Los Números Reales - Profa. Xenia M. Batista R.

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Tel.: 958-5804
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): ________________________________________ Grupo: 12º ______
Sección:  Bachiller Industrial
Especialidad: __________________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 0
Los Números Reales
0.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Repasar la evolución histórica de la expansión de los dominios numéricos.
 Representar elementos de los conjuntos numéricos en la recta numérica real.
0.2 INTRODUCCIÓN
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener
amplios antecedentes de la teoría de conjuntos y la lógica matemática. En el siglo XIX fue
lograda la construcción y sistematización de los números reales, por dos grandes matemáticos
europeos utilizando vías distintas: George Cantor y su teoría de conjuntos de encajamientos
sucesivos, cardinales finitos e infinitos, por un lado, y Richard Dedekind, el análisis matemático
de vecindades, entornos y cortaduras. Ambos matemáticos lograron la sistematización de los
números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances
previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes,
Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weiestrass.
0.3 EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO NÚMERO
Se sabe que los egipcios y babilónicos utilizaban las fracciones (números racionales) en la
resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega
cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las
relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros,
lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas que lo rodeaban, y
lo expresaron con la frase “todo es número”.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
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En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una
tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una
unidad común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico
de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos
magnitudes deben ser conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal
de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto
de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una
hipotenusa que mide
Si
2
2:
p
p
es un número racional donde
q
q
está reducido a sus términos mínimos (sin
factor común) entonces:
2
p
q
La expresión anterior *  indica que p 2 es
un número par y por tanto p también, es
decir, p  2m
Sustituyendo obtenemos 2 q 2  2m  4m2 ,
2


2q  p
2q

2
y por tanto:
 p2
2q2  p2
* 
2 q 2  4m 2
4m 2
2
2
q  2m 2
 q2 
q2  p2
Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es: q  2n
Más esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que
2 es un factor de ambos). Por tanto, la suposición misma de que
2 es un número racional
debe ser falsa.
Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era
racional, mas la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los
catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades
numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo
de la Matemática durante los dos milenios siguientes.
Los griegos desarrollaron una Geometría basada en comparaciones (proporciones) de
segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el
caso de medidas inconmensurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo.
Así, los
números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la Aritmética puesto que
sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones.
Por ejemplo, los
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pitagóricos encontraron (en notación moderna) que si
p  a  2b y q  a  b son tales que
a
es una aproximación a
b
2 entonces
p
es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso
q
nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejor aproximación.
Dado que las
longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos
geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones,
originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica,
identificando los números reales con los puntos de una línea recta.
Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el
desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades
sin hacer referencia a segmentos y longitudes.
Por ejemplo, se encontraron fórmulas para
resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma mecánica mediante algoritmos, los
cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, “números no reales” (lo que ahora conocemos
como números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se
seguía dando primacía a la Geometría como fundamento de toda la Matemática. Incluso con el
desarrollo de la Geometría Analítica este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes
rechazaba la idea que la Geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la
nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos.
Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grande avances matemáticos, con
nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados
con lo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido
como el límite de una suma infinita de números racionales (por ejemplo, su expansión
decimal). Como muestra, el número  puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la

