Calcula

5. CÁLCULO
5.1
El caudal de agua que vacía un depósito de 200 litros es variable y viene dado
por la ecuación C(t)  5  0'1t (t en minutos, C en litros/minutos).
a) Dibuja la gráfica del caudal en función del tiempo.
b) Calcula el área bajo la curva en el intervalo [0,50]. Interpretar el resultado.
c) Dibuja la función que determina el volumen de agua del depósito en función
del tiempo.
5.2
Las gráficas i), ii) y iii) corresponden, no necesariamente por ese orden, a las
de una función derivable f, su función derivada f ' y una primitiva F de f.
Identifica cada gráfica con la función justificando la respuesta.
(i)
5.3
(ii)
(iii)
De una función integrable f: [1,1] 
se sabe que para cada x en dicho
intervalo se tiene f ( x)  1  x 2 . De los números 3, 2, 1, 2'5 y 2'75, ¿Cuáles
pueden ser el valor de la integral
5.4
1

1
f ( x ) dx ? Justifica la respuesta.
Y
La figura siguiente representa
1
la gráfica de una función f: [0,7]  .
0
1
2
3
4
5
6
-1
Sea F : [0,7] 
5.5
x
la función definida por F ( x)   f (t ) dt .
0
a)
Calcula F(4) y F(7).
b)
Dibuja la gráfica de F explicando cómo lo haces.
La velocidad de un móvil que parte del
origen viene dada en m/s por la gráfica.
v
2
1
a) Calcula la función espacio recorrido.
0
1
2
3
b) Dibuja la gráfica de la función espacio recorrido-tiempo.
4
5
t
7
X
c) Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total
recorrido.
5.6
Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta debido a la acción de una
fuerza F que depende continuamente de la posición x del objeto en dicha línea
recta. Se sabe que el trabajo realizado por la fuerza para mover el objeto desde
b
x  a hasta x  b, viene dado por N   F ( x) dx .
a
1. Si la fuerza es F ( x ) 
2
, calcula el trabajo para ir desde x  3 hasta x
( x  1) 2
 5.
2. Determina razonadamente si la fuerza G( x ) 
x
2

1
2
2
realiza más o menos
trabajo que la fuerza F anterior para el mismo desplazamiento.
5.7
De todas las primitivas de la función f:

dada por f ( x)  1  x x ,
determina aquella cuya gráfica pasa por el punto (1, 0).
5.8
 x 2  (a  3) x  3a

La función f definida por f ( x)  
x3
1 si x  3

si x  3
es derivable en toda la recta real.
5.9
1.
¿Cuánto vale a?
2.
Para dicho valor de a, ¿cuánto vale f '(3)?
De una función f:

se sabe que si F:

es una primitiva suya,
entonces también lo es la función G dada por G(x)  3  F (x).
¿Puedes determinar f (33)? ¿y f (5)? ¿y el valor de

33
5
f ( x) dx ?
Justifica las respuestas y, en los casos de respuestas afirmativa, calcula los
valores correspondientes.
5.10
Sea f:

una función derivable en ; sean a y b dos raíces de la derivada
f '(x) tales que entre ellas no hay ninguna otra raíz de f '(x) . Razonar
debidamente si puede ocurrir cada una de las siguientes posibilidades:
1. Entre a y b no existe ninguna raíz de f (x) .
2. Entre a y b existe una sola raíz de f (x) .
3. Entre a y b existen dos o más raíces de f (x) .
5.11
Sea f una función continua tal que para cualquiera que sea x > 0 se cumple que

0
x

x
f   f . Prueba que, entonces, se verifica que f (x)  f (x) para todo x >
0
0.
5.12
a) Esboza la gráfica de la función dada por f ( x ) 
b) ¿Es la integral
1
x 4
2
1
positiva o negativa? Justifica tu respuesta.
1 x  4

