MODULO_MATEMATICA_APLICADA_MIriam_MOntero

MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
SEMIPRESENCIAL
TECNOLOGÍA EN: CONTABILIDAD Y AUDITORIA
MATEMÁTICA APLICADA
GUÍA DIDÁCTICA
AUTOR DEL MÓDULO
NIVEL
ING. MYRIAM MONTEROS
2 do. NIVEL
QUITO - ECUADOR
ING. MYRIAM MONTEROS
1
MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
INTRODUCCIÓN
La Matemática Aplicada es una rama de la Matemática muy utilizada para la
resolución de problemas prácticos que se presentan con frecuencia en la vida
cotidiana. Es indispensable que los interesados en incursionar en este estudio
tengan las nociones fundamentales del algebra, geometría analítica y
trigonometría. Por otro lado es necesario que el alumno este familiarizado con
el manejo de los números reales y haya adquirido cierta práctica en la
realización de operaciones elementales tanto de igualdad como de
desigualdad.
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que
se le dedique el tiempo necesario todos los días, para que exista una
asimilación correcta de los contenidos.
La guía está estructurada en cuatro capítulos que permitirán una mejor
compresión de los conceptos necesarios para dominar la asignatura.
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2
MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
CONTENIDOS
Capitulo I: CONTINUIDAD
1.1 Definición
1.2 Continuidad
1.3 Teoremas sobre continuidad
1.4 Continuidad uniforme
1.5 Funciones casi continuas
Capitulo II: DERIVADAS
2.1 Definiciones básicas
2.2 Interpretación geométrica
2.3 Regla general para derivar funciones
2.4 Derivadas de funciones algebraicas
2.5 Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
2.6 Derivadas de funciones compuestas
2.7 Derivadas de funciones inversas
Capitulo III: INTEGRAL INDEFINIDA
3.1 Definición
3.2 Reglas para integrar funciones elementales e integración de potencias
3.3 Potencia
3.4 Propiedades de integración
Capitulo IV: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
4.1 Integración por sustitución
4.2 Integración por partes
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES

Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinación del la continuidad de una función.

Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciación de funciones.

Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinación del la integración de funciones.

Utilizar y aplicar la integración de una función en la resolución de
problemas prácticos.

Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemáticas.
COMPETENCIAS POR UNIDADES

Determinar la continuidad o discontinuidad de una función.

Resolver problemas relativos a la pendiente, recta tangente,
diferenciabilidad y continuidad de una función.

Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas
en la resolución de problemas prácticos.

Calcular las derivadas de funciones trigonométricas, logarítmicas,
exponenciales y funciones compuestas.

Determinar la integración de funciones con potencias.

Integrar funciones por diferentes métodos.

Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemáticos.

Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemáticas.
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO

Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
NOTA:
En este texto guía se encuentra desarrollados los temas que corresponden a
este módulo, y las tareas que usted debe desarrollar; con la ayuda del tutor
usted llegará a dominar el conocimiento.
1. El estudiante tiene las oportunidades que sean necesarias para aclarar
los temas que no comprenda mediante la explicación del tutor ya sea de
manera presencial o mediante el correo electrónico.
2. Las tareas serán enviadas por el tutor, de acuerdo a las fechas del
calendario y de acuerdo al desarrollo del módulo.
3. Es obligación del estudiante asistir a cada una de las tutorías
presenciales programadas en el calendario de actividades.
4. Todo trabajo del estudiante será evaluado cuantitativamente.
5. Al final el tutor evaluara el módulo en su totalidad.
6. De requerir cualquier información dirigirse al correo de la dirección
académica y será atendido inmediatamente en su consulta.
GRACIAS.
ING. MYRIAM MONTEROS
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
REPASO SOBRE LÌMITES
El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una
función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a
determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático)
este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de
convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
LIMITES DE FUNCIONES
Definición rigurosa
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a
c, y se escribe:
Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal
que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.
Ejemplos:
1. Determine lim ( 4 x  5)
x 3
 lim ( 4(3)  5)
x 3
 12  5
7
x2  x  6
x 3
x 3
2. Encuentre lim
( x  3)( x  2)
x 3
x 3
 lim ( x  2)
 lim
x 3
 lim (3  2)
x 3
5
Teoremas principales sobre los límites
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
lim k  k
x c
lim x  c
x c
lim kf ( x )  k lim f ( x )
x c
x c
lim f ( x )  g ( x )  lim f ( x )  lim g ( x )
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
lim f ( x )  g ( x )  lim f ( x )  lim g ( x )
lim f ( x )  g ( x )  lim f ( x )  lim g ( x )
lim
x c
lim f ( x )
f (x )
 x c
g(x )
lim g ( x )
x c
lim f ( x )n   lim f ( x )
 x c