1
 1 1 1

k
intuición geométrica) mediante la serie:   4 1       4   1
, entre
3 5 7
2k  1


k 0
muchas otras expresiones similares.
Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin
problema un segmento con la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al
análisis matemático, que estudia conceptos como continuidad, convergencia, etc.
Pero el
análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las demostraciones apelaban aún a
la intuición geométrica.
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0.4 LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
El primer conjunto numérico creado por el hombre, lo fue el conjunto de los números naturales,
y se le llamó de esta manera, porque fue inspirado por los fenómenos y hechos de la naturaleza.
El conjunto de los números naturales se emplean para contar objetos separados. Se denota por
la letra N y sus elementos son: N = {1, 2, 3, 4,…}.
Algunos matemáticos le han agregado a este conjunto el número 0 “cero”, es decir expresan el
conjunto de los números naturales de esta forma: N = {0, 1, 2, 3, 4,…}. Pero el cero1 fue
inventado posteriormente, cuando se trabajó y desarrolló el Álgebra, por los matemáticos
hindúes. De hecho se considera a Brahmagupta como el primer matemático que lo utilizó por
primera vez, ya que en el año 628 presentó un trabajo en donde hizo mención del concepto del
número cero tal y como lo conocemos hoy en día.
Sin embargo, existen matemáticos que
consideran al conjunto de los números naturales así: N* = {0, 1, 2, 3, 4,…}. En donde aclaran
que el asterisco significa “agregando el cero como primer elemento del conjunto”, pero en lo que
si coinciden todos, es en que no existe un último elemento del conjunto, por lo que el conjunto de
los números naturales es infinito.
La adición y multiplicación de dos números naturales siempre será un número natural.
Sin
embargo, al restar dos números naturales no siempre el resultado será un número natural; esto
motivó la necesidad de buscar una extensión de los números naturales. Es así que surgieron los
números enteros.
Si efectuamos la unión del conjunto que contiene {0} con el conjunto N de los números naturales,
obtenemos el conjunto de los “números enteros positivos” Z+. Al incluir un elemento aditivo
inverso por cada número natural, obtenemos el conjunto de los “números enteros negativos” Z-.
El conjunto de los números enteros comprende los números negativos, el cero, y los números
positivos, se denota con la letra Z y se define así: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}.
1
El invento del cero, además de permitir, a través del uso de las Matemáticas, el desarrollo de la física y otras
ciencias exactas, ha sido fundamental para el funcionamiento interno lógico de los computadores. Se dice que es la
creación matemática más importante.
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Al realizar las operaciones en Z, hubo una dificultad al tratar de encontrar el cociente no exacto
de dos números enteros, esto provocó la extensión de los números enteros al conjunto de los
números racionales Q. Por ejemplo: al realizar la operación 9  5 , resulta que
9
no es exacto2.
5
Un número racional es un número que puede expresarse en forma de una fracción de dos

p
enteros: Q   x / x   , donde p y q son enteros y q  0 . Es decir, un número racional3 es
q

aquel que puede expresarse como cocientes exactos de dos enteros, y puede ser: decimales
infinitos (Ejemplo:
7
2
 0 ,6363 63 ), decimales finitos o exacto (Ejemplo:  0,4 ) y decimales
11
5
periódicos (Ejemplo:
1
 0,333  0,3 ).
3
Las civilizaciones antiguas (egipcios, babilonios, griegos,…) conocieron las fracciones desde
tiempos muy remotos. Al descifrar los jeroglíficos egipcios, los egiptólogos encontraron resueltos
muchísimos problemas con fracciones sobre cuestiones de la vida cotidiana en el antiguo Egipto,
tales como la agrimensura o la construcción de pirámides. Esto ha demostrado sin duda, que en
el quehacer de la vida diaria, el hombre ha empleado el conjunto de los números racionales, tal
vez porque es un conjunto numérico muy amplio. Sin embargo, los números racionales no son lo
suficientes a medida que los problemas requieren soluciones científicamente más sofisticadas, es
por eso que se requirió una vez más de otros números, como lo son los números irracionales,
que se denota por la letra I.
Los números irracionales4 son números reales que no pueden expresarse usualmente por una
aproximación decimal. Son números que tienen decimales infinitos, cuyas cifras decimales no
tienen periodo de repetición, como por ejemplo:
irracionales son:
3,
5,
2  1,414213562. Otros ejemplos de números
7 , 11 , 13 , entre otros.
A las raíces que no pueden expresarse exactamente como números enteros o fraccionarios
representan números irracionales y se les denominan radicales. A números como estos se les
conoce como números inconmensurables, es decir, números que no se pueden medir.
2
3
Es por esa razón que surgieron los números racionales.
Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivos (o periódicos).
4
Son números no racionales. Números que no pueden expresarse como cociente de dos números enteros, aunque
pueden ser positivos o negativos, además tienen representaciones no repetitivas infinitas.
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La necesidad de los números irracionales surgió de medir longitudes sobre algunas figuras
geométricas5, como por ejemplo:

La longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es

La longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado, es el número
2;
irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818);

La longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional 
(pi).
Dentro de los números irracionales hallamos los números trascendentes como lo son:

  3,1 41592654
... que se utiliza en la Geometría.