1
2
c) Calcula el valor de la integral del apartado b) descomponiendo el
integrando en fracciones simples.
d) Un amigo te sugiere que esa integral se hace más fácil con la sustitución x
 2 sec. ¿Tú qué piensas?
5.13
De una cierta función f conocemos algunos valores, dados en la siguiente tabla:
x
1
f (x)
2'5
1'9
1'97
2
2'02
2'2
3
3'9
3'99
4
4'01
4'1
6'6 6'905
7
7'059 7'5
8
8'82
8'98
9
9'2
11
1. Usa esta tabla para aproximar el valor de la derivada de f en 2.
2. A partir de la información que te da esta tabla, ¿crees que f (x) es derivable
en x  4? Justifica tu respuesta.
5.14
Supón que f es una función para la que lím
x2
f ( x)  f (2)
 0 . ¿Cuáles de las
x2
siguientes afirmaciones tienen que ser verdaderas, cuáles pueden ser
verdaderas y cuáles son obligatoriamente falsas?
1) f '(2)  2;
2) f (2)  0;
3) lím f ( x)  f (2) ;
x2
4) f es continua en x  0;
5) f es continua en x  2.
5.15
Dice la experiencia que el área encerrada por un segmento parabólico es dos
tercios del producto de su altura h por la longitud de su base b. Confirma que
esta fórmula es correcta, utilizando el teorema fundamental del cálculo para
obtener el área en cuestión.
5.16
Cuatro estudiantes no se ponen de acuerdo sobre el valor de la integral

35
8
 sen x dx . Antonio dice que es igual a , Beatriz dice que vale , Carlos,
128
3

que vale
 1 y Diana afirma que es . Uno de ellos está en lo cierto.
90
2
0
¿Quién es? No intentes calcular esta integral. Elimina, justificadamente, las
tres respuestas erróneas.
5.17
Considera la función h(x)  f (x) g(x) donde las gráficas de f y g son las que te
damos a continuación.
Gráfica de f
5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
Gráfica de g
5 4 3 2 1
1
1
2
3
4
5
a)
1.
Calcula h(2) y h(3)
2.
Calcula aproximadamente f '(2), f '(3), g'(2) y g'(3).
3.
Calcula aproximadamente h'(2), h'(3).
b) Con las mismas gráficas que en el apartado anterior, sea h(x)  f [g(x)].
5.18
1.
Calcula h(2) y h(3)
2.
¿Es h'(3) positivo, negativo o cero? Explica cómo puedes saberlo.
3.
¿Es h'(1) positivo, negativo o cero? Explica cómo lo averiguas.
Supón que f y g son funciones derivables para las que se verifican las dos
condiciones siguientes:
1)
f (0)  0 y g(0)  1;
2) f '(x)  g(x) y g'(x)  f (x) .
a) Sea h(x)  f 2(x) + g2(x). Calcula h'(x) y utiliza el resultado que
obtengas para demostrar que f2(x) + g2(x)  1 para todo x.
b) Supón que F y G son otro par de funciones derivables que satisfacen
las condiciones 1) y 2) y sea k(x)  [F(x)  f (x)]2 + [G(x)  g(x)]2.
Calcula k'(x) y utiliza el resultado que obtengas para deducir qué
relación existe entre f (x) y F(x) y entre g(x) y G(x).
c) Muestra un par de funciones f y g que satisfagan las condiciones 1) y
2). ¿Puede haber otras? Justifica tu respuesta.
5.19
¿Piensas que alguna las siguientes gráficas es parte de la gráfica de la función
f (x)  sen 2x + 2ex?
Justifica tu respuesta.
A
B
C
5.20
a) Si f es derivable y f '(x)  0 para cualquier número real x, ¿cuántas
soluciones puede tener la ecuación f (x) 0? Explica tu respuesta.
b) Si f es derivable y la ecuación f '(x)  0 tiene solamente una solución,
¿cuántas soluciones puede tener la ecuación f (x)  0? Justifica tu respuesta.
c) Si f es derivable y la ecuación f '(x)  0 tiene n soluciones, ¿cuántas
soluciones puede tener la ecuación f (x)  0? Justifica tu respuesta.
5.21
Demuestra que la ecuación cos x + x sen x  x2 0 tiene exactamente dos raíces
reales.
5.22
1
2
a) Demuestra que  
x
1
 para todo valor de x.
2
2
1 x
b) Aplicando el resultado anterior, prueba que si a < b, entonces
ln
5.23
1  b2
ba .
1 a2
Sea f: [a, a] 
con a > 0 una función continua tal que

