Liceo Polivalente Arturo Alessandri Palma Corporación de desarrollo social de Providencia Departamento de Matemática [email protected] SECTOR: Módulo Matemática NIVEL III/cursos E-F-G PROFESOR-A: Fermín Peña Aravena Plazo: 21 de Noviembre UNIDAD TEMÁTICA: Estudio de Cónicas CONTENIDO: Ecuación principal y general una Elipse en el Plano Cartesiano APRENDIZAJE ESPERADO: Reconocer en el estudio de la elipse a una de las cónicas importantes en el desarrollo de la geometría analítica GUÍA Nº 4 TERCERO MEDIO MÓDULO UNIDAD I SEGUNDO SEMESTRE INSTRUCCIONES GENERALES 1) Esta guía es la continuación de la guía Nº 3 que corresponde al estudio analítico de una ELIPSE centrada en un sistema de coordenadas, para lo cual deberás recordar conceptos básicos de ella . Y por supuesto los demás contenidos incluidos en las guías N1 y 2 2) En esta guía encontrarás el desarrollo de cada uno de los contenidos (objetivos) que se desean lograr con el estudio de la, ECUCIÓN PRINCIPAL Y GENERAL DE UNA ELIPSE con su respectiva explicación, ejercitación y aplicación correspondiente. Adjuntando además algunos ejercicios para tu trabajo personal 3) Luego ya resuelta la guía debes imprimirla y archivarla en una carpeta, la que será solicitada al término de este proceso 4) Finalmente lo más importante, es que al final de esta guía de trabajo, encontrarás algunas preguntas que debes responder, como evaluación de los contenidos incluidos en la guía, respuestas que debes enviarme al correo electrónico que se te comunicó, en un plazo máximo de 15 días, a partir del 26 de Octubre (indicando que es módulo de matemática) RECORDEMOS LOS ELEMENTOS DE UNA ELIPSE EN EL PLANO INTRODUCCIÓN: Nota: Una ELIPSE correspode a una de las curvas denominadas cónicas ( las otras son circunferencia,parábola, hipérbola),pues se obtienen al realizar cortes planos especiales en un CONO y los elementos básicos de una elipse en el plano que debes tener presnte son : I) Representación grafica de una Elipse Centrada en el plano Cartesino Y P( x, y) B1 C1 b A1 F1 c O y x a F2 A2 X C2 B2 1 II) Tener presente los elementos que son parte de una Elipse i) F1 F2 ii) O ii) F1F2 Puntos fijos dados llamados FOCOS Punto medio del segmento F1F2 Distancia Focal y se designa por A1 A2 ; y B1B2 F1F2 2c A1 A2 2a B1 B2 2b 2c Eje mayor de la elipse y se designa por v) A1 A2 B1B2 vi) C1C2 Lado recto (segmento perpendicular a los focos) C1C 2 LR iv) Eje menor de la elipse y se designa por 2a 2b 2b 2 a Nota. Se denominan vértices de una elipse a los puntos extremos del eje mayor de ésta III) Relación Pitagórica entre las medidas A1O ; F1O y B1O a2 b2 c2 IV) Ecuación de la elipse centrada en el origen del sistema de coordenada Eje mayor en el Eje Y ii) Ecuación de la Elipse x2 y2 1 a2 b2 X i) Ecuación de la Elipse con Eje mayor en Eje x2 y2 1 b2 a2 EJERCICIO DE APLICACIÓN II) Dada la ecuación 4x2 3 y 2 60 i) Distancia focal ii) coordenadas de los focos Determinar: iii) Medida lado recto SOLUCIÓN: 1) La ecuación debe expresar racionalmente 2 2 4x 3y 1 60 60 2) En la ecuación 3) Sabemos que iii) LR 2b a LR 30 2 5 / 60 se obtiene 2 x y 1 Por lo tanto el Eje Mayor se encuentra en el Eje Y 15 20 a 2 20 a 2 5 y b 2 15 b 15 a 2 b 2 c 2 20 15 c 2 c 2 5 c 5 ii) F1 (0, 5 ) y RESPUESTAS: i) 2c 2 5 2 2 4x 2 3 y 2 60 5 5 F2 (0, 5 ) 30 5 3 5 10 ECUACIÓN DE UNA ELIPSE NO CENTRADA EN EL ORIGEN DEL PLANO CARTESIAN0 Introducción. En el grafico siguiente puedes observar que la elipse se encuentra desplazada de los ejes reales del plano y se ubica en el Primer cuadrante de el, por tanto esta centrada respecto a los ejes centro tiene coordenadas ( h, k ) X 1 y Y1 , donde su .Además el mayor de la elipse es paralelo al Eje de las Abscisas (X) 2 Y Y1 P( x, y) B1 M C1 y1 b H A1 c (h, k ) x1 F1 a F2 A2 X1 C2 B2 k R O N x h X ECUACIÓN PRINCIPAL DE UNA ELIPSE EN EL PLANO Observación: Tal como lo indicamos en la