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Instituto de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de la República
Mecánica clásica 2011
Mecánica clásica
Práctico I – Cinemática de la Partícula y Movimiento Relativo
Parte A: Ejercicios de Cinemática de la Partícula
Ejercicio 1
Una cuerda flexible, inextensible y sin peso1
de longitud 2H está unida, en uno de sus extremos
(A), a un balde que se mueve verticalmente. Luego de
pasar por una roldana, que se encuentra a una altura
H del piso, el otro extremo de la cuerda está atado a
un jeep que se mueve horizontalmente con velocidad
vB constante. (Ver Figura)
H
A
B
C
vB
x
Determinar la velocidad v y la aceleración a
del balde en función de la posición del jeep, x, que la
medimos de forma que cuando x = 0 los dos extremos
A y B de la cuerda coinciden en la posición C.
Ejercicio 2
En el dispositivo elevador de la figura, el sistema de dientes de los engranajes asegura
que el piñón A rueda sin deslizar2 respecto al piñón B. El piñón A alcanza una velocidad de 900
rpm en 10s partiendo del reposo con aceleración constante.
75
cm
Determinar cuál es la aceleración a del peso P.
90 cm
A
25 cm
Ejercicio 3
P
Para la cicloide:
x(t )  at  sen(t )

 y(t )  a1  cos(t )
  t  
a) Halle el la longitud de arco s(t) y muestre que si θ es el ángulo que forma la recta
tangente a la cicloide con Ox, entonces sen  ks , con k una constante.
b) Determine los versores tangente, normal y binormal.
1
- Que llamaremos f.i.s.p. de aquí en más.
- Se dice que un cuerpo rueda sin deslizar sobre otro cuando son iguales las velocidades de los puntos de
ellos que están en contacto.
2
Cinemática de la partícula y movimiento relativo.
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Ejercicio 4
Obtenga las fórmulas de Frenet (derivadas de los
versores del triedro de Frenet respecto al parámetro de arco):
b̂
dtˆ
  nˆ .  es la curvatura, que se
a) Ya se sabe que
ds
1
relaciona con el radio de curvatura  según   .
tˆ
n̂

b) Escribiendo
dnˆ
  tˆ   nˆ   bˆ , muestre que:
ds
dnˆ
  tˆ   bˆ
ds
 es una constante de proporcionalidad que se interpreta en c).
(Sugerencia: desarrolle las derivada de los productos
d ( nˆ  nˆ )
d (tˆ  nˆ )
0 y
 0)
ds
ds
c) A partir de bˆ  tˆ  nˆ y a), muestre que:
dbˆ
  nˆ
ds
De aquí se deduce que  
1
dbˆ
. A la función    (s) se la llama torsión y  
se

ds
denomina radio de torsión (note que tiene dimensiones de longitud).
Ejercicio 5

Una partícula P está sometida a una aceleración de la forma a   2 R ê  expresada
en coordenadas cilíndricas, siendo  y R constantes. En el instante inicial la partícula se
encuentra a una distancia R del eje Oz y tiene una velocidad de la forma:

v 0  R eˆ  v0 kˆ
a) Halle las leyes horarias del movimiento en coordenadas cilíndricas.
Sugerencia: Observar que la aceleración es de un tipo de movimiento conocido pero
que las condiciones iniciales son diferentes, por lo que se recomienda buscar
soluciones de distancia al eje Oz constante.
b) Escriba esas ecuaciones en coordenadas cartesianas y decir de qué tipo de
trayectoria se trata.
c) Escribirlas ahora en coordenadas intrínsecas, escribiendo también los versores del
triedro de Frenet en función de los de la base de coordenadas cilíndricas.
d) Darle interpretación física a las cantidades c 
R2  v0 2
y el ángulo 
v
R
y sen   0 . Estudiar el movimiento discutiendo
c
c
según sea R  v0 o R  v0 .
definido por cos  
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Ejercicio 6

El vector de Darboux se define como D  tˆ   bˆ .
a) Muestre que las fórmulas de Frenet se pueden escribir:
 dtˆ 
  D  tˆ
 ds
 dnˆ 
  D  nˆ
 ds
 dbˆ 
  D  bˆ
 ds

b) ¿Cómo se relaciona D con el vector velocidad angular del triedro? Describa la

rotación instantánea del triedro de Frenet, interpretando las componentes de D .
Parte B: Ejercicios de Movimiento Relativo
Ejercicio 7
Un niño se encuentra, en t = 0, en el centro de una calesita que gira con velocidad 
constante. En ese instante, el niño comienza a moverse a lo largo de un radio dibujado en el
piso de la calesita con una velocidad constante v0 relativa a la misma.
a) Hallar la velocidad y aceleración absolutas del niño trabajando en el sistema móvil,
es decir expresarlas en los versores del sistema móvil.
b) Idem (a) pero respecto a los versores del sistema absoluto.
Ejercicio 8
R
c
m
R
=
6
0
Una rueda, de radio R = 60 cm, está
rodando sin deslizar sobre una placa horizontal
C
(ver figura). Ésta a su vez, tiene una velocidad
de 1,2 m/s hacia la derecha, y la rueda una
velocidad angular de 0,5 rad/s en el sentido contrario al de las agujas del reloj.
v
=
1
,2
m
/
s
c
Llamémosle v0 a la velocidad del centro O de la rueda.
a) Escribir la velocidad de punto de contacto P entre la rueda y la placa expresada como:

Un punto fijo a la placa.

