 20 
5 
 
5
Para c = 1
 20  2  2

 
 1  5  1   1
P  
 0.395
 20
5
 
 5
Para c = 2
 20  2  2

 
 2  5  2   2
P  
 0.053
 20
5
 
 5
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En la siguiente figura, se ha graficado los tres resultados obtenidos, y también se
muestra los resultados para el mismo caso, resueltos con la fórmula Binomial, y por
Poisson.
Naturalmente, el cálculo Hipergeométrico, muestra valores solo para c= 0, 1 y 2, ya
que el número máximo de defectos posibles en la muestra de 5 es 2.
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Tanto el método Binomial como el de Poisson suponen magnitudes de lotes infinitas, y
cuando se llevan a los límites de la expansión, producen valores de probabilidad para
defectos 3, 4 y 5 de la muestra. Esto no tiene sentido en este ejemplo ya que no
existen.
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
0
1
2
3
4
5
Hipergeométrica
0,553
0,395
0,053
0,000
0,000
0,000
Binomial
0,591
0,328
0,073
0,008
0,000
0,000
Poisson
0,607
0,303
0,092
0,006
0,000
0,000
Téngase presente que de los tres resultados, los únicos correctos son los de la
Hipergeométrica, y en los otros datos puede apreciarse el grado de error con los
resultados correctos.
Problema:
En una editorial, en la producción de un determinado tipo de libro, se espera una
probabilidad de 0.10 de encontrar un error en una hoja de los mismos. Para la
impresión de un libro de 70 hojas deseamos conocer, al revisar 3 hojas al azar, que
probabilidad existe de encontrar ninguna hoja con error.
Solución:
L = 70
d=7
n=3
c=0
p = 0,10
 70  7  7

 
 0  3  0   0
P  
 0.7254
 70
 3
 
 3
Respuesta: 72.54 %
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8.8 APROXIMACION NORMAL A BINOMIAL
La aproximación normal a Binomial es sencilla, siempre que
ejemplo:
n no sea grande,
Para: n = 12 y p = 1/3
La familia binomial tiene las siguientes probabilidades:
P(0)=0.008
P(1)=0.046
P(2)=0.127
P(3)=0.212
P(4)=0.238
P(5)=0.191
P(6)=0.111
P(7)=0.048
P(8) =0.015
P(9) =0.003
P(10)=0.000
P(11)=0.000
P(12) = 0.000
Conceptualmente, la gráfica para una distribución Binomial, deberá representarse,
como se vio anteriormente como una “peineta”, es decir, líneas verticales desde el
valor encontrado a la abscisa, pues entremedio no existen valores. Sin embargo, para
los fines comparativos con la normal, recurriremos a un histograma. Es decir, las
barras indicarán los valores obtenidos con la fórmula Binomial, pero nos dará también
una idea de superficie, de manera que podamos acercarnos, visualmente, a la curva
normal.
0,238
0,212
0,191
0,127
0,111
0,046
0,008
0,048
0,015
0,0030
0
2
4
6
8
10 12
Distribución binomial para p=1/3 y n=12
En 8.1, definimos que, para la distribución Binomial es:
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
Valor mas probable: X : np : 12   4

DesviaciónTípica : σ  npq  12 
 
  1.63
 
La curva normal, superpuesta, tiene los datos calculados con la fórmula anterior:
resulta evidente que existe una buena aproximación, pese a que n es solo 12.
0
2
4
6
8 10 12
Distribución binomial para p=1/3 y n=12, con curva normal
superpuesta
Para verificar este acercamiento, realicemos los siguientes ejercicios:
Si la probabilidad de que un tirador acierte a un blanco es de 1/3, y si dispara 12 tiros,
¿cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos 6 de ellos?
La respuesta exacta, a tres decimales, es P(6) + P(7) + P(8)+......+ P(12) = 0.177
Geométricamente, esta respuesta, es el área de aquella parte del histograma, a la
derecha de x = 5.5
Por lo tanto, al aproximar esta probabilidad por los métodos de la curva normal, se
necesita encontrar el área bajo la curva normal, a la derecha de 5.5.
Puesto que la curva normal, fue construida con  = 4 y  = 1.63 se sigue que:
z
x -  5.5  4

 0.92

163
.
De tablas encontramos que para z=0.92, el área correspondiente es 0.179, y esto es
una buena aproximación al 0.177 calculado por la fórmula Binomial. Téngase presente
que el valor correcto es el que se calculó por la fórmula Binomial.
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Comprobemos ahora para otro caso.
Calcular la probabilidad de que el tirador acierte precisamente 6 tiros en 12.
De lo calculado al principio del capítulo, la respuesta correcta, a 3 decimales es 0.111.
Por Gauss, la respuesta la da el área bajo la curva normal entre 5.5. y 6.5.
z2 
6.5  4
 1.53
1.63
A 2 0.4370
z1 
5.5  4
= 0.92
1.63
A 1 0.3212
Restando una de otra área, el resultado es : 0.116, que, comparada con 0.111
también es una buena aproximación.
Si utilizamos la fórmula de 8.1 podremos averiguar z con la siguiente expresión:
z
x  np
npq
A la expresión np se le llamó valor más probable y es el equivalente de la media
aritmética de una distribución continua. Por otra parte, np, representa el número de
éxitos más probables, esto es x¸ si dividimos por n tanto x como np nos da la
proporción de éxitos, (en Control de Calidad, lo llamaremos fracción defectuosa),
de tal forma, la fórmula anterior se expresa como sigue:
x
p
z n
pq
n
Es decir que, cuando los datos son entregados en la forma de proporción de éxitos, o
fracción defectuosa, la curva normal de aproximación, será la que se obtiene
utilizando
p
y
 
pq
n
Estas fórmulas serán de utilidad más adelante.
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8.9 Ejercicios de Aplicación.
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico
Capítulo 7
Distribución Binomial: 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.42, 7.43, 7.40, 7.44.
Distribución Normal: 7.14, 7.15, 7.16, 7.17, 7.18, 7.20, 7.21, 7.22, 7.23, 7.49, 7.50,
7.51, 7.52, 7.54, 7.57, 7.58.
Aproximación normal a binomial: 7.24, 7.25, 7.26.
Distribución de Poisson: 7.27, 7.28, 7.29, 7.67, 7.68, 7.71
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Capitulo 9
Correlación y Regresión
9.1 Introducción
Si mediante procedimientos estadísticos, y basándonos en datos históricos,
procedemos a predecir información futura, estamos realizando un ANÁLISIS DE
REGRESIÓN.
Por ejemplo, con la información de las ventas, estacionarias de los tres últimos años,
podemos PREDECIR las ventas futuras para los mismos períodos. Otro caso, de
acuerdo con las notas obtenidas por un alumno en la enseñanza básica, podríamos
PREDECIR los resultados académicos en la Universidad. En ambos casos estaríamos
aplicando técnicas de REGRESIÓN.
Rápidamente puede advertir, el alumno, las dificultades del método. En el primer caso,
la probabilidad de que la predicción sea buena, depende de que no hallan cambios en
el escenario de donde se obtuvieron los datos históricos. Si para este año, tenemos
un nuevo competidor en el mercado, todos los datos históricos no serán de la misma
utilidad y los resultados serán inciertos. En el segundo caso, es sabido que los
estudiantes tienen un marcado cambio en su pasaje de la Básica a la Universidad, las
razones son múltiples, distinto grado de adaptación a los nuevos métodos de
enseñanza, cambios biológicos importantes, motivaciones distintas,
madurez
intelectual, etc., Por lo tanto la predicción, en éste caso, hay que tomarla con reservas.
Ahora bien, aunque las dificultades existen, el método es matemáticamente muy
bueno, y además los cambios del escenario también pueden de alguna manera
considerarse, de manera que es una herramienta valiosa para Marketing, la Gestión
de Compras, Control de Calidad, etc.
Luego de este ANÁLISIS DE REGRESIÓN, nos queda el problema de saber que tan
bueno es el ajuste entre las distintas variables, esto significa conocer que tan bueno
es el ajuste entre las variables.
Es decir, el ANÁLISIS DE CORRELACIÓN, nos dice con que precisión nos están
informando la predicción.
Por ejemplo, un problema de correlación puede ser, ¿existe relación entre el consumo
del tabaco y las muertes por afecciones cardíacas? ¿Entre la recepción de radio y la
actividad de las manchas solares? ¿entre la belleza y la inteligencia?.
Por ejemplo, la correlación entre el consumo de tabaco y las muertes por afecciones
cardíacas es elevada, esto quiere decir que, conociendo el consumo de tabaco,
podemos hacer una buena predicción de la probabilidad de muerte temprana por
afección cardíaca.
9.2 Análisis de Correlación
Con la finalidad de ilustrar la manera en que se procede a estudiar la relación entre
dos variables, consideremos los datos de la siguiente Tabla, que consiste en las notas
de 30 estudiantes en una prueba de lenguaje y una de ciencias.
La nota máxima era de 50 puntos
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x
34
37
36
32
32
y
37
37
34
34
33
x
28
30
32
41
38
y
30
34
30
37
40
x
39
33
30
33
43
y
36
29
29
40
42
x
35
29
34
35
36
y
35
36
37
39
40
x
33
32
33
37
36
y
31
31
36
40
42
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x
34
36
34
38
31
y
32
38
31
40
29
N ota s de c ie ncias
La investigación de la relación entre las dos variables comienza, generalmente, con un
intento de descubrir la forma aproximada de la relación, trazando los datos como
puntos en el plano x,y
Esta gráfica recibe el nombre de DIAGRAMA DE DISPERSIÓN. Esto nos da una
aproximación visual a la posible relación.
45
43
41
39
37
35
33
31
29
27
25
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
N o ta s d e le n g u a je
Una simple inspección visual, nos sugiere que existe una razonable relación entre los
puntos, la nube sugiere una tendencia a crecer, es decir, a mejores notas en ciencias,
mejores notas en lenguaje, y viceversa. Esta “sugerencia” es la CORRELACIÓN, y
nuestro interés ahora es medir esa relación entre los valores.
Por otra parte, el aspecto general del diagrama de dispersión, es el de una línea recta.
Para determinar la naturaleza de una tendencia, se busca cualquier propensión de los
puntos de agruparse sobre ambos lados de alguna curva simple o bien a ambos lados
de una línea recta. Para estas variables seria conveniente poder medir en alguna
forma el grado en que ambas variables se encuentran relacionadas linealmente. Con
el objeto de obtener esta medida, considérense las propiedades que seria conveniente
que tuviera.
Una medida de la relación tendrá que ser independiente de la elección del origen para
las variables. Esta propiedad puede obtenerse usando las desviaciones de las
variables mismas. Esto es igual a la definición de la Desviación Típica.
Así, se usan las variables xi  X e yi  Y en lugar de las variables xi e yi para
formar la medida de relación deseada.
La notación xi , yi denota el i-ésimo número de nuestra tabla.
También deberá ser independiente de la escala de medidas empleada para x e y.
Esta propiedad puede obtenerse dividiendo x entre cantidades que posean las
mismas unidades que x e y. Esto se logra dividiendo por la DESVIACIÓN TÍPICA.
Esto significa que lo reducimos a UNIDADES ESTANDARD o sea a la variable Z.
De esta forma describiremos ahora dos variables ui y vi siendo,
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ui 
x  X
i
y
x
vi 
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 y  Y
i
y
Con estas variables podemos volver a representar el diagrama de dispersión. Este
será ahora un DIAGRAMA DE DISPERSIÓN PARA VALORES NORMALIZADOS.
Las coordenadas se cortan en un punto central del diagrama, pero el perfil de la nube
de puntos, continua siendo exactamente el mismo
3
2
1
0
-3
-2
-1
-1 0
1
2
3
-2
-3
Se puede ver, que la mayoría de los puntos se encuentran en los cuadrantes 1 y 3.
Este comportamiento sugiere una relación entre las variables, una medida simple de
esta relación es la siguiente:
n
uv
i i
i1
Los términos de la suma correspondiente a los puntos en los cuadrantes 1 y 3 serán
siempre positivos mientras que los del cuadrante 2 y 4 serán negativos y restaran a la
sumatoria.
Consecuentemente un valor positivo elevado tenderá pues a indicar una tendencia
lineal pronunciada en el diagrama de dispersión. Esto sin embargo no es
estrictamente cierto, ya que si el número de puntos se duplicara sin cambiar la
naturaleza de la dispersión, el valor de la suma se casi duplicaría . Es pues, necesario
dividir la suma entre n antes de usarla como medida de la relación. Existen razones
teóricas para preferir n-1 en lugar de n .
El resultado es
 uv , esto es la medida deseada y se llama COEFICIENTE DE
n1
CORRELACIÓN. Este coeficiente se denota con la letra r. Si se reemplaza por las
medidas originales la expresión es la siguiente:
 x
n
r
i 1
i