grafica la Elipse se encuentra centra con respecto a los ejes y además su eje mayor es paralelo al eje X, por tal razón la ecuación asociada que le corresponde es: 2 X 1 y Y1 , 2 x1 y 12 1 2 a b Sin embargo la ecuación que se requiere debe estar en función de los Ejes reales del sistema, es decir x1 y1 ON OR RN x h x1 x1 x h OM OH HM y k y1 y1 y k X eY ,por lo tanto para tal efecto debemos determinar a) En la figura b) En la figura ( x h) 2 ( y k ) 2 1 a2 b2 Remplazando en la ecuación anterior se tiene NOTA1) Esta Ecuación se denomina Ecuación Principal de una Elipse en el Plano (eje mayor paralelo al eje X) NOTA 2) En cambio si eje mayor es paralelo al Eje Y la Ecuación es ( x h) 2 ( y k ) 2 1 b2 a2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1) Si el centro de una elipse tiene coordenadas (3,2) y uno de sus vértices (2,2) y uno de sus focos (6,2) Determinar la ecuación de la Elipse. SOLUCIÓN. Como cada uno de los puntos dados tiene la misma ordenada, significa que el eje mayor de la Elipse es paralelo al EJE DE LAS ABSCISAS (X) (3,2) y (2,2) ii) La distancia entre (3,2) (6,2) i) La distancia entre iii) Aplicando la relación determina el valor de determina el valor de a2 b2 c2 Por tanto la ecuación pedida es se tiene a c a5 c3 25 b 2 9 b 2 16 ( x 3) 2 ( y 2) 2 1 25 16 3 2) Si las coordenadas de los focos de una elipse son (3,3) (3,5) y y la medida de su eje mayor es 12 unidades Determinar la ecuación correspondiente SOLUCIÓN: Como las coordenadas de los focos tienen la misma abscisa ,se deduce que su eje mayor es paralelo al EJE DE LAS ORDENADAS (Y ) (3,3) y (3,5) determina las componentes del punto centro , por lo c 4 (semi-eje focal) tanto es : (3,1) y es obvio que el valor de ii) Además se sabe que la medida del eje mayor es 12 a 6 (semi-eje mayor) 2 2 2 2 2 III) Aplicando la relación a b c se tiene 36 b 16 b 20 i) El punto medio entre las coordenadas Por tanto la ecuación pedida es ( x 3) 2 ( y 1) 2 1 20 36 ECUACIÓN GENERAL DE UNA ELIPSE EN EL PLANO Introducción. Si se tiene la ecuación principal de una elipse ( x h) 2 ( y k )2 1 , para obtener la a2 b2 ecuación general es suficiente expresar dicha ecuación en forma lineal (realizando algunos reemplazos) 2 2 ( x h) 2 ( y k ) 2 1 (a b ) b 2 ( x 2 2 xh h 2 ) a 2 ( y 2 2 yk k 2 ) a 2 b 2 2 2 a b 2 2 2 2 2 b x 2hb x b h a 2 y 2 2ka2 y a 2 k 2 a 2b 2 b 2 x 2 2hb2 x a 2 y 2 2ka2 y a 2b 2 b 2 h 2 a 2 k 2 Desarrollo NOTA. Consideremos las siguientes igualdades. i) A b2 ii) B a2 iii) C 2hb2 Ax2 By 2 Cx Dy F 0 iv) D 2ka 2 v) F b 2 h 2 a 2 k 2 a 2b 2 Ecuación General de una Elipse (Eje mayor paralelo al Eje X) EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1) Dada la ecuación Principal de una Elipse ( x 2) 2 ( y 3) 2 1 9 16 ( x 2) 2 ( y 3) 2 1 Expresarla en forma General 9 16 144 16( x 2 4x 4) 9( y 2 6 y 9) 144 16x 2 64x 64 9 y 2 54y 81 144 16x 2 9 y 2 64x 54y 64 81 144 0 16x 2 9 y 2 64x 54y 1 0 Ecuación pedida 2) Dada la ecuación General de una elipse x 4 y 2 x 12y 6 0 i) Determinar las coordenadas del centro ii) Determinar las coordenadas de los vértices (Eje mayor) iii) Distancia focal iv) Medida lado recto 2 2 Nota. Para resolver este problema, se debe expresar la Ecuación en forma Principal, para lo cual completaremos los CUADRADOS DE BINOMIOS correspondientes (Este es el método más adecuado) ( x 2 2x P 2 ) 4( y 2 3 y Q 2 ) 6 Pero: 2 x 2 xP P 1 y 3 ( x 2 2 x 1) 4( y 2 3 y 9 ) 6 1 9 3 y 2 yQ Q 2 4 2 2 3 ( x 1) 2 4( y ) 2 4 4 ( x 1) y 3 1 Ecuación Principal 2 4 2 2 3 iv) Sabemos que LR 2b 2 1 LR 1 Respuestas i) Coordenadas del centro 1, a 2 2 Solución: Ordenado la ecuación ii) Su eje mayor es paralelo al Eje X y iii) La distancia Focal es igual a a2 Entonces las coordenadas de los vértices son 3, 3 y 1, 3 2c pero a b c 4 1 c c 3 2 2 2 2 2 2 2c 2 3 4 EJERCICIOS PARA TU TRABAJO PERSONAL ( x 4) 2 ( y 3) 1 Determinar 20 4 2 1) Dada la ecuación de la elipse i) Medida del eje mayor y menor ii) Coordenadas de los focos iii) Medida lado recto 2) Si las coordenadas de los focos de una elipse son (4,2) y (4,6) y su lado recto mide 6 unidades Determinar la Ecuación Principal de la elipse 3) Si las coordenadas del centro de una Elipse (2,3) y las de uno de sus vértices (6,3) ,además la distancia entre sus focos es 6. Encontrar la ecuación general correspondiente 4) Dada la ecuación una elipse. 