unidad i. números reales. potencias y radicales.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
I.E.S. MANUEL LOSADA VILLASANTE
MATEMÁTICAS B 4º E.S.O.
MATERIAL CURRICULAR
CURSO 2015-2016
ALUMNO/A:.............................................................
GRUPO:...............
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MATEMÁTICASB. PROGRAMACIÓN PARA EL CURSO 2015-2016.
Índice:
UNIDAD I. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RADICALES. ............................. 3
1. Números Reales. .................................................................................................... 3
Números Racionales e Irracionales. ......................................................................... 3
Ordenación de los números reales. ........................................................................... 6
Relación de orden y suma. ........................................................................................ 6
La recta real. ............................................................................................................. 7
Intervalos y semirrectas. Valor absoluto. Entornos de un punto. ........................... 10
2. Potencias Reales. ................................................................................................... 13
Propiedades de las potencias. ................................................................................. 13
Potencia de exponente fraccionario. ....................................................................... 14
Potencias de exponente irracional. ......................................................................... 14
Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales. Racionalización. .................. 16
UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA ................................................................................ 22
Introducción. ........................................................................................................... 22
Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal y S.I. ................................................... 29
Razones trigonométricas de ángulos agudos. ......................................................... 30
Cálculo de las razones de los ángulos de 30º, 45º y 60º. ........................................ 31
Relaciones fundamentales de la trigonometría. ...................................................... 33
Ampliación del concepto de ángulo. Sentido de giro. Ángulos positivos y
negativos. ................................................................................................................ 34
Razones de un ángulo cualquiera. Reducción a las razones de un ángulo conocido
del primer cuadrante. .............................................................................................. 35
Ejercicios y problemas de trigonometría. ............................................................... 36
UNIDAD III. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ....................................................... 40
Manejo de expresiones literales.............................................................................. 40
Operaciones con polinomios. ................................................................................. 42
Regla de Ruffini. .................................................................................................... 46
Factorización. ......................................................................................................... 48
Fracciones Algebraicas. .......................................................................................... 51
UNIDAD IV.
ECUACIONES E INECUACIONES. ............................................. 62
1. Ecuaciones. ............................................................................................................ 62
Ecuaciones de segundo grado y grado superior...................................................... 62
Ecuaciones irracionales. Ecuaciones racionales. .................................................... 66
Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
con dos incógnitas. ................................................................................................. 69
2. Inecuaciones. ......................................................................................................... 75
Resolución de inecuaciones de primer grado. ........................................................ 76
Inecuaciones lineales con dos incógnitas. .............................................................. 77
Sistemas de inecuaciones lineales. ......................................................................... 78
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Inecuaciones de segundo grado. ............................................................................. 79
Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo........................................ 81
Inecuaciones Racionales. ........................................................................................ 83
UNIDAD V. LOGARITMOS. ECUACIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS. ......................................................................................................... 95
Concepto de logaritmo. Nomenclatura. Cálculo de logaritmos en cualquier base. 95
Propiedades de los logaritmos. ............................................................................... 96
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales............................................................... 96
UNIDAD VI. FUNCIONES. ....................................................................................... 101
Funciones. Definición. .......................................................................................... 101
Propiedades generales de las funciones. ............................................................... 106
Clasificación de las funciones a partir de la ecuación o criterio que la define.
Representación gráfica. ........................................................................................ 118
Límite de funciones .............................................................................................. 142
UNIDAD VII. ESTADÍSTICA.................................................................................... 149
Estadística: clases y conceptos básicos. ............................................................... 149
Variables o caracteres estadísticos. ...................................................................... 150
Encuestas y muestreo............................................................................................ 151
Encuestas y muestreo............................................................................................ 152
Tablas estadísticas: recuento. ............................................................................... 154
Tablas estadísticas: frecuencias. ........................................................................... 156
Representaciones gráficas..................................................................................... 158
Diagramas de tallos y hojas. ................................................................................. 161
Medidas estadísticas. Clasificación. ..................................................................... 165
Parámetros de centralización. ............................................................................... 165
Parámetros de dispersión. ..................................................................................... 169
Coeficiente de variación. ...................................................................................... 171
UNIDAD VIII. PROBABILIDAD .............................................................................. 176
Experimentos aleatorios. Sucesos......................................................................... 176
Operaciones con sucesos. ..................................................................................... 178
Probabilidad de un suceso .................................................................................... 180
Regla de Laplace .................................................................................................. 181
Frecuencia y probabilidad .................................................................................... 183
Propiedades de la probabilidad. ............................................................................ 184
Probabilidad condicionada. .................................................................................. 186
Sucesos dependientes e independientes. ............................................................... 186
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UNIDAD I. NÚMEROS REALES. POTENCIAS Y RADICALES.
1. Números Reales.
Números Racionales e Irracionales.
Recordemos los tipos de números que conocemos:
Números naturales que representamos por N. Son los números que utilizamos para
contar y ordenar. Formado por los números 1,2,3,4…
Números enteros que representamos por Z. Son los números que necesitamos para
representar operaciones imposibles en N, como la resta o diferencia : 3 - 8
Formado por los números …,-3,-2,—1, 0, +1 ,+ 2, +3…
Números racionales que representamos por Q. Son los números que se representan
mediante fracciones o mediante el decimal que procede de esta división indicada.
De esta forma hemos trabajado con números decimales, de los que conocemos
decimales limitados. Ej. 2,34 ; 1,25 ... y decimales ilimitados periódicos Ej. 2,333…;
1,2323 23... . y también con fracciones.
Números Racionales: (Q)
Sabemos que los racionales podemos representarlos mediante fracciones o mediante
decimales.
Para pasar de fracción a decimal solamente tenemos que dividir el numerador entre el
denominador.
3
Veamos casos que se pueden presentar:
 0,75 decimal exacto;
4
2
13
 0,6666 ... decimal periódico puro;
 2.166 .. .decimal periódico mixto
3
6
Vemos por lo tanto que pasar de fracción a decimal es muy simple solo debemos
dividir.
Veamos el recíproco, pasar de decimal a fracción:
a) Primer caso decimal exacto: Es muy simple solo tenemos que escribir la fracción
75 3
 y así obtenemos la fracción
decimal correspondiente 0,75 
100 4
Numerador: Parte entera y decimal sin coma.
Denominador: Unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya.
En el caso de los decimales periódicos:
Tenemos el problema de las infinitas cifras decimales y que hacer con ellas para poder
escribir la fracción correspondiente.
b) Segundo caso decimal periódico puro: calculo de la fracción del decimal 0,666…
Llamaremos “x” a la fracción buscada:
Luego x  0,666... . El sistema consiste en escribir dos igualdades equivalentes de
forma que su diferencia elimine todos los decimales.
Para ello multipliquemos x = 0,666.. por diez y obtenemos 10 x = 6,666..
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Restando ambas :
10 x = 6, 666…
x = 0, 666…
9
x
= 6
 despejando x 
6 2
 obtenemos la
9 3
fracción.
Numerador: A la parte entera y decimal sin coma se le resta la parte entera.
Denominador: Tantos 9 como cifras tiene el periodo.
Ejercicio 1.- Calcula la fracción generatriz del decimal: a) 0,3333... b) 12,787878...
c) 9,256256256... d) 145,2222... e) – 34,676767....
c)Tercer caso decimal periódico mixto: calculo de la fracción del decimal 2,166…
Llamaremos “x” a la fracción buscada:
Luego x = 2,166… que es un decimal periódico mixto, y en principio no sabemos como
tratarlo, pero si multiplicamos está ecuación por 10 obtendremos un decimal periódico
puro que trataremos como en el caso anterior:
10 x = 21,666… que ya sería un decimal puro, y procederíamos como en el caso a)
Volvemos a multiplicar por diez: 100 x = 216,666…
Restando ambas :100 x = 216 ,666…
10 x = 21,666…
195 39 13


90 18
6
Para comprobar si hemos encontrado la fracción adecuada basta dividir 13  9
90 x = 195

x
Numerador: A la parte entera y decimal sin coma se le resta la parte entera seguida de
anteperiodo.
Denominador: Tantos 9 como cifras tiene el periodo seguidos de tantos 0 como cifras
tiene el anteperiodo
Ejercicio 2.- Escribe la fracción de los siguientes decimales
a) 3,4
b) 2,02
c ) 1,333… d ) 12, 2 333… e) 2,8212121 … f) 1,2 3535…
Número irracionales.
Tomemos el cuadrado mas simple el de lado 1 (cm, m, km etc) sabemos que existe una
relación entre el lado y la diagonal
Calculemos la diagonal del cuadrado de lado 1.
Apliquemos el Teorema de Pitágoras al
triangulo rectángulo que resulta de dividir
mediante la diagonal el cuadrado en dos partes:
d 2 = 12 + 1 2 = 1+1 = 2
d2 = 2
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He aquí la información: la diagonal es un número cuyo cuadrado es 2
Si calculamos el número que multiplicado por sí mismo
la raíz cuadrada de 2 obtenemos:
dé 2, es decir si calculamos
2 = 1, 41421356237309505….
Podemos ver que la raíz es un número decimal ilimitado no periódico.
Demostración:
Como todo los números decimales que conocemos son periódicos es lógico pensar que
éste número procede de una división.
Si procede de una división podemos suponer que esa división es la fracción irreducible
a
;
b
a
 2
Luego el número cuyo cuadrado es 2 será :
b
Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la anterior igualdad tendremos:
2
a
  
b
 2
2

a2
a2
2

2

2
b2
b2
Esta última igualdad es absurda. ¿Cómo una fracción irreducible puede ser igual a
2? ¡Algo está mal!
a
a2
En efectos: Habíamos dicho que
era una fracción irreducible, luego 2 también lo
b
b
será.
(una fracción irreducible no es posible simplificarla mas).
a2
Luego si
es irreducible ¿Cómo puede ser igual a 2?
b2
Conclusión: Por lo tanto la hipótesis de que este número procede de una división, es
falsa. Este número decimal no periódico con infinitas cifras decimales es distinto a los
conocidos hasta ahora. Estos números no son racionales, y se les llaman
IRRACIONALES.
Se dice que un número es irracional a un decimal que posee infinitas cifras decimales
no periódicas. El conjunto de estos se representa por I.
Otros números irracionales son:
3, 5, 7, …
También son irracionales los que proceden de operaciones con irracionales con
números
racionales:
1 5
, 5 9 ,….
3- 2,
2
También lo es el número  = 3,141592653589793…..cuya irracionalidad no se
demostró hasta el siglo XVIII.
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Vamos a llamar números reales al conjunto de los números por racionales e
irracionales:
Enteros (Z)
Racionales (Q)
Naturales (N)
Cero
Enteros negativos (Z - )
Fraccionarios
REALES ( R )
Irracionales (I)
Ordenación de los números reales.
En los números reales se define la relación de orden como una extensión de la definida
en los números racionales. Cuando queremos expresar que 7 es menos o igual que 19,
escribimos 7  19, equivalente a decir que 19 – 7 = 12 es positivo.
La relación de orden, <, menor que, entre números reales se define así:
a < b  b – a es positivo
Una desigualdad, lo mismo que una igualdad, puede ser cierta o falsa.
Por ejemplo, la desigualdad x < 7 es cierta para x = 5, ya que 5 < 7, pero es falsa
para x = 12, ya que 12 < 7 no es cierta.
Se define de forma análoga las relaciones menor o igual que,  , mayor que, >, mayor
o igual que,  .
Relación de orden y suma.
Veamos en los siguientes ejemplos cómo varía la relación de orden al sumar o restar un
número a los dos miembros de la desigualdad:
7 < 10,5 restando 12 se tiene – 5 < - 1,5
- 2,6 > - 4 sumando 10,3 se tiene 7,7 > 6,3
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, se
obtiene otra desigualdad en el mismo sentido.
Relación de orden y producto
En estos ejemplos se muestra cómo varía la relación de orden al multiplicar o dividir
por un número distinto de 0 los dos miembros de la desigualdad:
3,2 < 5,7 multiplicando por - 10 se tiene – 32 > - 57
- 8,1 <- 4,7 multiplicando por 10 se tiene – 81 < - 47
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número, se
obtiene otra desigualdad:
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Si el número es mayor que cero, del mismo sentido.
Si el número es menor que cero, de sentido contrario.
La recta real.
Existe una correspondencia entre el conjunto de los números reales y el de los puntos
de una recta; es decir, a cada número real corresponde precisamente un punto, y a cada
punto corresponde un número real preciso, a una recta de éste tipo se le llama recta
real.
Representar números enteros.
Representar números decimales. Para representar el número decimal 0,7 observamos
que es un número comprendido entre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad entre los
números 0 y 1 en 10 partes iguales. Tomamos 7 de esas partes contando a la derecha
(pues 0,7 es un número positivo) desde el 0.
Para representar el número 2,5 que es un número comprendido entre 2 y 3, dividimos el
segmento entre los números 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partes
contando a la derecha desde el 2.
Representar números fraccionarios. Fracciones propias e impropias.
Una fracción se llama propia si el numerador es menor que el denominador. Su
cociente es un número comprendido entre 0 y 1.
Por ejemplo, 2/3 y 3/4 son fracciones propias.
Una fracción es impropia si por el contrario el numerador es mayor que el
denominador. Su cociente es mayor que 1.
Por ejemplo, 5/3 y 9/4 son fracciones impropias.
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Si queremos representar el número 1/3, por ser una fracción propia, su representante en
la recta será un punto comprendido entre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad en tres
partes y tomamos 1, contando desde el 0.
Ejercicio 1. Representa el número 1/3 en tu cuaderno. Para dividir el segmento unidad
en tres partes iguales realiza las siguientes operaciones con el cartabón, la escuadra y el
compás:





Dibuja un segmento horizontal. Señala el extremo izquierdo con el número 0 y
el derecho con el 1. Ese será nuestro segmento unidad.
Traza desde el 0 una semirecta cualquiera que no sea horizontal.
Con el compás, marcamos en esa semirecta desde el 0 tres medidas iguales.
Con una regla trazamos el segmento que une la última marca del compás en la
semirecta con el punto 1.
Utilizando el cartabón y la escuadra, trazamos paralelas a ese segmento que
pasen por las otras tres marcas del compás.
Los puntos de corte de esos segmentos en el segmento unidad dividen al mismo en tres
partes iguales. Cada una será 1/3, o lo que es lo mismo 0,33333…., que sería imposible
de representar dividiendo infinitamente la unidad, para obtener decimas , centesimas ,
milésimas ….etc como hicimos con los decimales exactos.
Ejercicio 2.- Representar el número 1/6.
Si la fracción es impropia, siempre se puede descomponer en suma de un número
entero más una fracción propia.
Por ejemplo,
13
5
Dividiendo 13
dividiendo
5
13/5 = 2 + 3/5,
Donde 2 es el cociente entero de la división de 13 entre 5 y 3, el resto.
Así, el número 13/5 será un punto comprendido entre el 2 y el 3. Para representar el
número 13/5 deberemos representar el número 3/5 en el segmento [2,3], es decir, dividir
el segmento [2,3] en 5 partes y tomar 3 desde el punto 2.
Ejercicio 2. Representa también los números 10/3, y 13/2
Observa: si el decimal que obtenemos de la fracción no es periódico siempre puedes
representarlo como decimal, sin embargo si el decimal es periódico necesita para poder
representarlo la construcción basada en el concepto de fracción.
El conjunto de los números racionales Q es un conjunto denso, es decir, que entre
dos números racionales siempre existe otro número racional.
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Ejercicio 3.-Encuentra dos números racionales comprendidos entre:
a) 1,4 y 1,5.
b) 0,34 y 0,35.
7 7
y
c)
3 4
¿Cuántos números racionales existen entre dos números racionales?
Representar números irracionales.
También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta.
Por ejemplo, para calcular el punto que representa el número
pasos:
2 realiza los siguientes
Levanta sobre la recta un cuadrado cuyo lado sea el segmento unidad entre el 0 y el 1.
Según el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide 2 .