 X yi  Y

n  1sxsy
El resultado de esta ecuación es un número que va desde cero a uno, siendo, cero, la
inexistencia de correlación, y uno la correlación total.
Es decir que r toma valores según la siguiente relación:
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0 r 1
Si la tendencia del diagrama es a decrecer, es decir si la nube de puntos sugiere que
los valores tienden a decrecer, en lugar de crecer como sucede en el ejemplo de las
notas que se dio al comenzar este tema, entonces, r toma valores entre 0 y -1,
indicando con cero, otra vez, la inexistencia de correlación, y con -1 la absoluta
correlación.
Nótese, que en realidad, cuando la tendencia de los puntos, es a decrecer, se puede
modificar dicha tendencia, mediante un simple cambio de ejes. Por esta razón, el
alumno, debe fijar, como concepto que r toma valores entre 0 y 1.
Cuando es r = 1, significa que son puntos todos sobre una línea recta. Cuando r = 0
son puntos totalmente dispersos que no guardan entre sí ninguna relación.
Si se calcula r para la tabla de los estudiantes nos da como resultado
r = 0.66
Este resultado indica que existe correlación, aunque mas bien pobre, es decir,
que no necesariamente, los alumnos que tengan buenas notas en lenguaje
tienen que tener buenas notas en ciencias y viceversa. Lo mismo ocurre con los
alumnos con malas notas.
Una buena correlación que nos da oportunidad de pasar al análisis de regresión, es
cuando r supera 0.80. Por supuesto, esto es una sugerencia, el analista es el que
determina el nivel de riesgo con el cual desea trabajar. La regresión es siempre
posible hacerla aunque r sea igual a valores muy bajos cercanos a cero. Lo que
sucede, en estos casos, es que las predicciones no se cumplen.
CALCULO DE r
La fórmula dada para definir a r no siempre es conveniente para fines de cálculo. Se
obtiene una forma mejor multiplicando factores, insertando valores para Sx y Sy,
empleando algo de álgebra, con los siguientes resultados:
r
n x
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n xy   x y
2
  x 
2
 n y
2
  y
2

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Esta última fórmula, (de no ser necesarias las medias aritméticas de x e y), tiene la
ventaja de que solo se requieren las sumas de: x e y, sus cuadrados y sus
productos.
9.3 Análisis de Regresión
Como lo sugiere el estudio anterior, la regresión, consiste en reemplazar, la “nube de
puntos”, por una recta que mejor se ajuste, mediante la cual, podremos leer datos, en
lugares donde la información no existía. es decir, que podremos predecir.
Con el objeto de explicar los métodos de Regresión, considérense el problema
particular de predecir el rendimiento de pasto, como función de la cantidad de agua de
irrigación aplicada.
Los datos de la tabla representan la cantidad, en centímetros cúbicos, de agua
aplicada y el rendimiento en toneladas de forraje del terreno de una granja
experimental.
La gráfica de estos datos se ilustra en la figura.
12
5.27
Agua (x)
Rendimiento (y)
18
5.68
24
6.25
30
7.21
36
8.02
42
8.71
48
8.42
9
8
7
6
5
12
18
24
30
36
42
48
.
En éste gráfico, resulta que x e y están relacionados en forma aproximadamente
lineal, para ésta clase de valores de x.
Por ello, una línea recta podrá ser aplicada a éste grupo de puntos para PREDECIR
los valores de y partiendo de x .
El procedimiento para trazar la línea recta, partiendo de los datos, se denomina
MÉTODO DE LOS CUADRADOS MÍNIMOS. La recta pasará por los puntos que
mejor se ajusten a los datos disponibles, esto es, por los puntos donde las distancias
a los datos sean menores.
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Método De Los Cuadrados Mínimos
Por todo lo visto en los párrafos anteriores, la predicción se reduce al problema de
ajustar una línea recta a un grupo de puntos.
Ahora bien, la ecuación de la recta se escribe en la siguiente forma:
y = a + bx
en donde a y b son los parámetros que determinan la recta.
Así pues:
y = 2 + 3x
e
y = 4 - 2x
16
representan:
y=2+3x
y = 4 -2 x
11
6
1
- 8 - 6 - 4 - 24 0 2 4 6 8 1
0
-9
Puesto que el problema es determinar los valores de los parámetro a y b de manera
que la recta coincida satisfactoriamente con un juego de puntos, el problema es
esencialmente la estimación de los parámetros a y b de alguna manera eficiente.
El método más conocido es el de los MÍNIMOS CUADRADOS.
Puesto que la recta deseada se va a usar para objetivos de predicción es razonable el
requerir que la recta sea tal que hagan pequeños los errores de predicción.
Por error de predicción se entiende la diferencia entre un valor observado de y , con
el valor correspondiente de línea recta para y.
Por ejemplo, el valor de predicción en el ejemplo visto al comienzo de este tema, para
x= 30 es, aproximadamente igual a 7.21 - 7.00 = 0.21
Si se hubiera empleado una recta diferente para la predicción, el error sería otro.
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Lo que se busca es hacer mínimo la suma de los cuadrados de los errores y se
determina lo que se conoce como la línea recta mejor ajustada en el sentido de los
mínimos cuadrados.
Resulta claro que variando a y b de la ecuación de la recta, podremos encontrar la
recta que mejor se ajuste a los puntos de la figura vista al comienzo de este capítulo..
Sin embargo, lo necesario es lograrlo mediante un proceso racional sistemático y es
aquí donde interviene el principio de los MÍNIMOS CUADRADOS. La deducción de los
coeficientes de la recta de regresión está fuera del alcance de nuestro curso, por lo
cual solo se las enunciará de la siguiente manera:
RECTA DE REGRESIÓN :
y = a + bx
donde el término constante a y el coeficiente de regresión b se calculan según las
siguientes fórmulas:
Término constante de la fórmula de regresión: a 
 y  b x
n
Coeficiente de regresión de la fórmula de Regresión: b 
n xy   x y
n x 2 
  x
2
Comentarios acerca del coeficiente de regresión y de la recta de regresión
Cuando vimos el coeficiente de regresión dijimos que si la tendencia de la nube de
puntos era creciente, r varia de 0 a 1, y que si la tendencia era decreciente r varía
de 0 a -1.
Ahora podemos especificar mejor este punto, si la
pendiente de la recta de
regresión es positiva r varia de 0 a 1, y si la pendiente es negativa r varia de 0
a -1.
Nota importante: si la recta de regresión resulta paralela al eje de las x, r es
NULO.
9.4 Ejercicio de Aplicación.
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El siguiente ejercicio sirve para realizar todos los cálculos vistos y además utilizar la
recta para hacer algunas predicciones.
Con la siguiente serie de datos calcular el valor del COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN, calcular los COEFICIENTES DE LA RECTA DE REGRESIÓN Y
PREDECIR en tres puntos fuera de los valores registrados.
X
65
63
67
64
68
62
70
66
68
67
69
71
Y
68
66
68
65
69
66
68
65
71
67
68
70
X2
4225
3969
4489
4096
4624
3844
4900
4356
4624
4489
4661
5041
XY
4420
4158
4556
4160
4692
4092
4760
4290
4828
4489
4692
4970
Y2
4624
4356
4624
4225
4761
4356
4624
4225
5041
4489
4624
4900
X=800
y=811
X2=53418
XY=54107
Y2=54849
Calculo del coeficiente de correlación
r
12 54.107   800 811
 0.7027
2
2
1253.418  800 1254.849  811 
Calculo del coeficiente de regresión de la fórmula de regresión:
b
12 54.107   800 811  0.4764
12 53.418   800 2
Cálculo del Término constante de la fórmula de regresión:
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a
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811  0.4764800  35.82
12
Diagrama de dispersión y recta de regresión
71
70
69
68
67
66
65
62
64
66
68
70
72
Ecuación de la recta: y = a + bx = 35.82 + 0.48 x
Predicción para los valores de x fuera de los datos registrados:
VALORES DE X
50
85
90
PREDICCIÓN PARA Y
60
77
79
9.5 Ejercicios de Aplicación.
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico
En este curso solo se ha visto la regresión de y sobre x, por ello, de los
problemas sugeridos, el alumno solo deberá resolver según lo visto en clase.
Capítulo 13 : 13-8, 13-10, 13-19, 13-20, 14.40, 14.46, 14.47
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Capítulo 10
10 Teoría del muestreo
10.1 Muestreo aleatorio
En todas las discusiones referentes al muestreo y a las distribuciones de frecuencias
de muestras siempre se supuso que las muestras se escogían al azar, esto es que el
muestreo era aleatorio.
En términos de probabilidad, esto implica que la probabilidad de que un cierto
miembro cualquiera sea escogido es igual a 1/N donde N es el número total de
individuos de que consta la población.
10.2 Distribución de muestreo
Matemáticamente, y por la teoría de probabilidades, puede demostrarse que la
distribución de X poseerá una distribución normal, si es que X la posee, con el
mismo promedio que X, pero con una desviación típica que es
1
veces la
n
desviación típica de X. (n es el tamaño de una muestra seleccionada de entre N).
Estos resultados matemáticos se expresan en la forma de un teorema:
TEOREMA UNO: Si X posee una distribución normal cuyo promedio es  y cuya
desviación es , entonces el promedio de muestra X en una muestra al azar de
tamaño n, poseerá también una distribución normal cuya media será  y cuya
desviación típica será

n
En base a este teorema consideremos el siguiente problema:
Sea X la representación del peso de un individuo seleccionado al azar de una
población de varones adultos. Supóngase que X posee una distribución normal teórica
cuyo promedio  = 68 kg. y  = 3 Kg. Lo que se quiere resolver es lo siguiente: si se
toma una muestra al azar de tamaño n = 25 para esta población, ¿cual es la
probabilidad de que el promedio de la muestra X se encuentre dentro del intervalo 67
- 69 kg.?
El teorema señala que la media poseerá una distribución normal con :
X = 68
y
 X  0.6 
3


25
n
En el siguiente gráfico podemos ver las dos distribuciones, la primera, con trazo
delgado, es la distribución de las X, la segunda, con trazo grueso, es la distribución de
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las medias, en el primer caso, la desviación típica vale 3 Kg. y en el segundo caso,
vale 0.6, de acuerdo con los cálculos vistos más arriba.
Por otra parte, el tamaño de la muestra que se consulta es, n es igual a 25.
Distribución de las medias de muestreo
70
60
Probabilidad
50
40
Distribución de las X
30
Distribución de las
m edias
20
10
0
59
62
65
68
71
Kilogram os
74
77
El problema de calcular la probabilidad de que X se encuentre dentro
67 a 69 se resuelve ahora fácilmente utilizando la fórmula :
Z1 = (67-68) / 0.6 = - 1.67
y
del intervalo
Z2 = (69-68) / 0.6 = + 1.67
Según las tablas es 0,4525 + 0,4525 = 0,9050 es decir , la probabilidad de que X
se encuentra entre 67 y 69 es del 90,5%.
Supongamos ahora que la variable X no posea una distribución Normal.
El resultado es que si n es mayor que 25 la distribución de X , parecerá normal
independientemente de la distribución de población que se elija para X.
TEOREMA DOS: (Llamado del límite central) Si X posee una distribución con
promedio  y desviación típica , entonces el promedio de muestra X basado en
un muestreo al azar de tamaño n, poseerá una distribución normal aproximada con
promedio  y una desviación típica :

, cuya aproximación se hace cada vez
n
mejor al crecer n
Esto es válido para variables continuas ó discretas. Veamos un ejemplo para una
variable discreta que puede tomar los valores 1 a 6 con probabilidades según el
siguiente gráfico.
Distribución No Normal
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0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
Esta distribución tiene una media aritmética = 2.75 y una desviación típica igual a
1.48
De esta población, supongamos de 1000 unidades, sacaremos 100 muestras, (con
reposición) de 10 unidades cada una, se obtuvo el siguiente resultado real:
Clases
1.5 - 1.6
1.7 - 1.8
1.9 - 2.0
2.1 - 2.2
2.3 - 2.4
2.5 - 2.6
2.7 - 2.8
2.9 - 3.0
3.1 - 3.2
3.3 - 3.4
3.5 - 3.6
3.7 - 3.8
X
1.55
1.75
1.95
2.15
2.35
2.55
2.75
2.95
3.15
3.35
3.55
3.75
Tildes
/
//
///// //
///// /////
///// /////
///// /////
///// /////
///// /////
///// ////
/
//
Total
///
///// /
///// ////
///// /
////
Frecuencias
1
0
2
7
13
16
19
16
14
9
1
2
100
El histograma para este diagrama de frecuencias es el siguiente:
20
15
10
5
0
1,55 1,75 1,95 2,15 2,35 2,55 2,75 2,95 3,15 3,35 3,55 3,75
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De donde se desprende por cálculo, a partir de la distribución de frecuencias obtenida,
que X = 2.77 y la desviación típica de la población de muestreo es 0.41
Los valores teóricos son :
 X    2.75
y
x 

148
.

