Hallar el punto de la curva y = , en que la recta tangente tiene
Anuncio
Halla el punto de la curva y = x2 1 , en que la recta tangente tiene pendiente máxima. x2 2 SOLUCIÓN: La función que calcula las pendientes de las rectas tangentes es la primera derivada: y’ = 2x , por lo que esta función es la que se tiene que maximizar: x 2 2 2x . x 2 P(x) = 2 Para calcular el valor máximo de P analizamos su primera derivada: P’(x) = x=- 4x 2x x x 2 2 2 x2 2 2 2 yx= 3 4 2 2 x 2 8x x 2 2 2 2 3 2 6x 2 4 , que se anula para los valores: (x 2 2)3 2 . 3 Como el signo de la derivada depende del numerador, que representa una parábola convexa: si x < si - 2 yx> 3 2 <x< 3 En x = 2 , P’(x) < 0 por lo que P(x) será decreciente en estos subintervalos; 3 2 , P’(x) > 0 y P(x) será creciente. 3 2 2 5 , P(x) pasa de ser creciente a decreciente por lo que en el punto ( , ) se tendrá 3 3 8 la pendiente máxima.