Utiliza un compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte
del arco del compás sobre la recta representa el número 2
Fíjate en la siguiente figura y dibújala en tu cuaderno.
Ejercicio 4.- De igual forma construyendo cuadrados o rectángulos de distintas
dimensiones se pueden representar otros números irracionales:
a)
5 b) 10 c) 13 d) 18
Dibuja en tu cuaderno un rectángulo cuyos lados midan
diagonal exactamente? Represéntalo en la recta real
2 y 1 ¿Cuánto medirá la
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Intervalos y semirrectas. Valor absoluto. Entornos de un punto.
Intervalos
Puesto que se pueden representar, se pueden ordenar. Es decir que dados dos números
reales a y b, podemos decir que a < b , si al representarlos en la recta b queda a la
derecha de a.
La ordenación de números reales permite hablar de subconjuntos de números
INTERVALOS comprendidos entre otros dos números, que llamaremos extremos.
Tipos de intervalos:
Intervalo cerrado: Conjunto de números comprendidos entre los extremos que incluye
a estos extremos.
Por Ej. 1,2 Intervalo que contiene todos los números desde el “1” al “2” incluidos
ambos números.
Representemos en la recta real: ______________
1
2
Intervalo abierto: Conjunto de números comprendidos entre los extremos que NO
incluye a estos extremos.
Por Ej. 1,2 Intervalo que contiene todos los números desde el “1” al “2” SIN
incluir a ambos números.
Representemos en la recta real: ______________
1
2
Intervalo semiabierto o semicerrado: Conjunto de números comprendidos entre los
extremos que NO incluye a uno de los extremos.
Por Ej. 1,2 Intervalo que contiene todos los números desde el “1” al “2” SIN
incluir al 2, e incluyendo al 1.
Representemos en la recta real:
1
También podemos expresarlos mediante desigualdades
Para el intervalo cerrado 1,2 , siendo x cualquier número del intervalo, escribiremos:
1x2
Para el intervalo abierto 1,2 , siendo x cualquier número del intervalo, escribiremos:
1< x <2
Para el intervalo semiabierto 1,2 , siendo x cualquier número del intervalo,
escribiremos: 1  x <2
La recta completa.
Hasta ahora hemos visto la recta real, ahora vamos a ampliar R ( números reales), con
dos nuevos elementos, que designaremos por   y   y que llamaremos mas infinito
y menos infinito, completando la recta real con dichos elementos


Para ello conviene aclarar que podremos también utilizar los intervalos utilizando
estos dos nuevos elementos.
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Ejemplos 1,,  ,3 para x  1 y x  3 respectivamente (intervalos abiertos
siempre en   y   )
Ejercicio 5.- Escribir en notación de desigualdades y graficar en un eje numérico o
recta real.
a)  2,3 b)  4,2
c)  3,9 ,  2
d)  6,
e)  ,0
Ejercicio 6.- Escribir las siguientes desigualdades en notación de intervalos y graficar:
a)  3  x  3
b)  1  x  2
c) x  1
d) x  2
Valor Absoluto.
Si “a“ es un punto de la recta real, la distancia de “a” al origen, que es una cantidad
no negativa, se representa por a y se denomina valor absoluto.
El valor absoluto se define:
-Si el número es positivo o cero su valor absoluto es el mismo
-Si el número es negativo es el opuesto del número.
 a si a  0
a 
 a si a  0
Con el valor absoluto se pueden expresar los intervalos por ejemplo x  1 , implicará
que x puede tomar los valores - 0,9 , - 0,8 ,- 0, 7, …-0,123 , 0, 0, 2 0,69, 0,999 …es
decir que podemos expresarlo mediante -1<x<1 y también por el intervalo  1,1
Ejercicio 7.- Representar en la recta real cada uno de los conjuntos de números
siguientes:
a) x  1,5
b) x  3
c) x  1
d) x  0
Entornos de un punto.
El punto medio del segmento que determinan los extremos del intervalo cerrado [1, 5]
es x = 3. La distancia de este punto a los extremos es 2.
Los puntos x de este intervalo verifican la relación x  3  2 .
El punto medio del intervalo abierto (1, 3) es x = 2 y su distancia a los extremos es 1.
Los puntos s de este intervalo verifican x  2  1 .
Los intervalos determinados por x  a  r ó x  a  r se llaman entornos cerrados o
abiertos del punto a. El punto a se llama centro y la distancia r se llama radio del
entorno.
El entorno cerrado se designa por E[a, r] y por E(a, r) el abierto
Ejercicio 8: Representa los intervalos: x  4  3 y x  2  1
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Repaso
1.- Escribe un decimal correspondiente a cada número racional indicando de que tipo
se trata.
a)
3
5
7
b)
c)
8
3
6
d)
7
15
2.- Encuentra un número racional comprendido entre
4
7
y
4
.
5
3.- Escribe en forma fraccionaria los números:
a) 3,6 b) 2,444444… c) 5,4232323…
4.- Los números a, b y c son tres números reales
de los que sabemos,
 2,3  a  1,7 1,4  b  1,5 y  3,9  c  2,6 ¿Es posible escribir el signo < ó >
entre a y b, b y c? y ¿entre c y a?
5.- Halla la fracción generatriz del número decimal 1,23333333...
6.-¿Cuál es el valor exacto de la altura de un triángulo equilátero de 10 cm. de lado?
¿Cuánto mide exactamente el lado de un rombo cuyas diagonales miden 18 y 12
cm.?
7.- Escribe tres números reales pertenecientes a cada intervalo:
 1,1 , 0,2,  3,2 ,  2,5,2,  7,25,7,24
8.- Escribe tres intervalos cuyo punto medio sea –3,25
9.- Indica en una línea recta los números que pueden sustituir a x.
x  2,5; x  5,2; x  7
10.- Representa en la recta real los siguientes números, indicando al menor conjunto
numérico al que pertenecen:
1
3;1; ;2
3
11.-Explica a partir del número 0,6666666... las aproximaciones que conozcas ya sea
por truncamiento o redondeo ( a las décimas, centésimas, milésimas)
12.- Representa en la recta real los intervalos:
a)  5,3 b)  4  x  4 c) x  3 d ) x  3 e) 1,0 f) E[2, 3] g) x  5  3
13.- Representa en la recta real los números:  1;  0,5;
5
; 3 y clasifícalo
6
integrándolo en el menor conjunto a que pertenezcan.
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2. Potencias Reales.
Propiedades de las potencias.
Potencia de exponente entero.
1
2
Definición: a n  a  a  a  a...a (n veces).
Producto de potencias de igual base: a n  a m  a n  m
3
División de potencias de igual base: a : a  a
4
a 0  1.
5
a n 
6
7
8
n
m
an
nm
ó
m  a
a
n m
1
.
an
Potencia de un producto:  a  b  c n  an  bn  cn .
n
an
a 
n
Potencia de una división:  a:b  a n :b n ó    n .
b 
b
Potencia de potencia:  a n   a nm .
m
Además debes tener en cuenta:
 Trabajar con los números descompuestos en factores primos al resolver un problema de
potenciación donde intervienen las operaciones producto, división y potencia de potencia.
 La simplificación de factores siempre que sea posible.
n
n
n
n
a 
b 
 a
 b
     .
 Observa que     
y
b 
a 
 b
 a
Al resolver esta hoja no te inventes normas nuevas, ten en cuenta las reglas de la
potenciación, prioridad de operaciones y simplificación de factores sobre todo.
1. Calcula:
a) 2 2 ; (2) 2 ;  2 2 ; (10) 5 ;  108 ; (1) 8 ; (1) 9 ;  17 ;  18 ; (1) 2 n ; (1) 2 n 1 ;
b) 2  32 + (5  2) 3 ; 52  3  2 2  (3) 2  7 ; 7  (2) 3 + 5  32 ; 7 3  2 3 ; (7  2) 3 ;
c) 34 ;  34 ; 6 1 ; (3) 4 ;  53 ;  10 4 ;  2 6 ; (2) 6 ;
 3
 3   2   3   1   1
d) (0,02) ;    ;    ;   ;    ;  2  ;  
 2
 4   3   4   3   5 
2
4
5
e) (0,5)
2
 7
;  
 2
2
0
0
2
; (0,25)
1
2
; 
 3
3
;
3
; 3  2  (0,5) 1  16  2 2 ; 3  (2) 2  8  4  2 1 ;
2. Opera simplificando el resultado:
Pág. 13
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a) 2 3  32  4 ; 32  27  9 ; 32  81  8  2 2 ; 625  16  52  2 2 ; 27  x 5  81  x 6  243  x ;
b) 2 4 :2 5 ; 10 4 :10 3 ; (2 8  34 ):(16  243) ; (2 2  53  2 5  57 ):(2 4  52  57 ) ;
2 8  34
35  8  7
52  2  11 2 2  125  32  57
a 3  b 4  c 3  a 8  b 3  c 7  128
;
;
;
;
;
16  243 9  2 2  49
625  6
16  5  53  2 7
64  a 4  b 2  a 6  c 3  c 7
2
2
4
5
2


d)  32  ;  2 3  ; (125  2) 3  52  4 ;   2  32   4  9  81  2 8  ; 2 3  (0,4) 2  (5  0,5) 4 ;
c)


e) (10001125
:
) 3  1125 ; 625  4 3  100 2 ;  a 3  b 5  a 5  b 7 
2
2
3
2
2
 16  3   7  2 4  3   3   9    21 








f)
:
:
 ;
 ;
 25  7   5   5   25    25 
2
2
;  90 3 :  1352  ;
5 5
    ; 53
 3 7
4
3
 3   1
    ;
 10   5 
3
Potencia de exponente fraccionario.
Una potencia de exponente fraccionario es un radical donde:
 el denominador de la fracción es el índice del radical, y
 el numerador de la fracción es el exponente del radicando.
Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedades dque
las potencias de exponente entero. Las operaciones con radicales se simplifican mucho
si se pasan a potencia de exponente fraccionario. Veamos los siguientes ejemplos:
5
3
1
5
2
5
1 2

5 5
1
3
3
5
1 3

3 5
3  3 3 3 3
5
2
5 : 5  5 :5  5
5
3
1
3
1
3
3
5
3
5

4
15
1
3
3
5  3  5  3  5  3  15
7
10 : 5  10 : 5  10 : 5  2
3
1
7
7
1
3
1
7
1
7
1
1
7
1
 1 3
7  7    7  3   7 9  9 7


Potencias de exponente irracional.
3 3
3
1
3
Veremos como se definen y calculan las potnecias cuando el exponente es un
2,
7 ...
número irrracional:  ,
Una potencia con exponente irracional se calcula por aproximaciones sucesivas
de potencias racionales; las operaciones se pueden realizar con la calculadora.
Ejemplo: Calcula 2  .
Aproximamos  a números decimales y se calculan los valores que toman las
potencias en los extremos del intervalo de aproximaciones. Siguiendo este proceso nos
acercaremos cada vez más al verdadero valor de la potencia 2  .
INTERVALOS DE POTENCIAS INTERVALOS NUMÉRICOS
INTERVALOS DE 

3< <4
8< 2  <16
23  2  24
3,1<  <3,2
8,57< 2  <9,18
2 3,1  2   2 3,2
3,14<  <3,15
8,815< 2  <8,876
2 3,14  2   2 3,15
3,141<  <3,142
8,8213< 2  <8,8274
2 3,141  2   2 3,142
2
2

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Cada uno de estos pasos, determinan un intervalo, dentro del cual se encuentra 2  .
2   [8, 16]
2   [8,57, 9,18]
2   [8,815, 8,876]
2   [8,8213, 8,8274]
Cada intervalo está contenido en el anterior. ¿Cuál es el error máximo en cada paso?
Al aumentar el número de cifras de  , el error es cada vez más pequeño y se
aproxima a cero. En el cuarto paso vemos que hay ya dos decimales exactos. Este
proceso es válido para cualquier número y cualquier base.
Ejercicios:
1. Expresa, en términos de raíces, las siguientes expresiones:
3
a) 4
3
5
b) 7

 37
c)  
4
2
3
2
d)  
 3

1
3
2. Simplifica, descomponiendo en factores y pasando la raíz a exponente fraccionario,
las siguientes expresiones: (utiliza las propiedades de las potencias)
3
3
25
a
a) 53  54
b) 3 a 4  a 5
c) 4
d) 4
125  5
a2  a
3. Utiliza la calculadora para hallar las siguientes potencias con tres cifras decimales
exactas:
a) 5
b) 2
3
2
c) 3
d) 5
3
e)
3
3
Ejercicio 14.- Escribe las siguientes potencias como radicales:
3 4
=
1 4

a) 5
f) 5
b)  5
1 2
g)  2

2 5
c)  3
2 3
3
 h) 3x 

4
d) x

3
5
i) 2x

2 3
e) 2x
2 3
3
 j) 2  x 
4
Ejercicio 15 .- Escribe los siguientes radicales como potencias:
a)
3=
f)
1

2
b) 3 
3
g)
2
2
3
x2
c)
h)
5
x3 =
1

x2
d) 2
i)
x =
2x
4
x3
e)
5
3x
=
Pág. 15
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Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales. Racionalización.
1
y
Uso de la calculadora: Utilizaremos la función x
, que encontramos como segunda
función en el signo  , por lo que tendremos que utilizar shift.
5
Ejemplo: calculo de la raíz de
Teclear: 1024 shift
1024
 5 = y aparecerá en el visor 4.
Radicales equivalentes.
Sabemos que los radicales lo podemos escribir como potencias de exponente
3
fraccionario. Por ejemplo
32  32
3
y como
2 4 6
   ... son fracciones
3 6 9
equivalentes también podremos obtener radicales equivalentes multiplicando el índice
del radical y el exponente del radicando por un mismo número. Así:
3
32  6 34  9 36  ... son radicales equivalentes.
Ejercicio 16.a) Halla tres radicales equivalentes a los tres siguientes pero que tenga el
3
2
mismo índice: 5 , 5 y 6 5 .
b) Igual que en ejercicio anterior:
3 y
3
2
Operaciones con radicales:
1. Producto de radicales del mismo índice es igual a otro radical cuyo radicando es el
producto de los radicandos y cuyo índice es el mismo de los radicales
n
p · n q  n p·q
Ejercicio 17.- Efectúa los siguientes productos, si fuese necesario obtén los radicales
equivalentes para obtener el producto.
a)
5· 3  b)
f)
2
i) 2


5  2 5  1
5 2
3· 3  c)
2· 5· 6  d)