 0.47
n
10
Por lo tanto vemos que se cumple: a) una muy buena aproximación de los valores
teóricos a los prácticos, y b) que el perfil de la distribución de las medias se parece a
una normal, pese a que la distribución de las X es lo menos parecido a una normal.
10.3 Muestreo de Poblaciones Pequeñas
En todos los cálculos anteriores se ha supuesto que la población era suficientemente
grande como para que la extracción de la muestra no afectara los resultados, Pero, si
la población es pequeña, esta presunción no es correcta, y debemos corregir de la
siguiente manera:
Si N indica el tamaño de la población que se muestrea y n denota el tamaño de la
muestra que se toma sin reposición, entonces puede demostrarse que la fórmula :
X 

n
Se sustituye por la siguiente
X 
 N n
n N1
Para ver el efecto que el factor de corrección tiene, haremos un ejercicio
considerando los tamaños de muestra de población para los cuales:
a) n = 5% de N
b) n = 10% de N
c) n = 20% de N
Puesto que rara vez tiene objeto tomar muestras de poblaciones menores de 100, y
puesto que N - 1 diferirá de N por menos del 1%, entonces, el factor de corrección
se puede simplificar así:
a)
1
5
 0.97
100
Derechos de autor en trámite
b)
1
10
 0.95
100
c)
1
20
 0.89
100
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Con estos resultados, es conservadora la conclusión de que la fórmula original,
X 

se encontrará dentro de un error inferior al 10% a menos que la muestra
n
constituya el 10% o más de la población.
Como recomendación final sería: usar la fórmula original mientras que la muestra sea
menor que el 10% con respecto a N, y la fórmula corregida desde el 10% para arriba.
10.4 Distribución de Muestreo de Proporciones.
El mismo factor de corrección, visto en el párrafo anterior, puede aplicarse a la
desviación típica de las proporciones, cuando el tamaño de la población es lo
bastante pequeño como para justificarlo.
Las fórmulas vistas en el capítulo correspondiente para las distribuciones discretas,
esto es, las distribuciones binomiales, nos enseño que el valor más probable es np
(Nótese que éste valor más probable, es el equivalente a la media aritmética de las
distribuciones continuas), siendo n el tamaño de las muestras y p la fracción
defectuosa, es decir la proporción de defectos que tiene la muestra, el producto
indicado, es decir un número discreto, por esto en Control de Calidad a los gráficos np
se les llama gráficos de defectuosos, porque son las unidades con uno o más
defectos que encontramos durante las inspecciones. En ese contexto, la desviación
típica fue definida cómo: npq . De acuerdo con esto podremos deducir fácilmente
las fórmulas correspondientes a la proporción p dividiendo ambas expresiones por n,
con lo cual np queda reducido a p y la desviación típica que era npq quedará como
:
pq
, nótese que al dividir por n entra dentro de la raíz como n al cuadrado.
n
Ahora, basándonos en las anteriores demostraciones, podemos hacer extensiva la
correspondiente fórmula, para las proporciones:
σ p' 
pq N  n
n N1
10.5 Distribución de muestreo de diferencias y sumas.
Supongamos tener poblaciones de tamaño N1 y N2 , para cada muestra n1 y n2
calculamos los correspondientes estadísticos S1 y S2 . Esto nos da, una población de
muestreo para ambos estadísticos, (nótese que por estadísticos estamos suponiendo
cualquier parámetro que estamos controlando, como la media aritmética o la
desviación típica, o cualquier otra cosa).
Las dos poblaciones de muestreo tendrán en consecuencia una media del muestreo y
una desviación típica, también de los datos del muestreo. Estas estarán denotadas
por : s1 , s2 , s1 y s2 .
De todas las posibles combinaciones, podremos obtener una distribución de muestreo
para las diferencias de los estadísticos. La media y la desviación típica de esta
distribución de muestreo, se escribe como :
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s1-s2 = s1 - s2
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y σ s1-s2  σ 2s1  σ 2s2
Para que se cumplan estas condiciones, las muestras seleccionadas no deberán tener
dependencias entre ellas, es decir, deberán ser necesariamente independientes entre
sí.
Si S1 y S2 son las medias muestrales de ambas poblaciones, cuyas medias
escribiremos X1 y X 2 , entonces la distribución de muestreo de las diferencias de
medias viene dada por:
μ x1  x 2  μ x1 - μ x 2  μ1 - μ2
σ x1  x 2  σ 2x1  σ 2x 2 
σ 12 σ 22

n1 n2
Estas fórmulas son válidas para muestreo de poblaciones infinitas o con reposición.
Los mismos resultados los obtenemos para distribuciones de muestreo de diferencias
de proporciones de dos poblaciones binomialmente distribuidas con parámetros (p1,q1)
y (p2, q2) respectivamente. En este caso las fórmulas se expresan como sigue:
μ p 1 p 2  μ p 1 - μ p 2  p 1 - p 2
σ p1 p 2  σ p21  σ p22 
p1q1 p 2 q 2

n1
n2
Todos los desarrollos vistos sirven para el caso de la suma en lugar de la resta, así
para el primer caso tendríamos:
μs1 s2  μs1  μs2
y
σ s1 s2  σ 2s1  σ 2s2
Esta fórmula es de uso frecuente y de gran utilidad en el área de Control de Calidad
Estadístico.
Nótese que para la desviación típica el resultado de la suma es el mismo que para la
diferencia.
10.6 Ejercicios de Aplicación.
Ejercicio 1
Si la desviación típica de las estaturas de niños de primer grado es de 5 cm, ¿cuál es
la probabilidad de que la estatura promedio de una muestra al azar de 100 de estos
niños difiera en más de un cm, con respecto a la estatura promedio para todos los
niños?
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Desarrollo:
Supondremos que N (desconocido) es muy grande:
Si la desviación típica es 5 cm será:
x 
z
5
 0.5
100
XX
1

2

0.5
Para z = 2, el área bajo la curva normal es igual a: 0,4772
Entonces, el área bajo la curva normal, entre –2 y +2, esto es, entre -1 y +1
alrededor de la media, será 0,4772 * 2 = 0,9544
Pero ésta será la probabilidad de que se encuentre entre los límites dados, la
pregunta lo solicita fuera de dichos límites.
La respuesta será 1,0000 – 0.9544 = 0,0456
Esto significa una probabilidad de 4,56 %
Ejercicio 2
En el mismo ejercicio anterior supondremos que N = 500
En este caso, n = 100 es el 20% de N, por lo tanto usaremos la fórmula
correspondiente:
X 
z
500 100
 0.45
100 500 1
5
XX
1

 2,22

0,45
Para este valor de z, la probabilidad de que se encuentre entre +1 cm y –1cm es del
98,68% y de que se encuentre afuera, del 2.64 %
Ejercicio 3
Hallar la probabilidad de que en los próximos 200 nacimientos a) menos del 40% sean
niños, b) entre 43% y 57% sean niños, c) más del 54%
Se deberá suponer que las probabilidades de nacimiento de niño o niña serán del
50%.
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a) p = 0,50 y q = 050, Además N es muy grande
 = P = 0,50
y

pq
0.50* 0.50

 0,03536
n
200
z
X   0,4000- 0,5000

 2,83

0,03536
Para este valor de z, la tabla nos da un área de 0,4977, por lo cual, el área
correspondiente a menos de 40 % será: 0,500 – 0,4977 = 0,0023
Respuesta: 0.23 %
b) en este caso tenemos que hacer dos cálculos:
z1 
0,43  0,50
 1.98
0,03536
z2 
0,57  0,50
 1.98
0,03536
El área correspondiente será de 0,4761 * 2 = 0,9522
Respuesta:
95,22%
c)
z1 
0,54  0,50
 1,13
0,03536
El área correspondiente a z = 1.13 es 0,3708.
Pero nos preguntan lo que supera a ese valor, es decir más de 54%, por lo tanto hay
que restarlo de 0,5000.
0,5000 – 0,3708 = 0,1292
Respuesta: 12,92%
Ejercicio 4
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Dos distancias se han medido como 27.3 cm y 15.6 cm con desviación típica de 0,16
y 0,08 cm, respectivamente. Hallar la media y la desviación típica de a) la diferencia y
b) la suma de esas distancias.
Solución:
a) d1 –d2 = d1 - d2 = 27.3 – 15.6 = 11.7 cm
d1d2  2d1  2d2  0,162  0,082  0.18cm
b)
d1 +d2 = d1 + d2 = 27.3 + 15.6 = 42.9 cm
 d1 d2   2d1   2d2  0,16 2  0,08 2  0.18cm
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico.
Capítulo 8
Ejercicios 8.1, 8.2, 8.3,
8.27, 8.34, 8.39, 8.40.
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8.4, 8.7, 8.11, 8.16, 8.21, 8.23, 8.24, 8.25, 8.26,
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Capítulo 11
11 Intervalos de confianza
11.1 Estimación por punto y por intervalo
Uno de los usos más frecuentes de la estadística, es la ESTIMACIÓN de propiedades
de la población.
Las dos distribuciones de frecuencias de poblaciones que se han estudiado han sido
la Binomial y la Normal, por lo tanto, consideraremos sus propiedades.
La Distribución Binomial,
 N
PX    p X qN X
 X
queda completamente determinada por el número de intentos n, y la probabilidad de
éxito en una sola prueba p.
Los símbolos n y p se llaman Parámetros de la distribución.
Recordemos la diferencia entre Estadísticos y Parámetros, el primero se refiere a
los medidores de la distribución de una muestra, y el segundo a los medidores de la
distribución de la población. En las consideraciones siguientes hablaremos de
parámetros pues estamos estudiando las propiedades de toda la población que nos
interesa. Los parámetros n y p determinan completamente la distribución binomial y,
consecuentemente, cualquier propiedad de la distribución.
La DISTRIBUCIÓN NORMAL
parámetros  y  .
queda completamente determinada por los dos
Curva Normal de Gauss


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






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Los problemas de estimación para problemas normales
generalmente a los problemas de estimación de  y .
pueden
reducirse
Existen dos tipos de estimaciones de parámetros . Uno es la estimación por punto y
la otra es la estimación por intervalo.
Una estimación por punto es lo habitual, esto es el número que se obtiene por
cálculo a partir de los valores de la muestra y que sirve como aproximación al
parámetro que se está estimando.
Una estimación por intervalo, para un parámetro es un intervalo determinado por
dos números que se obtienen a partir de cálculos de valores de muestras que se
espera contengan el valor del parámetro en su interior. La estimación por intervalo se
construye de forma tal, que la probabilidad de que el intervalo contenga al parámetro
puede especificarse. Tales estimaciones por intervalo se llaman “INTERVALOS DE
CONFIANZA”
11.2 Intervalo de confianza
Partiremos el estudio de estos intervalos, utilizando las propiedades de la Distribución
Continua llamada Curva Normal, luego de lo cual, extenderemos los conceptos, a la
distribución discreta o Binomial.
Supongamos que se trata de estimar la media X de cierta característica de calidad de
un lote de N unidades. Para ello extraemos una muestra de n unidades y
determinamos los valores X1, X2, ...,Xn
El siguiente diagrama representa una interpretación de lo que se esta tratando:
X1 XN X4 X