5) Dada la ecuación 9x 2 25y 2 72x 50y T 0 Calcular el valor de T para que sea la ecuación de 4x 2 81y 2 40x 162y 143 0 Determinar: i) Las coordenadas del centro ii) Coordenadas de los focos iii) Coordenadas de los vértices iv) Lado recto ( x 2) 2 ( y 2) 1 Determinar las ordenadas del punto de 25 4 2 6) Dada la ecuación principal de una elipse la elipse cuando la abscisa es 3 RESPUESTAS: 1) i) 2b 4 Medida eje menor 2a 4 5 Medida eje Mayor iii) LR ii) (2,3) (6. 3) Coordenadas de los focos 2) ( x 4) 2 ( y 4) 1 12 16 3) 7 x 2 16y 2 28x 96y 70 0 4) T 56 4 5 5 2 5) i) (5,1) Coordenadas del centro ii) (5 77,1) (5 77,1) Coordenadas de los focos iii) (14,1) (4,1) Coordenadas de los vértices iv) LR 6) Las ordenadas para x 3 son y1 3,95 y 2 0,04 8 9 EVALUACIÓN Nota Debes responder los siguientes ítems, que corresponden a los objetivos básicos considerados en la guía que has trabajado, justificando adecuadamente cada una de tus respuestas; las cuales debes enviar vía correo electrónico indicado el curso y que es matemática Módulo, Nombre………………………. Curso…………… Fecha……………… 1) Si se sabe que las coordenadas de los vértices de una elipse son (4,2) (8,2) y la de uno de sus focos (2,2) Determinar la ecuación principal de la elipse 2) Dada la ecuación de la elipse 9 x 8 y 18x 64y 65 0 Determinar: i) Coordenadas del centro ii) Coordenadas de los focos III) Medida del Eje menor iv) Medida lado recto 2 2 3) Si se conoce que las coordenadas de los focos de una elipse son (3,1) (3,7) , además LR 32 5 Encontrar la ecuación general correspondiente 5 RUBRICA DE LA EVALUACIÓN (Con estos criterios y puntajes que se indican en el cuadro serán evaluadas tus respuestas) Desempeño Optimo Bueno Regular Insuficiente (3 puntos) (2 puntos) (1 punto) (0 punto) Realiza los procedimientos algebraicos adecuados con los valores conocidos, dando respuesta correcta de la ecuación pedida. Realiza procedimientos matemáticos con los elementos dados ,pero la ecuación obtenida , no es la correcta Desarrolla algunas operaciones algebraicas, con los elementos dados ,sin embargo no da respuesta a lo solicitado No responde la pregunta Utilizando adecuadamente procedimiento algebraico y demostrando que conoce la relación conceptual que existe entre la ecuación de una Elipse y sus elementos, obtiene las respuestas correctas del problema planteado. Utilizando adecuadamente procedimiento algebraico y demostrando que conoce la relación conceptual que existe entre la ecuación de una Elipse y sus elementos, obtiene sólo dos respuestas correctas del problema planteado. Interpreta erróneamente información, por tanto su algebraico no le permite obtener respuestas correctas No responde la pregunta Con la información dada deduce correctamente los procedimiento algebraicos que debe realizar ,para obtener la ecuación pedida Utiliza los datos dados correctamente ,pero comete errores en el desarrollo en uno de los procedimientos algebraicos realizados, por lo tanto su respuesta no corresponde a la ecuación pedida Reconoce la información dada ,pero los procedimientos algebraicos utilizados no son correctos e incluso incompletos, por cuanto su respuesta carece de fundamneto No responde la pregunta Categorías Determinar la Ecuación de una elipse conocidos algunos elementos de ella Determinar algunos elementos de la elipse conocida su ecuación general Encontrar la Ecuación General de una elipse conocidos algunos elementos de ella 6