x c
lim
x c
x c
n
f (x ) 
n
n
lim f ( x )
x c
Teorema de sustitución.
Sea f una función polinomial o una función racional entonces
lim f ( x )  f (c )
x c
Límites infinitos.
Para calcular límites al infinito es necesario dividir cada término de la
1
1
 0 y  .
expresión para el x con el mayor exponente y recordar que

0
Ejemplos:
Calcular cada uno de los siguientes límites.
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
x 2  10x  25
a ) lim
x 2  4x  5
x 5
5 2  10(5)  25
 lim
5 2  4( 5)  5
x 5
5 2  10(5)  25
 lim
x 5

5 2  4( 5)  5
0
10
lim
x 2  10x  25
x 5
lim
x 2  4x  5
0
x 2  4 x  21
x 2  49
x 1
 lim
( 1) 2  4( 1)  21
( 1) 2  49
x 1
26
 48

lim
x 2  4 x  21
2
x  49
x 1
c ) lim
x 
13
24
6x 2  x  8
x 2  4x
6x 2
 lim x
2
x 

x2
x


2
x
x
2


8
x2
4x
x2
1 0  0
1 0
lim
x 
6x 2  x  8
x 2  4x
1
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
CAPITULO I
CONTINUIDAD
Definición: Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c.
Decimos que f es continua en c si:
lim f ( x )  f (c )
x c
TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A. Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una función polinomial es continua en todo número real c. Una función
racional es continua en todo número real c en su dominio, esto es, en
todas partes excepto en donde el denominador es cero.
B. Continuidad de las funciones valor absoluto y raíz n-ésima
La función valor absoluto es continua en todo valor real c. Si n es impar
la función raíz n-ésima es continua en todo valor real c; si n es par, la
raíz n-ésima es continua en todo valor positivo real c.
C. Continuidad de funciones trigonométricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo número real c. Las
funciones tan, ctan, csc, sec, son continuas en todo número real c en
sus dominio.
D. Teorema del valor medio
Si f es una función definida en un intervalo [ a , b ] y sea W un número
entre f(a) y f(b). Si f es continua en [ a , b ], entonces existe al menos un
número c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos:
Determinar la continuidad de las siguientes funciones:
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
a. f ( x )  x 2  2x  5
Por ser polinomial es continua en todos los números reales.
b. f ( x ) 
1
x 1
Como se trata de una función racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiría una indeterminación,
entonces es continua en todos los números reales excepto en 1.
x 2  2x  3
c. f ( x ) 
x 3
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la función no
existe, por lo tanto podríamos decir que la función es discontinua todos
los números reales excepto en -3; pero si facturamos el numerador y
simplificamos.
f (x ) 
( x  3)( x  1)
 x 1
x 3
Podemos concluir que la función es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales, valor absoluto, sen (x) y cos (x), son continuas
de forma uniforme.
FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra función que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas, ya que tienen por lo meno un número real donde la función no
existe.
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones:
a. f ( x )  3x 2  6x  52
b. f ( x ) 
x3
x 4
c. f ( x )  x  5
d. f ( x )  5  x  4
e. f ( x ) 
( x 2  4)
( x  2)
f. f ( x ) 
x 2  4x  4
x 2
( x 2  5x  6)
g. f ( x ) 
x 3
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
CAPITULO II
DERIVADAS
DEFINICIÓN BÁSICA E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En matemática, la derivada de una función es uno de los dos conceptos
centrales del cálculo.
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas
secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la
cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una
derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una
derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x.
Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha
función en el punto dado; dichas tangentes pueden ser aproximadas por una
secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea
obtener la tangente.
Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente
vertical (la cual tiene una pendiente infinita), una discontinuidad o bien un pico.
La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce
como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática
entre dos objetos.
Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto;
una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x
perteneciente al intervalo.
ING. MYRIAM MONTEROS
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c;
sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser
diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en
C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es
continua pero no diferenciable en x = 0).
REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función
porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a
la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes.
Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas,
obtendremos la pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño
que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto
positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x +
h,f(x + h)) es:
Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es
el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se
acercan más a la tangente:
Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f
como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.
Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división
por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una
técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda
ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones poli nómicas, pero para
la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente,
hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las
funciones descritas; ver abajo.
Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:
Ejemplo:
ING. MYRIAM MONTEROS
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
1. Consideremos la siguiente función:
Entonces:
Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso
f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero no lo toca. Si
pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente
de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.
2. Consideremos la gráfica de
. Esta recta tiene una pendiente
igual a 2 en cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los
conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendientes
en los puntos 4 y 5:
Entonces:
El valor de la función derivada de una recta es igual a la pendiente de la
misma.
3. Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva.
Consideremos que:
ING. MYRIAM MONTEROS
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
Entonces:
Para cualquier punto x, la pendiente de la función
es
.
NOTACIÓN
La notación más simple para la diferenciación que se utiliza en la actualidad se
debe a Lagrange y utiliza un apóstrofo o comilla: ′. De esta manera se expresan
las derivadas de la función f(x) en el punto x = a, se escribe:
Para la primera derivada,
Para la segunda derivada,
Para la tercera derivada, y luego de forma general,
Para la n-ésima derivada (donde normalmente se da que n > 3).
Para la función cuyo valor en cada x es la derivada de
, se escribe
.
De forma similar, para la segunda derivada de f se escribe
sucesivamente.
, y así
La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz.
función cuyo valor en x es la derivada de f en x, se escribe:
Para la
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas:
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si y=f(x), se puede escribir
la derivada como:
La notación de Newton para la diferenciación consiste en poner un punto sobre
el nombre de la función:
y así sucesivamente.
La notación de Newton se utiliza principalmente en la mecánica, normalmente
para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la
aceleración y en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Normalmente
sólo se utilizan para la primera y segunda derivadas.
Otra notación consiste en colocar una letra 'D' mayúscula para indicar la
operación de diferenciación con un subíndice que indica la variable sobre la
que se derivará:
Dxf,
que es equivalente a la expresión:
En ese contexto se considera a la diferenciación como una operación sobre
funciones, de modo que los símbolos
diferenciales.
y Dx son llamados operadores
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE
FUNCIÓN
DERIVADA
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
CONSTANTE
f (x )  k
f ' (x)  1
ALGEBRAICA
f (x )  x n
f ' ( x )  nx n1
f ( x )  loga x
f ' (x ) 
1
x ln(a )
f ( x )  ln x
f ' (x ) 
1
x
f (x )  a x
f ' ( x )  a x ln(a)
f (x )  e x
f ' (x)  e x
f ( x )  sin x
f ' ( x )  cos x
f ( x )  cos x
f ' ( x )   sinx
f ( x )  tan x
f ' ( x )  sec2 x
f ( x )  sec x
f ' (x )  sec x tan x
f ( x )  cot x
f ' (x )   csc2 x
f ( x )  cscx
f ' (x )   cscx cot x
LOGARÍTMICA
EXPONENCIAL
TRIGONOMÉTRICAS
NOMBRE
SUMA o
DIFERENCIA
FUNCIONES COMPUESTAS
FUNCIÓN
DERIVADA
f ( x )  g ( x )  h( x )
PRODUCTO
f ( x )  g ( x )  h( x )
COCIENTE
f (x ) 
g(x )
h( x )
f ' (x)  g ' (x)  h ' (x)