3·3 4 =

e)
3
3· 2 

h) 3 3  3 3  2 2
32 2

g) 2  2 2  3
j) 2 2 
3

Pág. 16
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2.Cociente de radicales del mismo índice es igual a otro radical cuyo radicando es el
cociente de los radicandos y cuyo índice es el mismo de los radicales.
n
p
n
q
n
p
q
Ejercicio 18.- Efectúa los siguientes cocientes simplificando:
36

64
a)
3
125

b)
5
4
200
c)
5
d)
100
10
3.Potencia de un radical es igual a otro radical con el mismo índice y cuyo radicando
es una potencia de exponente igual al del rafdical:
 p
m
n
 n  p
m
Ejercicio 19.- Calcula:
 2 
f) 3 2  
2
a)
2
 3   c)  2  
g) 2 5  = h) 2 3 
b)
3
3
3
2
d)
3
2
2
 2  x
j)  2  =
2
e)
2
2 
3 
i) 
3 
3
3
 7 =
4
4
4.Raíz de una radical es igual a otro radical cuyo radicando es el mismo y cuyo índice
es el producto de los índices de los radicales:
n m
p  n·m p
Ejercicio 20.- Calcula
a)
3
2
b)
3
c)
4
3x 
d)
x2
5.Extracción de factores : La operación producto de radicales nos va a permitir
descomponer en factores el radicando y extraer del signo radical los factores que
tengan raíces exactas:
Ejemplos:
8  23  2 2 ·2  2 2 · 2  2· 2  2 2
72  23 ·32  2 2 ·2·32  2 2 · 2 · 32  2· 2 ·3  6 2
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Nota: De igual forma que podemos extraer factores de los radicales podemos
introducir factores en el radical sin más que elevarlos al índice del radical
Ejemplos: 6 2 
6 2 ·2
33 4  3 33 ·4
Ejercicio 21.-Contesta a cada uno de los apartados siguientes:
a) Extraer factores de los siguientes radicales:
18 , 16 · 6 , 75 , 162, 45
b) Introducir factores en el radical:
2 5, 4 3,
23 3,
2
2
3
6. Suma de radicales: la suma de radicales solo es posible si estos son idénticos:
Ejemplo:
2  2 2  5 3  2 3  1  2 2   5  2 3  3 2  3 3
Ejercicio 22.- Suma los siguientes radicales:
a)
2 5 3 3  5  2 3 
b)  2  2  2 2  3  3 2 
Ejercicio 23.- Suma los siguientes radicales: (al no ser idénticos debes extraer factores y ver cuales lo son)
a) 2
75  8  3 2  27 
b)
2 32  8  128 
Productos Notables.
Cuadrado de una suma: La expresión (a + b)2 se lee a mas b elevado al cuadrado.
Esta potencia o producto es tan habitual en matemáticas que solemos memorizar su
producto:
(a +b)2 = ( a + b) (a + b) = a2 + a b + b a + b2 = a2 + 2 a b + b2
Y se dice “ el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero mas dos veces
el primero por el segundo mas el cuadrado del segundo”
Cuadrado de una diferencia: La expresión (a - b)2 se lee a menos b elevado al
cuadrado. Esta potencia o producto es tan habitual en matemáticas que solemos
memorizar su producto:
(a -b)2 = ( a - b) (a - b) = a2 - a b - b a + b2 = a2 - 2 a b + b2
Pág. 18
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Y se dice “el cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos
dos veces el primero por el segundo mas el cuadrado del segundo”
Diferencias de cuadrados. A la expresión ( a + b) ( a – b) se le llama suma por
diferencia y su producto es igual a la diferencia de los cuadrados:
( a + b) (a - b) = a2 + a b - b a - b2 = a 2 - b2
Ejemplos:

2 3 
  2

2 3 
2
2

2 3 
2 2 3
 3
2
  2    3
2
2
 2 2  2 2·3  32  2  2 6  3  5  2 6
 2 2  32  2  3  1
Ejercicio 24.- Calcula los siguientes productos:

a) 2 3 
2


2
e) 2 2  3 3
b)

2

2 5


f) 2 3  4

2
2
c)

32

2

g) 2 5 
 5  2   5  2 
k)  2  2   2  2
m) 1  2 2   1  2 2 




d) 1  2 2
2

2
h) 2 2  5
2
2
 3  2 5   3  2 5 
l)  7  2 3    7  2 3 
n)  3  2    3  2 
i)
j)
Ejercicio 25.- Desarrolla los siguientes productos:


a) 2  3 ·5 

b)

 5  2· 5  2 


c)  3· 2  5 

h) 2  3 · 2  3 = i)

f) 2 3 3  2 7  g) 2 2 5  2 
j)

 5  2· 5 =
k)
2




3  2 ·2 3  2 =

d) 2 2· 2 2  7 

l)
3  5 · 3  5 =
7  2 · 7  2  
Pág. 19
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Denominadores Irracionales. Racionalizar :
Cuando en las expresiones fraccionaria los denominadores son números irracionales,
es conveniente convertirlos en racionales, es decir Racionalizar, para facilitar las
operaciones.
Veremos dos casos:
a) Si en el denominador aparece un radical cuadrático , multiplicamos numerador
y denominador por dicho radical, y así obtendremos una fracción equivalente a
la anterior pero que carece de radical en el denominador, es decir
racionalizada:
5 3
5 6
2
2
2 2
22
b) Si en el denominador de la fracción aparece una suma o resta de radicales
cuadráticos, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del
denominador, y así obtendremos una fracción equivalente a la anterior pero que
carece de radicales en el denominador, es decir racionalizada:
Llamamos conjugado de la expresión a + b a la expresión a –b, y reciproco,
conjugado de a –b a la expresión a + b.
Ejemplo:
Ejemplo:
2
2
3 7

·

3 7
3 7 3 7

5 3
2
·



 3   7 
2 3 7
2
2
5 3·2

6  14

37
6  14
4
Ejercicio 26.- Racionaliza el denominador y simplifica el resultado:
a)
f)
5
3

3
2 3
b)
 g)
2 3
2

3 2
2 2 3
c)
=
h)
3 3
5 2

2 3
2 3
d)
 i)
2 3
2

2 33
2 2 1

e)
j)
1 3 2
2 3
2 5
2 5


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Repaso 3º E.S.O.:
1.- Simplifica los siguientes radicales:
a) 3 2 6
b) 12 8 4
c) 18 512
solución: a) 4 b) 2 c)
3
52 d)
2 e)
d) 12 2 6
3
32 f)
2
f) 10 215
e) 15 310
23  2 2
2.- Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles:
a) 12
b) 200
c) 75
d) 3 40
g) 45
h) 80
i) 50
j) 3 16
e) 20
k) 4 64
f) 63
l) 3 40
solución: a) 2 3 b) 10 2 c) 5 3 d) 23 5 e) 2 5 f) 3 7 g) 3 5 h) 4 5 i) 5 2
j) 23 2 k) 2 2 l) 23 5
3.- Realiza las siguientes operaciones:
a) 8  50  3 2
b) 32  8 c) 32  50  2
d) 75  3  12
e) 5 5  80  20 F) 27  50  12  8  2 2
solución: a) 4 2 b) 2 2 c) 8 2 d) 6 3 e) 3 5 f) 5 3  5 2
4.- Calcula los siguientes productos de raíces:
a) 2  32
b) 50  2
c) 3 25  3 40 d) 3 2 2  4 2 3
e) 5 2  8
f) 6 5 2  3 25
solución: a) 8 b) 10 c) 10 d) 212 25 e) 210 27 f) 5
5.- Reduce los siguientes radicales utilizando las propiedades:
3
a)
32
b) 3
3
solución: a)
6
5
9
3
3 b)
c)
3
32 c)
10
4
16
2
d)
729
3
23 d) 3
6.- Racionaliza:
a)
1
3
e) 5
10
128
b)
f)
1
8
c) 3
3
g)
1 3
3
2
solución: a)
b)
c)
3
4
3
32
d)
3
1
3
d)
1
5 2
55 2 3
f)
6 e)
2
h)
3 3
g)
2
3 2
3
2
8 2
5 2
h) 1
3
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UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA
1. Introducción
2. Concepto de ángulo. Medidas: sistema sexagesimal y S.I.
3. Razones trigonométricas de ángulos agudos. Cálculo de las razones de los ángulos de
30º, 45º y 60º.
4. Relaciones fundamentales.
5. Ampliación del concepto de ángulo. Sentido de giro: Ángulos positivos y negativos.
6. Razones de un ángulo cualquiera. Reducción a las razones de un ángulo conocido del
primer cuadrante.
Introducción.
El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las
palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los
triángulos.
Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría
debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los
ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría
Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios
astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad
más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el
título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos.
El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando
fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron
un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó
los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo
Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la
astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.
Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución
numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo
son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal
que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo,
esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se
definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo
en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el
dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar
el ángulo [0, 180].
Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los
triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el
tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el
sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto,
se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable
real, en vez de limitarse a una función de ángulos.
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Ángulo es la parte del plano que delimitan dos semirrectas con el mismo origen.
El origen de las dos semirrectas es el vértice del ángulo. Y las dos semirrectas son los
lados.
Ejercicio 1.- Dibuja un ángulo y nómbralo escribiendo una letra mayúscula en el
vértice.
Ejercicio 2.- Dibuja dos rectas secantes y señala seis ángulos diferentes. ¿Cuál es su
vértice?
Ejercicio 3. Ahora vas a dibujar un ángulo igual a otro. Para ello sigue las
instrucciones:




Dibuja un ángulo cualquiera de vértice P.
Elige un punto cualquiera Q del plano.
Traza las paralelas por Q a los lados del ángulo P.
¿Observas algún ángulo igual a P? ¿Cuántos?
El transportador:
Para medir con el transportador debes hacer coincidir el punto del centro con el
vértice del ángulo y colocar el cero sobre un lado; de esta manera el otro lado coincide
con la regla graduada. Utiliza la escala adecuada al ángulo a medir, de izquierda a
derecha o de derecha a izquierda.
Ejercicio 4.- Mide los siguientes ángulos con tu transportador:
Veamos como clasificamos los ángulos comparándolo con el ángulo recto y con el
llano.
Ángulo agudo
  90 º
Ángulo obtuso
90    180
Ángulo convexo
  180 º
Ángulo cóncavo
  180 º
Ejercicio 5.- Dibujando
a) Dibuja un ángulo agudo y otro obtuso que mida el doble.
b) Dibuja un triángulo que tenga un ángulo agudo y otro obtuso. ¿Cómo es el
tercer ángulo?
c) Dos rectas no alineadas y con el mismo origen ¿Determinan un ángulo cóncavo
y otro convexo?
d) Un ángulo cóncavo ¿puede ser agudo?
e) Un ángulo agudo ¿es convexo? ¿Y cóncavo?
f) Un ángulo convexo ¿puede ser agudo? ¿y obtuso?
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Operando con ángulos en la calculadora: ( modo grados:DEG )
Utilizamos el registro º º º
cada vez que introduzcamos los grados, minutos y
segundos: por ejemplo para calcular: 71º 28´45´´ - 23 º 22´ 12 ´´ =
Comenzaremos por escribir 71 pulsar º º º , 28 pulsar º º º 45, pulsar º º º y
aparecerá en la pantalla 71,47916667 , es decir ha convertido todo el ángulo en
grados, a continuación operación restar (signo menos) y escribimos el ángulo 23
pulsar º º ºº, 22 pulsar º º ºº , 12 pulsar º º ºº y aparecerá en la pantalla 23,37, es decir
ha convertido el ángulo en grados, seguido pulsando el signo igual y nos da
48,10916667 que si queremos obtenerlo en grados, minutos y segundo, solo tendremos
que pulsar “shift” y º º ºº aparecerá 48º 6º 33.
Ejercicio 6. Calcular.
a) 12º 11´ 23 ´´ + 162º 22 ´12´´ =
b) 2 · 23 º 56´45´´ =
Ángulos complementarios y suplementarios.
Dos ángulos son complementarios cuando las sumas de sus amplitudes es 90º.
a) Los ángulos agudos de un cartabón
complementarios?
b) ¿El complementario de 27º 45´ es 32º 15´?
c) Calcula la medidas de los complementarios de :
25º ;
27º 14´ ;
¿son
39º 18´ 13´´ ;
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º.
a) El suplementario de 38º 25´ es de 141º 35´
Compruébalo.
b) Agrupa los siguientes ángulos por parejas de
suplementarios:
95º; 73º 24´, 106º 36´, 85º, 73º 24´, 106º 59´36´´
c) ¿Cuánto miden los suplementarios de los siguientes
ángulos?
38º 23´, 110º38´, 55º 20´32´´.
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Ángulos alternos externos 1 y 8, 2 y 7 son pares de ángulos alternos externos en
la figura que se muestra a la derecha (Lección 4.2).
Ángulos alternos internos 3 y 6, 4 y 5 son pares de ángulos
alternos internos en la figura que se muestra a la derecha..
Ángulos congruentesDos ángulos son congruentes si y sólo si tienen la
misma medida.
Ángulos consecutivosDos ángulos de un polígono que comparten un
lado común
Ángulos correspondientes 1, 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y
correspondientes en la figura que se muestra a la derecha
8 son pares de ángulos
Ángulos internos consecutivos 4 y 6, 3 y 5 son pares de ángulos internos
consecutivos en la figura que se muestra arriba a la derecha.
Ángulo centralÁngulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia y cuyos lados
contienen a los radios de ésta.
Ángulo de depresiónSi una persona está mirando hacia abajo, entonces el ángulo visto
desde la horizontal hacia abajo a la línea de visión se denomina ángulo de depresión.
Ángulo de elevaciónSi una persona está mirando hacia arriba, entonces el ángulo de
la horizontal a la línea de visión se denomina ángulo de elevación.
Ángulo de rotaciónUn número, por lo general en grados, que describe un movimiento
de giro alrededor de un centro dado.
Ejercicio 7.a) Calcula el ángulo suplementario de 23º 32´32´´
b) Calcula el ángulo complementario de 46º 45´27´´
Ejercicio 8.- A la vista del siguiente dibujo y recordando lo visto anteriormente sobre
ángulos alternos internos y alternos externos. ¿Podrías demostrar que la suma de los
ángulos interiores de un triángulo es 180º?
Ejercicio 9.- Utiliza tu calculadora y calcula el ángulo A en cada caso,
35º 22´ 15 ´´
A
65º
A
25º32´16´´
A
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Teorema de Thales: Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan sobre
ellas segmentos proporcionales.
O
A
OA OB
AB


