Modelo Francés de amortización de un préstamo

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Modelo Francés de amortización de un préstamo
Introducción
Los sistemas de amortización son las distintas formas de devolución del capital del
préstamo. Los más difundidos son el americano, el alemán y el francés.
Sistema Americano
En este sistema se pagan los intereses en forma periódica (calculados sobre capital
constante), cancelándose el total del capital prestado al final del plazo total del crédito.
Este sistema es también llamado "bullet payment" o "balloon payment".
Sus características son:
- Cuota constante de intereses, excluyendo la última
- Interés sobre deuda
- Amortización en un único pago final.
Sistema Alemán
Es un sistema para determinar el valor de las cuotas de un crédito en el cual éstas son
decrecientes, estando compuestas por intereses (que se calculan sobre el saldo de deuda,
y por eso decrecen) y amortización constante del capital.
Sus características son:
- Interés sobre saldo (disminuye a lo largo de la vida del préstamo)
- Amortización parcial y constante con cada cuota (deuda / número de cuotas)
- Cuota decreciente compuesta de intereses más amortización.
La cuota va disminuyendo al reducirse el monto a pagar en concepto de intereses. La
ventaja que tiene este sistema para el cliente, frente al sistema francés, es que con las
primeras cuotas reembolsa más capital, logrando tener un saldo de deuda menor a igual
cantidad de cuotas canceladas. Esto representa una gran ventaja si el cliente pretende
precancelar el crédito en los primeros años. La desventaja es que la cuota es variable,
más alta al comienzo, cuando existe, en general, menor dinero disponible en el bolsillo
del cliente.
Sistema Francés
El sistema francés es el más utilizado por los bancos e implica pagar una cuota
constante a lo largo del plazo del préstamo. Esta cuota llamada "pura" se compone de
una amortización de capital y pago de intereses. Este sistema tiene una carga de
intereses mayor en las primeras cuotas e implica que la devolución del capital sea más
lenta al principio que al final del
préstamo. Es el sistema más común y generalmente tiene una tasa más baja que los
créditos con sistema alemán.
Sus características son:
- Cuota constante de interés más amortización
- Interés sobre saldo (disminuye a lo largo de la vida del préstamo)
- Amortización creciente en cada cuota
Explicación del modelo
En este modelo, suponemos un capital prestado C0 a comienzos del primer periodo
(dado este por t=0), un tipo de interés constante i para cada uno de los periodos en los
que medimos el tiempo (años, meses…), y términos amortizativos constantes A, es decir
de igual cuantía en cada periodo. (C0 , i, A > 0)
Nuestra atención se centra en determinar la deuda pendiente y el capital pendiente de
pago al principio de cada periodo Ct. Es fácil deducir que la evolución del capital
pendiente de pago a lo largo del tiempo esta en función del siguiente P.V.I. (E.D.F.
lineal de coeficientes constantes, completa y de orden uno):
Ct=(1+i)Ct-1 – A, t
C0 > 0 conocido
1
Como Ct-1 es el capital pendiente de pago a comienzos de cierto periodo t, en el
siguiente periodo la deuda pendiente Ct vendrá dada por Ct-1 más los intereses del
periodo i Ct-1 menos la cantidad pagada A. Es decir, también podemos escribir esta
E.D.F. como:
A=Ct-1 – Ct + i Ct-1 = At + It
donde At= Ct-1 – Ct representa la cuota de amortización que indica la cantidad en que
disminuye la deuda pendiente del periodo t al t+1, e It= i Ct-1 recoge los intereses
acumulados a lo largo del periodo t por la deuda pendiente. Por lo tanto, se deduce que
la ecuación anterior significa que el término amortizativo a pagar en cada periodo A
tiene un doble objetivo: amortizar parte de la deuda At y cubrir los intereses de la misma
It.
Pues bien, la solución general de esta E.D.F. se obtiene de nuevo sumando la solución
general de la E.D.F. homogénea asociada (Ct,GH = K(1+i)^t) y la solución particular
constante de la E.D.F. completa (Ct,PC = A/i), esto es:
Ct,GC = K(1+i)^t + A/i
Nuevamente calculamos el valor de la constante K para que C0,GC = C0 , resultando K =
C0 – A/i, con lo cual la única solución del P.V.I. propuesto será:
Ct = (C0 – A/i) (1+i)^t + A/i
igualdad que nos permite ya determinar el capital pendiente de pago transcurridos t
periodos.
Una consecuencia inmediata de la solución anterior es que, puesto que la base de la
exponencial que contiene (1+i) es mayor que uno, entonces, Ct será una función
creciente (y en consecuencia ¡no terminaríamos nunca de pagar el préstamo y además
cada vez deberíamos más!) si Co – A/i >0, Ct será decreciente (y por tanto en algún
periodo futuro acabaremos de pagar el préstamo) si Co – A/i <0; si Co=A/i Ct será
constantemente igual a Co (nuevamente, ¡nunca acabamos de pagar el préstamo aunque
siempre deberíamos lo mismo!). Es por esto que en la práctica bancaria habitual se
impone la restricción de que la cuota fija a pagar A debe verificar la restricción Co > A/i
(o equivalentemente A>iCo).
Podemos ver gráficamente los tres casos anteriores en el documento de excel.
