4mod LAAP_AN°12_3°matemática MODULO_GUIAN°4

Liceo Polivalente Arturo Alessandri Palma
Corporación de desarrollo social de Providencia
Departamento de Matemática
[email protected]
SECTOR: Módulo Matemática
NIVEL III/cursos E-F-G
PROFESOR-A: Fermín Peña Aravena
Plazo: 21 de Noviembre
UNIDAD TEMÁTICA: Estudio de Cónicas
CONTENIDO: Ecuación principal y general una Elipse en el Plano Cartesiano
APRENDIZAJE ESPERADO: Reconocer en el estudio de la elipse a una de las cónicas
importantes en el desarrollo de la geometría analítica
GUÍA Nº 4 TERCERO MEDIO MÓDULO
UNIDAD I SEGUNDO SEMESTRE
INSTRUCCIONES GENERALES
1) Esta guía es la continuación de la guía Nº 3 que corresponde al estudio analítico de una ELIPSE centrada en
un sistema de coordenadas, para lo cual deberás recordar conceptos básicos de ella . Y por supuesto los demás
contenidos incluidos en las guías N1 y 2
2) En esta guía encontrarás el desarrollo de cada uno de los contenidos (objetivos) que se desean lograr con el
estudio de la, ECUCIÓN PRINCIPAL Y GENERAL DE UNA ELIPSE con su respectiva explicación, ejercitación y
aplicación correspondiente. Adjuntando además algunos ejercicios para tu trabajo personal
3) Luego ya resuelta la guía debes imprimirla y archivarla en una carpeta, la que será solicitada al término de este
proceso
4) Finalmente lo más importante, es que al final de esta guía de trabajo, encontrarás algunas preguntas que
debes responder, como evaluación de los contenidos incluidos en la guía, respuestas que debes enviarme al
correo electrónico que se te comunicó, en un plazo máximo de 15 días, a partir del 26 de Octubre
(indicando que es módulo de matemática)
RECORDEMOS LOS ELEMENTOS DE UNA ELIPSE EN EL PLANO
INTRODUCCIÓN:
Nota: Una ELIPSE correspode a una de las curvas denominadas cónicas ( las otras son
circunferencia,parábola, hipérbola),pues se obtienen al realizar cortes planos especiales en un CONO y los
elementos básicos de una elipse en el plano que debes tener presnte son :
I) Representación grafica de una Elipse Centrada en el plano Cartesino
Y
P( x, y)
B1
C1
b
A1
F1
c
O
y
x
a
F2
A2
X
C2
B2
1
II) Tener presente los elementos que son parte de una Elipse
i)
F1  F2
ii)
O
ii)
F1F2
Puntos fijos dados llamados FOCOS
Punto medio del segmento
F1F2
Distancia Focal y se designa por
A1 A2
;
y
B1B2
 F1F2  2c
 A1 A2  2a
 B1 B2  2b
2c
Eje mayor de la elipse y se designa por
v)
A1 A2
B1B2
vi)
C1C2
Lado recto (segmento perpendicular a los focos)  C1C 2  LR 
iv)
Eje menor de la elipse y se designa por
2a
2b
2b 2
a
Nota. Se denominan vértices de una elipse a los puntos extremos del eje mayor de ésta
III) Relación Pitagórica entre las medidas
A1O ; F1O
y
B1O
a2  b2  c2
IV) Ecuación de la elipse centrada en el origen del sistema de coordenada
Eje mayor en el Eje Y
ii) Ecuación de la Elipse
x2
y2

1
a2
b2
X
i) Ecuación de la Elipse con Eje mayor en Eje
x2
y2

1
b2
a2
EJERCICIO DE APLICACIÓN
II) Dada la ecuación
4x2  3 y 2  60
i) Distancia focal
ii) coordenadas de los focos
Determinar:
iii) Medida lado recto
SOLUCIÓN: 1) La ecuación debe expresar racionalmente
2

