GEOMETRÃ A I - Universidad Nacional de Formosa

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSA
FACULTAD DE HUMANIDADES
PROFESORADO EN MATEMÁTICA
CATEDRA: GEOMETRÍA I
TITULAR: PROF. ELISABETTA DE TOLOZA, ELDA
ADJUNTO: PROF. FERREYRA, SIRO FERNANDO
J.T.P: PROF. MURACIOLI DE GAIDO, MIRNA
J.T.P: PROF. PILOTO, OLGA GRACIELA
CICLO LECTIVO: 2003
FUNDAMENTACIÓN
En la actualidad, toda la matemática se ha algebrizado y, como es lógico, la geometría
no escapa a esa tendencia. Es por ello que a través de la Geometría I se estudia en forma
elemental , sin perdida de rigor, las nociones básicas de la Geometría clásica, enfocadas desde
un punto de vista moderno.
El eje o hilo conductor de la Geometría I es entonces, la relación entre la Geometría y
el Algebra, cuya característica esencial es traducir las propiedades de las figuras al lenguaje
del Algebra.
El estudio de la Geometría I por parte de los alumnos del profesorado en Matemática,
les permitirá una mejor comprensión de la esencia de los fundamentos en que se basa la
geometría , al disponer de conocimientos y practicas operatorias que fortalezcan su
preparación científica para entender mejor y participar en el mundo tecnológico actual.
La Geometría I además, permite extender el concepto de coordenadas y conduce al
estudio de espacios multidimensionales, lo que posibilita abordar y resolver cuestiones, no
solo dentro de la matemática pura sino también en el campo de sus aplicaciones, tanto en las
ciencias físicas como en las ciencias naturales .
En la estructura del Plan de Estudios de la Geometría I se vincula con Introducción a la
Matemática, Algebra I, Algebra II Análisis Matemático I, Geometría II, Análisis Matemático
II, Historia de la Matemática y Física.
OBJETIVOS
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Adquirir método y espíritu analítico.
Determinar las propiedades de las figuras geométricas.
Emplear métodos algebraicos conocidos en la resolución de problemas geométricos.
Obtener la interpretación geométrica de expresiones algebraicas.
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GEOMETRIA I
UNIDAD Nº1 VECTORES EN R2 y R3
Sistema de coordenadas cartesianas en el plano y en el espacio: Segmento dirigido.
Sistema coordenado lineal. Sistema coordenado en el plano. Sistema coordenado en el espacio.
Distancia entre dos puntos. Coordenadas del punto medio de un segmento.
Vector geométrico. Definición. Igualdad. Operaciones: Suma, resta, producto de un
vector por un escalar. Propiedades. Determinación analítica de un vector con respecto a los
ejes coordenados cartesianos ortogonales. Cosenos directores. Propiedades de los cosenos
directores. Condición de paralelismo. Suma de vectores en función de sus componentes.
Producto escalar. Propiedades. Expresión analítica del producto escalar. Producto vectorial.
Definición. Interpretación geométrica del módulo. Expresión cartesiana del producto vectorial.
Propiedades. Producto mixto. Propiedades. Interpretación geométrica.
BIBLIOGRAFIA OBLIGATORIA:
.-“Vectores y tensores con sus aplicaciones”. Luis Santaló.
.-“Geometría analítica del plano y del espacio y nomografía”. Donato Di Pietro.
.-“Geometría analítica”. Lehmann.
.-“Calculo”. (Vol.2) .Larson. Hostetler. Edwards.
.-“El cálculo”. Louis Leithold
BIBLIOGRAFIA DE CONSULTA:
.-“Matematica elemental moderna”. Cesar Trejo.
.-“Algebra lineal”. Renneth Hoffman-Ray Kunze.
.-“Algebra y geometría”. Eugenio Hernandez
UNIDAD Nº2.
LA RECTA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Lugar geométrico. La recta como lugar geométrico. Ecuaciones vectorial, paramétrica
y cartesiana de la recta en R2 y R3 . Cosenos directores de una recta en R2 y R3. Ecuación de la
recta que pasa por dos puntos en R2 y R3. Ecuación general y explícita de una recta en el
plano. Análisis de m y b. Casos particulares. Ecuación segmentaria. Intersección de rectas en
el plano. Angulo de dos rectas en el plano. Condición de paralelismo y perpendicularidad de
rectas en R2 y R3. Familia de rectas en el plano. Forma normal de la ecuación de la recta en el
plano. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre dos rectas paralelas.