a
a
f  0.
Responde razonadamente a las siguientes preguntas:
1)
¿Es necesariamente f (x)  0 para todo x  [a, a]?
2)
¿Es necesariamente
3)
¿Es necesariamente
4)
¿Cuánto vale
1)
Estudia, según los valores de b, la derivabilidad de la función f definida

a

a
a
a
f ( x ) dx  0 ?
f (  x ) dx  0 ?
  f ( x)  2 x dx ?
a
a
5.24
por
1

si x  0

x 1
f ( x)  
 x 2  bx  1 si x  0

2)
5.25
Calcula

3
1
f ( x ) dx
¿Cuántos puntos x del intervalo [0, 1] satisfacen la igualdad x  cos x? Justifica
la respuesta y enuncia algunos de los teoremas importantes que utilices.
5.26
Dada la función f:

( x  1)  cos( x  1)

f ( x)  
sen( x  1)

x 1
definida por
si x  1
si x  1
a) Determina los puntos en los que f es continua y los puntos en los que f es
derivable.
b) ¿Cumple f en [0, 2] las condiciones del teorema de Rolle?
5.27
Al aplicar el método de integración por partes para calcular
 f ( x) sen x dx ,
donde f es una cierta función derivable, se obtiene
 f ( x) sen x dx   f ( x) cos x   3x
2
cos x dx .
Sabiendo que f (1)  2, encuentra la expresión de f (x).
5.28
Considera la función f:

definida por f ( x)  x  2 x  2 .
a) Determina los puntos donde f es derivable y halla sus máximos y mínimos
locales.
3
b) Calcula  2 f ( x ) dx .
0
5.29
Considera la función f:

definida por f (x)  5 + (x  1)4 · (x + 2)3.
a) Demuestra que la ecuación f '(x)  0 tiene al menos una solución en el
intervalo (2, 1).
b) Demuestra que la ecuación f (x)  0 tiene exactamente una solución menor
que 2.
c) Demuestra que la ecuación f (x)  0 no tiene ninguna solución mayor que
2.
5.30
f'
La gráfica de la derivada
de una cierta función f es
a) ¿Cuántas soluciones puede tener la ecuación f (x)  0?
b) Si la ecuación f (x)  0 tiene exactamente dos soluciones distintas, ¿pueden
ser éstas del mismo signo?
5.31
Determina todas las funciones f de la forma f (x)  ax3 + bx2 + cx + d con a 
0 y que verifican f '(1)  f '(1)  0.
¿Alguna de las funciones determinadas anteriormente verifica f (0)  f (1)?
Justifica las respuestas.
5.32
Encuentra todas las funciones continuas f: [a, b] 
función continua g: [a, b] 
se cumple que

b
a
tales que para toda
f ( x) g ( x) dx  0 .
5.33
a) Sea I  [a, b] y f : I 
Demostrar que si

b
a
una función continua tal que f (x)  0 xI.
f ( x ) dx  0 , entonces f es la función nula. (Si no has
hecho el problema anterior, hazlo ahora, después de hacer el apartado a) de
éste).
b) ¿Existe alguna función continua g: [1, 1] 
que g (x)  0 x[1, 1] y
1

1
1

1
g ( x ) dx  1 ;
1

1
y algún número real a tales
xg ( x ) dx  a y
x 2 g ( x ) dx  a 2 ?
Problemas sobre máximos y mínimos
5.34
De entre todos los triángulos isósceles de perímetro 60 cm, calcula las
dimensiones del de mayor área. (Utiliza funciones trigonométricas).
5.35
En un rectángulo de 4 m. de perímetro, se sustituyen los lados por
semicircunferencias exteriores. ¿Entre qué valores está comprendida el área de
la figura resultante?
5.36
En un rectángulo de 4 m. de perímetro se sustituyen dos lados opuestos por
semicircunferencias exteriores. Estudiar si existe un rectángulo para el que la
figura formada tenga máxima área.
5.37
Se tiene un alambre de 2 m. de longitud y se desea dividirlo en dos partes para
formar con la primera un cuadrado y con la segunda un círculo. Hallar la
longitud de cada parte resultante para que la suma de las áreas de las dos
figuras sea: a) Máxima; b) Mínima.
5.38
Hallar el punto de la parábola x2  4y de abscisa no negativa que menos diste