X3 X2
------------------------------------I---I-----I------I-------I----------I--I--I-------------------->
I1
0
I2
eje de las X
Supongamos tener n datos X de una muestra extraída de una población N, de los
cuales en el eje de las X hemos ubicado los 4 primeros datos y el último dato, estos
son X1 , X2 , X3 , X4 y Xn , está implícito que sobre este eje estarán todos los datos de
la muestra.
La media aritmética de esta muestra es X la cual fue ubicada en un lugar central de
los datos escritos. Por todo lo explicado hasta ahora, la media de la población, 
estará cerca del valor anterior pero, probablemente, no coincidirá con el valor anterior.
En el gráfico, lo hemos escrito a la derecha de X .
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Ahora bien, llamaremos INTERVALO DE CONFIANZA, a una distancia desde la
media aritmética X de la muestra hasta I1 e I2 , de tal forma que  se encuentre
dentro del tramo I1 - I2 . Nos haremos ahora dos preguntas: a) ¿cómo calcular los
valores de los extremos de dicho intervalo de manera que contenga el desconocido
valor de ? b) con que confianza, es decir, cual será la probabilidad de que
efectivamente el desconocido valor de  se encuentre dentro de dicho intervalo?
El valor verdadero del lote, esto es , tendrá una cierta probabilidad conocida de estar
situada en el interior de dicho intervalo. Anteriormente hemos visto que el intervalo:
menos una desviación típica y más una desviación típica, alrededor de la media
aritmética, encierra un área de 68.27%, si usamos este concepto en términos de
probabilidades podemos decir que si tomamos una unidad de la distribución,
tenemos una probabilidad del 68.27% de que se encuentre en el intervalo de masmenos una desviación típica de la media aritmética.
Con el mismo criterio podemos decir que la probabilidad de que se encuentre en el
intervalo de mas-menos dos desviaciones típicas es del 95.45% y de mas-menos tres
desviaciones típicas del 99.73%
Por otra parte, la variable z 
x
, es la desviación respecto a la media calculada

con una unidad igual a la desviación normal. Es decir la tabla normal de Gauss es una
distribución donde la desviación típica vale 1 y la media aritmética vale cero.
En consecuencia, la probabilidad de encontrar un valor determinado de z, inferior a 1
y superior a –1, es del 68.27% inferior a 2 y superior a –2, del 95.45% e inferior a 3 y
superior a -3, del 99.73%.
En consecuencia, la probabilidad de un valor de z fuera del intervalo 1 a -1, es de
31.73%, fuera del intervalo 2 a -2, del 4.55% y fuera del intervalo 3 a -3, del 0.27%.
Utilizando la Tabla Normal de Gauss, podemos construir la siguiente tabla que nos
será de utilidad para el resto de este capítulo y el siguiente:
% nivel de
confianza
z
99.73
99.0 98.0 96.0 95.45 95.0 90.0
80.0 68.27
50.0
38.30
3
2.58 2.33 2.05 2
1.28 1
0.6745
0.500
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1.96 1.645
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11.3 Estimación de la media aritmética.
Supongamos que queremos determinar la resistencia a la tracción de un lote de
barras de acero al carbono contenidas en una industria.
De ensayos anteriores, conocemos que la desviación típica poblacional vale 200
Kg./cm2
Extraemos al azar, una muestra de 100 barras y medimos X  5.500kg/ cm2 .
¿Qué podemos inferir respecto de la media real ?
Para esto sabemos que:
1) Las medias X de las muestras de 100 u, tomadas al azar, tienen como media
general: , (Teorema del Límite Central, Capítulo 10).
2) La desviación normal de las medias, que mide su dispersión alrededor de 
es:
x 
´
200

 20kg/ cm2
n
100
Puesto que n es 100, o sea es mayor de 30, de acuerdo con lo visto en la Teoría del
Muestreo, Capítulo 10, la distribución de las medias de muestreo, será normal.
Supongamos ahora que queremos saber cual es la probabilidad de que el valor
encontrado X , no difiera en más de 50 Kg../cm2de la media de la población : 
Este planteo supone dos hipótesis:
a) 5500 -  
50
5500-50  
b)  - 5500  50
  5500+50
Y estas expresiones pueden resumirse como:
5500 - 50   
5450   
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5500 + 50
5550
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Estos serán los valores extremos que nos interesan, transformemos estos valores en
unidades de la variable z (es ambos lados iguales)
z=
5550  5500 50

 2.50
20
20
La probabilidad para 2.5, según la tabla de Gauss es de 49.38% y por estar a ambos
lados de la media será el doble, esto es 98,76%.
Así pues, podemos decir que existe un 98,76% de probabilidad, de que el
desconocido valor de , se encuentre entre 5450 Kg./cm2 y 5550 Kg./cm2.
Y, como consecuencia, la probabilidad de que se encuentre fuera de dicho intervalo,
será 100,00 % – 98.76 % = 1,24 %.
11.4 Margen de error y coeficiente de confianza.
Puesto que con una muestra, estamos infiriendo cual podría ser el valor del
parámetro poblacional, es una consecuencia lógica pensar que la diferencia entre la
X conocida y la  desconocida sea considerada como el Error de la Estimación.
Este error será menor, cuando mayor sea la muestra. Lo cual está en línea con todo lo
que se ha venido enseñando, cuanto mayor es la muestra, mejor y más confiable es la
respuesta de la muestra.
5550
5500
5450
Si lo que queremos hacer es una estimación del error que tiene una probabilidad de
ser menor al 5%, significará que el intervalo, que comprende el interior de la curva
gaussiana, será el 95% del área de la curva normal.
Por otra parte, si queremos que afuera del intervalo, exista 5%, como es simétrico,
será, 2,5 % a cada lado del intervalo.
Por lo tanto, si en el interior de la figura, entre ambos límites, tenemos el 95% del
área, de la mitad hacia cualquiera de los dos lados tendremos el 47.5% del área, y si
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buscamos en la tablas de Gauss, para el dato más cercanos a dicho a dicho valor,
tenemos que z = 1,96
De acuerdo con lo desarrollado, podemos concluir, que el error de la estimación, de
un 95% va desde z = -1.96 a z = +1.96.
De esta forma llegamos al concepto de Límites de Confianza y es el intervalo dentro
del cual estimamos que puede encontrarse el valor de la Media Poblacional llamada
.
La fórmula generalizada, la podemos describir como sigue:
Xz

n
en el caso que hemos desarrollado, estos límites con 95% de confianza serán:
5500 1.96
200
 5500 39
100
También podemos expresarlo de esta otra manera:
5461<<5539
Y se expresa que, con un Coeficiente de Confianza del 95% , el desconocido valor
de la media poblacional: , se encuentra entre los Límites de Confianza: 5461 y
5539.
En el cálculo anterior hemos desarrollado los límites de confianza para un margen de
error del 5%, pero de la misma manera podemos rehacer el cálculo para otros
Coeficientes de Confianza, veamos dos ejemplos, para 90% y 99%.
Para el primero, 90% implica un margen de error del 10%, esto es 5% de cada lado.
Para 90% significa 45% a cada lado del cero en la distribución normal de Gauss, por
ello buscamos el z mas cercano a .4500 y encontramos que el valor de z es 1.64.
5500 1.64
200
 5500 33
100
o bien:
5467<<5533
Esto último significa que, con un margen de error del 10%, o dicho de otra manera,
con una confianza del 90% podemos decir, que el desconocido valor de la media
poblacional se encuentra entre 5467 y 5533.
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Rehacemos el cálculo para un 99% de confianza o 1% de error:
5500 2.58
200
 5500 52
100
o bien:
5449<<5551
Como se puede apreciar, a medida que aumentamos la confianza, los Limites se
abren más, cuando somos menos exigentes, los límites se juntan.
Nivel de Confianza
Límites de Confianza
90%
95%
99%
5467<<5533
5461<<5539
5449<<5551
11.5 No siempre se conoce el valor de la desviación típica poblacional.
En el ejemplo anterior se partió de la suposición de que conocíamos el valor de la
desviación típica de la población. En ese caso los cálculos son como se han mostrado.
Pero las fórmulas cambian un poco cuando no se conoce dicho parámetro.
Cuando no se conoce se debe hacer una estimación con una muestra tomada al azar
del lote en estudio, esta muestra deberá ser preferentemente mayor a 30 unidades y
los cálculos deberán contener una corrección dada por la siguiente fórmula:
  
n
n 1
El valor de  es el que se obtiene de la muestra mayor a 30, y el valor que figura bajo
el signo radical, es el factor que permite estimar, en función del valor hallado, cual
sería el valor del parámetro de la población.
Una vez estimado se hacen los cálculos como se describió anteriormente.
Otra situación que se puede dar es la siguiente, la muestra es menor a 30, pero
conocemos la desviación típica de la población, en ese caso, también procedemos
igual que lo descrito, pues lo que importa es el valor de la población conocido.
Pero, cuando no conocemos la desviación típica poblacional, y la tenemos que estimar
con una muestra de 30 o menos, entonces ya no sirve la distribución Gaussiana y la
estimación vista anteriormente no es válida.
En este caso, se utiliza la llamada Distribución t, que veremos a continuación.
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11.6 Distribución t, o Distribución de Student.
Esta distribución se utiliza para muestras pequeñas, el valor de z se reemplaza por el
valor t que es como una z más amplia, debido a la menor confianza que nos brinda la
muestra al ser 30 ó menos.
Esta variable t se encuentra dada en la siguiente tabla y en ella puede observarse que
la columna de la izquierda se titula Grados de Libertad. Esto es uno menos que el
tamaño de la muestra.
Los Grados de Libertad son los valores que se pueden fijar libremente.
La fórmula general para muestras de 30 ó menos y cuando no se conoce el valor de la
desviación típica poblacional es:
Xt

n 1
donde el valor de  se obtiene a partir de la muestra.
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DISTRIBUCIÓN
t
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Student
El Coeficiente de Confianza está representado por el área interior de la distribución.
El error está representado por las "colas" a ambos lados de la distribución.
Confianza
Error