OA´ OB´ A´B´
A´
B
B´
Ejercicio 10.- En tu cuaderno dibuja una escena similar a la anterior (emplea toda la
página; cuanto mayor sea el dibujo mejores resultados obtendrás). Con una regla mide
cuidadosamente los segmentos determinados en las dos rectas y calcula sus razones. ¿Se
sigue verificando el teorema de Thales? Razona tu respuesta.
Fíjate que de
Deducimos
extremos)
Y de aquí
OA/OA' = OB/OB'
OA · OB' = OB · OA' (producto de medios = producto de
OA/OB = OA'/OB'
Obtenemos así otra forma de enunciar el Teorema de Tales:
Teorema de Thales (Segundo enunciado): Cuando dos rectas secantes son cortadas
por una serie de paralelas, la razón entre dos segmentos de una de las rectas es igual a
la razón entre los segmentos correspondientes de la otra recta.
En el caso de la escena:
OA/OB = OA'/OB'
AB/OB = A'B'/OB'
etc.
Semejanza:
Dos triángulos son semejantes si tiene los lados proporcionales y los ángulos iguales
Dos triángulos son semejantes si cumplen unas condiciones mínimas que se
conocen como criterios de semejanza. Estos son:
- Si dos triángulos tienen los lados proporcionales, son semejantes
- Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, son semejantes.
- Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman
proporcionales, son semejantes.
Ejercicio 11.-Los lados de un triángulo ABC miden 30, 40 y 50 m y los lados de otro
triángulo HIJ son 12, 16 y 20 cm. Estudia si los dos triángulos son semejantes,
justificando tu respuesta.
Ejercicio 12.-Dados los triángulos MNP y M´N´P´ completa los datos de la figura:
P
P´
N´
M
N
P = 70º M = 60º
MP = 14,5 ; PN =16,6 ; MN = 18;
M´
N´= 50 º M´= 60 º
M´N´= 8
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TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a
c
c2 = a2 + b2
b
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, y c. Con lo
que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente: El
área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual
a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es
la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se
muestra:
Partimos del triángulo rectángulo cuya área es 1/2 a b.
A continuación construimos un cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico
anterior
El lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área es:
A = (a + b) 2.
Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es:
A 1 = 4 ( 1/2 a b) = 2 a b
y un cuadrado interior de lado c cuya área es:
A2 = c2
Igualando ambas áreas tendremos:
b
A = A 1 + A 2 ; luego
(a + b) 2 = c 2 + 2 a
por lo que: a 2 +2 a b + b 2 = c 2 + 2 a b y reduciendo términos semejantes: a 2 + b 2
= c2
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Ejercicio 13.-Dibuja un ángulo de 30º en una hoja de papel cuadriculado, y en uno de
sus lados señala los puntos A, A´, y A ´´ Y traza por ellos perpendiculares al otro lado,
que lo cortarán en los puntos B , B´ y B ´´ . En la forma siguiente:
A
A´
A´´
B
B´
B´´
O
Como verás se forman tres triángulos rectángulos semejantes AOB , A´OB´ , A´´O B´´.
Utilizando tu regla y toma las medidas que se indican con la mayor precisión posible:
Ängulo de 30º
cateto opuesto
hipotenusa
cateto contiguo
hipotenusa
cateto opuesto
cateto contiguo
AOB
A´OB´
A´´O B´´
(Cateto opuesto y cateto contiguo al ángulo considerado)
Repite el proceso para ángulos de 45º y 60 º
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2. Consideremos el plano y en él, dos rectas secantes. Como vemos se divide el plano en
cuatro regiones o zonas (iguales dos a dos): pues bien, llamemos ÁNGULO a cada una
de dichas regiones; o de otra forma, si consideramos dos semirrectas con el origen
común, llamamos ángulo a la región limitada por ambas semirrectas.
2
3
1
4
Definición: A cada una de las semirrectas se les llama
lados del ángulo y al origen común, vértice.
´
Como vemos en el dibujo podríamos considerar que
existen dos regiones angulares que comparten los lados y el
vértice; por ello a partir de ahora para saber a qué zona nos
referimos pondremos una especie de arco o curva dentro del ángulo para saber a cuál
nos referimos.
Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal y S.I.
Si al considerar las rectas secantes del comienzo, se forman cuatro regiones
angulares iguales, decimos que las rectas son perpendiculares y a cada trozo lo
llamamos ángulo RECTO.
En principio, este podría ser nuestra unidad de medida, pero al ser muy grande,
la comparación con otros ángulos por lo general serían números decimales menos que la
unidad y por lo tanto poco práctico para trabajar. Por ello, vamos a dividir el ángulo
recto en 90 partes iguales y cada una de ellas le llamaremos GRADO SEXAGESIMAL.
Cada grado lo dividimos en 60 partes iguales que dan lugar al MINUTO
SEXAGESIMAL. Cada minuto se divide en 60 partes y obtenemos el SEGUNDO
SEXAGESIMAL. (SEX.)
Ejercicio 1: ¿Cuántos minutos hay en 5º? ¿Cuántos segundos? ¿Cuántos grados son
14 400’? ¿y 7 280’’?
Sin embargo, existe otra unidad de medida llamada
RADIÁN. Tracemos una circunferencia de centro O y radio a,
decimos que el ángulo POQ mide un radián y escribimos 1 rad si
el arco PQ que abarca mide lo mismo que el radio, es decir, a.
(S.I.).
P
a
O
a
a
Q
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CAMBIO DE UN SISTEMA A OTRO:
El ángulo central completo en SEX tendrá 4·90º = 360º
En el S.I.: por una regla de tres:
Si a un arco con a cm.
para longitud de circunferencia 2a
x=
2 a
a
1 rad
x rad
x = 2 rad.
Ejercicio 2: ¿Cuántos radianes son 30º, 45º, 60º, 90º y 180º ?
Ejercicio 3: ¿Cuántos grados son
3

3
rad,
rad y
rad?
2
4
2
Razones trigonométricas de ángulos agudos.
Consideremos un triángulo rectángulo (con el ángulo recto en C):
Definimos las siguientes razones trigonométricas:
cateto opuesto b

hipotenusa
c
cateto contiguo a
cos Bˆ 

hipotenusa
c
cateto opuesto b
tg Bˆ 

cateto contiguo a
sen Bˆ 
Si observamos la siguiente figura, para esa
abertura del ángulo el
cateto opuesto es siempre la mitad del contiguo, luego la razón entre ellos, siempre se
conserva:
Es decir, las razones, de un ángulo son siempre las mismas, sin importar el
triángulo rectángulo considerado.
Pág. 30
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Lo anterior también se cumple si el triángulo lo
consideramos dentro de una circunferencia de radio c.
Esa situación es la que consideraremos al ampliar el
concepto de razón trigonométrica para ángulos no agudos.
Cálculo de las razones de los ángulos de 30º, 45º y 60º.
A continuación vamos a calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º
y 60º.
Si partimos de un triángulo equilátero (los tres lados
iguales y los tres ángulos iguales, 60º), la altura podría
calcularse por PITÁGORAS:
2
l 2 3l 2
l
h2  l 2     l 2  
4
4
2
Entonces:
h
3l 2 l 3

4
2
l
2  l  1  cos60º
l
2l 2
l 3
2  3  sen 60º
cos30º 
l
2
l
2  2l  1  3
tg 30º 
3
l 3
2l 3
3
2
Si queremos calcular los de 45º, partimos de un cuadrado:
sen 30º 
d 2  l 2  l 2  2l 2
sen 45º 
tg 45º 
30º
l
l 2

d  2l 2  l 2
1
2

 cos45º
2
2
l
1
l
60º
45º
sen
cos
tg
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Uso de la calculadora para el cálculo de las razones trigonometricas:
Solo tienes que escribir el ángulo y después la razón pedida:
(Uso de los registros sin, cos y tan)
sen 45º = ( 45º y pulsar: sin) = 0,707106781
Ejercicio 4.- Obtener con cuatro cifras significativas, usando la calculadora, los valores
siguientes:
sen 23º 12´34´´ =
cos 45º 24´´ 12 ´´ =
tg 65º 23´22´´ =
Uso de la calculadora para el cálculo de un ángulo, conocidas las razones
trigonométricas:
Solo tienes que escribir la razón y después “shift” (recíproca) de la razón pedida:
(Uso de los registros sin, cos y tan)
sen A = 0,707106781,
y quiero saber cuál será el ángulo que tiene por seno 0,70 71 06 781, que en
matemáticas se escribirá:
A = arc sen 0,70716781
Con la calculadora escribiremos 0, 707167 81 a continuación “shift“ “ sin” =, y
aparecerá 45,00494528 que serán grados, y si queremos ver los grados minutos y
segundos º ´´´ , utilizaremos “shift” y “ º ´´´ “, y aparecerá 45º 0º 17,8
Ejercicio 5.- Obtener en grados, minutos y segundos, que ángulos corresponden a las
siguientes razones.
sen B = 0,3973
cos C = 0, 3457
tg D = 1,2345
Ejercicio 6. - Resuelve los siguientes triángulos rectángulos teniendo en cuenta los
datos de las figuras:
C
A
C
C
A
b=10m.
B =35º
B=60º
a=100 m.
B =73º A
c =7m.
Ejercicio 7. - De un triángulo rectángulo en A se conocen el ángulo C = 80º y la
hipotenusa cuyo valor es de 13 cm. Calcula el resto de los valores de ángulos y lados
del triángulo.
Ejercicio 8. - De un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa y un cateto cuyos
valores son 13 y 5 cm., respectivamente Calcula el resto de los valores.
Ejercicio 9. - De un triángulo rectángulo se conocen los catetos cuyos valores son 8 y
6 cm. Calcula el resto de los valores.
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Relaciones fundamentales de la trigonometría.
Deduciremos la FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA:
b
sen Bˆ 
c
Elevando al cuadrado
a
ˆ
cos B 
c
sen2 Bˆ  cos2 Bˆ 
b2
c2

a2
c2

b2  a 2
c2

c2
c2


2
b2
2 ˆ
ˆ
 sen B  sen B  2

c

2

ˆ 2  cos2 Bˆ  a
cos
B

c2




1
Por el T eoremade Pitágoras: c 2  a 2  b 2
sen2 Bˆ  cos2 Bˆ  1
FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA
TRIGONOMETRÍA
 Si tomamos la definición de tangente:
b
b
sen Bˆ
tg Bˆ   c 
a a cos Bˆ
c

dividimos numerador y denominador por c.
sen Bˆ
tg Bˆ 
cos Bˆ
 Atendiendo a las definiciones de cosec Bˆ , sec B̂ y cotg B̂ (razones
trigonométricas inversas a sen Bˆ , cos B̂ y tg Bˆ respectivamente):
cosec Bˆ 
1
sen Bˆ
sec Bˆ 
 A partir de la
TRIGONOMETRÍA
dividimos por
1
cos Bˆ
FÓRMULA
cot g Bˆ 
1
tg Bˆ
FUNDAMENTAL
DE
LA
sen2 Bˆ
Pág. 33
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sen Bˆ  cos2 Bˆ  1
2
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sen 2 Bˆ cos2 Bˆ
1
obtenemos:


2 ˆ
2 ˆ
sen B sen B sen 2 Bˆ
O bien si dividimos por cos2 B̂ , resulta:
sen 2 Bˆ cos 2 Bˆ
1
2 ˆ
2 ˆ


obtenemos:
sen B  cos B  1
2 ˆ
2 ˆ
cos B cos B cos 2 Bˆ
1  cot g 2 Bˆ  cosec2 Bˆ
tg 2 Bˆ  1  sec2 Bˆ
Ampliación del concepto de ángulo. Sentido de giro. Ángulos positivos y negativos.
La interpretación geométrica de ángulo “como región plana” sólo permite expresar
ángulos menores o iguales a 360º.
Supongamos que un móvil se desplaza en una circunferencia de radio r partiendo de A y
girando en sentido contrario a las agujas del reloj.
- Si el móvil se detiene en P,
el arco recorrido es AP y la
región angular la determinada
por AOP.
- Si el móvil no se detiene en P, sigue
girando, pasando por A y parándose en la
segunda vuelta en P, el camino recorrido es
una vuelta entera más el arco AP, es decir,
360º + AP.
- Si el móvil da k vueltas antes
de detenerse en P, entonces el
camino recorrido será
k·360º + AP.
Si el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj, se dice que los
ángulos son positivos y su medida es un número positivo.
Si el sentido de giro es el mismo que el de las agujas del reloj, a los ángulos se
les pone el signo menos delante para distinguirlos de los positivos, y su medida es un
número negativo.
Ejercicio 4:
Expresar los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un
ángulo menor de 360º:
a) 720º
b) 3 000º
c) 900º
d) 1 120º
e) 2 520º
NOTA: Se divide cada ángulo por 360º. El número de vueltas es el cociente y el ángulo menos de 360º es el resto.
5. Las definiciones de seno, coseno y tangente se extienden ahora a un ángulo
cualquiera. Para ello se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas OXY y una
circunferencia con centro en O y radio r. Cada ángulo se representa tomando como
vértice el centro, como lado fijo OX y como segundo lado la semirrecta OA, siendo A el
punto que determina este lado sobre la circunferencia.
Ángulo agudo positivo.
En este caso las razones trigonométricas se definen en el triángulo
OAA’, como se ha hecho anteriormente:
sen  
y
r
cos  
x
r
tg  
y
x
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Razones de un ángulo cualquiera. Reducción a las razones de un ángulo conocido
del primer cuadrante.
Las coordenadas de los puntos A del 2º, 3º y 4º cuadrante no siempre son
positivas, por lo que las razones de los ángulos serán a veces negativas.
Las razones definidas, no dependen del radio de la circunferencia elegida
ya que los triángulos rectángulos son semejantes por tener el ángulo  común.
Los valores del seno y el coseno pertenecen al intervalo - 1,1  , si x = 0 no hay
tangente ( = 90º y  = 270º).
seno
coseno
tangente
1º cuadrante
2º cuadrante
3º cuadrante
4º cuadrante
positivo
positivo
positivo
positivo
negativo
negativo
negativo
negativo
positivo
negativo
positivo
negativo
Finalmente para el razonamiento de las razones de 0º, 90º, º80º, 270º y 360º,
veremos como serían el cateto opuesto y contiguo en un triángulo “límite” donde el lado
se reduce a un punto.
0º
90º
180º
270º
360º
seno
coseno
tangente
Ejercicio 5:
Expresar las razones trigonométricas de 135º, 225º y 315º conocidas las de 45º.
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Ejercicios y problemas de trigonometría.
1. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos A y B de un triángulo
rectángulo cuyos catetos son a = 3 cm y b = 4 cm.
2. Resuelve los siguientes triángulos, si conoces:
a) La hipotenusa a = 6,4 cm. y el cateto c = 3,8 cm.
b) Un cateto b = 10,5 cm y el ángulo B = 60º.
3. Calcula las restantes razones trigonométricas sabiendo que:
4
a) cos 
270º    360º
5
1
b) sen 
90º    180º
3
0º    90º
c) tan  4
1
d) sen  
180º    270º
2
4. Calcula las siguientes razones trigonométricas a partir de las razones conocidas:
a) sen (-120º)
b) cos (-30º)
c) tan (-150º)
d) sen 4 500º

