ARITMÉTICA MERCANTIL - IESO "Bardenas Reales" de Cortes

ARITMÉTICA COMERCIAL
1. PORCENTAJES

Cálculo del tanto por ciento de una cantidad: Expresamos el tanto por
ciento en forma decimal y multiplicamos por él.
Ejemplo: 15% de 4250 = 4250 · 0’15 = 637

Cálculo del tanto por ciento que representa una cantidad respecto del
total.
Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento representan 15 personas en un total de 80?
15
·100  18'75%
80

El número por el que multiplicamos la cantidad inicial para obtener la final se
llama índice de variación. En los aumentos porcentuales, el índice de
variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.
Ejemplo: El precio de un artículo de 250 € aumenta un 15%. ¿Cuál es su
precio final?
250 · 1’15 = 287’5 € (100% + 15% = 115%

1’15 es el índice de variación)
En las disminuciones porcentuales, el índice de variación es 1 menos la
disminución porcentual expresado en forma decimal.
Ejemplo: El precio de un artículo de 250 € disminuye
un 15%. ¿Cuánto
cuesta rebajado?
250 · 0’85 = 212’5 € (100% - 15% = 85%
0’85 es el índice de variación)
1. Calcula:
40% de 250
37% de 845
5% de 25
0’5% de 650
1’5% de 80
0’75% de 400
150% de 400
165% de 475
125% de 500
2. Halla en cuánto se transforman 450€ si se les aplica:
Un aumento del 30%
Un aumento del 5%
Una aumento del 0’5%
Una disminución de 30%
Una disminución del 5%
Una disminución del 0’5%
3. Calcula el valor de x en cada caso:
a) X% de 275 es 41’25
b) X% de 470 es 37’6
c) X% de 125 es 0’9375
4. En la compra de un artículo que costaba 85 € nos han hecho un descuento de 10’2
euros. ¿Qué tanto por ciento de rebaja supone?

Cálculo de la cantidad inicial, conociendo la variación porcentual y la
cantidad final. Como Cantidad final = Cantidad inicial · Índice de variación,
despejando:
cantidad inicial 
cantidad final
índice de var iación
Ejemplo. Un artículo rebajado un 15% cuesta 212’5 euros. ¿Cuánto costaba
sin rebajar?
212’5 : 0’85 = 250’5€
(100% - 15% = 85%. El índice de variación es 85%)

Encadenamiento de aumentos y disminuciones porcentuales. Se calculan
los índices de variaciones correspondientes a los distintos pasos y se
multiplican. Así se obtiene el índice de variación global.
Ejemplo: El precio de un artículo que costaba 250 euros sufre estas
variaciones a lo largo de un año: baja un 15%, sube un 5% y baja un 8%.
¿Cuál es su índice de variación total?¿Qué porcentaje de rebaja
supone?¿Cuánto cuesta al final?
Índice de variación: 0’85 · 1’05 · 0’92 = 0’8211.
Supone un 100% - 82’11% = 17’89% de rebaja.
Precio final 250 · 0’8211 = 205’275 = 205’28 euros.
5. Halla el valor de x en cada caso:
30% de x es 172’5
1’25% de x es 0’4375
5% de x es 17’5
0’2% de x es 11’3
1% de x es 48
120% de x es 468
2’5% de x es 15’5
175% de x es 1575
6. El precio de un artículo que costaba 175 euros ha sufrido estas variaciones:
subida del 8%, bajada del 10% y subida del 5%.
a) ¿Cuál es el índice de variación total?
b) ¿Qué porcentaje de aumento supone?
c) ¿Cuál es el precio final?
7. El 60% de los empleados de una determinada empresa son mujeres. El 85% de
estas mujeres domina el inglés.
¿Qué porcentaje de empleados de la empresa son mujeres que domina el inglés?
Si en la empresa trabajan 615 personas, ¿cuántas de ellas son mujeres? ¿Cuántas
de estas mujeres domina el inglés?
8. Hemos pagado 2 900 € por un artículo al que se le ha aplicado un 16% de IVA.
¿Cuál era su precio sin IVA?
9. El precio de una vivienda comprada el año pasado fue de 90 000 €, y este año se
vende por 150 000 € ¿Cuál ha sido el índice de variación? ¿Qué porcentaje de
subida supone?
10. El precio de alquiler de un apartamento ha subido un 2% cada año durante los
últimos años. Si inicialmente costaba 420 euros al mes, ¿cuál era su precio al cabo
de 5 años?
EJERCICIO RESUELTO
Si el precio de la vivienda en una determinada ciudad aumentara un 8% cada
año, ¿cuántos años tardaría en duplicarse?
RESOLUCIÓN
Llamamos P al precio al precio inicial.
Al cabo de 1 año costará 1’08 · P
Al cabo de 1 año costará 1’08 · (1’08 · P) = 1’082 · P
… Al cabo de n años costará 1’08n · P
Buscamos n para que 1’08n · P = 2P, es decir, 1’08n = 2.
Hallamos n utilizando la calculadora. Tardaría 10 años en duplicar el precio.
También podemos hallar n tonando logaritmos:
1’08n = 2
log 1’08n = log 2
n log 1’08 = log 2
n
log 2
≈ 9’006,
log1'08
10 años.
11. Elvira firma un contrato de trabajo en el que se fija una subida del sueldo del
5% anual. Si empieza ganando 1500 € al mes, ¿dentro de cuántos años ganará 1 800
euros mensuales?
2. INTERESES BANCARIOS