3
2
de  0,  .
5.39
Dados a1, a2, a3  , definimos la función f (x)  (x  a1)2 + (x  a2)2 + (x 
a3)2. ¿Dónde alcanza f el mínimo?
5.40
Un camión ha de recorrer 30 km. en una carretera llana a velocidad constante
de x Km/h. Las leyes de circulación prescriben que 35  x  55. Se supone que
el carburante cuesta 3 ptas. por litro y que el consumo es de 10 
x2
litros por
120
hora. Si el conductor cobra P ptas. por hora y obedece todas las leyes de
tráfico, determinar la velocidad más económica y el coste del viaje si
a) P  0; b) P  60.
5.41
Los beneficios de una fábrica de camisas dependen del número de camisas que
se fabrican cada día según la función f (x)  2x3  15x2 + 36x  19 donde x
mide el número de miles de camisas producidas al día y f (x) la ganancia (o
pérdida) en millones de ptas. al mes. Debido al número de máquinas y personal
que hay en la fábrica, el gerente de ésta puede decidir fabricar un número de
camisas diario comprendido entre 1000 y 4000. ¿Cuántas camisas debe
fabricar para obtener un beneficio máximo?
5.42
Tenemos una valla de 100 m. de larga y 200 m. de alambre, con los que
queremos delimitar un campo rectangular que, conteniendo a la valla como
parte de un lado, encierre área máxima. Calcular las dimensiones del
rectángulo.
5.43
En un jardín existe un paseo cerrado que consta de media circunferencia de
radio 10 m y de su diámetro correspondiente. En el interior de la figura
anterior se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre
el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte curva. El parterre se
plantará de camelias, que ocupan 0'25 m2 cada una. ¿Cuál es el número
máximo de camelias que pueden ubicarse?
Nota: Resuélvelo como te sea más familiar, pero inténtalo también introduciendo
alguna función trigonométrica.
5.44
El número de bacterias de cierto cultivo en un instante t viene dado por la
fórmula
N  1000 (25 + t · et/20) para 0  t  100.
a) ¿En qué instantes de ese intervalo, 0  t  100, hay un número máximo y
un número mínimo de bacterias?
b) ¿En qué instante es más lento el crecimiento o decrecimiento del número
de bacterias?
5.45
Calcula las dimensiones del trapecio de perímetro máximo que se puede
inscribir en una semicircunferencia de radio r si una base del trapecio ocupa
todo el diámetro de la semicircunferencia. (Utiliza funciones trigonométricas).
5.46
En un triángulo isósceles ABC, el lado desigual AC mide 2a y la altura
correspondiente a ese lado mide h. Determina los puntos P sobre la altura
mencionada para que la suma de las distancias de P hasta los tres vértices sea
a) mínima;
5.47
b) máxima.
Para cada r  1 se define la función fr : [0, )  [0, ) mediante fr (x)  xr.
a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de fr en el punto (1,
1).
b) Calcula el área A(r) de la región limitada por la gráfica de fr, su tangente en
el punto (1, 1) y el eje OX.
c) ¿Para qué valor de r  1 es el área A(r) máxima?
5.48
Para obtener el máximo beneficio, un cargamento de frutas debe llegar al
mercado lo más pronto posible después de la recogida. Si un cultivador envía
su producción inmediatamente después de la recogida, obtendrá 100 cajas con
un beneficio de 10 euros por caja. Si espera, podrá enviar 25 cajas más por
semana pero, como también los competidores producirán más, el beneficio
bajará 1 euro por caja y por semana. ¿Cuándo debe enviar la fruta para que el
beneficio sea máximo? Calcula éste.
5.49
Las palomas domésticas no suelen volar sobre extensiones grandes de agua a
menos que se vean forzadas a ello, posiblemente porque se requiera más
energía para mantener la altitud sobre el agua fría. Supongamos que se suelta
una paloma desde un barco situado a 3 Km de la costa estando el palomar a 10
km del punto de la costa más cercano al barco. Si la paloma gasta dos veces
más energía volando sobre el agua que sobre la tierra firme y sigue un camino
que hace mínima la energía gastada, calcula el punto donde debe abandonar el
mar.
Dos pasillos de anchura 8 y 27 se cortan en ángulo recto. Hallar la máxima longitud
que puede tener una viga que pueda pasar por esa esquina.