2
4x
3y

1
60
60
2) En la ecuación
3) Sabemos que
iii) LR 
2b
a
 LR 
30
2 5
/ 60
se obtiene
2
x
y

 1 Por lo tanto el Eje Mayor se encuentra en el Eje Y
15 20
a 2  20  a  2 5 y b 2  15  b  15
a 2  b 2  c 2  20  15  c 2  c 2  5  c  5
ii) F1  (0, 5 ) y
RESPUESTAS: i) 2c  2 5
2
2
4x 2  3 y 2  60

5
5

F2  (0, 5 )
30 5
3 5
10
ECUACIÓN DE UNA ELIPSE NO CENTRADA EN EL ORIGEN DEL
PLANO CARTESIAN0
Introducción. En el grafico siguiente puedes observar que la elipse se encuentra desplazada de los ejes reales
del plano y se ubica en el Primer cuadrante de el, por tanto esta centrada respecto a los ejes
centro tiene coordenadas
( h, k )
X 1 y Y1 , donde
su
.Además el mayor de la elipse es paralelo al Eje de las Abscisas (X)
2
Y
Y1
P( x, y)
B1
M
C1
y1
b
H
A1
 c (h, k ) x1
F1
a
F2
A2
X1
C2
B2
k
R
O
N
x
h
X
ECUACIÓN PRINCIPAL DE UNA ELIPSE EN EL PLANO
Observación: Tal como lo indicamos en la grafica la Elipse se encuentra centra con respecto a los ejes
y además su eje mayor es paralelo al eje X, por tal razón la ecuación asociada que le corresponde es:
2
X 1 y Y1 ,
2
x1
y
 12  1
2
a
b
Sin embargo la ecuación que se requiere debe estar en función de los Ejes reales del sistema, es decir
x1  y1
ON  OR  RN  x  h  x1  x1  x  h
OM  OH  HM  y  k  y1
 y1  y  k
X
eY
,por lo tanto para tal efecto debemos determinar
a) En la figura
b) En la figura
( x  h) 2 ( y  k ) 2

1
a2
b2
Remplazando en la ecuación anterior se tiene
NOTA1) Esta Ecuación se denomina Ecuación Principal de una Elipse en el Plano (eje mayor paralelo al eje X)
NOTA 2) En cambio si eje mayor es paralelo al Eje Y la Ecuación es
( x  h) 2 ( y  k ) 2

1
b2
a2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) Si el centro de una elipse tiene coordenadas
(3,2)
y uno de sus vértices
(2,2) y uno de sus focos (6,2)
Determinar la ecuación de la Elipse.
SOLUCIÓN. Como cada uno de los puntos dados tiene la misma ordenada, significa que el eje mayor de la Elipse
es paralelo al EJE DE LAS ABSCISAS (X)
(3,2) y (2,2)
ii) La distancia entre (3,2) (6,2)
i) La distancia entre
iii) Aplicando la relación
determina el valor de
determina el valor de
a2  b2  c2
Por tanto la ecuación pedida es
se tiene
a
c
a5
c3
25  b 2  9  b 2  16
( x  3) 2
( y  2) 2

1
25
16
3
2) Si las coordenadas de los focos de una elipse son
(3,3)
(3,5)
y
y la medida de su eje mayor es 12
unidades Determinar la ecuación correspondiente
SOLUCIÓN: Como las coordenadas de los focos tienen la misma abscisa ,se deduce que su eje mayor es
paralelo al EJE DE LAS ORDENADAS (Y )
(3,3) y (3,5) determina las componentes del punto centro , por lo
c  4 (semi-eje focal)
tanto es : (3,1) y es obvio que el valor de
ii) Además se sabe que la medida del eje mayor es 12  a  6 (semi-eje mayor)
2
2
2
2
2
III) Aplicando la relación a  b  c se tiene 36  b  16  b  20
i) El punto medio entre las coordenadas
Por tanto la ecuación pedida es
( x  3) 2 ( y  1) 2