Interés: Cantidad que se gana por el dinero depositado en un banco.
Rédito: Tanto por ciento anual que paga un banco por depositar en él un
dinero.
Periodo de capitalización: Tiempo que el banco deja trascurrir para que un
capital produzca interés.
Pago anual de intereses: Un capital C colocada durante t años al r% anual


se transforma en C·1 

r 

100 
t
Pago mensual de intereses: Un r% anual significa un
r
% mensual. Un
12
capital C colocado durante t meses al r% anual se transforma en
t
r 

C·1 

 1200 

Pago diario de intereses: Un r% anual significa un
r
% mensual. Un
365
capital C colocado durante t días al r% anual se transforma en
t
r 

C·1 

 36500 
EJERCICIO RESUELTO
Calcula en cuánto se transforma un capital de 12 000 € al 6% anual durante 3
años si los periodos de capitalización son: a) años, b) meses, c) días.
RESOLUCIÓN
a) Cada año el capital aumenta un 6%, es decir, se multiplica por 1’ 06. Al cabo
de 3 años será:
12 000 · (1’ 06)3 = 14 292’ 19 euros.
b) Un 6% anual significa 6/12 = 0’5% mensual. Cada mes el capital aumenta un
0’5%, es decir, se multiplica por 1’ 005. Al cabo de tres años (36 meses)
será: 12 000 · (1’ 005)36 = 14 360’ 17 euros.
c) Un 6% anual significa 6/365% diario. Cada día el capital se multiplica por 1 +
6/36500. Al cabo de tres años (1905 días) será: 12 000 · (1 + 6/36500)1905
= 14 366’ 40 euros.
1. Averigua en cuánto se transforma un capital de 6 000 € al 3% anual durante 4
años si los periodos de capitalización son:
a) años
b) meses
c) días
d) trimestres
2. Halla en cuánto se transforma un capital de 9 000 € al 4% anual durante 2 años
si el periodo de capitalización es:
a) anual
b) mensual
c) semestral
3. Recibimos un préstamo de 900 euros para devolver en un solo pago al cabo de 6
meses. Si el banco nos cobra un 8% anual, ¿a cuánto ascenderá el pago?
4. Un capital colocado al 3’ 5% anual durante 3 años se ha convertido en 6 652’ 31
€. ¿Cuál era el capital inicial?
5. Un capital de 9 500 euros colocado al 5% anual se ha convertido en 11 547’ 3
euros. ¿Durante cuántos años ha estado en el banco?
6. Halla el tanto por ciento anual al que se ha colocado un capital de 800 € que, l
cabo de 2 años, se ha convertido en 848’ 72 euros.
7. Calcula cuántos años son necesarios para que se duplique un capital C colocado al
11% de interés anual.
EJERCICIO RESUELTO
Se llama tasa anual equivalente (TAE) al tanto por ciento de crecimiento total del
capital durante un año.
Calcula la TAE correspondiente a un rédito del 6% anual con pago mensual de
intereses.
RESOLUCIÓN
Un 6% anual significa 6/12 = 0’5 % mensual. Cada mes, el capital se multiplica por
1’ 005.
En un año (12 meses) se multiplica por (1’ 005)12 ≈ 1’ 0617, que corresponde a un
aumento del 6’ 17 %. Por tanto, la TAE es del 6’ 17%
8. Calcula en cuánto se transforman 2 000 euros colocados durante 1 año al 8% de
interés anual si los periodos de capitalización son:
a) Meses
b) Días
c) Trimestres
d) Semestres
Halla en cada caso cuál es la TAE correspondiente.
3. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS
EJERCICIO RESUELTO
Recibimos un préstamo de 3000 euros, al 9% anual, que debemos amortizar en
6 meses mediante 6 pagos mensuales idénticos. Comprueba que la mensualidad
correspondiente es de 513’ 21 euros.
RESOLUCIÓN
Al 9% anual le corresponde un interés del 9/12 = 0’ 75% mensual.
Resumimos todo en una tabla:
MENSUALIDAD
DEUDA ANTES DEL PAGO
INTERESES PENDIENTES
PAGO
CANTIDAD AMORTIZADA
DEUDA PENDIENTE
1ª
3000,00
22,50
513,21
490,71
2509,29
2ª
2509,29
18,82
513,21
494,39
2014,90
3ª
2014,90
15,11
513,21
498,10
1516,80
4ª
1516,80
11,38
513,21
501,83
1014,97
5ª
1014,97
7,61
513,21
505,60
509,37
6ª
509,37
3,82
513,21
509,39
-0,02
(La deuda pendiente es, al final, debería ser 0. Los céntimos se deben a los
redondeos efectuados)
1. Completa la siguiente tabla para comprobar que podemos amortizar 15 000 euros
al 8% anual mediante 5pagos anuales de 3 756’ 85 euros cada uno.
MENSUALIDAD
DEUDA
ANTES DEL
PAGO
INTERESES
PENDIENTES
PAGO
CANTIDAD
AMORTIZADA
DEUDA
PENDIENTE
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
2. Recibimos un préstamo por valor de 6 000 euros, al 12% anual, que debemos
amortizar en un año, pagando cada trimestre la cuarta parte del capital más los
intereses de la cantidad adeudada. ¿A cuánto ascenderá cada pago?
MENSUALIDAD
DEUDA
ANTES DEL
PAGO
INTERESES
PENDIENTES
PAGO
CANTIDAD
AMORTIZADA
DEUDA
PENDIENTE
1ª
2ª
3ª
4ª