Un punto solidario a la rueda. Dejarlo expresado en función de v0.
b) Determinar la velocidad v0 del centro O de la rueda, para que se cumpla la condición de
rodadura sin deslizamiento.
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Ejercicio 9
En el sistema de la figura, la barra OA está



k
contenida en el plano O i j y gira alrededor de O k . La
barra AB está contenida en un plano perpendicular a OA y
gira alrededor de ésta última.
a) Determinar la velocidad angular de la barra AB
en función de  (ángulo entre la barra OA y el


j
O


i
A
eje O i ) y  (ángulo entre la barra AB y una

paralela al eje O k por el punto A).

b) Expresar dicha velocidad angular en una base
solidaria a AB.
B
Ejercicio 10
B
Consideremos la configuración de las
barras que se muestra en la Figura. Una barra OA,
de longitud l, gira entorno a uno de sus extremos
(O), que se encuentra fijo, de manera que siempre
está contenida en el mismo plano. El ángulo que
P

forma con el eje O i es (t). La segunda barra AB
está unida a ella en el punto A y gira respecto a
este punto. El ángulo entre ella y la OA es (t) y
ambas barras siempre se encuentran contenidas en
el mismo plano. Una partícula P se mueve sobre la
barra AB, siendo x(t) su distancia al punto A.
Dar expresiones para la velocidad y la
aceleración absoluta del sistema por los siguientes
métodos:


x
A
l
j

O

i
a) Escribiendo genéricamente el vector

r P , posición del punto P, considerando O como origen de coordenadas y
derivándolo directamente.
b) Utilizando el teorema de Roverbal y Coriolis para las expresiones de la velocidad y
la aceleración absoluta de una partícula, en función de sus expresiones relativas a
sistemas en movimiento, convenientemente elegidos.
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Ejercicio 11

La guía OA gira alrededor del
punto O (fijo) con velocidad angular
 constante. A una distancia d de O,
se halla el punto D. Sea C la
circunferencia de centro C y radio R
tangente a OA en D. Sobre C se
mueve un punto P describiendo un
movimiento circular. Sea  el ángulo
marcado en la figura. Se toman los



uy

e

er
R
C
P


versores u x , u y , e r , e  .
a) Hallar directamente (es
decir, a partir de su
definición) la derivada
respecto del tiempo de
los versores anteriores.

ux
d
A
D
t
O

b) Hallar la velocidad y aceleración absolutas de P escribiendo el vector r P ,
considerando el punto O como origen de coordenadas, en un sistema conveniente y
derivándolos respecto del tiempo.
c) Verificar el resultado de la parte b) repitiendo el cálculo por otro método.
Ejercicio 12
La circunferencia de radio R es tangente
a Oz en O, y está contenida en un plano que pasa
por dicho eje. La misma gira con una velocidad
angular  constante alrededor de Oz. Sobre la
circunferencia se mueve un punto M, que tiene
movimiento relativo a ella uniforme, de
velocidad angular  idéntica a la anterior.
Utilizando los sistemas fijo y móvil indicados en
la figura, hallar:
a) Velocidad relativa, de arrastre y
absoluta de M.
z

e


er
k

i
O
t

R
t
M
er

j
A

i
b) Aceleración relativa, de arrastre
absoluta de M.
Nota: Se recomienda resolver cada una de las partes de este problema por dos caminos
diferentes, como realizado en el ejercicio anterior.
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Resultados
xv B
; a
Ejercicio 1
v
Ejercicio 2
a  0.45 m / s 2
Ejercicio 3
a)
Ejercicio 5
a)
x2  H2
H 2 v B2
(x2  H 2 )3
 t 
s(t )  4a sen 
 2
 t  ˆ
 t 
 t 
 t 
b) tˆ  cos
 i  sen  ˆj ; nˆ   sen  iˆ  cos  ˆj ; bˆ  kˆ
 2
 2
 2
 2
 (t )  R;   t  0 ; z(t )  v0t
b) La trayectoria es una hélice.
c)
st   ct ; tˆ  cos eˆ  sen  kˆ ; nˆ  eˆ
Radio de curvatura:
Ejercicio 6
b)
Ejercicio 7
a)
Ejercicio 8
Ejercicio 9
Ejercicio 10

c2
R

2
R
cos 2

  sD

 



v  (v0 )i '(v0 t ) j ' , a  ( 2 v0t )i '(2v0 ) j ' .



b) v  (v0 cost  v0 t sen t )i  (v0 sen t  v0 t cost ) j



a  ( 2 v0 t cost  2v0 sen t )i  ( 2 v0 t sen t  2v0 cost ) j

b) vo  (0.9 m / s )iˆ
 


a)   K  i  con i  según OA





b)    i    sen j    cos k  con k  según BA
vP  l ˆj   x iˆ  x(  ) ˆj 

aP  l 2iˆ  l ˆj   x  x( ) 2 iˆ  x()  2x( ) j 

 

Los versores prima son relativos a OA y los segunda a AB.
Ejercicio 11
Ejercicio12



 



u x  u y ; u y  ux ; er  (   )e ; e  (   )er




 )e
b) v P  du y  rux  r (  




e  r(   ) 2 er
a P  d 2 ux  r 2 uy  r


a) v R  Re


vT  R(1  cost ) j '




v  (R sen t )i 'R(1  cost ) j '(R cost )k '


 
2
2
b) aR  ( R)er ; aT   R(1  cost )i '
a)
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

aC  (2 2 R sen t ) j '




a   2 R(1  2 cost )i '(2 2 R sen t ) j '( 2 R sen t )k '
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