1
20
36
ECUACIÓN GENERAL DE UNA ELIPSE EN EL PLANO
Introducción. Si se tiene la ecuación principal de una elipse
( x  h) 2
( y  k )2

 1 , para obtener la
a2
b2
ecuación general es suficiente expresar dicha ecuación en forma lineal (realizando algunos reemplazos)
2 2
( x  h) 2 ( y  k ) 2

 1  (a b )  b 2 ( x 2  2 xh  h 2 )  a 2 ( y 2  2 yk  k 2 )  a 2 b 2
2
2
a
b
2 2
2
2 2
 b x  2hb x  b h  a 2 y 2  2ka2 y  a 2 k 2  a 2b 2
 b 2 x 2  2hb2 x  a 2 y 2  2ka2 y  a 2b 2  b 2 h 2  a 2 k 2
Desarrollo
NOTA. Consideremos las siguientes igualdades.
i)
A  b2
ii)
B  a2
iii)
C  2hb2
 Ax2  By 2  Cx  Dy  F  0
iv)
D  2ka 2
v)
F  b 2 h 2  a 2 k 2  a 2b 2
Ecuación General de una Elipse (Eje mayor paralelo al Eje X)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) Dada la ecuación Principal de una Elipse
( x  2) 2 ( y  3) 2

1
9
16
( x  2) 2 ( y  3) 2

 1 Expresarla en forma General
9
16
 144  16( x 2  4x  4)  9( y 2  6 y  9)  144
 16x 2  64x  64  9 y 2  54y  81  144  16x 2  9 y 2  64x  54y  64  81 144  0
16x 2  9 y 2  64x  54y  1  0 Ecuación pedida
2) Dada la ecuación General de una elipse x  4 y  2 x  12y  6  0
i) Determinar las coordenadas del centro ii) Determinar las coordenadas de los vértices (Eje mayor)
iii) Distancia focal
iv) Medida lado recto
2
2
Nota. Para resolver este problema, se debe expresar la Ecuación en forma Principal, para lo cual completaremos
los CUADRADOS DE BINOMIOS correspondientes (Este es el método más adecuado)
( x 2  2x  P 2 )  4( y 2  3 y  Q 2 )  6 Pero: 2 x  2 xP  P  1 y
3
 ( x 2  2 x  1)  4( y 2  3 y  9 )  6  1  9
 3 y  2 yQ  Q  
2
4
2
2
3
 ( x  1) 2  4( y  ) 2  4  4  ( x  1)   y  3   1 Ecuación Principal
2
4
2

2
3  iv) Sabemos que LR  2b  2  1
 LR  1
Respuestas i) Coordenadas del centro 
  1, 
a
2
2

Solución: Ordenado la ecuación
ii) Su eje mayor es paralelo al Eje X y
iii) La distancia Focal es igual a
a2
Entonces las coordenadas de los vértices son   3, 3  y 1, 3 

2c pero a  b  c  4  1  c  c  3
2
2
2
2
2
 2
 2c  2 3
4
EJERCICIOS PARA TU TRABAJO PERSONAL
( x  4) 2 ( y  3)

 1 Determinar
20
4
2
1) Dada la ecuación de la elipse
i) Medida del eje mayor y menor
ii) Coordenadas de los focos iii) Medida lado recto
2) Si las coordenadas de los focos de una elipse son (4,2) y (4,6) y su lado recto mide 6 unidades
Determinar la Ecuación Principal de la elipse
3) Si las coordenadas del centro de una Elipse (2,3) y las de uno de sus vértices (6,3) ,además la
distancia entre sus focos es 6. Encontrar la ecuación general correspondiente
4) Dada la ecuación
una elipse.
5) Dada la ecuación
9x 2  25y 2  72x  50y  T  0
Calcular el valor de
T
para que sea la ecuación de
4x 2  81y 2  40x  162y 143 0 Determinar:
i) Las coordenadas del centro
ii) Coordenadas de los focos iii) Coordenadas de los vértices iv) Lado recto
( x  2) 2 ( y  2)