g (x )  h(x ) g(x )h (x )
f (x) 
f ' (x )  g ' (x )  h(x )  g(x )h ' (x )
'
'
'
h 2 (x)
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMÉTRICAS
f (x )  sin1 x
f ' (x ) 
f ( x )  cos1 x
f ' (x ) 
f (x )  tan1 x
f ' (x ) 
1
1 x 2
1
1 x 2
1
1 x 2
Ejemplos:
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
Derivar las siguientes funciones:
a. f ( x )  3x 2  1
f ' ( x )  (2)(3) x  1
f ' ( x )  6x  1
4
3
b. f ( x )  2x  4 x  x
f ' ( x )  8x 3  12x 2  1
c. f ( x ) 
f ' (x ) 
x 1
3x  x 2
(1)(3x  x 2 )  (3  2x )( x  1)
(3x  x 2 ) 2

 x 2  2x
(3x  x 2 ) 2
NOTA: El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante.
ELERCICIOS
Derivar las siguientes funciones:
1. f (x )  3x 5  5x 2  4
2. f (x )  4x 2  6x 4  4x
3. f ( x )  ( x 2  x )(x 3  1) (es un producto)
3x  2
4. f ( x ) 
x 3
5. f ( x )  log3 x
6. f ( x )  e x
7. f ( x )  12x
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN
Regla de la cadena
Definición: Sea y = f(u), u = g(x). si g es diferenciable en x y f f es
diferenciable en u = g(x), entonces la función compuesta definida por f(g(x)) es
diferenciable en x y:
df g x 
 f ' g ( x )  * g ' ( x )
dx
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
En palabras decimos que: La derivada de una función compuesta es la
derivada de la función exterior evaluada en la función interna por la derivada de
la función interna.
DERIVADAS SUPERIORES
Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en
adelante, consisten en derivar la función inmediatamente anterior cuantas
veces sea necesario.
ó
para la n-ésima derivada de f(x) o y respectivamente. Históricamente, esto
proviene del hecho de que, por ejemplo, la tercera derivada es:
que se puede escribir sin mucho rigor como:
Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba.
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
CAPITULO III
INTEGRAL INDEFINIDA
Definición: Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I, esto es si F´(x) = f(x) para todo x en I.
Teorema 1: Regla de la potencia
Si r es cualquier número racional excepto -1, entonces:
r
 x dx 
x r 1
C
r 1
Corolario: Regla generalizada de la potencia

g ( x )r 1
C
 g ( x ) g ( x )dx 
r
r 1
Teorema 2: La integral definida es un operador lineal.
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante.
Entonces:
a.
 kf ( x )dx  k  f ( x )dx
b.
 f ( x )  g ( x )dx   f ( x )dx   g ( x )dx
c.
 f ( x )  g ( x )dx   f ( x )dx   g ( x )dx
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIÓN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral.
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
ING. MYRIAM MONTEROS
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
CAPITULO IV
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Teorema 1: Regla de sustitución
Sea g una función derivable y suponga que F es una antiderivada de f.
Entonces u = g(x)
 f g ( x )g x dx   f (u )du  F (u )  C  F (g ( x ))  C
Teorema 2: Integración por partes
 u( x )v ( x )  u ( x )v ( x )   v ( x )u ( x )dx
Teorema 3: Integraciones trigonométricas
Ejercicios resueltos
Efectúe las operaciones de antidiferenciación que se indican, aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso:
ING. MYRIAM MONTEROS
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
Soluciones
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:
ING. MYRIAM MONTEROS
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
7. Solución:
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
AUTOEVALUACIÓN PARA CAPÍTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas:
5
a )  x  5  dx
5
b )  x x  5  dx
g )  x cos xdx
c )  x 1  x 2 dx
h )  xe dx
d )
5
2t  1
dt
2
3x  2x
e)
x 1
tan x
f )
dx
cos2 x
5x
i )  x 1  x dx
j )
ln t
t
dt
k )  csc2 xdx
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios:
a )  x 3 x  2dx
b)
dx
9  16x 2
c )  x 2 3  5 x 2 dx
d )
e)
x 2  2x  3
dx
x 1
dt
t 2  2t  3
TABLA DE INTEGRALES
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO
BIBLIOBRAFÍA

PURCELL, VARBERG, RIGDON, 2003, Cálculo Diferencial e Integral,
Pearson Prentice Hall, Ecuador.
ING. MYRIAM MONTEROS
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MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO

GRANVILLE, SMITH, LONGLEY, 1974, Cálculo Diferencial e Integral,
Uteha, México.
ING. MYRIAM MONTEROS
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