BIBLIOGRAFIA OBLIGATORIA:
.-“Geometría analítica del plano y del espacio y nomografía”. Donato Di Pietro.
.-“Geometría analítica”. Lehmann.
.-“Geometría analítica”. Joseph Kindle. (Serie Shaun)
BIBLIOGRAFIA DE CONSULTA:
.-“Matematica elemental moderna”. Cesar Trejo.
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.-“Geometría analítica en forma vectorial y matricial”. Lic. María H.A. de Sunkel.
UNIDAD Nº3
EL PLANO Y RECTA EN EL ESPACIO
Definición de plano como lugar geométrico. Ecuación vectorial y paramétrica del
plano. Ecuación del plano que pasa por un punto y es perpendicular a un vector. Casos
particulares. Ecuación segmentaria. Plano que pasa por tres puntos. Angulo de dos planos.
Condición de paralelismo y perpendicularidad. Angulo de dos rectas. Posiciones relativas
entre rectas ( paralelas, perpendiculares y alabeadas) y entre recta y plano.
Forma normal de la ecuación del plano. Pasaje de la forma general a la normal. Distancia de
un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos. Haz de planos. Intersección de planos.
Recta determinada por la intersección de dos planos. Planos proyectantes. Ecuaciones
reducidas en el espacio. Distancia de un punto a una recta en el espacio.
BIBLIOGRAFIA OBLIGATORIA:
.-“Geometría analítica del plano y del espacio y nomografía”. Donato Di Pietro.
.-“Geometría analítica”. Lehmann.
.-“Geometría analítica”. J. Rey Pastor- L.A. Santaló- M.Balanzat.
BIBLIOGRAFIA DE CONSULTA:
.-“Geometría analítica”. Joseph Kindle. (Serie Shaun)
.-“Geometría analítica en forma vectorial y matricial”. Lic. María H.A. de Sunkel.
UNIDAD Nº4:
TRANSFORMACION DE COORDENADAS
Transformaciones de coordenadas cartesianas. a) Traslación.
Aplicaciones.
b) Rotación.
BIBLIOGRAFIA OBLIGATORIA:
.-“Geometría analítica del plano y del espacio y nomografía”. Donato Di Pietro.
.-“Geometría analítica”. Lehmann.
.-“Geometría Analítica plana- Enfoque Vectorial”. Zózimo Menna Goncalvez.
UNIDAD Nº5:
CONICAS
Secciones cónicas: Definición general. Definición de las cónicas como lugar
geométrico. Clasificación de cónicas según tipo de lugar geométrico. Ecuación general de la
circunferencia. Ecuaciones paramétricas. Circunferencia determinada por tres puntos.
Intersección de recta y circunferencia. Potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Intersección de circunferencias. Eje radical. Ecuación de la tangente y de la normal a una
circunferencia. Recta polar. Tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto exterior.
Coordenadas esféricas. Esfera.
Elipse. Ecuación. Característica y elementos fundamentales. Construcción. Ecuación
de la tangente y de la normal a una elipse.
Hipérbola. Ecuación. Característica y elementos fundamentales. Construcción.
Asíntotas. Hipérbolas equiláteras y conjugadas. Ecuación de la hipérbola equilátera referida a
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sus asíntotas. Parábola. Ecuación. Característica y elementos fundamentales. Construcción.
Intersección de una parábola y una recta. Tangente y normal a una parábola.
BIBLIOGRAFIA OBLIGATORIA:
.-“Geometría analítica del plano y del espacio y nomografía”. Donato Di Pietro.
.-“Geometría analítica”. Lehmann.
.-“Geometría Analítica plana- Enfoque Vectorial”. Zózimo Menna Goncalvez.
BIBLIOGRAFIA DE CONSULTA:
.-“Experiencias de enseñanza de matemática- Función contínua” (Enero y marzo 2000)
.-“Geometría analítica en forma vectorial y matricial”. Lic. María H.A. de Sunkel.