e  2,7182818284
5... que se utiliza en el Cálculo Infinitesimal.
La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas, es
decir, no repetitivos. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los números
racionales, forman el conjunto de los números reales. Es decir, a la unión del conjunto de los
números racionales con los números irracionales, se le denomina conjunto de los números
reales, y se denota por la letra R.
Un número real, es cualquier número racional o irracional.
Los números reales pueden
expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal
periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas; esto significa que un número real puede
ser un número natural, un entero, un racional o un irracional.
Los números reales es un conjunto numérico formado por la unión de los números racionales con
los números irracionales, es decir: R = Q  I.
El conjunto de los números reales positivos (R+) se expresa así:  x  R / x  0  y el conjunto de
los números reales no negativos se expresa así:  x  R / x  0  .
Todo número positivo es mayor que cero, y todo número negativo es menor que cero.
La expresión: “x es un número real”, en notación de intervalo es: (-, +) y en notación de
conjunto es: S 
 x / x  R .
El campo de los números reales posee la propiedad (o ley) de orden de tricotomía, la cual
establece que si a y b son dos números reales, entonces una y solamente una de las siguientes
expresiones es verdadera: a  b , a  b , a  b . Una manera de representar la ley de tricotomía
geométricamente es con una recta numérica.
5
Al filósofo y matemático griego Pitágoras de Samos (540 A.C.) se le atribuye su descubrimiento, cuando encontró
estos números al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.
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0.5 LA RECTA REAL
Para representar los números reales usamos un sistema coordenado llamado recta real, es
decir, una recta horizontal o eje de las abscisas (Eje X). Su dirección positiva, a la derecha, se
marca con una flecha que indica la dirección en que crecen los valores de x .
El número real correspondiente a un punto en particular en la recta se denomina coordenada del
punto. El punto correspondiente al cero se denomina origen y se denota por la letra “o”. Los
números a la derecha del cero son positivos y a la izquierda son negativos.
La recta real proporciona una visualización perfecta de los números reales, ya que de cada punto
de la recta corresponde a uno y sólo un número real y viceversa6.
Esta correspondencia biunívoca es la que permite decir que los números reales llenan
totalmente la recta, por tal razón a la recta graduada de tal manera se le denomina recta real.
En la recta real, los números reales que son racionales o los irracionales se sitúan o se ubican
sobre la recta, valiéndose de construcciones geométricas exactas, o mediante aproximaciones
decimales. Por ejemplo: al representar en la recta numérica los números
Solución:
6
 1,2
5
y
6
7
y
5
2
7
  3,5 .
2
Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica
6
7
y
de la
5
2
siguiente manera:
El campo del conjunto de los números reales es un campo ordenable, es decir, el conjunto de
los números reales está ordenado, porque existe una correspondencia biunívoca entre los
números reales y los puntos sobre la recta, (a cada punto de la recta le corresponde un número
6
A cada punto de la recta le corresponde un número real y cada número real tiene su lugar en la recta.
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real y cada número real tiene su lugar en la recta numérica) como se observa en la siguiente
gráfica:
0.6 PROPIEDADES DEL ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES
La correspondencia biunívoca que se establece entre los números reales y los puntos de la recta
real, nos permiten notar una propiedad fundamental del conjunto de los números reales: la
existencia de un ordenamiento que se indica con el símbolo “  ”, que se lee: “es menor que” y
el símbolo “  ”, que se lee: “es mayor que”. Por ejemplo: la expresión: 2  3 , que significa: “dos
es menor que tres” y se representa sobre la recta numérica real indicando el punto
correspondiente a 2 y luego a 3 . Así:
1) Axioma de comparación: Para todo a y b en R, una y sólo una de las siguientes
proposiciones es verdadera: a  b ; a  b ; b  a
2) Propiedad transitiva del orden: Para todo a , b y c en R Si a  b y b  c , entonces
a  c.
3) Propiedad aditiva del orden: Para todo a , b y c en R Si a  b , entonces a  c  b  c .
4) Propiedad multiplicativa del orden: Para todo a , b y c en R
Si a  b , entonces
a c  b c y ca  c b .
0.7 ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
La relación “menor que” en el conjunto de los números reales. Si a , b  R, se tiene que:

a  b si y sólo si b  a es positiva, es decir b  a  0
Por ejemplos: 3  5
 5  3  2 y 2 es positiva, es decir 5  3  0
 6  0  0   6  6 y 6 es positiva, es decir 0   6  0
La relación “mayor que” en el conjunto de los números reales. Si a , b  R, se tiene que:

a  b si y sólo si a  b es positiva, es decir a  b  0
Por ejemplos: 5  2  5  2  3 y 3 es positiva, es decir 5  2  0
7  3  7  3  4 y 4 es positiva, es decir 7  3  0
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