Grados
De
Libertad

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
Derechos de autor en trámite
0,50
0,50
0,75
0,25
0,80
0,20
0,85
0,15
1,000
0,816
0,765
0,741
0,727
0,718
0,711
0,706
0,703
0,700
0,697
0,695
0,694
0,692
0,691
0,690
0,689
0,688
0,688
0,687
0,686
0,686
0,685
0,685
0,684
0,684
0,684
0,683
0,683
0,683
0,681
0,679
0,677
2,414
1,604
1,423
1,344
1,301
1,273
1,254
1,240
1,230
1,221
1,214
1,209
1,204
1,200
1,197
1,194
1,191
1,189
1,187
1,185
1,183
1,182
1,180
1,179
1,178
1,177
1,176
1,175
1,174
1,173
1,167
1,162
1,156
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,303
1,296
1,289
4,165
2,282
1,924
1,778
1,699
1,650
1,617
1,592
1,574
1,559
1,548
1,538
1,530
1,523
1,517
1,512
1,508
1,504
1,500
1,497
1,494
1,492
1,489
1,487
1,485
1,483
1,482
1,480
1,479
1,477
1,468
1,458
1,449
0,90
0,10
0,95
0,05
0,98
0,02
0,99
0,01
6,314 12,706 31,821 63,656
2,920 4,303 6,965 9,925
2,353 3,182 4,541 5,841
2,132 2,776 3,747 4,604
2,015 2,571 3,365 4,032
1,943 2,447 3,143 3,707
1,895 2,365 2,998 3,499
1,860 2,306 2,896 3,355
1,833 2,262 2,821 3,250
1,812 2,228 2,764 3,169
1,796 2,201 2,718 3,106
1,782 2,179 2,681 3,055
1,771 2,160 2,650 3,012
1,761 2,145 2,624 2,977
1,753 2,131 2,602 2,947
1,746 2,120 2,583 2,921
1,740 2,110 2,567 2,898
1,734 2,101 2,552 2,878
1,729 2,093 2,539 2,861
1,725 2,086 2,528 2,845
1,721 2,080 2,518 2,831
1,717 2,074 2,508 2,819
1,714 2,069 2,500 2,807
1,711 2,064 2,492 2,797
1,708 2,060 2,485 2,787
1,706 2,056 2,479 2,779
1,703 2,052 2,473 2,771
1,701 2,048 2,467 2,763
1,699 2,045 2,462 2,756
1,697 2,042 2,457 2,750
1,684 2,021 2,423 2,704
1,671 2,000 2,390 2,660
1,658 1,980 2,358 2,617
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Ejemplo 1:
Para obtener el valor de t que corresponde a un área de 0,10 en ambos extremos de
la distribución combinada, cuando hay 19 grados de libertad, se busca bajo la columna
correspondiente a 0,10 y se baja por ella hasta el renglón de los 19 grados de libertad;
el valor correspondiente de t es 1.729
Distribución t
,05 del área
-t = 1,729
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,05 del área
+t = 1,729
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Ejemplo 2:
Continuando con el ejemplo visto en 11.3, donde queremos determinar la resistencia a
la tracción de un lote de barras de acero al carbono contenidas en una industria.
Extraemos al azar, una muestra de 26 barras y medimos X  5.500kg/ cm2 y  =
200 kg/ cm2 ¿Qué podemos inferir respecto de la media real ?
Deseamos pronunciarnos con una confianza del 95%, es decir, con un margen de
error del 5%.
Aplicando la fórmula vista para la distribución t tenemos:
5500 2.060
200
26  1
 5500 82
o bien:
5418<<5582
Como puede apreciarse, los límites se han abierto significativamente debido a la falta
de confianza en una muestra chica.
11.7 Intervalos de
defectuosos.
confianza
para
las
proporciones
o
porcentajes
de
En 8.1, definimos que, para la distribución Binomial es:
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Valor m as probable X  np
De s viación Típica  σ  npq
Pero ahora nos interesa solo p, es decir el % defectuoso, para ello dividimos las
fórmulas por el valor de n y nos queda:
Valor m as probable X  p
De sviaciónTípica  σ p 
pq
n
Así, la fórmula para los intervalos de confianza para las proporciones o porcentajes de
defectuosos, estará dada por la siguiente expresión:
pz
pq
n
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico.
Capítulo 9
Ejercicios: 9.5, 9.6, 9.7, 9.9, 9.10, 9.11, 9.12, 9.22, 9.23, 9.24, 9.25, 9.26, 9.27,
9.28, 9.30, 9.31, 9.32, 9.33, 9.34.
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Capítulo 12
12 Números Índice
12.1 Relaciones de Precios
La Relación de Precios es el cociente entre el precio de un artículo en un período
dado y su precio en otro período, conocido como período base o período de referencia
Re lación de precios
pn
po
Problema
Los precios al por menor, en centavos por libra, del cinc en Usa, durante 1978-84 son:
Año
Precio
cinc
promedio
1978
del 31.0
1979
37.3
1980
37.4
1981
44.6
1982
38.5
1983
41.4
1984
48.6
a) Con 1978 como base, hallar las relaciones de precios correspondientes a los años
1982 y 1984
p 1978 / 1982 
38.5
 1.242  124.2%  124.2
31.0
p 1978 / 1984 
48.6
 1.568  156.8%  156.8
31.0
b) Con 1980 como base, hallar las relaciones de precios correspondientes a los años
dados:
Año
Relación de precios
1980 = 100
1978
82.9
1979
99.7
1980
100
1981
119.3
1982
102.9
1983
1107
1984
129.9
c) Usando como base 1978 – 1980, hallar las relaciones de precios correspondientes
a los años dados. Primero hallamos el promedio de precios del periodo base: 35.2
Segundo dividimos cada precio de la primera tabla:
Año
Relación de precios
1978-1980 = 100
Derechos de autor en trámite
1978
88.1
1979
106.0
1980
106.3
1981
126.7
1982
109.4
1983
117.6
1984
138.1
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12.2 Relaciones de Cantidad o de Volumen
Si qo denota la cantidad o volumen de producción, consumo, exportación, etc., durante
un período base, y qn la correspondiente cantidad producida, consumida, etc., durante
un período dado, definimos:
Relación de cantidado de volumen
qn
qo
Problema
La tabla presenta la producción de trigo en Usa de 1977 a 1985. Reducir los datos de
la tabla a relaciones de cantidad usando a) 1982 b) 1977-1980 como base:
Año
Producción de trigo
1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
2046 1776 2134 2380 2785 2765 2420 2595 2425
Reducir los datos de la tabla a relaciones de cantidad usando a) 1982 y b) 1977-1980
como base:
a) Se dividen las cifras por 2765:
Año
Relación
Cantidad
(1982=100)
1977 1978 1979 1980 1981
74.0 64.2 77.2 86.1 100.7
1982
100.0
1983 1984 1985
87.5 93.9 87.7
b) La media aritmética de los años 1977 – 1980 es 2084, luego se divide la
producción de cada año. ( Comprobación : la suma de los valores del período
dividido 4 = 100)
Año
Relación
Cantidad
1977 1978 1979
98.2 85.2 102.4
1980
114.2
1981
133.6
1982
132.7
1983
116.1
1984
124.5
1985
116.4
(1977-1980=100)
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12.3 Relaciones de Valor
Si p es el precio de un artículo durante un período y q es la cantidad (o volumen)
Producida, vendida, etc., durante ese período, entonces pq se llama valor total
Si po y qo son el precio y la cantidad de un artículo durante un período base y pn y qn el
precio y la cantidad correspondiente a un período dado, entonces definimos:
Re lación de valor 
vn
p q
p
q
 n n  n x n  relaciónde preciosx relaciónde cantidad
vo
p o qo
p o qo
Problema
En enero de 1980 una empresa pagó un total de $80.000 a 120 empleados en
nómina.
En Julio de ese mismo año, la empresa tenía 30 trabajadores más en nómina y pagó
$12.000 más que en enero.
a) Con enero de 1980 como base, hallar el número índice de empleo (la relación de
cantidad) para julio.
b) Con enero de 1980 como base, hallar el número índice (relación de valor)
trabajo - gasto para julio.
c) Usando el resultado: relación de precios x relación de cantidad = relación de valor,
¿qué interpretación se le puede dar a la relación de precios en éste caso?
Solución:
a) El número índice de empleo es:
Relaciónde cantidad
120  30
 1.25  125%  125
120
b) El número índice trabajo – gasto es:
Relaciónde v alor :
$80.000  $12000
 1.15  115%  115
$80.000
c) Despejando de la relación indicada;
Relación de precios
Relaciónde valor
115

 0.92  92%  92
Relaciónde cantidad 125
Este es un número índice de costo por empleado. Significa que en julio de 1980 el
costo por empleado era el 92% del de enero de 1980.
12.4 Relaciones de Enlace y en Cadena
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Si p1, p2, p3,... representan los precios durante intervalos sucesivos de tiempo 1, 2, 3 ...,
Entonces p1/2, p2/3, p3/4, ... representan las relaciones de precios de cada intervalo
respecto al intervalo de tiempo precedente y se llaman: Relaciones de enlace
Cuando se interpretan una a continuación de otra y se lee la variación entre un tiempo
y otro forman una Cadena que muestra la variación del precio entre dichos dos
instantes de tiempo.
Problema
Supongamos que tenemos que actualizar el monto del arriendo de un departamento
que en el mes de Diciembre fue de $100.000,
a) Se desea saber cual será, actualizado el monto en el mes de Julio del siguiente
año.
b) Cual será la variación del precio entre Abril y Junio.
La información disponible son los índices de variación de precios al consumidor (IPC)
de cada mes:
Enero
Febrero
Marzo
1.1%
0.9%
1.5%
Abril
Mayo
Junio
0.5%
0.9%
1.2%
Solución:
a) En primer término se debe escribir la relación de enlace, en forma de índice, para
cada dato mensual:
Enero
Febrero
Marzo
1.011
1.009
1.015
Abril
Mayo
Junio
1.005
1.009
1.012
Luego se calcula el producto de todos ellos:
1.011*1.009*1.015*1.005*1.009*1.012 = 1.0625
Este cálculo indica que la variación de precios a sido del 6.25% en los 6 meses
estudiados. Este cálculo es una cadena de 6 meses.
El producto de 1.0625 por el valor del arriendo en Diciembre nos indica el valor que
deberá cobrarse en Julio. El resultado es: $ 106.250
c) La variación de precios entre Abril y Junio será:
1.005*1.009*1.012 = 1.0262
Esto es el 2.62 %
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12.5 El método de agregación simple
Es el cociente del precio total de los artículos en el año dado, pn y el precio total de
los artículos en el año base, po. Se expresa en forma porcentual.
Indice de precios por agregaciónsimple 
p
p
n
o
Desventajas del método
1) No tiene en cuenta la importancia relativa de cada artículo.
2) El tipo de unidades escogidas al anotar los precios afectan al índice.
(kg. o gr. , litros o mililitros, etc.)
Problema
La tabla muestra los precios al por mayor y las producciones en Usa de leche,
mantequilla y queso para 1980, 1981, y 1985. Calcular un índice de precios al por
mayor por agregación de estos productos para el año 1985, tomando como base :
a) 1980 y b) 1980 – 1981.
Precios (centavos por libra)
Leche
Mantequilla
Queso
1980
13.2
139.3
156.2
1981
14.0
148.0
167.2
1985
12.9
141.1
162.0
a) El índice de precios por agregación simple es:
Indice de precios por agregación simple 
p
p
n
0

Suma de precios en el año pref ijado(1985)

Suma de precios en el año base ( 1980)
12.90  141.1  162.0
 102.4%
13.23  139.3  156.2
b)
El precio promedio 1980-1981:
De la leche: 13.5, de la mantequilla: 143.7 y del queso: 161.7
Por lo tanto el índice de precios por agregación simple es:
p
p
n

o
12.90  141.1 162.0
 99.1%
13.59  143.7  161.7
En la práctica la cantidad de artículos que integran un índice es muy grande y
conforman una “canasta” .
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12.6 El método del promedio simple de relaciones
Método de la media aritmética.
Indice de la media aritméticasimple de relaciones de precios 
p
n
/ po
N
Este método mejora respecto al anterior en que ya no tiene la segunda desventaja,
pero, conserva la primera.
Problema
Calcular un índice de precios al por mayor para el año 1985, usando 1980 como base.
Precios (centavos por libra)
Leche
Mantequilla
Queso
1980
13.23
139.3
156.2
1981
13.95
148.0
167.2
1985
12.90
141.1
162.0
Relación de precios.
De la leche:
De la mantequilla:
Del queso:
12.90/13.23= 97.5%
141.1/139.3=101.3%
162.0/156.2=103.7%
Indice de la m ediaaritm éticasim plede relacionesde precios
p
n
/ po
N
Derechos de autor en trámite

97.5  101.3  103.7
 100.8%
3
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12.7 El método de agregación ponderada
Con el fin de evitar las desventajas del método de agregación simple, asignamos un
peso al precio de cada artículo, en general la cantidad vendida durante el año base,
durante el año dado o durante algún año típico. Tales pesos indican la importancia del
artículo en cuestión. Se usan las siguientes fórmulas de pendiendo de po y pn,
1. Indice de Laspeyres o método del año base:
Indicede preciospor agregaciónponderadacon pesos de cantidaden el año base 
p
p
nqo
o qo
El término poqo recibe el nombre de “canasta”
2. Indice de Paasche o método del año dado:
Indice de preciospor agregaciónponderadacon pesos de cantidaden el año dado :
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p
p
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n qn
o qn
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12.7.1 El método de agregación ponderada por el Indice de Laspeyres o método
del año base:
Problema
Precios (centavos por libra)
1980
1981
1985
13,23
13,95
12,90
139,3
148,0
141,1
156,2
167,2
162,0
Años
Leche
Mantequilla
Queso
Cantidad ( millones de libras)
1980
1981
1985
128500
132800
143700
1145
1228
1248
2381
2664
2854
Con los datos de la tabla calcular el índice de Laspeyres para 1985 con a) 1980 b)
con 1980-1981 de base:
a)
p q
p q

n
o
o
o

 ( precios en 1985)(cantidades en 1980) 
 ( precios en 1980)(cantidades en 1980)
(12,90)(128500)  (141,1)(1145)  (162,0)(2381)
 0,9881 98,8%
(13,23)(128500)  (139,3)(1145)  (156,2)(2381)
b)
Este ejercicio de debe realizar en clase formando grupos de alumnos.
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12.7.2 El método de agregación ponderada por el Indice de Paasche o método
del año dado:
Problema
Precios (centavos por libra)
Años
Leche
Mantequilla
Queso
1980
13,23
139,3
156,2
1981
13,95
148,0
167,2
1985
12,90
141,1
162,0
Cantidad
libras)
1980
128500
1145
2381
(
millones
1981
132800
1228
2664
de
1985
143700
1248
2854
Con los datos de la tabla calcular el índice de Paasche para 1985 con a) 1980 b) con
1980-1981 de base:
a) Base: 1980
p q
p q
n
n
0
n