3

e) cos
f) sen
g) tan
h) sen 11
4
6
2
5. Un escalera de 6 m. está apoyada en la pared formando un ángulo de 60º con el suelo.
¿Qué altura alcanza?
6. Una carretera tiene el perfil como se muestra el dibujo. ¿Qué ángulo forma con la
horizontal? ¿Cuánto habremos subido si recorremos 200 m.?
7. Queremos hallar la altura de una torre: observamos desde A con un ángulo de 30º y
desde B con 45º. La distancia AB = 80 m.
8. Desde A y B vemos una antena bajo ángulos de 60º y 30º. La distancia entre A y B es
de 126 m. y la antena está alineada con ambos puntos. Calcula la altura de la antena.
9. Desde la orilla de un río se ve la copa de un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de
60º y si se retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y la
anchura del río.
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REPASO
1.- Desde un faro situado a 120 m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo
de depresión de 35º ¿A que distancia está el barco del faro?
2.-Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 45º y si se
retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y la anchura del
río.
3.- Completa la tabla que sigue sabiendo que   I cuadrante. Razona la respuesta. ( No
utilizar calculadora)

sen 
180  
180  
90  
0,2
cos 
4.- Responde si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:
a) sen  = 1,23
b) cos  = 1,032
c) tg  = 2
Razona tus respuestas.
5.- Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales son 23 y 12 cm.
6.- De un triángulo isósceles se conoce el valor de su altura, 35 m. y el ángulo opuesto a
la base 121 º 23 ´´ Calcula el valor de sus lados, de sus ángulos, su área y perímetro.
7.-Calcula el valor de la apotema de un pentágono regular de 14 cm. de lado.
8.- Desde una altura de 11.000 pies un piloto de un airbus observa la luz del aeropuerto
de Jerez bajo un ángulo de depresión de 44º 21´23´´. Calcula la distancia entre el airbus
y la torre del aeropuerto.
9.- Calcula la pendiente de una carretera que sube 275 m en una longitud de 3 km.
10.- Desde un punto A determinado se ve una torre bajo un ángulo de elevación de 37º,
y si se retrocede 45 m. se ve bajo un ángulo de17º. Calcula la altura de la torre.
11.- ¿Qué es un radián? ¿Cuál es su valor?
Expresa los siguientes ángulos como un número entero de vueltas y un ángulo menor de
360º, e indica el signo de sus razones trigonométricas. Sitúalas en la circunferencia
13
rad . y 900 º
goniométrica:
4
12.- Al crecer un ángulo de 0º a 90º que ocurre con el seno coseno y tangente de dicho
ángulo aumentan o disminuyen. Razona tu respuesta.
13.- Dados los triángulos: ABC y A'B'C' y los siguientes datos A = 38º B = 42º B'=42º
C' = 100º a= 12 cm b=16 cm c = 20 cm a'= 30 cm Estudia si los dos triángulos son
semejantes justificando tu respuesta y completa los datos.
14.- Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y las ramas tienen 12 cm
de longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse.
15.- La longitud de los lados de un octógono regular es de 12 m. Halla su área.
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16.- Calcular el valor “x” en los siguientes casos:
a) sen x = -1/2
c) sen x = 
b) cos 2 x = - 1
3
2
17.-Calcula el lado de un triángulo equilátero de altura 6 cm.
18.- Obtener las razones trigonometricas de
previamente al primer giro.
3425º
los siguientes ángulos reduciéndolas
12437º
390º
Ángulos de 1º giro
Signo del sen 
Signo del cos 
Sitúa los ángulos en la circunferencia gonimétrica
corresponden a los senos y cosenos.
dibujando los segmentos que
19.- La distancia de un cañón a una carretera es de 15 Km. Si el alcance es de 35 Km.,
¿qué longitud de carretera puede barrer el cañón?
20.- Si las dos puntas de las ramas de un compás distan 7 cm., y cada rama mide 12 cm.
Hala el ángulo que forman las dos ramas del compás.
21.-Desde un acantilado, situado a 32 m. sobre el nivel del mar, se divisan dos
embarcaciones. Los ángulos de depresión son de 28º para el velero y de 34º para una
motora. Sabrías calcular la distancia entre ambas embarcaciones.
22.- La base de un triángulo isósceles mide 20 cm. y el ángulo opuesto 80º. Calcula los
lados y el área del triángulo.
23.-La longitud del lado de un octágono regular es de 12 m. Halla los radios de la
circunferencia inscrita y circunscrita.
24.- Desde una nave espacial se ve la tierra con un ángulo de 29º 9´48´´. Siendo el radio
de la tierra 6366 Km., halla la distancia de la nave a la superficie terrestre.
25.-Desde un cierto punto del suelo se ve el punto mas alto de un edificio formando un
ángulo de 31º 22´ con la horizontal. Si nos acercamos 75 m. hacia el edificio, ese
ángulo mide 59º 12 ´32´´. Halla la altura del edificio.
26.- Simplifica las siguientes expresiones trigonometricas.
a) sen 
1

tg
b)
cos2 

1  sen
c) sen3  sen cos2  
27.- ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de su complementario?
Justifica tu respuesta.
28.- Si un ángulo mide 1,5 radianes ¿es mayor o menor que un recto?
29.- Desde un avión situado a 300 metros sobre el nivel del suelo se hacen
observaciones de un lago obteniendo los resultados que se muestran en la figura.
Calcule la longitud del lago.
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Autoevaluación
1.- Define y dibuja dos ángulos complementarios, suplementarios, y consecutivos.
2.- Criterios de semejanza de triángulos.
3.- ¿Qué es un radián? Expresa en radianes 1º y en grados 1 rad.
4.- Verdadero o falso ¿Por qué?
El seno de un ángulo puede ser mayor que uno
La tangente de un ángulo puede ser igual que 1.
El seno de un ángulo puede ser igual a 1
La tangente de un ángulo solo puede ser positiva
5.- ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el seno de su suplementario? ¿Y
entre los cosenos? Justifica tu respuesta.
6.- Comprueba si es verdad que
1  sena
cos a

cos a
1  sena
7.- ¿Cuánto miden los catetos de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que su
hipotenusa mide 10 cm?
8.- Sabiendo que el sen  
3
y que   II cuadrante, calcula las demás razones
5
trigonométricas?
9.- Calcular la longitud de la sombra de la Torre Eiffel ( altura 300 m.) cuando la
inclinación de los rayos solares es de 14º (sobre el horizonte).
10.- Los árboles mas grandes del mundo nacen en el Redwood National Park de
California su altura es mayor que el largo de un campo de fútbol. Encontraremos la
altura de estos árboles con las siguientes mediciones: Desde un determinado punto se
ve la parte más alta de la copa con un ángulo de 44º y si retrocedemos 100 pies se ve
bajo un ángulo de 37º10´. Encontrar la altura de estos árboles en metros.
11.- ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de su complementario?
Justifica tu respuesta.
12.- En un triángulo ABC se conocen el lado BC = 10m., el ángulo ABC = 105º, y el
ángulo ACB que vale 30º. Halla los lados y el área.
13.- Dos lados adyacentes de una parcela en forma de paralelogramo de área 851 m 2
tienen unas longitudes de 30 y 80 metros. ¿Cuál es el valor del ángulo que forman
dichos lados?
14.- Calcula el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10
m
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UNIDAD III. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Manejo de expresiones literales.
Escribe una expresión algebraica que represente las siguientes afirmaciones:
a) Un número impar.
b) La tercera parte del doble un número impar.
c) La triple del cuadrado de un número par.
d) La superficie de un hexágono cuyo lado es el doble de su apotema mas
dos unidades
e) La suma de los cuadrados de cualquier número y seis
f) El cuadrado de la suma de cualquier número y seis
g) El cuadrado del triple de un número.
h) El área de un triángulo que tiene de base el triple de la altura.
i) La mitad del cuadrado de cualquier número más seis.
j) La suma de dos números consecutivos.
k) El doble de la raíz cuadrada de un número
l) La tercera parte del cuadrado de cualquier número.
m) El producto de dos números consecutivos.
n) El volumen de un cilindro de radio x.
o) El precio de una piso es de x € ¿cuánto valdrá después de una subida
del 15%?
p) La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos se diferencian en
2.
q) La diferencia de los cuadrados de un número y su mitad.
r) El cuadrado de la diferencia de un número y su triple.
s) La superficie de un cubo de arista x.
t) Si las dimensiones de un prisma recto rectangular son tres números
consecutivos, ¿Cuál es su área? ¿Y su volumen?
u) Tres números impares consecutivos.
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Definiciones
1.- Términos de una expresión algebraica.
Término de una expresión algebraica es cada uno de los sumandos que constituyen la
expresión algebraica. Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x2 tiene cinco términos que son:
3x2; + 2y;
– 3x;
+ 13;
-5 x2
2.-Coeficientes.
Son los valores numéricos que aparecen en cada uno de los términos de la expresión
algebraica.
Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x
Coeficientes: +3 , + 2 , - 3 , +13 y - 5
3.-Indeterminadas o parte literal.
Son las letras que aparecen en la expresión algebraica.
Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x
Las indeterminadas son x e y
4.-Términos semejantes
Son los términos que se diferencian sólo en los coeficientes.
Ejemplo: 3x2 + 2y – 3x+ 13- 5x2;
Términos semejantes -5 x2 y 3x2 son semejantes
5.-Grado de un término.
Se llama grado al número de factores que forman la parte literal.
Por ejemplo en la expresión 3 x 2 + 2 y – 3 x y z + 13
3x2 ( x · x grado 2 ó segundo grado); + 2y ( y grado 1 o primer grado) ; – 3xy z(x · y · z tercer grado); + 13 (grado
cero)
;
6.-Grado de una expresión algebraica.
Es el mayor de los grados de los términos que lo forman. Ejemplo. Expresión
algebraica de tercer grado o polinomio de tercer grado:
3x3- 2x2 + 4x+13
7.- Polinomios . son expresiones algebraicas del tipo:
a x 3 + b x2 + c x + d
Estas expresiones se llaman polinomios . Un polinomio es una expresión algebraica en
la que los exponentes de la parte literal son números naturales, es decir no hay “x” en
los denominadores.
En general se les nombra con las letras P, Q , R … etc. seguida de un paréntesis en el
que figura la parte literal, en la forma P (x), Q (y) … se leen “ p de x”, “ q de y” etc.
Ejemplos:
1) Polinomio de primer grado: P(x) = 3 x – 2
2) Polinomio de tercer grado: P (x) = 2 x3 + 2x2 – 5 x +2
3) Polinomio de cuarto grado: P ( x) =3+2 x2 – 6 x4
Los polinomios de los ejemplos 1 y 2 se dicen completos y ordenados porque figuran
todos los grados en orden decreciente de la parte literal, y el ejemplo 3 se dice
incompleto y desordenado, ya que le faltan los términos de primero y tercer grado.
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Ejercicio 1.- Escribe un polinomio de cuarto grado, en una indeterminada, completo y
además que el coeficiente del término de tercer grado sea 3, el coeficiente del término
de cuarto grado sea –4, el coeficiente del término de segundo grado sea -8, el
coeficiente del término de primer grado sea 2 y el de grado cero 9.
Ejercicio 2.- Escribe un polinomio de tercer grado completo, en una indeterminada, y
además con el coeficiente del término de segundo grado sea – 4, los términos de primer
grado y tercer grado tenga los coeficiente iguales a 1/3 y el término independiente –19
Valor numérico de un polinomio o expresión algebraica es el valor que toman estas
expresiones cuando se sustituyen las letras por números.
Ejemplo: Valor numérico del polinomio P(x)= x2- 3 x–2 para x = -2.
Se escribe: P (x) = x2 –3 x –2;
Para calcular el valor x = -2 se escribe P(-2) y se lee “ p de -2”
P(-2) = (-2)2 – 3 ·(-2) – 2 = 4+ 6 –2 = 8
Luego el valor de la expresión algebraica cuando la x vale -2 es 8. En matemáticas
esto lo escribimos de la siguiente forma: P(-2) = 8.
Ejercicio 3.-Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios:
1
P(x) = -2 x 2 + 7 x - 1 Calcula:
P(- ), P ( -1) y P( 0)
2
2
Q(x) = x 2 –2 x – 2 x 3 Calcula:
Q(  ), Q (-2) y Q ( -1)
3
1
1
R(x) = - 2 x + 3 x 3+
Calcula:
R(  ), R ( -2 ) y R ( -1)
3
2
Operaciones con polinomios.
Suma y resta de Polinomios
Los términos de un polinomio se pueden sumar sólo si son semejantes (Son los
términos que se diferencian sólo en los coeficientes).
Ejemplo: Suma los términos semejantes:
x - 3 x + 7 x2 – 10 x +5 - 4 x2 - 9 =
En esta expresión o polinomio los términos semejantes son: x, -3 x y - 10 x. Sumamos
pues los coeficientes 1 - 3 – 10 = -12
Otros términos semejantes son + 7 x 2 y - 4 x 2. Sumamos los coeficientes + 7 - 4 = +3
Otros términos semejantes son + 5 y -9 . Sumamos +5 – 9 = -4
La solución sería: x - 3 x + 7 x 2 – 10 x + 5 - 4 x 2 – 9 = - 12 x + 3 x 2 – 4
Ejercicio 4 . Reducir términos o sumar términos semejantes.
a) 2 x 2+ 2/3 x 3- 2 x 2- 8 x 3 - x 2=
b) y –2 y - 1 - 8 y 2 – y – y 2 +2 =
2
2
c) –9 + y - y - 2 y + 2 y – 3 =
d) 2 x 2 – 3 x - 2/3 + x 2 - 4 x 2 – x3 - 1=
Producto de términos. Para multiplicar los términos de una expresión algebraica se
multiplican primero los coeficientes y después la parte literal.
Ejemplo: -3x2 · 10 x = -3 · 10 · x2· x = - 30 x2+1 = - 30 x3
Ejercicio 5. Calcula los siguientes productos:
1
2
a)  x2 · -5 x3 · x = b) x · - x · 3 x 3 =
7
3
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Productos: a) El producto de un polinomio por un término se obtiene multiplicando el
término por cada uno de los términos de la expresión algebraica (recuerda cómo se
multiplican términos).
Ejemplo: (Fíjate bien)
( 2x2 – 3x + 12 ) · 2x3 = 2x2 · 2x3 – 3x · 2x3 + 12 · 2x3 = 4x2+3 – 6x1+3 + 24x3 =
= 4x5 – 6x4 + 24x3 .
Ejercicio 6.- Realiza los siguientes productos:
a) (-x 2 + x – 2) · - 3 x 2 =
b) 2 x ( 3 x2 – 7x 3 ) =
2
1
3 2
x – 2) · - x2 =
d) y (4 y – y2 ) =
3
5
2
Productos de dos polinomios . Es el resultado de multiplicar todos los términos de un
de ellos por todos los términos del otro.
c) (-
Ejemplo: ( - x2 + 2 x – 8 ) · ( 2 x2 - 3 ) = Para llevar acabo esta operación es más
cómodo disponer los términos como en una multiplicación numérica:
- x2 + 2 x – 8
2 x2 - 3
+ 3 x 2 - 6 x + 24
-2 x + 4 x - 16 x 2
4
3
(resultado de multiplicar - 3 · (- x 2 + 2 x
– 8)
(resultado de multiplicar +2 x · (-x + 2 x – 8)
2
2
- 2 x 4 + 4 x 3 - 13 x 2– 6 x + 24
Ejercicio 8. Realiza los siguientes productos:
a) (x3 – 4 x + 1) · (x2 - 2x ) =
b) ( - x2 – 3 x - 2 ) · ( 5 x - 5 ) =
c) (5x – 5) · (5x – 5) =
d) (- x4 +3 x 3 - 2x - 3) · (x2 – 2 x) =
Ejercicios 9.- Calcular
a) (3x -2)2 + 2 ( x 2 – 3 x + 4) – (3 x 2 – 5 x) 2 =
b) 2 x ( x- x 2) – 3 ( x +2 ) ( x – 2) + 3 ( 2x 3 + 2x) =
c) (3 x 2 + 2 ) 2 x – 2x ( x + 3)2 – 3 ( x + 2) =
División de polinomios.- Veamos tres casos:
1.-Cociente de dos términos.
Para dividir dos términos se dividen los coeficientes y después se divide la parte
8x 3
2x 5 2 3
2
 4x ;
 x
literal:
Ejemplo:
2x
3x 2 3
Condición: para dividirlos es necesario que el grado del numerador sea  que el grado
del denominador.
2.- Cociente de un polinomio por un término:
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Para dividir P(x) entre un término se divide cada uno de los términos del P(x) entre el
término divisor:
x 5 4x3 2x 1 4


