UNIDAD III DISTRIBUCIONES ESPECIALES Experimentos aleatorios y sus repeticiones.

UNIDAD III
DISTRIBUCIONES ESPECIALES
Experimentos aleatorios y sus repeticiones.
Cuando se realiza un experimento aleatorio y se está interesado en conocer si sucede o no
un determinado evento A, puede definirse una variable aleatoria discreta X, asignando a X
el valor 1 en caso de que ocurra A, y el valor 0 a X en caso contrario.
A menudo suele referirse como “éxito” a que ocurra el suceso de interés A, y como fracaso
a que no ocurra.
Si se conoce la probabilidad p de éxito, la distribución de probabilidad está dada por:
X
P(x)
1 (éxito)
p
0
(fracaso)
1-p
En este caso el valor esperado es E(X) = p, y la varianza es V(X) = p(1-p).
Repeticiones independientes de un experimento aleatorio: proceso de Bernoulli
 Se realizan repeticiones o ensayos independientes de un experimento.
 En cada ensayo son posibles dos resultados: éxito con probabilidad p o fracaso con
probabilidad 1 – p.
 La probabilidad de éxito no cambia de un ensayo a otro, tampoco la probabilidad de
fracaso.
Según se esté interesado en la cantidad de éxitos alcanzados para un número de ensayos fijo
o en la cantidad de ensayos que se realizan para lograr un éxito se tienen dos distribuciones
diferentes:
Distribución Binomial
Es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X llamada variable
binomial que aparece en un proceso de Bernoulli en el que:
 El número: n de ensayos o repeticiones está fijo.
La variable aleatoria X se define como:
X = el número de éxitos en los n ensayos. Es una variable discreta: Posibles valores de X:
0,1,2,3,... n.
La probabilidad de que haya k éxitos en los n ensayos, siendo k un valor posible: 0,1,2...n,
está dada por:
n!
p k (1  p) nk resulta E(X) = np V(X) = np(1-p)
k!(n  k )!
Observación: k! Es el número “Factorial de k” designa al producto de los “k” primeros
P(X = k) =
números naturales, es decir:
k! = k (k-1)(k-2)....3.2.1 = k (k-1)!
Notación: Para señalar que X es una variable binomial, se indica X ~ B(n, p).
Los valores numéricos de las probabilidades, suelen calcularse por medio de calculadora,
tablas o utilizando un software para computadora.
Por ejemplo con Excel:
1. Seleccionar una celda donde se desea que aparezca la probabilidad binomial
2. Seleccionar: Insertar,
Función, Estadísticas, DISTR.BINOM esta función tiene
cuatro argumentos:
DISTR.BINOM(núm_éxito;ensayos;prob_éxito;acumulado)
Núm_éxito es el número de éxitos en los ensayos. “ k ”
Ensayos es el número de ensayos independientes. “ n ”
Prob_éxito es la probabilidad de éxito en cada ensayo. “ p ”
Acumulado
es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento
acumulado es VERDADERO, DISTR.BINOM devuelve la función de distribución
acumulada, si es FALSO, devuelve la función de densidad de probabilidad
correspondiente al argumento núm_éxito.
Distribución Geométrica
Es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X llamada variable
geométrica que aparece en un proceso de Bernoulli en el que:
 Se cuenta el número de ensayos necesarios hasta que ocurra un suceso A por primera
vez, es decir hasta lograr el primer éxito, si hacen falta un número k de ensayos hasta el
primer éxito, éste ocurrirá en el k-ésimo ensayo, siendo fracasos los anteriores k-1.
X = el número de ensayos necesarios hasta lograr el primer éxito. Posibles valores de X:
1,2,3,........
La probabilidad de que se hayan necesitado k ensayos hasta lograr el primer éxito, siendo k
un valor 1,2,3,....está dada por :
P(X = k) = p (1 – p )k - 1 resulta: E(X) =
1
1 p
; V(X) = 2 P(X  m ) = (1 – p )m
p
p
Notación : X ~ G(p)
Distribución de Poisson
Es la distribución de probabilidad de una variable discreta X que se utiliza para estimar el
número de ocurrencias de un suceso A en un intervalo de tiempo (o de espacio). Se
cumplen:
 La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de igual
longitud.
 La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o
no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
Valores posibles de X: 0,1,2,3.....................
Si el valor esperado o cantidad promedio de ocurrencias en un intervalo es un número  >0,
la probabilidad de que A suceda k veces en el intervalo dado, siendo k = 0,1,2,3.......... está
dada por:
 k e 
P( X = k ) =
Notación : X ~ P (  )
k!
resulta
E(X) =  , V(X) = 
Los valores numéricos de las probabilidades, suelen calcularse por medio de calculadora,
tablas o utilizando un software para computadora.
Por ejemplo con Excel:
1. Seleccionar una celda donde se desea que aparezca la probabilidad binomial
2. Seleccionar: Insertar,
Función, Estadísticas, POISSON esta función tiene tres
argumentos:
POISSON(x;media;acumulado)
X es el número de sucesos.
Media es el valor numérico esperado.
Acumulado es un valor lógico que determina la forma de la distribución de probabilidad
devuelta. Si el argumento acumulado es VERDADERO, POISSON devuelve la
probabilidad de Poisson de que un suceso aleatorio ocurra un número de veces
comprendido entre 0 y x inclusive; si el argumento acumulado es FALSO, la función
devuelve la probabilidad de Poisson de que un suceso ocurra exactamente x veces.
En muchos casos  es el valor esperado en un intervalo unitario. Si se desea conocer la
probabilidad de que el suceso A ocurra k veces en un intervalo de longitud t >0, la variable
a considerar ahora será X t que tendrá una distribución de Poisson con parámetro t. X t ~
P ( t ).
Aproximación de la distribución Binomial por la distribución de Poisson
Sea X una v. a. con distribución Binomial con parámetros n y p. Si n tiende a infinito de
forma tal que el producto np permanece constante, ( o equivalentemente, cuando n tiende a
infinito, p tiende a cero tal que np tiende a  ) la distribución binomial se puede aproximar
por la distribución de Poisson con parámetro  = np.
 n
e (n p) r
P [ X  r ]    pr q ( n  r ) 