 (precios en 1985)(cantidades en 1985) 
 (precios en 1980)(cantidades en 1985)
12,90x143700 141,1x1248 162,0 x 2854
 0,9886  98,9%
13,23x143700 139,3x1248 156,2 x 2854
b) Base: 1980 - 1981
p q
p q

n
n
o
n

 ( precios en 1985)(cantidades en 1985)
 ( precios en 1980 - 1981)(cantidades en 1985)

(12,90)(143700)  (141,1)(1248)  (162,0)(2854)
 0,9609  96,1%
(13,59)(143700)  (143,65)(1248)  (161,7 )(2854)
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12.8 Deflación de series en el tiempo
Aunque los ingresos de las personas pueden estar creciendo teóricamente durante un
cierto número de años, sus ingresos reales pueden estar disminuyendo debido al
costo de la vida, y por lo tanto puede estar disminuyendo su poder adquisitivo. Es
decir que con la misma plata se compra menos productos. Calculamos los ingresos
reales dividiendo los ingresos aparentes de cada año por el número índice del costo
de la vida en ese año, usando un período bases adecuado.
Ejemplo: Una persona gana en 1980 150% de lo que ganaba en 1970 significa un
crecimiento del 50%. Sien el mismo período el costo de vida creció al 200% entonces
su ingreso real son solo 150/2 = 75% de lo que era en 1970.
Problema
La tabla muestra el salario semanal medio de los trabajadores en el comercio
minorista de Usa durante 1973-1983. También contiene el índice de precios al
consumo para esos años, con 1972 como base. En términos del salario medio de
1973, determinar sus salarios reales en los años 1973-1983.
Año
1973
1974
1975
Salario
96.32
102.68 108.86 114.60 121.66 130.20 138.62 147.38 158.03 163.85 171.05
Indice
de
precio
106.2
117.9
128.7
1976
136.1
1977
144.9
1978
155.9
1979
173.5
1980
197.0
1981
217.4
1982
230.7
1983
238.1
Solución:
Hallamos primero un número índice de precios al consumo con 1973 como base,
dividiendo todos los números de la fila de abajo en la tabla por 106.2, en %, Luego se
divide cada salario promedio por el correspondiente número índice para obtener los
salarios reales.
Año
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
Indice
(1973
=100)
100.0
111.0
121.2
128.2
136.4
146.8
163.4
185.5
204.7
217.2
224.2
Salario
real
96.32
92.50
89.82
89.39
89.19
88.69
84.83
79.45
77.20
75.44
76.29
El salario real a 1983 es 171.05/224.2%=76.29. Los salarios se han casi doblado, los
salarios reales han decrecido, el salario real en 1983 era 20 pesos menor que el de
1973. En síntesis, el poder adquisitivo disminuyó en 20/96.32=21%
12.9 Ejercicios de Aplicación.
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El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico
Capítulo 19: 19.1, 19.4, 19.5, 19.7, 19.8, 19.13, 19.20, 19.39, 19.41, 19.45, 19.48,
19.49, 19.50, 19.51, 19.52, 19.53, 19.55, 19.57, 19.61, 19.62, 19.77
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Capítulo 13
13 Series en el tiempo.
13.1 Análisis de series en el tiempo
Una serie en el tiempo son observaciones tomadas en momentos determinados
preferentemente a intervalos regulares. Normalmente estas observaciones se grafican
dando así los llamados Gráficos de series de Tiempo.
Para explicar en que consiste el análisis que nos interesa, recurriremos a un ejemplo
tomado del libro de Estadística de M. Spieguel. Se trata de la Producción de energía
eléctrica no industrial en E.E.U.U. en el período 1976-1981.
En este gráfico podremos describir dos tipos de observaciones, dependiendo de que
es lo que queremos averiguar.
La primera observación del comportamiento alterno, si se quiere violento en sus
variaciones, es que el conjunto muestra una tendencia a crecer, a incrementarse con
el tiempo.
La segunda observación será que las ondulaciones del gráfico sugieren variaciones
estacionales donde se repiten situaciones sucesivas de crecimientos muy rápidos
seguidos de depresiones de casi iguales características.
El análisis de la serie va a depender, precisamente, del tipo de información que
necesitamos.
Si lo que buscamos es el comportamiento al largo plazo, nos va a proporcionar la
información requerida una regresión lineal o un análisis de la tendencia. Cualquiera
de estos dos procedimientos, nos proporciona una recta que pasa por los lugares mas
cercanos a todos los puntos representando así a todo el conjunto. Estas rectas se
utilizan especialmente para predecir. Este concepto correlación y regresión, ya fue
visto en el Capítulo 9 de este Apunte.
Pero, si lo que nos interesa son las fluctuaciones en el corto y mediano plazo, nos
interesará conocer las causas de las fluctuaciones, predecirlas pero en el corto plazo,
ver la regularidad, si existe, de dichos ciclos. para eso lo que nos conviene es suavizar
las movimientos enérgicos de los datos individuales, y para ello recurriremos a los
llamados Promedios Móviles.
La función de estos Promedios Móviles es disminuir la variación de los datos
individuales y los transforma de ondas más suaves donde podemos analizar la
periodicidad, si existe, asimilarla a períodos temporales como invierno, verano, noche
y día, o cualquier otra causa que pudiera deducirse como responsables de las
variaciones que se estudian.
Existen promedios móviles para tres períodos, cinco períodos, siete, etc. Es
preferible por razones que veremos adelante utilizar promedios móviles impares
para poder representar los gráficos correctamente.
Si por necesidad se utiliza un promedio móvil par, se lo denomina no centrado. Los
promedios móviles no centrados pueden centrarse, repitiendo los promedios de
nuevo, pero utilizando la misma serie obtenida.
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A continuación se analiza cada caso.
En las dos primeras páginas figuran en columnas: a) los períodos estudiados, b) los
valores correspondientes a cada período considerado (consumos mensuales), c) los
valores que describen la Tendencia, d) los valores que describen la Recta de
Regresión, e) los Promedios Móviles de tres meses, f) los Promedios Móviles de 5
meses.
Los gráficos muestran sucesivamente:
Gráfico 1: La variación de los consumos mensuales
Gráfico 2: Las rectas de Tendencia y de Regresión Lineal correspondientes a
los consumos anteriores.
Gráfico 3: El Promedio Móvil de 3 meses
Gráfico 4: El Promedio Móvil de 5 meses.
Gráfico 5 : Todos los gráficos juntos.
La interpretación sería la siguiente:
El consumo muestra un crecimiento sostenido a lo largo del período estudiado. El
incremento del período puede estimarse en 13% considerando los promedios del
primero y el último año.
El promedio móvil de 3 meses es insuficiente para descubrir las variaciones
estacionales, pero el de 5 meses muestra claramente 6 variaciones estacionales
correspondientes a los años estudiados, estas variaciones estacionales anuales
corresponden al incremento de consumo en los meses de invierno y su decrecimiento
en la temporada de verano.
Por otra parte, debemos considerar lo siguiente, los promedios móviles estudiados de
3 y 5 meses se los llama centrados pues el valor hallado puede asignarse al mes del
medio de la serie. Si por alguna razón se toma un número par de meses, el valor
obtenido se lo denomina no centrado pues el valor hallado se encuentra entre los dos
valores centrales, y esto debe tenerse en cuenta en caso de necesitar graficarlos. Una
buena solución es volver a promediar de a pares los valores obtenidos con lo que se
vuelven a centrar. Este caso se discute en clase.
Hemos mencionado hasta ahora dos tipos de movimientos de las series estacionales,
al primero lo hemos denominado tendencia y recibe también el nombre de
movimiento secular o de largo plazo. Al segundo lo llamamos variaciones
estacionales que se suceden dentro del año, pero estos no son los únicos
movimientos de una serie, existen los llamados ciclos con las mismas características
que los estacionales, pero que no se ajustan a un período anual sino que pueden ser
menores o mayores a un año, son muy conocidos los llamados ciclos económicos
que representan prosperidad, recesión, depresión y recuperación. Otro caso pueden
ser los llamados Movimientos irregulares o aleatorios, estos movimientos se
producen a consecuencia de hechos muy significativos, como puede ser guerra,
terremotos y otros que producen un cambio del escenario que hasta ahora funcionaba
y este cambio producirá una interferencia muy importante hasta que se establezca un
nuevo panorama, que permita nuevamente la predicción estadística.
TIEMPO
VALORES
MENSUALES
Derechos de autor en trámite
TENDENCIA
REGRESION
PROMEDIO
PROMEDIO
MOVIL DE
MOVIL DE
TRES MESES CINCO
MESES
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1976
1977
1978
1979
1980
ERO
FRO
MZO
ABR
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JUN
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AGO
SET
OCT
NOV
DIC
ERO
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MZO
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JUN
JUL
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NOV
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ERO
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MZO
ABR
MYO
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JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
ERO
FRO
MZO
ABR
MYO
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
ERO
FRO
178,2
156,7
164,2
153,2
157,5
172,6
185,9
185,8
165,0
163,6
169,0
183,1
196,3
162,8
168,6
156,9
168,2
180,2
197,9
195,9
176,0
166,4
166,3
183,9
197,3
173,7
173,2
159,7
175,2
187,4
202,6
205,6
185,6
175,6
176,3
191,7
209,5
186,3
183,0
169,5
178,2
186,7
202,4
204,9
180,6
179,8
177,4
188,9
200,0
188,7
Derechos de autor en trámite
170,5
170,8
171,2
171,5
171,9
172,3
172,6
173,0
173,4
173,7
174,1
174,4
174,8
175,2
175,5
175,9
176,2
176,6
177,0
177,3
177,7
178,0
178,4
178,8
179,1
179,5
179,8
180,2
180,6
180,9
181,3
181,7
182,0
182,4
182,7
183,1
183,5
183,8
184,2
184,5
184,9
185,3
185,6
186,0
186,3
186,7
187,1
187,4
187,8
188,1
169,9
170,3
170,6
171,0
171,4
171,7
172,1
172,4
172,8
173,2
173,5
173,9
174,2
174,6
175,0
175,3
175,7
176,1
176,4
176,8
177,1
177,5
177,9
178,2
178,6
178,9
179,3
179,7
180,0
180,4
180,8
181,1
181,5
181,8
182,2
182,6
182,9
183,3
183,6
184,0
184,4
184,7
185,1
185,5
185,8
186,2
186,5
186,9
187,3
187,6
Autor: Edgardo Ojeda Barcos
166,4
158,0
158,3
161,1
172,0
181,4
178,9
171,5
165,9
171,9
182,8
180,7
175,9
162,8
164,6
168,4
182,1
191,3
189,9
179,4
169,6
172,2
182,5
185,0
181,4
168,9
169,4
174,1
188,4
198,5
197,9
188,9
179,2
181,2
192,5
195,8
192,9
179,6
176,9
178,1
189,1
198,0
196,0
188,4
179,3
182,0
188,8
192,5
192,1
162,0
160,8
166,7
171,0
173,4
174,6
173,9
173,3
175,4
175,0
176,0
173,5
170,6
167,3
174,4
179,8
183,6
183,3
180,5
177,7
178,0
177,5
178,9
177,6
175,8
173,8
179,6
186,1
191,3
191,4
189,1
187,0
187,7
187,9
189,4
188,0
185,3
180,7
184,0
188,3
190,6
190,9
189,0
186,3
185,3
187,0
188,5
186,7
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Estadística para ingenieros y técnicos de Institutos profesionales
1981
MZO
ABR
MYO
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
ERO
FRO
MZO
ABR
MYO
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
187,5
168,6
175,7
189,4
216,1
215,4
191,4
178,5
178,6
195,6
205,2
179,6
185,4
172,4
177,7
202,7
220,2
210,2
186,9
181,4
175,6
195,6
Derechos de autor en trámite
188,5
188,9
189,2
189,6
189,9
190,3
190,7
191,0
191,4
191,8
192,1
192,5
192,8
193,2
193,6
193,9
194,3
194,6
195,0
195,4
195,7
196,1
188,0
188,4
188,7
189,1
189,4
189,8
190,2
190,5
190,9
191,2
191,6
192,0
192,3
192,7
193,1
193,4
193,8
194,1
194,5
194,9
195,2
195,6
Autor: Edgardo Ojeda Barcos
181,6
177,3
177,9
193,7
207,0
207,6
195,1
182,8
184,2
193,1
193,5
190,1
179,1
178,5
184,3
200,2
211,0
205,8
192,8
181,3
184,2
184,1
182,0
187,5
193,0
197,6
198,2
196,0
191,9
189,9
187,5
188,9
187,6
184,1
183,6
191,7
196,6
199,5
200,3
194,9
189,9
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Producción de energía eléctrica no industrial en
E.E.U.U. 1976-1981
230
Miles de millones de kilovatios-hora (kwh)
220
210
200
190
180
170
160
150
1981
1981
1980
1980
1979
1979
1978
1978
1977
1977
1976
1976
140
DATOS DEL CONSUMO MENSUAL DE ENERGIA
1976-1981
GRAFICO 1
Derechos de autor en trámite
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Producción de energía eléctrica no industrial en
E.E.U.U. 1976-1981
230
Miles de millones de kilovatios-hora (kwh)
220
210
200
190
180
170
160
150
1981
1981
1980
1980
1979
1979
1978
1978
1977
1977
1976
1976
140
LAS LINEAS RECTAS MUESTRAN LA LINEA DE
REGRESION (ROJO) Y LA TENDENCIA (AZUL)
GRAFICO 2
Derechos de autor en trámite
Página 138 de 157