 x  2x 2  1
Ejemplo: x 5  4 x 3  2 x   2 x 
2x 2x 2x 2
3.- Cociente entre dos polinomios.
Veámoslo con un ejemplo:
(2x 5  2x 3  4x  4)  (4x 2  8x  4) 
1.- Colocamos el dividendo y el divisor ordenados, teniendo en cuenta que en el
dividendo colocaremos espacios en los términos ausentes. Y después
2x 5 1 3
 x que es el primer término del cociente.
a) Dividimos:
4x 2 2
1 3
x ( 4 x 2- 8 x + 4) = 2 x 5 + 4 x 4 + 2 x 3 y lo restamos al
b) Multiplicamos
2
dividendo, por lo que le cambiaremos el signo: - 2 x 5 - 4 x 4 - 2 x 3
2 x5 +
-2 x 3 +
-4x +4
-2 x 5 + 4 x 4 – 2 x 3
4x2–8x+4
1 3
x
2
+ 4 x 4 – 4 x3
2.- Añadimos los demás términos del dividendo.
4x 4
 x 2 que es el segundo término del cociente.
a) Dividimos:
2
4x
b) Multiplicamos x 2 ( 4 x 2- 8 x + 4) = 4 x 4 - 8 x 3 + 4 x 2 y lo restamos al dividendo
por lo que le cambiaremos el signo: - 4 x 4 + 8 x 3 - 4 x 2
2 x5 +
-2 x 3 +
-4x +4
4x2–8x+4
1 3
x +x2
2
-2 x 5 + 4 x 4 – 2 x 3
+ 4 x 4 – 4 x3+
-4 x + 4
4
3
2
- 4x +8x –4x
+ 4 x 3 - 4 x2 – 4 x + 4
3.- Añadimos los demás términos del dividendo.
4x3
 x que es el segundo término del cociente.
a) Dividimos:
4x 2
b) Multiplicamos x ( 4 x 2- 8 x + 4) = 4 x 3 - 8 x 2 + 4 x y lo restamos al dividendo
por lo que le cambiaremos el signo: - 4 x 3 + 8 x 2 - 4 x
2 x5 +
-2 x 3 +
-4x +4
4x2–8x+4
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1 3
x +x2 +x
2
-2 x 5 + 4 x 4 – 2 x 3
+ 4 x 4 – 4 x3+
-4 x + 4
- 4 x 4 + 8 x 3 – 4 x2
+ 4 x 3 - 4 x2 – 4 x + 4
- 4 x3+ 8 x2- 4 x
+4x2–8x +4
4.- Añadimos los demás términos del dividendo.
4x 2
 1 que es el segundo término del cociente.
a) Dividimos:
4x 2
b) Multiplicamos 1 ( 4 x 2- 8 x + 4) = 4 x 2- 8 x + 4 y lo restamos al dividendo por lo
que le cambiaremos el signo: - 4 x 2 + 8 x - 4
2 x5 +
-2 x 3 +
-4x +4
-2 x 5 + 4 x 4 – 2 x 3
4x2–8x+4
1 3
x +x2 +x+1
2
+ 4 x 4 – 4 x3+
-4 x + 4
- 4 x 4 + 8 x 3 – 4 x2
+ 4 x 3 - 4 x2 – 4 x + 4
- 4 x3+ 8 x2- 4 x
+4x2–8x +4
-4x +8x -4
0
Ésta es una división exacta, ya que el resto es cero. El proceso de la división se puede
continuar hasta que el grado del dividendo sea mayor o igual que el divisor, si no fuese
así NO podremos continuar, y la división habrá terminado.
También sabemos que la división es correcta cuando:
Dividendo = divisor · cociente + resto
Es decir: P(x) = d(x) ·Q(x) + R(x).
En este caso podremos escribir:
1

2x5+ 2x3 – 4 x + 4 = (4 x2 – 8x + 4 )·  x 3  x 2  x  1 + 0 ;
2

Ejercicio 9.- Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
( 4 x 3- 3 x 2 + 2 x – 1 )  ( x 2 – 3 ) =
( x -3 x 2 + x 3 -1 )  (x 2- x + 1) =
(4 x 3- 2 x 2 + 3)  (2 x 2 -3) =
(3 m 2 – 5 m 3 – 1 + m 4 – 4 m )  ( 3 – 4m + m2) =
(2x 5- 3 )  (2 x2 – 4 ) =
(x 6 – 3 x + x 3 – 3 )  (x 2 – 3 x) =
(x 5 – 3 x3 - x 2 + 1)  ( x 2 – 2 x + 1) =
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Divisiones por x – a. Regla de Ruffini. Esta es una regla para dividir polinomios
siempre que el divisor sea del tipo x  a, y que reduce los cálculos de forma apreciable.
Por ejemplo: (6 x 3 – 4 x 2 + 5 x + 6)  (x – 2)=
Regla de Ruffini.
El proceso consiste en colocar los coeficientes del dividendo de forma ordenada, y
colocando ceros en los términos ausentes, y en el extremo izquierdo el opuesto del
término independiente del divisor.
6
+2
6
-4
+
12
8
+5
+
16
+6
21
48 = resto
+
42
a) Los números 6 , - 4 , + 5 , +6 son los coeficientes del dividendo.
b) El número +2 del extremo izquierdo resulta de cambiar el signo del término
independiente del divisor x – 2.
c) El primer número seis es siempre el coeficiente del término de mayor grado.
d) Los números 12, 16 42 resultan de multiplicar por +2: 6 , 8 , 21
e) Los números 8 y 21 resultan de sumar a los coeficientes 12 y 16.
Ejercicio 10.- Utilizando la división clásica, divide (6 x 3 – 4 x 2 + 5 x + 6)  (x – 2).
¿Sabrías explicar los resultados de la regla de Ruffini? ¿Qué significan los números 6, 8
y 21? ¿De qué grado será el cociente?
Ejercicio 11.- Utilizando la regla de Ruffini halla el cociente y el resto de las
siguientes divisiones:
a) ( x 2 – 3 x 3 – x + x 5 + 1 )  ( x + 1) =
b) (4 x 3 – x 5 + 32 - 8 x 2 )  (x + 2) =
c) ( x 3 – x 2 +11x – 10)  (x – 2 ) =
d) ( 8 x 3- 3 x + x 4 + 20 + 12 x 2 )  ( x + 3 ) =
e) ( x 5 + 1 )  (x + 1 ) =
Relación entre el valor numérico y la división de un polinomio x  a
Teorema del resto.- A veces conviene conocer el valor del resto de la división
P(x)  (x - a ), sin necesidad de conocer el cociente, es decir sin hacer la división.
El teorema del resto nos dice que el resto de la división P(x)  (x – a), coincide con
el valor numérico de P(x) para x = a.
Es decir el resto de la división P(x)  (x – a) , es igual que P(a).
En efecto: Si sabemos que al dividir P( x ) , entre x – a , nos dá Q(x) de cociente y R
de resto, podemos escribir que:
P(x) = Q(x) · (x – a) + Resto
Y si hallamos P(a), es decir sustituimos x = a , en la expresión anterior tendremos;
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P(a) = Q(a) · (a – a) + Resto
Como (a- a) = 0, entonces
0
Q(a) · 0 = 0, y por lo tanto P(a) = Resto
Ejemplo: El resto e la división de (3 x 3 – 2 x + 4)  (x – 2) es:
P(x) = 3 x 3 – 2 x + 4
de la división será 24.
luego
P (2) = 3 · (2) 3 – 2 · 2 + 4 = 24, por lo tanto el resto
Ejercicio 12.- Demuestra el Teorema del Resto para el caso de la división
P(x)  (x + a).
¿Se puede aplicar el teorema del resto en cualquier tipo de división?
Ejercicio 13.- Calcula el resto sin hallar el cociente en las divisiones siguientes
a)
2x
2

 3x 3  5  x  1 
1

b)  x  2 x 2  x 4   x  2 
2

4
3
c) ( 2 x + 3 x - 4 x 2 + x – 18 )  ( x – 2) =
d) (10 x 3 – 15 )  (x + 5 ) =
Raíces de un polinomio.
Un número “a” es una raíz de un polinomio P(x) si el valor numérico de P (x) para
x = a, es cero.
Ejemplo: Dado el polinomio P(x) = x 2 – 5 x + 6, comprueba si x = 3, x = 2, x = -1 son
raíces de dicho polinomio. Es decir comprueba si P (3), P (2) o P (-1) son ceros.
Veámoslo: P (3) = (3)2 - 5 (3) + 6 = 0, luego x = 3 es una raíz
P (2) = (2)2 – 5 (2) + 6 = 0, luego x = 2 es una raíz
P (-1) = (-1)2 – 5 (-1) + 6 = 12, luego x = -1 no es una raíz
Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio de grado “n” admite “n” raíces
reales o complejas.
Este teorema nos permite afirmar que todo polinomio de grado “n”admite como
máximo “n” raíces reales.
Estas raíces pueden ser:
Simples. Si son todas distintas entre sí.
Dobles. Si el polinomio admite dos raíces iguales.
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Por ejemplo: P(x)= x3- 1 = (x -1) (x2+ x +1), P (1) = 0, luego x = 1 es una raíz simple
P(x)= x2-2x + 1 = (x-1) (x-1), x = 1 raíz doble.
¿Cómo podemos encontrar las raíces de un polinomio?
Veamos sólo un caso: cuando el polinomio tiene coeficientes enteros las raíces enteras
son divisores del término independiente.
Es decir, el polinomio P(x) = x 2 – 5 x + 6, este polinomio de segundo grado tendrá,
como máximo dos raíces reales, y las posibles raíces enteras serán los divisores de 6,
que son  1,  2,  3,  6 . Ahora deberíamos probar para ver si alguna de ellas hace
que el valor numérico del polinomio sea cero.
Vamos a demostrarlo para un polinomio de segundo grado, aunque es valido para
cualquier polinomio de coeficientes enteros:
Sea P(x) = x 2 – 5x + 6
Supongamos que x = a es una raíz, “a” , de dicho polinomio, luego P(a) = 0
P(a) = a 2 – 5 a + 6 = 0
Si sacamos factor común “a” nos quedará:
a(a–5)+6=0
Como “a” es un número entero también lo será
( a – 5)
Llamaremos “c”,
( a – 5) = c
Luego dónde escribimos a ( a - 5 ) + 6 = 0 escribiremos : a · c + 6 = 0
Y despejando
c
6
a
luego la raíz entera “a” es un divisor del término
independiente
Ejercicio 13.- Escribe las posibles raíces enteras de los siguientes polinomios:
a) P( x) = x 2 – 4
b) Q(x) = 5 x - 3 x 3 +8 x 2 - 6
c) R(x) = 4 x 2 - 8 x + 4
Factorización.
Divisibilidad de un polinomio. Factorización.
La condición para que un polinomio P(x), cualquiera sea divisible por un binomio
de la forma x - a, es que P(a) =0, ya que esto quiere decir que el resto de la división
es cero, y por tanto P(x) es múltiplo de x - a:
Es decir que: P(x)
0
x–a
Q(x)
luego:
P(x) = Q(x) · (x-a)
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Veamos un ejemplo de factorización de polinomios, dado el polinomio:
P(x) = x 3 + 2 x 2- x - 2
Las posibles raíces enteras como hemos vistos son los divisores del término
independiente que son  1,  2 . (este polinomio es de tercer grado luego como
máximo podrá tener tres raíces enteras).
Probemos con +1, para ello dividamos por x -1, utilizando la regla de Ruffini:
+1
+2
+1
+3
+1
+1
-1
+3
+2
-2
+2
0 = resto
Hemos dividido P(x) entre x – 1, nos da cociente Q1(x) = x 2 + 3 x + 2 y de resto 0,
Luego podemos escribir: x 3 + 2 x 2- x – 2 = (x- 1) · (x 2 + 3 x + 2), y así hemos
factorizado el polinomio.
Ahora factoricemos el cociente Q(x) = x 2 + 3 x + 2, cuyas raíces enteras son también
divisores de 2, que son  1,  2 .
Probemos con -1, para ello dividamos por x + 1, utilizando Ruffini
+1
-1
+1
+3
-1
+2
+2
-2
0= resto
Hemos dividido Q1(x) entre x +1, nos da cociente Q2(x) = x + 2 y de resto 0,
Luego podemos escribir: (x 2 + 3 x + 2) = (x + 1) · (x + 2), y así hemos factorizado el
polinomio.
Y sustituyendo en la expresión:
x 3 + 2 x 2- x – 2 = (x- 1) · (x 2 + 3 x + 2) = (x – 1) ( x + 1) ( x + 2)
Luego hemos descompuesto el polinomio P(x) en un producto de tres factores, es
decir hemos factorizado el polinomio.
Ejercicio 14.- Factoriza los siguientes polinomios.
a) x 3 –x 2 – 4 x + 4 =
b) x 3 - 5 x 2 –x + 5 =
c) x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6 =
d) x 4 – 1 =
Ejercicio 15.- Factoriza los polinomios siguientes, sacando factor común.
a) x 4 – 5 a x 2 =
b) 3 a z – b z 2 + 6 z 3 = c) – x + x 2 - x 3 + x 4 =
d) 6 b – 36 b 2 =
e) 49 x 2 – 21 a x + 42 x 3 = f) 2 a x 2 – 4 a 2 x + 12 a x =
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Ejercicio 16.- Descompón en factores los siguientes trinomios:
(Recuerda los desarrollos de: (a + b ) 2 , (a – b ) 2 )
a) x 2 + 4 x + 4
b) x 2 - 4 x + 4
d) 9x 2 +6 x + 1
e) 4 x4 + y 4 + 4 x2 y 2
c)
1 2
 x  x2
9 3
f) 9+ x 4 – 6 x 2
Ejercicio 17.- Descompón en factores los siguientes binomios.
(Recuerda: a2 – b 2 = (a – b) ( a + b) )
a) x 2 -9
b) 4 x 2 - 9
c) x 2 – 1
d) 1 – x 4 =
e)
a2 b2