 1 Determinar las ordenadas del punto de
25
4
2
6) Dada la ecuación principal de una elipse
la elipse cuando la abscisa es 3
RESPUESTAS:
1) i)
2b  4 Medida eje menor
2a  4 5 Medida eje Mayor
iii)
LR 
ii) (2,3)  (6.  3) Coordenadas de los focos
2)
( x  4) 2 ( y  4)

1
12
16
3)
7 x 2  16y 2  28x  96y  70  0
4)
T  56
4
5
5
2
5) i) (5,1) Coordenadas del centro
ii) (5 
77,1)  (5 
77,1) Coordenadas de los focos
iii) (14,1)  (4,1) Coordenadas de los vértices iv) LR 
6) Las ordenadas para x  3 son y1  3,95  y 2  0,04
8
9
EVALUACIÓN
Nota Debes responder los siguientes ítems, que corresponden a los objetivos básicos considerados en la guía que
has trabajado, justificando adecuadamente cada una de tus respuestas; las cuales debes enviar vía correo
electrónico indicado el curso y que es matemática Módulo,
Nombre……………………….
Curso……………
Fecha………………
1) Si se sabe que las coordenadas de los vértices de una elipse son (4,2)  (8,2) y la de uno de sus focos
(2,2) Determinar la ecuación principal de la elipse
2) Dada la ecuación de la elipse 9 x  8 y  18x  64y  65  0 Determinar:
i) Coordenadas del centro ii) Coordenadas de los focos III) Medida del Eje menor iv) Medida lado recto
2
2
3) Si se conoce que las coordenadas de los focos de una elipse son (3,1)  (3,7) , además LR 
32
5
Encontrar la ecuación general correspondiente
5
RUBRICA DE LA EVALUACIÓN
(Con estos criterios y puntajes que se indican en el cuadro serán evaluadas tus respuestas)
Desempeño Optimo
Bueno
Regular
Insuficiente
(3 puntos)
(2 puntos)
(1 punto)
(0 punto)
Realiza los procedimientos
algebraicos adecuados con
los
valores
conocidos,
dando respuesta correcta de
la ecuación pedida.
Realiza
procedimientos
matemáticos con los
elementos dados ,pero
la ecuación obtenida ,
no es la correcta
Desarrolla
algunas
operaciones
algebraicas, con los
elementos dados ,sin
embargo
no
da
respuesta
a
lo
solicitado
No responde
la pregunta
Utilizando adecuadamente
procedimiento algebraico y
demostrando que conoce la
relación conceptual que
existe entre la ecuación de
una Elipse y sus elementos,
obtiene
las
respuestas
correctas
del
problema
planteado.
Utilizando
adecuadamente
procedimiento
algebraico
y
demostrando
que
conoce
la relación
conceptual que existe
entre la ecuación de
una Elipse
y sus
elementos,
obtiene
sólo dos respuestas
correctas del problema
planteado.
Interpreta
erróneamente
información, por tanto
su algebraico no le
permite
obtener
respuestas correctas
No responde
la pregunta
Con la información dada
deduce correctamente los
procedimiento algebraicos
que debe realizar ,para
obtener la ecuación pedida
Utiliza los datos dados
correctamente
,pero
comete errores en el
desarrollo en uno de
los
procedimientos
algebraicos realizados,
por
lo
tanto
su
respuesta
no
corresponde
a
la
ecuación pedida
Reconoce
la
información dada ,pero
los
procedimientos
algebraicos utilizados
no son correctos e
incluso
incompletos,
por
cuanto
su
respuesta carece de
fundamneto
No responde
la pregunta
Categorías
Determinar la
Ecuación de una
elipse conocidos
algunos elementos de
ella
Determinar algunos
elementos
de
la
elipse conocida su
ecuación general
Encontrar la Ecuación
General de una elipse
conocidos algunos
elementos de ella
6