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Autor: Edgardo Ojeda Barcos
Producción de energía eléctrica no industrial en
E.E.U.U. 1976-1981
230
210
200
190
Producción de energía eléctrica no industrial en
E.E.U.U. 1976-1981
180230
170220
Miles de millones de kilovatios-hora (kwh)
Miles de millones de kilovatios-hora (kwh)
220
160210
150200
1981
1981
1980
1980
1979
1979
1978
1978
1977
1977
1976
1976
140190
180 LA LINEA CELESTE MUESTRA EL PROMEDIO
MOVIL DE TRES PERIODOS
GRAFICO 3
170
160
Derechos de autor en trámite
1981
1981
1980
1980
1979
1978
1978
1977
1977
1976
140
1976
150
Página 139 de 157
DEL
LA LINEA VERDE MUESTRA LA VARIACION
PERIODOS
5
DE
MOVIL
PROMEDIO
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GRAFICO 4
Estadística para ingenieros y técnicos de Institutos profesionales
Derechos de autor en trámite
Autor: Edgardo Ojeda Barcos
Página 140 de 157
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Autor: Edgardo Ojeda Barcos
Producción de energía eléctrica no industrial en
E.E.U.U. 1976-1981
230
Miles de millones de kilovatios-hora (kwh)
220
210
200
190
180
170
160
1981
1981
1980
1980
1979
1978
1978
1977
1977
1976
140
1976
150
TODAS LAS LINEAS JUNTAS
GRAFICO 5
13.2 Estimación de las variaciones Estacionales. El Indice Estacional.
Derechos de autor en trámite
Página 141 de 157
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Utilizando los mismos datos anteriores, procederemos a calcular los índices
estacionales para el período dado.
La siguiente tabla repite los datos pero ordenados para poder realizar los cálculos en
forma ordenada.
1976
1977
1978
1979
1980
1981
Ero
178.2
196.6
197.3
209.5
200.0
205.2
Fro
156.7
162.8
173.7
186.3
188.7
179.6
Mzo
164.2
168.6
173.2
183.0
187.5
185.4
Abr
153.2
156.9
159.7
169.5
168.6
172.4
Myo
157.5
168.2
175.2
178.2
175.7
177.7
Jun
172.6
180.2
187.4
186.7
189.4
202.7
Jul
185.9
197.9
202.6
202.4
216.1
220.2
Ago
185.8
195.9
205.6
204.9
215.4
210.2
Set
165.0
176.0
185.6
180.6
191.5
186.9
Oct
163.6
166.4
175.6
179.8
178.5
181.4
Nov
169.0
166.3
176.3
177.4
178.6
175.6
Dic
183.1
183.9
191.7
188.9
195.6
195.6
A continuación procederemos a calcular los promedios mensuales para cada año:
AÑO
1976
1977
1978
1979
1980
1981
PROMEDIO ANUAL
169.6
176.6
183.7
187.3
190.5
191.1
Utilizando cada promedio mensual, transformaremos cada valor mensual de la primera
tabla en un índice, de la forma siguiente: 178.2/169.6 = 105.1%
1976
1977
1978
1979
1980
1981
Total
Media
ERO
105.1
111.2
107.4
111.9
105.0
107.4
648.0
FRO
92.4
92.2
94.6
99.5
99.1
94.0
571.8
MZA
96.8
95.5
94.3
97.7
98.4
97.0
579.7
ABR
90.3
88.8
86.9
90.5
88.5
90.2
535.2
MYO
92.9
95.2
95.4
95.1
92.2
93.0
563.8
JUN
101.8
102.0
102.0
99.7
99.4
106.1
611.0
JUL
109.6
112.1
110.3
108.1
113.4
115.2
668.7
AGO
109.6
110.9
111.9
109.4
113.1
110.0
664.9
SET
97.3
99.7
101.0
96.4
100.5
97.8
592.7
OCT
96.5
94.2
95.6
96.0
93.7
94.9
570.9
NOV
99.6
94.2
96.0
94.7
93.8
91.9
570.2
DIC
108.0
104.1
104.4
100.9
102.7
102.4
622.5
108.0
95.3
96.6
89.2
94.0
101.8
111.5
110.8
98.8
95.2
95.0
103.8
Esta última fila son los datos buscados y representan los índices Estacionales
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120
110
100
90
80
70
60
50
ER
O
FR
O
M
ZO
A
B
R
M
YO
JU
N
JU
L
A
G
O
SE
T
O
C
T
N
O
V
D
IC
Porcentaje de variación
Indices Estacionales
Período 1976-1986
Meses
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13.3 Ejercicios de Aplicación.
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico
Capítulo 13: 18.1, 18.3, 18.6, 18.7, 18.9, 18.17, 18.18, 18.19, 18.21, 18.32, 18.36,
18.42
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Capitulo 14
14 Pruebas de Hipótesis
Los casos prácticos de la toma de decisiones, se ven muchas veces ayudados por
pruebas estadísticas que nos ayudan a decidir si algo es diferente que otro, si ambos
pertenecen a una misma familia o si son estadísticamente diferentes. Estos
procedimientos estadísticos tienen la virtud de que se puede conocer el riesgo que se
tiene al tomar las diferentes decisiones.
14.1 Hipótesis Estadísticas
El siguiente procedimiento es un método formal (y antiguo) de mencionar las
diferentes alternativas de decisiones.
Hipótesis nula = H0
Esta hipótesis se plantea con el propósito de probar si lo que se dice es verdad y se
plantea lo inverso como alternativa. Se dice que no es verdad lo que se quiere
demostrar. Por ejemplo, si sospechamos que una moneda es falsa y queremos
demostrarlo, partimos de la Hipótesis Nula de que la moneda es buena.
Esta Hipótesis la designaremos como H0.
Hipótesis Alternativa = H1
Todo lo que difiera de la Hipótesis Nula, se denomina Hipótesis Alternativa.
Por ejemplo, si una Hipótesis Nula, fuera p = 0,5, Hipótesis Alternativa, podría ser:
P = 0,7 ó p  0,5 ó p > 0,5 etc.
La Hipótesis Alternativa se denota como H1.
14.2 Contrastes de Hipótesis y significación, o reglas de decisión.
En ciertas circunstancias, la información que rodea un experimento sustenta la idea de
que algo es de determinada manera, pero los resultados de los ensayos no parecen
apoyar nuestra presunción. En esas circunstancias, diremos que los resultados
resultan significativamente diferentes y nos veremos inclinados a rechazar la hipótesis
o al menos a no aceptarla.
Por ejemplo, supongamos que tenemos un dado que creemos bueno, pero al arrojarlo
60 veces el 1 aparece 18 veces, esto esta muy alejado de las probables 10 veces que
serian si el dado esta bueno, por ello nos vemos inclinados a rechazar la Hipótesis de
que el dado es bueno. Sin embargo, la duda es factible, pues solo por azar, el 1
podría salir 18 veces, existe una probabilidad mensurable que apoya que eso es
posible, sin que el dado este realmente malo.
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Los ensayos, test o contrastes de hipótesis, significación o reglas de decisión, nos
ayudan a decidir si aceptamos o rechazamos las Hipótesis.
14.3 Errores de Tipo I y de Tipo II
Tipo I:
Es rechazar H0 cuando es verdad.
Tipo II:
Es aceptar H0 cuando es falsa.
Decisión
Acepto H0
Rechazo H0
Si es H0 Verdad
Decisión correcta
Error de Tipo I
Si es H0 Falsa
Error de Tipo II
Decisión correcta
Las reglas de decisión se diseñan para que los errores de tipo I y II sean los menores
posibles, pero no es sencillo, pues cuando se minimiza unos de ellos, va en perjuicio
del otro. La única forma de minimizar los dos tipos de errores es aumentando el
tamaño de la muestra, y eso no es siempre posible.
14.4 Nivel de significación
Cuando hacemos un contraste de hipótesis debemos considerar, antes de realizar el
ensayo, cual será el riesgo que estaremos dispuetos a correr respecto del error Tipo
I, o sea de rechazar algo que es verdad. Este riesgo, expresado como probabilidad, e
indicado como , será el máximo que estamos dispuesto a tolerar y lo llamaremos
Nivel de Significación del test de Hipótesis.
En la práctica es frecuente un nivel de significación de 0,05 ó 0,01, aunque hay otros.
Si se escoge 0,05 (5%), al diseñar una regla de decisión, significa que hay 5
oportunidades entre 100 de rechazar la hipótesis cuando se debiera haber aprobado.
Es decir, tenemos un 95% de confianza de que hemos adoptado la decisión correcta.
En este caso decimos que la hipótesis ha sido rechazada al nivel de significación 0,05,
lo cual quiere decir que la hipótesis tiene una probabilidad 0,05 de ser falsa.
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14.5 Contrastes mediante la distribución normal
0,95
Región crítica
0,025
z=-1,96
Región crítica
0,025
z=+1,96
La figura nos muestra que podemos tener 95% de confianza de que si la hipótesis es
verdadera, el valor de z para un estadístico de la muestra S, estará comprendida
entre -1.96 y +1.96. Por otra parte, si al sacar una muestra y calcular su estadístico, y
determinar su correspondiente valor de z nos da un valor fuera del intervalo indicado,
podremos concluir que dicho evento, podría suceder solo en el 5% de los casos y por
ello nos veríamos inclinados a rechazar la hipótesis. Así decimos que se rechaza a un
nivel de significancia del 0.05. o que el valor de z es significativo al nivel 0.05.
El conjunto de z fuera del rango –1.96 a +1.96 se llama región crítica de la
hipótesis, región de rechazo de la hipótesis o región de significación. El conjunto
de z en el rango interior se conoce como región de aceptación de la hipótesis o
región de no significación.
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REGION DE
RECHAZO
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REGION DE
RECHAZO
REGION DE
APROBACION
Finalmente, las reglas de decisión, o contraste de hipótesis o significación, son las
siguientes:
Alternativa 1
Rechazar la hipótesis al nivel de significación 0.05 si el valor de z para el estadístico s
esta fuera del rango -1.96 y +1.96. Esto significa que el estadístico de la muestra es
significativo al nivel 0.05.
Alternativa 2
Aceptar la hipótesis en caso contrario o bien, no tomar decisión alguna.
Los ejemplos fueron hechos al nivel 0.05 pero podría ser cualquier otro valor
sustituyendo el 1.96.
La siguiente tabla ilustra las alternativas
Nivel de significancia, 
Valores críticos de z para
tests unilaterales
Valores críticos de z para
tests bilaterales.
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0.10
0.05
0.025
-1.28 o -1.645 o -1.96
+1.28
+1.645
+1.96
-1.645 y -1.96
y -2.24
1.645
1.96
2.24
0.01
o -2.33
+2.33
y -2.58
2.58
0.005
0.002
o -2.58 o -2.88 o
+2.58
+2.88
y -2.81 y -3.08 y
2.81
3.08
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14.6 Tres distintos niveles de significación:
Nivel de significancia de 0,01
Región crítica
0,005 del área
0,99 del área
Región crítica
0,005 del área
x media
Nivel de significancia de 0,1
Región crítica
0,05 del área
0,90 del área
Región crítica
0,05 del área
x media
Nivel de significancia de 0,5
Región crítica
0,25 del área
Región crítica
0,25 del área
0,50 del área
x media
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En el primero y segundo caso, podríamos aceptar la hipótesis nula de que la media de
la población es igual al valor supuesto, pero en el tercer caso sería rechazada, pues
allí nuestro nivel de significancia, 0.50 está tan alto que rara vez la aceptaremos,
cuando no sea verdadera, pero, al mismo tiempo, frecuentemente la rechazaremos
aunque sea verdadera.
Por otra parte, aún cuando el estadístico de la muestra no caiga en la región crítica no
prueba que la Hipótesis nula es verdadera, simplemente, no ofrece videncia
estadística para rechazarla. La única manera de aceptarla o rechazarla con
certidumbre sería si conociéramos el verdadero valor del parámetro de la población,
pero normalmente ese valor, no lo conocemos.
14.7 Selección de un nivel de significancia
No existe un nivel de significancia “oficial" con el cual probar una hipótesis, en algunos
casos conviene al 5%, en otros el 1% de significancia.
Cuanto más alto sea el nivel de significancia que utilizaremos al probar una
hipótesis, mayores probabilidades habrá de rechazar una hipótesis nula que sea
verdadera, (Error Tipo I).
14.8 Uso de la distribución t para la toma de decisiones.
Luego de decidir que nivel de significancia usar, el siguiente paso en la prueba de
Hipótesis consiste en determinar la distribución adecuada de probabilidad. Tenemos
una opción entre la distribución normal y la distribución t.
Condiciones para usar la Distribución Normal y la distribución t en las pruebas
de hipótesis de medias.
n > 30
n ≤ 30 y la población
normal o aprox. normal
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Si se conoce 
Distribución Normal, tabla z
Distribución Normal, tabla z
Si no se conoce 
Distribución Normal, tabla z
Distribución Student, tabla t
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14.9 Ejercicios de aplicación desarrollados.
Ejemplo 1
Una tienda de artículos deportivos ha iniciado una promoción especial para sus
esquís de alta montaña y piensa que la promoción deberá culminar en un cambio de
precio. Sabe que, antes de comenzar la promoción, el precio promedio, al menudeo
del esquí, era de $41,95 con  = $5.36. La tienda saca una muestra en 16 de sus
detallistas y descubre que el precio promedio de los esquís, es ahora $38.95. En un
nivel de significancia de 0.02 ¿tiene motivos para pensar que el precio promedio al
menudeo ha disminuido?
Nivel de significancia de 0,02 para un solo lado, pues
interesa saber si bajó de precio.
sigma = 1,34
Región crítica
0,02 del área
38,95
0,98 del área
39,2
x = $38.95
n = 16
H0 = $41.95
41,95
’ = $ 5.36
H0 :  = $41.95
H1 :  < $41.95
x 
5.36 5.36