A partir de la solución obtenida podemos ya calcular la evolución en el tiempo de las
cuotas de amortización At y los intereses pagados en cada periodo It sustituyendo en sus
correspondientes definiciones:
It= i Ct-1 = (iC0 – A)(1+i)^(t-1) + A, t>=1
At=A – It = (A – iC0)(1+i)^(t-1). T>=1
2 ª par t e :
R e s o l u c i ó n d e l mo d e l o
HL
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D
H
L
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>>
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8
H
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<
D
y
HLik @
D
{
E x p r e s a n d o e l mo d e l o c o mo C t
+1
=
1 +i
Ct - A
t e n e mo s
<< D i s c r e t e Ma t h ` R S o l v e `
RS o l v e
y
A - A
®
y t
Š
t + 1
1 + i
1 + i
t + i
y
t
1 + i
- A,
y
t
,
t
t C 1
i
y
t _
=
A - A
y
t
.
%
t + i
1 + i
1
1 + i
t C 1
1 + i
t C 1
i
Ex p a n d %
A
-
A
1 + i
i
t
+
i
L a S o l u c i ó n ú n i c a d e l mo d e l o s e r á :
Co l l e c t
A
+
1 + i
%,
t
i
1 +i
-
A
^ t
+ C 1
i
que sust i t uyendo cada var i abl e por l os val or es per t i nent es
nos da el capi t al pendi ent e de pago cuando han pasado t per i odos .
3 ª Pa r t e :
Es t a bi l i da d y c onv e r ge nc i a
P e d i mo s u n p r é s t a mo a l b a n c o p o r u n i mp o r t e " C 0 " ,
e n t o n c e s " C 0 " e s l a d e u d a i n i c i a l , ¿ C u á n t o l e d e b e r e mo s a l b a n c o e n C t ?
H
HLL
Ct = Ct - 1 - A = Ct - 1 - r Ct - 1 = 1 - r Ct - 1 ,
d o n d e " r " e s l a t a s a d e l p r e c i o d e l d i n e r o y " A " e s l a a mo r t i z a c i ó n
c o n s t a n t e e n n u e s t r o mo d e l o
A
N OT A : r =
Ct
-
del per i odo
- i
1
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H
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DHL@DD
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88
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<D
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<< D i s c r e t e Ma t h ` R S o l v e `
RS o l v e
Š
C t
RSo l v e C t
1 - r
1 - r
==
C t - 1
C - 1 + t
,
,
C,
C,
t
t
S i t o ma mo s p o r e j e mp l o t a s a r d e l 4 %
DS o l v e
C'
Š -0. 04 C t
t
C ® Fu n c t i o n
t
, ã
-
0. 04 t
,
C,
t
C 1
Si nue s t r a de uda i ni c i a l e s 1 0 0 0
NDS o l v e
C'
t
Š -0. 04 C t
,
H
C ® I n t e r p o l a t i n g Fu n c t i o n
C 0
® C0 = 1 0 0 0
== 1 0 0 0
0. , 100000.
,
,
C,
t ,
0,
100000
<>
Y q u e r e mo s a mo r t i z a r e l p r é s t a mo e n 3 0 p e r i o d o s ® Gr á f i c a me n t e ;
L
@@
@
D
D8 <
D
e s t e e s u n t r a t a mi e n t o c o n t i n u o c u a n d o n u e s t r o c a s o e s d i s c r e t o ,
p o r l o q u e l a g r á f i c a n o mu e s t r a e l c o mp o r t a mi e n t o r e a l d e
n u e s t r o c a s o s i n o u n a a p r o x i ma c i ó n
Pl o t
Ev a l u a t e
C t
.
% ,
t ,
0,
30
1000
900
800
700
600
500
400
5
10
15
20
25
30
… Gr a p h i c s …
S i v a r i a mo s l o s v a l o r e s v e r e mo s q u e s i e mp r e s e a c a b a p a g a n d o
e l p r é s t a mo e n l o s t p e r i o d o s
Periodo
Capital por
amortizar
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
C(t)
2.000,00 €
1.970,00 €
1.938,20 €
1.904,49 €
1.868,76 €
1.830,89 €
1.790,74 €
1.748,18 €
1.703,08 €
1.655,26 €
1.604,58 €
1.550,85 €
1.493,90 €
1.433,54 €
1.369,55 €
1.301,72 €
1.229,82 €
1.153,61 €
1.072,83 €
987,20 €
896,43 €
800,22 €
698,23 €
590,13 €
475,53 €
354,06 €
225,31 €
A(t)
I(t)
30,00 €
31,80 €
33,71 €
35,73 €
37,87 €
40,15 €
42,56 €
45,11 €
47,82 €
50,68 €
53,73 €
56,95 €
60,37 €
63,99 €
67,83 €
71,90 €
76,21 €
80,78 €
85,63 €
90,77 €
96,21 €
101,99 €
108,11 €
114,59 €
121,47 €
128,76 €
120,00 €
118,20 €
116,29 €
114,27 €
112,13 €
109,85 €
107,44 €
104,89 €
102,18 €
99,32 €
96,27 €
93,05 €
89,63 €
86,01 €
82,17 €
78,10 €
73,79 €
69,22 €
64,37 €
59,23 €
53,79 €
48,01 €
41,89 €
35,41 €
28,53 €
21,24 €
Capital Inicial
Tipo de Interes (i)
Amortización (A)
2.000 € Capital Inicial
2.500 € A/i
2.000 €
0,06
150 €
Como hemos visto en la explicación del modelo (documento de
Word) para terminar de pagar el préstamo algún día el capital
inicial tiene que ser menor que A/i
Para ver el comportamiento del modelo según los valores que
tomen las variables, se deben introducir los valores en las
casillas para ello establecidas (las que tienen el mismo color de
fondo que esta ventana)
27
28
29
30
88,83 €
-55,84 €
-209,19 €
-371,75 €
136,48 €
144,67 €
153,35 €
162,55 €
13,52 €
5,33 €
-3,35 €
-12,55 €
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