r
r!
n
np
np
cte
Distribución normal
Es la distribución más importante, corresponde a una variable continua que toma todos los
valores reales y tal que E(X) = , V(X) =  2 . La desviación standard es . El gráfico de
su función de densidad es simétrico, el área total bajo la curva es 1, y casi toda el área está
comprendida entre x =  - 3 y x =  + 3. A ambos lados de , el área es 0.5.
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-3
-2
-
Notación: Se indica X ~ N(,)
-1
0

1
2
3
+
Distribución normal standard
Corresponde al caso en que  = 0, y  = 1. Si bien hay un número ilimitado de
X 
distribuciones de probabilidad normal, sin embargo, si X ~ N(,), entonces, Z 

~ N(0,1). Así las probabilidades pueden calcularse sobre la base de la distribución normal
standard:
a
X 
b
a
b


 Z 
P( a < X < b ) = P (
)=P(
)





Esta igualdad se utiliza cuando se calculan probabilidades normales con tabla.
Si se utiliza Excel:
1. Seleccionar una celda donde se desea que aparezca la probabilidad binomial
2. Seleccionar: Insertar, Función, Estadísticas, DISTR.NORM esta función tiene
cuatro argumentos:
DISTR.NORM(x;media;desv_estándar;acum)
X es el valor cuya distribución desea obtener.
Media es la media aritmética de la distribución.
Desv_estándar es la desviación estándar de la distribución.
Acum es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento acum es
VERDADERO, la función DISTR.NORM devuelve la función de distribución acumulada;
si es FALSO, devuelve la función de masa de probabilidad.
Distribución Uniforme
Es la distribución de una variable continua X que toma todos los valores en el intervalo [a,
b]. Su función de densidad f (x) es constante en [a, b] :
 1
si x a, b

resulta
E(X) = (a+b)/2 , V(X) = (b-a)3 / 12.
f ( x)   b  a

si xa, b
0
Notación: Se indica : X~U[a,b]. Representa la analogía continua a la distribución de
probabilidad discreta en que los valores son igualmente probables.
Distribución exponencial
Es la distribución de una variable continua que toma solo valores no negativos. Esta
variable aparece cuando se considera el tiempo necesario para que un suceso A ocurra por
primera vez.
  e  x
si x  0
Su función de densidad es f ( x) 
.
0
si
x

0

Su función de distribución acumulada F(x) = P( X  x ) es:
F(x) = 1 – e- x
resulta también
E(X) = (1 / ), V(X) = (1 /2 ).
Notación: Se indica X ~ ℰ ().
Los valores numéricos de las probabilidades, suelen calcularse por medio de calculadora, o
utilizando un software para computadora.
Por ejemplo con Excel: se puede utilizar siguiendo los pasos anteriores la función
estadística : Gamma(1, ) donde  es igual a la media es decir  = 1/ .
Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial
 Si X = tiempo que transcurre hasta que A ocurre por primera vez ( o sea entre dos
ocurrencias consecutivas de A), y si
 Yt = número de veces que ocurre A en el intervalo [0, t], se distribuye Poisson, Yt 
P(t),
 Entonces X se distribuye exponencialmente con parámetro = 1/ y la siguiente
relación es válida:
P(X  t) = P (Yt  1).