 1.34
4
16
Para un nivel de significancia = 0,02 tendremos que z = 2,05, entonces:
41.95-2,05*1.34=39.2
En consecuencia el promedio de la muestra, 38.95 cae en la zona de rechazo y por
ello no se acepta la Hipótesis nula, y la tienda deberá pensar que el precio ha
disminuido.
Ejemplo 2
La comisión promedio que cobran las empresas norteamericanas de servicios
completos de corretaje en las ventas de acciones comunes es de $144, con una
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desviación típica de $52. Un corredor ha extraído una muestra de 121
transacciones de sus clientes y determinó que pagaron una comisión promedio de
$151. En un nivel de significación de 0,10, ¿podemos decir que las comisiones de
su cliente son superiores al promedio de la industria?
x = $151
n = 121
H0 = $144
’ = $ 52
H0 :  = $144
H1 :  > $144
x 
52
52

 4.73
121 11
Para un nivel de significación = 0,10 tendremos que z = 1.28, entonces:
144+1.28*4.73=150
El valor $151 entra en la zona de rechazo.
Se rechaza la Hipótesis nula, las comisiones son significativamente más altas, o
sea se acepta la Hipótesis de alternativa. Y podemos decir que las comisiones son
superiores al promedio de la industria.
Ejemplo 3
Una empresa industrial supone que la vida de sus prensas rotativas es de 14.500
horas, con una desviación típica de 2.100 horas.
De una muestra de 25 prensas la compañía obtiene una media muestral de 13.000
horas. En un nivel de significación de 0,01 ¿debe la compañía concluir que la vida
media de las prensas es menor que las 14.500 supuestas?
x = 13.000 Hs.
n = 25
H0 = 14.500Hs.
’ = 2.100Hs.
H0 :  = 14.500Hs.
H1 :  < 14.500Hs.
x 
2.100 2100

 420 Hs.
5
25
Para un nivel de significancia = 0,01 tendremos que z = 2.33, entonces:
14.500 - 2.33 * 420=13.521Hs.
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Por lo tanto se rechaza la Hipótesis nula, el promedio de vida es significativamente
más bajo.
14.10 Ejercicios de Aplicación.
El siguiente listado de ejercicios pertenece al libro Estadística de Murray Spieguel,
el alumno deberá resolverlos como parte de su desarrollo académico
Capítulo 10.1, 10.2, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.34, 10.36
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Capítulo 15
15 Análisis de Varianza
15.1 Distribución F
La razón F llamada también razón de varianzas, se utiliza para probar la hipótesis
referida a la igualdad de dos varianzas poblacionales estimadas. Se la utiliza para
analizar diferencias entre varianzas de muestras.
Supongamos tener una población gaussiana y que extraemos de ella dos muestras
de tamaño n1 y n2 . De cada muestra calculamos la desviación típica, S1 y S2. La razón
F se expresa así:
s12
F 2
s2
El mayor valor de la varianza va colocado como dividendo y el menor como
divisor.
En el caso que se describe donde partimos sacando dos muestras de la misma
población, no tenemos duda de que las varianzas serán muy parecidas y por ello F
será muy próxima a uno.
Cuando no está cerca de uno nos preguntamos si ello puede ser debido al azar o bien
a otra causa, por ejemplo, que las muestras no sean de dos poblaciones iguales.
Esta variable F se distribuye como otras poblaciones de muestreo, y su forma
depende solo de la cantidad de datos que se tengan disponibles para la estimación del
numerador de s2 y los que se tengan para la estimación del denominador
Al final de este capítulo se incluye dos tablas de la distribución F para probabilidad 1%
y 5%. Así para n1 = 6 y n2 = 13, el valor crítico es 3.11 (se busca para 5 y 12, es decir
para n-1 grados de libertad). Esto significa que existe una probabilidad del 5% de
obtener una F mayor al 3.11 solo por motivos de azar. Por ello si se supera este valor,
tendremos la posibilidad de rechazar la H0.
El esquema de cálculo se basa en obtener una estimación de la varianza partiendo de
la columnas de los datos que se analizan, esto nos dará una varianza llamada Vc,
luego procedemos a estimar nuevamente la varianza pero desde otro punto de vista,
esto es empleando la relación que existe entre la varianza de una media de muestra y
la varianza de la población.
El esquema siguiente explica el método:
15.2 Análisis de Varianza y Cálculo de F, con una variable de clasificación.
Problema
Los siguientes datos dan los rendimientos de un producto químico, obtenido de
intentar 4 catalizadores diferentes en el proceso. Probar que los rendimientos se ven
afectados por los catalizadores. Se solicita probar con una probabilidad de
equivocarse del 5%, que los catalizadores afectan al rendimiento, por ello partiremos
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de la H0 = 1=2=3=4 . Este planteo es lo opuesto. Es decir si H0 fuera cierta, los
catalizadores no producen efecto en los rendimientos. Los datos experimentales son:
Cálculo de la varianza de las medias:
(variabilidad entre las columnas, variación
entre tratamientos)
X
I
36
33
35
34
32
34
II
35
37
36
35
37
36
III
35
39
37
38
39
38
IV
34
31
35
32
34
33
34.00
36.00
37.67 33.17
 2X  4.10
Luego :


  2X 
    n 2X
n
n
finalmente :
x 
Cálculo de las varianzas por columnas: (variabilidad
dentro de las columnas, dentro del tratamiento)
n-1
1.41
0.89
1.51
1.47
2
2.00
0.79
2.28
2.16
Vc 
Vm     6 * 4.10  24.60
Cálculo de F:
F
Vm 24.60

 13.60
Vc 1.808
2.00  0.79  2.28  2.16
 1.808
4
De tablas al 5%:
Para: V1 = 3 y V2 = 20
Es :
F0=3.10
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Conclusión:
Se rechaza la Hipótesis de que
el catalizador no tiene efecto en
los rendimientos.
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Distribuciones de F
1%
1
2
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1%
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
16
20
40
100
6334
1
4052
4999
5404
5624
5764
5859
5928
5981
6022
6056
6083
6107
6143
6170
6209
6286
2
98,50
99,00
99,16
99,25
99,30
99,33
99,36
99,38
99,39
99,40
99,41
99,42
99,43
99,44
99,45
99,48 99,49
3
34,12
30,82
29,46
28,71
28,24
27,91
27,67
27,49
27,34
27,23
27,13
27,05
26,92
26,83
26,69
26,41 26,24
4
21,20
18,00
16,69
15,98
15,52
15,21
14,98
14,80
14,66
14,55
14,45
14,37
14,25
14,15
14,02
13,75 13,58
5
16,26
13,27
12,06
11,39
10,97
10,67
10,46
10,29
10,16
10,05
9,96
9,89
9,77
9,68
9,55
9,29
9,13
6
13,75
10,92
9,78
9,15
8,75
8,47
8,26
8,10
7,98
7,87
7,79
7,72
7,60
7,52
7,40
7,14
6,99
7
12,25
9,55
8,45
7,85
7,46
7,19
6,99
6,84
6,72
6,62
6,54
6,47
6,36
6,28
6,16
5,91
5,75
8
11,26
8,65
7,59
7,01
6,63
6,37
6,18
6,03
5,91
5,81
5,73
5,67
5,56
5,48
5,36
5,12
4,96
9
10,56
8,02
6,99
6,42
6,06
5,80
5,61
5,47
5,35
5,26
5,18
5,11
5,01
4,92
4,81
4,57
4,41
10
10,04
7,56
6,55
5,99
5,64
5,39
5,20
5,06
4,94
4,85
4,77
4,71
4,60
4,52
4,41
4,17
4,01
11
9,65
7,21
6,22
5,67
5,32
5,07
4,89
4,74
4,63
4,54
4,46
4,40
4,29
4,21
4,10
3,86
3,71
12
9,33
6,93
5,95
5,41
5,06
4,82
4,64
4,50
4,39
4,30
4,22
4,16
4,05
3,97
3,86
3,62
3,47
13
9,07
6,70
5,74
5,21
4,86
4,62
4,44
4,30
4,19
4,10
4,02
3,96
3,86
3,78
3,66
3,43
3,27
14
8,86
6,51
5,56
5,04
4,69
4,46
4,28
4,14
4,03
3,94
3,86
3,80
3,70
3,62
3,51
3,27
3,11
15
8,68
6,36
5,42
4,89
4,56
4,32
4,14
4,00
3,89
3,80
3,73
3,67
3,56
3,49
3,37
3,13
2,98
16
8,53
6,23
5,29
4,77
4,44
4,20
4,03
3,89
3,78
3,69
3,62
3,55
3,45
3,37
3,26
3,02
2,86
17
8,40
6,11
5,19
4,67
4,34
4,10
3,93
3,79
3,68
3,59
3,52
3,46
3,35
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Autor: Edgardo Ojeda Barcos
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40
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1,94
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1,68
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