9 25
Pautas a seguir en la factorización de polinomios:
1) Extraer factor común.
2) Identificar los productos notables.
3) Estudiar los divisores del polinomio, dividir y factorizar.
Polinomios irreducibles: Un polinomio se dice irreducible cuando no puede
descomponerse en producto de polinomios de grado mayor o igual que uno, en caso
contrario se dice reducibles.
De la definición se deduce que todos los polinomios de grado cero o uno son
irreducibles
Ejercicio 18.- Factorizar
a) x 5 – 16 x =
b) 3 x 3 – 12 x 2 – 15 x =
c) 18- 2 x 2 =
d) 20 + 20 x + 5 x 2 =
e) x 6 - 1 =
f) x 4 + x 3 – 16 x 2 – 4 x + 48 =
Máximo común divisor y minino común múltiplo de dos polinomios
Vamos a generalizar los conceptos de máximo común divisor y mínimo común
múltiplo de dos números enteros.
El proceso es similar al realizado en los números enteros.
Máximo común divisor de dos polinomios: Vamos a llamar m .c. d. de dos o mas
polinomios a un polinomio de grado máximo que sea divisor de los polinomios.
Si el máximo común divisor es una constante se dice que son primos entre sí.
Veamos con un ejemplo su cálculo.
Ejemplo: Calcular el máximo común divisor de los polinomios siguientes:
P(x) = x 2 + x + 2
Q(x) = 2 x 2 – 2
Descomponemos los polinomios en productos de factores siguiendo las pautas de
factorización.
Supongamos que realizamos estas operaciones y los resultados son los que siguen:
P(x) = x 2 + x - 2 = (x-1) ( x + 2)
Q(x) = 2 x 2 – 2 = 2 ( x-1 ) ( x+1)
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El m.c.d. se obtiene multiplicando los factores comunes elevados a los menores
exponentes:
Luego m.c.d. (P(x) ,Q(x) ) = x - 1
Ejercicio 19.- Halla el m.c.d. de los polinomios: P(x) = x 2 + x - 12; Q(x) = x 3 – 9 x
Ejercicio 20.- Halla el m.c.d. de los polinomios: P(x) =x 3 + x 2 - x - 1; Q(x) = x 3 – x
Mínimo común múltiplo Se llama m.c.m. de dos o mas polinomios a un polinomio de
grado mínimo que sea múltiplo común de ambos.
Veamos con un ejemplo su cálculo:
Calcular el m.c.m. de los polinomios:
P(x) = x 2 – x – 6 ;
Q(x) = x 2 – 6 x + 9
Descomponemos los polinomios en productos de factores siguiendo las pautas de
factorización.
Supongamos que realizamos estas operaciones y los resultados son los que siguen:
P(x) = x 2 – x – 6 = (x-3) ( x + 2)
Q(x) = x 2 – 6 x + 9 = (x- 3 )2
El m.c..m. se obtiene de multiplicar los factores comunes y no comunes con mayor
exponente :
Luego el m.c.m. ( P(x) , Q(x) ) = (x + 2) ( x – 3) 2
Ejercicio 21.- Halla el m.c.m de los polinomios: P(x) = 2 x 2 –x – 3; Q(x) = x 2 + 2 x + 1
Ejercicio 22.- Halla el m.c.m de los polinomios: P(x) = 2 x +x 2 + 1; Q(x) = x 2 - 1
Fracciones Algebraicas.
Una fracción algebraica es una expresión del tipo
P( x)
Q ( x)
siendo Q( x)  0
Ejercicio 23 .Escribe tres fracciones algebraicas.
Fracciones equivalentes. Simplificar.
Si se multiplican o dividen el numerador y denominador de una fracción algebraica por
un mismo polinomio se obtiene otra fracción algebraica equivalente.
Aplicando esta propiedad podemos simplificar una fracción, dividiendo sus dos
términos por un divisor común, si los tiene.
Cuando una fracción no se puede simplificar mas se dice irreducible
Ejemplo:
12x 3 y 3x 2

2y
8 xy 2
( x  2) 2
( x  2) 2
x2


2
( x  2)(x  2) x  2
x 4
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Ejercicio 24.- Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a)
3xy  3x 2

12xy
b)
2 x 2  50
4( x  5) 2
c)
3x  3 y
x2  y2
d)
x3  x 2  x  1
x4 1
Valor numérico de una fracción algebraica.
Es el valor que resulta de sustituir las letras por sus valores numéricos respectivos:
Ejemplo:
2x  3
para x = 2 ;
x2 1
2 x  3 2·2  3 1


x 2  1 22  1 5
Ejercicio 24.- Calcula el valor numérico de la fracción:
2x 2  1
para x = -1
x3
Puede ocurrir que la fracción algebraica no esté definida para un determinado valor de
x, por ejemplo la fracción:
2x 2  1
2 x 2  1 2·9  1 19

no está definida para x = -3, ya que
=
y como sabemos la
33 0
x3
x3
división entre “0” no es posible.
0
, en
0
ese caso la fracción se dice INDETERMINADA. Cuando esto ocurre, el hecho de
que dicho valor anule simultáneamente al denominador y numerador, supone que
“a”, es una raíz y dichos polinomios serán divisible por x - a, por lo tanto
podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción y por consiguiente
podemos simplificar.
También puede ocurrir que cierto valor de x =a, haga que la fracción sea
Veamos un ejemplo: Calcular el valor de numérico de :
x 2  6x  8
x 2  6x  8
2 2  6·2  8
0
para
x

2


;
3
2
3
2
3
2
x  5x  7 x  2
x  5 x  7 x  2 2  5·2  7·2  2 0
Como x 2 – 6 x + 8 se anula para x = 2 , es divisible por x- 2
1
2
1
-6
2
-4
8
-8
0 = resto
x 2 – 6 x + 8 = (x-2) (x- 4)
Como x 3 – 5 x 2 + 7 x - 2 se anula para x = 2, es divisible por x- 2
1
2
1
-5
2
-3
+7
-6
1
-2
2
0 = resto
x 3 – 5 x 2 + 7 x - 2 = ( x -2) ( x 2 – 3 x + 1)
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Ahora podemos simplificar la fracción algebraica:
x 2  6x  8
( x  2)((x  4)
x4

 2
3
2
2
x  5x  7 x  2 ( x  2)(x  3x  1) x  3x  1
Y ahora en esta fracción equivalente a la anterior calculemos su valor numérico para
x=2
x4
24
 2
2
2
x  3x  1 2  3·2  1
A este valor numérico obtenido a partir de la fracción anterior se le llama verdadero
valor de la fracción dada.
Ejercicio 25.- Halla el verdadero valor de las fracciones siguientes:
x 2  3x  2
x2  4
para x  1
para x  2
a)
b)
x 1
x  5x  6
x 3  2 x  3x 2  6
x3  4x
para x  3
para x  0
c) 3
d) 4
x  3x  9  3x 2
x  x 2  2x 3
x 2  2x  1
x 2  5x  6
para
x

1
para x  2
e)
f)
x2 1
x 2  6x  8
Suma de fracciones algebraicas.
Para sumar fracciones algebraicas procedemos de la misma forma que procedemos en
las fracciones numéricas.
a) Si tienen igual denominador, su suma es una fracción con el mismo denominador y
el numerador es la suma de los numeradores.
b) Si tienen distinto denominador, se halla el mínimo común denominador y después se
suman como en el caso a)
Veamos unos ejemplos:
Ejemplo 1:
2 x 3x  2 x 2 2 x  (3x  2 x 2 ) 2 x  3x  3x 2  x  3x 2




a)
1 x
1 x
1 x
1 x
1 x
3x
2
3x(1  x)  2(1  x) 3x  3x 2  2  2 x 3x 2  x  2
b)




1 x 1 x
(1  x)(1  x)
1 x2
1 x2
1- x=1–x
1+x=1+x
c)
luego el mínimo común denominador será el producto de AMBOS
x
2
x2
x( x  3)  2( x  3)  x 2 x 2  3x  2 x  6  x 2 5x  6

 2


 2
x 3 x 3 x 9
( x  3)(x  3)
x2  9
x 9
x -3 = x -3
x +3 = x +3
x 2 -9 = (x- 3 ) ( x +3)
luego el mínimo común múltiplo será ( x-3) ( x + 3)
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Ejercicio 26.- Efectúa las siguientes adiciones de fracciones algebraicas:
a)
x x 1 x  y y


 
2 y 3y
6y
4
b)
1 x 1 x
x2


1 
1 x 1 x 1 x2
c)
3 x
2x
x 1



x
x  1 3x
d)
x2
x2
3 x



6x  6 2x  2 4x  4
Multiplicación de fracciones algebraicas.
Dadas dos o más fracciones algebraicas, se llama fracción producto a la que tiene por
numerador el producto de los numeradores y como denominador a los productos de los
denominadores de las fracciones dadas.
Es decir:
P( x) R( x) P( x)·R( x)
·

Q( x) S ( x) Q( x)·S ( x)
Nota: La fracción producto es conveniente simplificarla, por lo que mantendremos los productos indicados.
Ejemplos:
x 1 x
( x  1)·x x  1
·


a)
x x  1 x( x  1) x  1
3x
x3
3x( x  3)
3x( x  3)
3
b)
· 2 


2
2
2x  6 x
2x
(2 x  6)·x
2( x  3)·x
Ejercicio 27.- Efectúa los siguientes productos de fracciones algebraicas:
6 x xy  y 2
( x  y) 2 x  y
a) 2
b)
·

·

x y
3xy
x  y2 x  y
4
x 3  16x
·

c)
x4
2x 2

x  x 2  xy
d) 1   ·

y  2y2

División de fracciones algebraicas.
El cociente de fracciones algebraicas se obtiene multiplicando la fracción dividendo por
la fracción inversa del divisor.
Es decir:
P( x) R( x) P( x)·S ( x)
:

Q( x) S ( x) Q( x)·R( x)
Ejemplo:
3x 2
x2  x
3x 2 x 2  y 2
3x 2 ( x 2  y 2 )
3x 2 ( x  y)(x  y) 3x( x  y)
: 2

·



x  y x  y 2 x  y x 2  x ( x  y)(x 2  x)
( x  y) x( x  1)
x 1
Ejercicio 28.- Efectúa las siguientes divisiones:
a)
3x  3
x y
 2

12  12x x  y 2
b)
1  x 2  2x x  1


x 1
x2 1
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REPASO
1.- Realiza las siguientes divisiones:
4
 3

b) ( 5 a 3 b2 c) : ( 2 a 2 b2) = c)  x 3 y 4 z    x 2 yz  
3
 5

2

 2 
d) ( 2 x 4- 3 x 2 + 5 x 3 – 3 x) : ( 2 x) =
e)  x 4  x 2  3x 3    x 2  
3

 3 
2.- Calcula el cociente y el resto de cada una de las siguientes divisiones:
a) ( 4 x y 2) : ( 2 x y) =
a) ( - 3 x 2 + 4 x 3 + 2 x – 1) : ( x 2 –3) =
c) ( 4 x 3 – 2 x 2 + 3 ) : ( 2 x 2 – 3) =
b) ( x – 3 x 2 + x 3 –1 ) : ( x 2 –x +1) =
d) ( 2 x 5- 3 ) : ( 2 x 2 – 4) =
3.- Calcula el resto sin hallar el cociente de las siguientes divisiones:
1

a) ( 2 x 2 – 3 x 3 + 5 ) : ( x –1) =
b)  x  2 x 2  x 4  : ( x –2) =
2

4.- Calcula "m" para que el resto de la siguiente división sea 3:
( 2 x 2 – 3 m x + x 3 –2 ) : ( x –1) =
5.- Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) ( x 3- x 2+ 11 x – 10) : ( x – 2) =
b) ( 8 x
3
– 3 x + x 4 + 20 + 12 x 2) : ( x + 3)=
6.- Descompón en factores:
a) 2 5 x 2 – 9 y 2 =
b) x 3 + 1 =
c) 12 – 3 x 2 =
d) 1 – x 6 =
e) 4 x – x 2 – 4 =
f) x 2- 3 x + 2 =
g) x 3 – 4 x =
h) x 5 – 3 x 4 + 2 x 3 =
i) 32 x 2 –18 =
j) 9 x 2 – 3 x =
k) 1 0 x 2 y – 25 x y 2 =
l) –x + x 2 – x 3 + x 4 =
7.- Averigua si son exactas las siguientes divisiones:
a) ( x 4 – 81 ) : ( x –3 ) = b) ( x 6 –64) : ( x +2) =
c) (x 3 + 27 ) : ( x +3) =
8.- Halla el m.c.m. de los polinomios de cada uno de los apartados siguientes:
a) a 2 – b 2 , (a + b) 2
b) a 2 –1,
a2 + 2 a + 1 ,
a3 + 1
c) x 2 – y 2 , x 2 – 2 x y + y 2, x 2 – x y
9.- Halla el valor de k para que el polinomio P(x) sea divisible entre x-1:
P(x) =2 x 3 + k x 2 + x + 2
10.- Halla el valor de m para que el polinomio Q ( x) sea múltiplo de x –3
Q ( x) = x 3 – 5 x 2 + m x – 3
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11. - En algunos de los siguientes ejercicios puede que se hayan cometido errores,
corrígelos:

a) x 2  2 y 2
  x
2
4
d) 2 x 2  3x  5x 3

2
 4 y 4 ; b) a 2  b 2  a  b
2 y
y
e) 2 y  4  6 y f)
2
c) (3x 2  y)(3x 2  y)  3x 4  y 2
3
5
g)  2 
2
2
2 y 6 y
i) 3

3
 3 
12.- Escribe en lenguaje algebraico, las siguiente informaciones relativas a la base x y
la altura y de un rectángulo.
a) La base es la mitad de la altura
b) La base excede en seis unidades a la altura
c) La altura es tres cuartos de la base
d) La base es a la altura como cinco es a dos
13.- Efectúa las siguientes operaciones:
b) (2 – 3 x)2+ (3 + 5 x)2- (4 – 2 x)2
a) 3 · (2 x + y -3 z)2
14.- Siendo P(x) = 1/2 x 2 – 3 x;
Q (x) = 2/ 5 x + 1 /2
Calcula: a) P(x) · Q(x) =
b) P(x) – 2 Q(x) 2
15.- Saca factor común en las siguientes expresiones algebraicas:
a) 2 x - 2 x 2 =
b) 3 x y - 9 x y 3 =
c) 12 x - 2 x 3 – 12 x2 =
2
2
d) a – 12 a – 2 a = e) 12 x y - 23 y =
16.- Utilizando los productos notables factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
a) x 2 – 4 =
e) 9 x 2 -12 x + 4 =
h) x 4 – 81 =
b) x 2 – 4 x + 4 =
c) 1 – x 2 =
f) 16 x 2+ 16 x 3+ 4 x 4=
i) 9 – 6 x 2 + x 4 j) 1 – y 4 =
d) y 4 + 16 + 8 y 2=
g) x 2 -22x + 121 =
k) 25 x2 – y 4 =
17.- Divide por el método mas adecuado:
a) (x 5 + 3 x 3 – x -- 8)  (x 2-- 2 x + 1) = b) ( 6 x 5 – 4 x 3 + 2 x )  ( ( x -2) =
18.- ¿Cómo podrías calcular el resto de la siguiente división sin realizarla? ¿En que
teorema te basas? Enunciadlo.
( x 3 – 2 x 2 – x + 3)  ( x +1)
19.- Calcula el valor de “a” para que x + 2 sea un divisor del polinomio P(x) = 3 x 2 –
a x + x3 - 1 .
20.- Calcula el valor de “m” para que el P(x) = 2 x 2 – m x + 3 sea divisible entre x – 2
21.- Factoriza los siguientes polinomios:
a) 3 x 4 – 10 x 3 + 7 x2 + 4 x - 4 =
c) x 4 + 2 x 3 – 5 x 2 - 18 x - 36 =
e) x 5 – 1
b) x 3 – 2 x2 + 4 x =
d) 1 – 4 x2
f) x 5 – 2 x 4 – 6 x 3 + 12 x 2 + 9 x – 18
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22.- Escribe un polinomio de cuarto de cuarto grado cuyas raíces sean 1 , 2 , -3 y -1
23. -Divide
3x
4
 

