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UNQ/DipCyT/Dpto.de Matemática/1er.Cuatrimestre de 2008/AM II/Prof.J.Argeri.
Análisis Matemático II
Programa Analítico
Unidad 1: Aplicaciones de la integral definida.
Algunas aplicaciones de la integral definida: cálculo de volumen de un sólido de revolución, valor medio de
una función en un intervalo, trabajo de una fuerza variable a lo largo de una trayectoria rectilínea, masa (carga
eléctrica, etc) asociada a una densidad lineal de masa (carga eléctrica, etc) no uniforme, etc.
Nota: El docente a cargo del curso seleccionará alguna/s de la/s aplicaciones anteriores.
Unidad 2: Formas indeterminadas y Regla de L’Hôpital.
Repaso de las formas indeterminadas: 0 / 0 ;  /  ; 0 .  ;   
Formas indeterminadas exponenciales: 1 ; 00 ;  0
Regla de L’Hôpital y su aplicación a la resolución de formas indeterminadas.
Integrales impropias. Convergencia y divergencia. Teoremas de comparación. Problemas que involucran
integrales impropias.
Unidad 3: Aproximación polinómica de funciones.
Polinomio de Taylor de una función alrededor de un punto. Definición de infinitésimos y comparación.
Optimalidad del n-ésimo polinomio de Taylor. Cálculo de límites de formas indeterminadas mediante
polinomios de Taylor. Algunas propiedades útiles del polinomio de Taylor (polinomio de Taylor de una
suma, de un escalar por una función, sustitución polinómica).
Fórmula de Taylor con resto. Acotación del error. Aplicaciones a cálculos aproximados.
Unidad 4: Funciones de varias variables (Introducción).
Repaso: Espacios euclídeos R 2 y R 3 (vectores, norma, producto escalar, distancia, ángulo entre vectores,
ortogonalidad y paralelismo). Producto vectorial en R 3 . Subconjuntos del plano y del espacio definidos
mediante ecuaciones/inecuaciones. La recta en R 3 (distintos tipos de ecuaciones). Superficies cuádricas.
Breve introducción a curvas parametrizadas.
Topología en R 2 y R 3 : Entorno de un punto. Puntos interiores, de frontera y de acumulación de un conjunto.
Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, conexos y convexos.
Funciones de dos y tres variables: Dominio e imagen. Gráfica. Curvas y superficies de nivel. Variación de una
función a partir de curvas o superficies de nivel. Noción de límite doble. Teoremas de límites. Límites por
subconjuntos. Límites iterados. Continuidad de una función en un punto y en un conjunto. Teoremas de
continuidad.
Unidad 5: Derivadas parciales y diferenciabilidad.
Derivadas parciales de funciones de varias variables: Definición, interpretaciones (geométrica, como razón de
cambio, etc.) y cálculo. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwartz de conmutabilidad de
derivadas parciales cruzadas.
Incremento de una función. Diferenciabilidad: Definición en el caso de dos variables independientes y
condición suficiente en el caso general. Diferencial de una función.
Plano tangente y recta normal a la gráfica de una función (dif.) en un punto.
Unidad 6: Derivadas direccionales.
Derivadas direccionales de un campo escalar. Direcciones de derivada direccional máxima/mínima/nula en un
punto. Interpretación. Vector gradiente y su relación con derivadas direccionales.
Unidad 7: Derivación de funciones compuestas.
La regla de la cadena en sus diferentes formas. Justificación del plano tangente introducido en la unidad 5.
Ortogonalidad entre el vector gradiente y las curvas/superficies de nivel de una función.
Unidad 8: Funciones definidas implícitamente.
Funciones definidas (localmente) implícitamente mediante ecuaciones. Teorema de la función implícita.
Derivación implícita.Vector normal y plano tangente a una superficie (no necesariamente gráfica global de
una función de dos variables) en un punto.
Unidad 9: Valores extremos de funciones de varias variables.
Fórmula de Taylor en dos variables. Aplicación a cálculos aproximados. Diferenciales sucesivas de una
función de dos variables.
Valores extremos (libres) de funciones de dos variables, relativos y absolutos. Teorema de Weierstrass.
Puntos estacionarios y puntos críticos. Condición necesaria para extremo relativo. Clasificación de puntos
estacionarios (máximos, mínimos, puntos de silla). Criterio del hessiano para clasificación de puntos
estacionarios. Estudio del signo de la diferencial en casos dudosos.
Valores extremos condicionados, relativos y absolutos. Reducción a menor cantidad de variables libres vía
parametrización. Teorema de los multiplicadores de Lagrange.
Aplicaciones a problemas de optimización.
Unidad 10: Introducción a ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ecuaciones diferenciales ordinarias: conceptos básicos.
Ecuaciones sencillas de primer orden: Separables y homogéneas, exactas y reducibles a exactas por factor
integrante. Ecuación lineal de primer orden.
Ecuaciones lineales de segundo orden homogéneas y no homogéneas. Relación entre las soluciones generales
de la homogénea y la inhomogénea. Aplicaciones.
Bibliografía sugerida
1. Stewart, J., Cálculo, Ed.Thomson (Para la mayor parte).
2. Finney T., Cálculo en una variable, Ed.Pearson-Addison Wesley-Longman (Para 1ra parte).
3. Zill,D., Ecuaciones diferenciales y aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica (Para última parte).
Otra bibliografía
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Finney T., Cálculo en varias variables, Ed.Pearson-Addison Wesley-Longman.
Leithold,L., El Cálculo con Geometría Analítica, Ed.Harla.
Swokowski E., Cálculo con Geometría Analítica, Grupo Editoial Iberoamérica.
Zill, D., Cálculo con Geometría Analítica, Grupo Editorial Iberoamérica.
Stein, S., Cálculo y Geometría Analítica, Ed.McGraw Hill.
Smith, R.-Minton, R., Cálculo, vol.1 y 2, Ed.McGraw Hill.
Larson-Hostetler-Edwards, Cálculo, Ed.McGraw Hill.
Simmons,G., Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones, Ed.McGraw Hill.
Calendario Académico 2008 (1er.Cuatrimestre):
Cronograma de evaluaciones
Examen
Fecha
P1
RP1
P2
RP2
P3
RP3
FI (“integrador”)
14-04-08
23-04-08
21-05-08
02-06-08
30-06-08
07-07-08
10-07-08
Hora
Aula
08:30 h Habitual
14:00 h
(*)
08:30 h Habitual
14:00 h
(*)
08:30 h Habitual
14:00 h
(*)
14:00 h
(*)
Teórico-prácticas: 03-03-08 al 04-07-08
Cierre de Actas: 11-07-08
Receso: 21-07-08 al 25-07-08
(*) Aulas a determinar de acuerdo a disponibilidad.
Dirección de correo electrónico de la UNQ:
[email protected]
Página de la materia: http://materias.unq.edu.ar en la carpeta amsii