.-“Geometría analítica”. Joseph Kindle. (Serie Shaun)
UNIDAD Nº6:
ECUACION GENERAL DE SEGUNDO ORDEN
Ecuación general de segundo orden de dos variables. Invariante de la ecuación general
de segundo orden al efectuar una transformación ortogonal. Centro de simetría. Definición
general de cónicas. Clasificación. Elementos. Tangente a una cónica. Determinación de
cónicas.
BIBLIOGRAFIA OBLIGATORIA:
.-“Geometría analítica del plano y del espacio y nomografía”. Donato Di Pietro.
.-“Geometría analítica”. Lehmann.
.-“Geometría analítica”. J. Rey Pastor- L.A. Santaló- M.Balanzat.
BIBLIOGRAFIA DE CONSULTA:
.-“Geometría analítica en forma vectorial y matricial”. Lic. María H.A. de Sunkel.
.-“Geometría analítica”. Joseph Kindle. (Serie Shaun)
UNIDAD Nº7:
LINEAS Y SUPERFICIES
Coordenadas cilíndricas. Superficies regladas. Superficies cónicas y cilíndricas.
Ecuaciones. Las cuadráticas: Elipsoide. Hiperboloide de una hoja. Paraboloide de dos hojas.
Paraboloide elíptico e hiperbólico. Generatrices rectilineas del hiperboloide de una hoja y del
paraboloide hiperbólico.
BIBLIOGRAFIA OBLIGATORIA:
.-“Geometría analítica del plano y del espacio y nomografía”. Donato Di Pietro.
.-“Geometría analítica”. Lehmann.
BIBLIOGRAFIA DE CONSULTA:
.-“Geometría analítica en forma vectorial y matricial”. Lic. María H.A. de Sunkel.
.-“Geometría analítica”. J. Rey Pastor- L.A. Santaló- M.Balanzat.
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REGIMEN DE PROMOCION:
La promoción de los alumnos se ajustará al régimen de exámenes parciales y examen
final. Se efectuará de la siguiente manera:
- Dos exámenes parciales obligatorios escritos que versarán sobre temas considerados en los
trabajos prácticos desarrollados en clase.
- La clasificación promedio de los mismos no podrá ser inferior a APROBADO.
- Cuando el alumno hubiere desaprobado en uno de los exámenes parciales, perderá el
derecho al examen final en la condición de alumno regular. En este caso tendrá derecho a
un examen recuperatorio siempre que la otra calificación parcial fuere la de APROBADO.
Presupuesto horario:
9 (nueve) horas semanales repartidas en tres clases de tres horas cada
uno.-
Trabajos Practicos:
El desarrollo de la guía de trabajos prácticos implica tener en cuenta los
puntos siguientes:
- los objetivos propuestos.
- el enlace de los conocimientos previos del estudiante con los nuevos conceptos.
- la presentación secuenciada de las actividades según el grado de
complejidad y la correspondiente ordenación temática programada.
La guía de trabajos prácticos consta de seis trabajos prácticos que se
corresponden con cada una de las unidades del programa de la siguiente manera:
- Trabajo practico Nº1: VECTORES se corresponde con la unidad 1.
- Trabajo practico Nº2: LA RECTA EN R2 Y R3 se corresponde con la
unidad 2.
- Trabajo practico Nº3: PLANO Y RECTA EN R3 se corresponde con la
unidad 3.
- Trabajo practico Nº4: CONICAS se corresponde con las unidades 4 y 5 .
- Trabajo practico Nº5 : ECUACION DE SEGUNDO ORDEN se
corresponde con las unidades 4 y 6.
- Trabajo practico Nº6: LINEAS Y SUPERFICIES se corresponde con la
unidad 7.
En la elección de las situaciones se ha tenido especial cuidado que las
mismas permitan al alumno una interpretación de las mismas y el descubrimiento de la
estrecha relación con los conceptos teóricos desarrollados, aspecto este muy importante si se
desea que el estudiante, además de obtener los conocimientos básicos de los métodos
analíticos, realice procesos de razonamiento de tal manera de apartarlo de la tarea de
memorizar.-
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