Anualidades para amortizar un préstamo: La anualidad correspondiente
para amortizar un préstamo, C, a un interés del r% anual, mediante n pagos
anuales idénticos, se obtiene así:
1  i  ·i
a  C·
, donde i = r/100
n
1  i   1
n

Mensualidades
para
amortizar
un
préstamo: La mensualidad
correspondiente para amortizar un préstamo, C, a un interés del r% anual,
mediante n pagos mensuales idénticos, se obtiene así:
1  i  ·i
mensualidad  C·
, donde i = r/1200
n
1  i   1
n
3. Recibimos un préstamo de 15 000 euros, al 8% de interés anual, que debemos
amortizar mediante 5 pagos anuales idénticos. ¿A cuánto asciende cada anualidad?
4. Recibimos un préstamo de 3 000 euros, al 9% de interés anual, que debemos
amortizar mediante 6 pagos anuales idénticos. Averigua el valor de la mensualidad
que tendremos que pagar.
5.
a) Averigua el valor de la mensualidad que tendremos que pagar para amortizar
en 5 meses una deuda de 1 800 euros al 9% anual.
b) Completa la siguiente tabla para comprobar que la mensualidad calculada es
la correcta:
MENSUALIDAD
DEUDA
ANTES DEL
PAGO
INTERESES
PENDIENTES
PAGO
CANTIDAD
AMORTIZADA
DEUDA
PENDIENTE
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6. Averigua la cantidad que hay que pagar cada trimestre para amortizar en dos
años (8 pagos) una deuda de 21 000 euros al 8% anual.
7. Hemos recibido un préstamo de un banco, al 6% anual, por el que tenemos que
pagar 8 anualidades de 2898’ 65 euros cada una. ¿Cuál es la cantidad prestada?
Si pagamos al final de cada año una anualidad, a, al r% durante n años, la cantidad
total acumulada al final será:
1  i 
S  a·
i
n
1
, donde i = r/100
8. Si pagamos al final de cada año una anualidad de 2 800 euros durante 10 años, al
6% de interés anual, ¿qué cantidad final tendremos acumulada?
9. Una persona ahorra 2 400 euros anuales y los ingresa en un banco al comienzo de
cada año. Calcula la cantidad que tendrá al cabo de 8 años si el interés es del 7%
anual.