 8x 3  6x 2  12  x 3  1 
y comprueba el resultado.
24.- Se sabe que al dividir x 3- x 2 + a x - 10 entre x – 2 la división es exacta ¿Cuánto
vale a?
25.- ¿Qué es una raíz, cero o solución de un polinomio?
26.- Descompón en factores los siguientes polinomios
P(x) = x 3- x 2+ 6
R (x) = x 3- x + 2 – 2 x 2
Q(x) = 32 - 2 a2
S(x) = x 4- x3-13x2 + x +12
27.- Calcula las raíces del siguiente polinomio:
P (x) = (2 x – 1) (x + 5) (x 2- 1)
28.- Efectúa las siguientes adiciones de fracciones algebraicas:
1 x
x 1 x  y
1 


a)
b)
1 x
3y
6y
x
x 1
x2
x2




c)
d) 2
x  1 3x
x  1 4x  4
29.- Calcular el verdadero valor de las siguientes fracciones algebraicas:
a)
b)
x3 1
x2 1
para x  1
x 2  6x  8
para x  4
x4
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Autoevaluación
1.- Enuncia el teorema del Resto. ¿A qué se le llama raíz de un polinomio? ¿Es x +1
un divisor de x 8 - 1? . ¿Por qué?
2.- Escribe en lenguaje algebraico el área de un triángulo teniendo en cuenta las
siguientes informaciones.
a) La base excede en cinco unidades a la mitad de la altura. ¿Cuál es su área si la
altura 8 cm?
b) La altura es dos quintos de la mitad de la base. ¿Cuál es su área si la base 10 cm?
3.- Calcula el valor de la siguiente fracción algebraica:
x 2  2x
para x  2
x2  4
4.- Previa descomposición en factores del polinomio P(x) = x
resuelve la ecuación x 3 + 2 x 2 – x - 2 = 0.
3
+2x
2
– x -2 ,
5.- Simplifica:
x4  x3

x 4  2x 3  x 2
6.-Halla el valor de "m" de forma que el P(x) = - 3 x + x 2 – m + 2 x 3 sea múltiplo
de x -3
7.- Descomponer en factores:
a)
2 x2– 8=
b) 4 x 3 - 10 x 2 + 2 x + 4 = c) 1 + 25 x 2 –10 x =
8.- Calcula y simplifica:
x  x2
x


a)
x 1 x 1
x2
x2
x2
 2


2 x x 4 x2
9.- Calcula el m.c.m. de los siguientes polinomios:
a) P (x) = 2 x 2 – 4 x + 2 , Q ( x) = 4 x 3 - 4 x ,
R(x)=8x -8
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REFUERZO
1.- Enuncia el teorema del Resto. ¿A qué se le llama raíz de un polinomio?
2.- Sin dividir. ¿Es x- 2 un factor de x7 - 32? . Verdadero o falso .En que te basas.
3.- Escribe en lenguaje algebraico el área de un rectángulo teniendo en cuenta las
siguientes informaciones.
c) La base excede en dos unidades al cuadrado de la altura..
d) La altura es la tercera parte de la base disminuida en 2
4.- Halla el cociente y el resto de la división. ¿Podrías utilizar la regla de Ruffini?
Razona tu respuesta:
(3 x 3 + x2 + 1)  ( x 2 + 3)
5.- Resuelve la ecuación
x 3 +7 x +5 x 2 + 3 = 0
6.- Halla el verdadero valor de las siguientes fracciones algebraicas.
x 2  6x  8
a)
para x  2
x 3  5x 2  7 x  2
x3  2x 2  4x
c)
para x  0
x 4  3x 2  5 x
7.- Siendo P (x)= 3x 2 – 3 x + 3 ;
Calcula: a) P ( x) - 2 Q ( x)
Q ( x) = 1/ 2 x + 1 /2 ;
R(x) = x + 2 x 2 - 1
b) P ( x) - 2 ( R ( x) )2
8.- Descomponer en factores:
a)
3 x 3 – 27x =
b) x 3–10 x2 + 25 x =
9.- Escribe un polinomio ordenado de tercer grado cuyas raíces sean -2, 0 y 2
10.- Efectúa las operaciones con fracciones algebraicas en cada uno de los apartados
siguientes:
4
x
x
x
5
2  2x 2  x

 b)


 c)


2
x2 x2
1 x 1 x 1 x
3  6 x 3x  1
1 x
x3
x3
d )2 x 
 e)


x 1
2x
2x  2 y
a)
11- Se sabe que al dividir x 3- m x 2 + x - 7 entre x – 2 la división tiene resto igual 2
exacta ¿Cuánto vale m?
12.- ¿Qué es una raíz, cero o solución de un polinomio?
13.- Descompón en factores los siguientes polinomios
P(x) = x 3- x 2+ 6
R (x) = x 3- x + 2 – 2 x 2
2
Q(x) = 32 - 2 a
S(x) = x 4- x3-13x2 + x +12
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UNIDAD IV. ECUACIONES E INECUACIONES.
1. Ecuaciones.
Ecuaciones de segundo grado y grado superior.
Ecuaciones de segundo grado.
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión del tipo :
ax2+bx+c= 0
En ésta ecuación:
- “a ” coeficiente del término de segundo grado que llamaremos coeficiente
cuadrático
- “ b ” Coeficiente del término de primer grado que llamaremos coeficiente lineal.
- " c " que es el término independiente.
Se pueden presentar dos casos cuando algún coeficiente es nulo, entonces diremos que
la ecuación es incompleta
Primer caso:
Modelo
ax2+c=0
a x 2= - c
c
x2  
a
x  
Ejemplo
4 x2 – 9 = 0
4x2=9
9
x2 
4
c
a
x 
9
3

4
2
Segundo caso:
Modelo
a x 2 + bx = 0
x(ax+b)=0
x=0
ax+b=0
x=0
a x = - b ; luego x = 
Ejemplo
3 x2 + 5 x = 0
x(3x+5)=0
x=0
3x+5=0
x=0
b
a
3 x = - 5 ; luego x = 
5
3
Ejercicio 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
a) 2 x 2- 32 = 0
b) 5 x 2- 15 x = 0
e) x 2- x = 0
f) 5 x 2 + x = 0
c) 3 x 2- 108 = 0
g) x 2- 2 x = 3 x 2
d) 7 x 2 +42 x = 0
h) x 2 + 12 x = 5 x
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Resolución de la ecuación completa.
Las ecuaciones de segundo grado completas ordenadas se escriben de la forma:
ax2+bx+c=0
siendo a, b y c números Reales
 b  b 2  4ac
x1 
2a
Las soluciones vienen dadas por las fórmulas:
x2 
 b  b 2  4ac
2a
Veamos como podemos obtener dicha fórmula:
ax2+bx+c= 0
Partiendo de la ecuación:
Vamos a restar “c”
a x 2 + b x + c - c = -c
a x 2 + b x = -c
Se multiplica por “4 a”
4 a 2x 2 + 4 a b x = - 4 a c
Sumamos “ b 2 ”
4 a 2x 2 + 4 a b x + b 2 = + b 2 - 4 a c
El primer término de la igualdad podemos ver que es el desarrollo de un producto
notable y lo podemos escribir como tal:
( 2 a x + b )2 = + b 2 – 4 a c
Luego podemos escribir que:
Y despejando “x” :
Luego:
2 a x + b =  b 2  4ac
2 a x = - b  b 2  4ac
 b  b 2  4ac
x
2a
Discusión de las soluciones de una ecuación de segundo grado
La expresión b 2 – 4 a c se llama discriminante, y se indica con la letra delta (  )
mayúscula:
=b2–4ac
Según los valores que tome el discriminante  = b 2 – 4 a c, se presentan tres casos:
1.- Cuando  > 0 ( positivo), se obtienen dos raíces reales.
2.-Cuando  = 0 los valores que se obtienen para las dos raíces son iguales, se dice que
tiene una raíz doble.
3.- Cuando  < 0 (negativo) la ecuación no tiene raíces reales.
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Ejercicio 2.- Halla las raíces o soluciones de las ecuaciones:
a) x 2+ 7 x + 3= 0
e) x 2 + x - 2 = 0
c) x 2 – 8 x + 15 = 0 d) 2 x 2 - 9 x - 1 = 0
b) 3x 2 -6 x -12 = 0
f) x 2 - x + 1 = 0
g) x 2 -16 x + 64 = 0
Ejercicio 3.- Halla las raíces de las ecuaciones:
x 2 3x 
2 2
x  2 2( x  3)
x2 1
a)
 x   
b)

 1
2
2
3 9
3
2
4
Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado.
A partir de la forma general de la ecuación: a x 2 + b x + c = 0 , y llamando
x1 y x2 a sus raíces.
Vamos a demostrar que:
b
x1  x 2  
La suma de las raíces:
a
c
x1 ·x 2 
y que su producto :
a
En efecto sabiendo:
x1 
 b  b 2  4ac
 b  b 2  4ac
y que x2 
2a
2a
Veamos que obtenemos al sumar sus raíces:
x1  x2 
=
 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac  b  b 2  4ac  b  b 2  4ac
+
=
=
2a
2a
2a
 2b
b

2a
a
Veamos que obtenemos al multiplicar sus raíces:
x1 ·x2 
 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac (b  b 2  4ac)·(b  b 2  4ac)
·
=
=
2a
2a
4a 2
2

 b  

b 2  4ac
4a 2

2


b 2  b 2  4ac b 2  b 2  4ac 4ac c


 2 
a
4a 2
4a 2
4a
Luego hemos demostrado que:
x1  x 2  
x1 ·x 2 
b
a
c
a
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Ejercicio 4 .- Halla la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:
a) x 2 – 5 x + 4 = 0
b) x 2 + 9 x + 14 = 0
c) x 2 + 10 x + 21 = 0
Forma canónica de la ecuación de segundo grado:
Dada la ecuación a x 2 + b x + c = 0 , si dividimos todos los términos por “a”
ax2 bx c 0
b
c

  ;  x 2  x   0;
tendremos:
a
a a a
a
a
c
 b
que también podemos escribir: x 2     x   0
a
 a
Y si a la suma de las raíces le llamaremos “s”:
x1  x 2  
Y al producto de las raíces le llamaremos “p”:
x1 ·x 2 
b
s
a
c
 p
a
Sustituyendo estos valorasen la ecuación quedará:
x 2- s x + p = 0
Que es la forma canónica de la ecuación de segundo grado
Ejercicio 5.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones
a) x 1= 4 , x 2 = - 6 b) x 1 = -3 , x 2= - 5 c ) x 1 = 2, x 2 = -7
3
2
Ejercicio 6 .- Halla dos números sabiendo que su suma es
y su producto
5
5
Descomposición factorial de la ecuación de segundo grado.
Un trinomio de segundo grado P (x) = a x 2 + b x + c se puede factorizar resolviendo
la ecuación a x 2 + b x + c = 0 , asociada a dicho trinomio, si consideramos que sus
raíces son x1, x 2 , podremos escribir P(x) = a( x - x1) (x - x 2)
En efecto:
x1 + x2
P (x) = a x 2 + b x + c =

b
c
c

 b
= a x 2  x    a x 2     x    a x 2  x1  x2 x  x1 ·x2 
a
a
a

 a





= a x 2  x1 x  x2 x  x1º x2 =
x1· x2
Sacamos x factor común en los dos primeros términos:
= axx  x1   x2 x  x1 ·x2 =
Sacamos - x 2 factor común en los dos últimos:
= axx  x1   x2 x  x1  =
Y sacando factor común (x – x1):
= a (x - x1) (x - x 2)
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Ejercicio 7.- Descompón en factores los siguientes polinomios:
a) P(x) = 3 x 2 – 10 x + 3;
b) P(x) = 2 x 2 – 5 x + 2;
c) T(x) = 12 x 2 + x – 1;
d) R(x) –x2 +1;
Ecuaciones Bicuadradas:
Son aquellas que se pueden reducir a la forma de una ecuación de segundo grado
mediante la utilización de incógnitas auxiliares.
Veamos un ejemplo: x 4 – 13 x 2 + 36 = 0
Tomemos incógnitas auxiliares:
x4 = a2
x2 =a
luego sustituyendo en la ecuación dada: a 2 – 13 a + 3 6 = 0
a1 = 9
a
13  (13) 2  4·36 13  5


2
2
a2 = 4
x 1= +3
Deshaciendo el cambio:
x2
=a;
2
x = 9;
x 9 
x 2 = -3
x3 = + 2
x2
=4;
x 4 
x 4 = -2
Ejercicio 8.- Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) x 4 – 5 x 2 + 4 = 0 b) x 4 – 10 x 2 + 9 = 0 c) x 4 – 26 x 2 + 25 = 0 d) x 4 –17 x 2 +16 = 0
Ecuaciones irracionales. Ecuaciones racionales.
Se llaman ecuaciones irracionales aquellas en las que algunas de las incógnitas figura
bajo el signo radical.
Estudiaremos ecuaciones irracionales con radicales de índice dos.
Ejemplos de ecuaciones irracionales:
1
x
x2  5
El proceso de resolución de estas ecuaciones se basa en el siguiente principio:
Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación
que además de tener las soluciones de la primera, puede contener otras soluciones
que proceden de la nueva ecuación obtenida al elevar al cuadrado la original.
a)
x 3  x
b)
x 2 1  1
c)
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Una consecuencia importante: Siempre que la resolución de la ecuación exija elevar al
cuadrado los dos miembros de la ecuación, es preciso comprobar si las soluciones
halladas satisfacen la ecuación propuesta.
Veamos unos ejemplos de resolución de ecuaciones irracionales:
Ejemplo 1: Resolver la ecuación 18  x  10  2
1º) Aislamos en un miembro el término que contiene el radical que queremos eliminar:
18  2  x  10
16  x  10
2º) Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación:
16 2


x  10

2
 256  x  10  x  246
3º) Comprobar:
18  246 10  2  18  256  2  18  16  2  2  2
Por lo tanto podemos afirmar que la solución de la ecuación es x = 246
x 9  x 3  6
Ejemplo 2. Resolver la ecuación
1º) Aislamos en un miembro uno de los radicales que queramos eliminar:
x 9  6 x 3
2º) Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado:

x9
  6 
2
x3

2
Operando:
x  9  36  2 · 6 x  3 

x3

2
x  9  36  12 x  3  x  3
3º) Como existe otro radical, volvemos a repetir el proceso. Aislamos el término que
contiene el radical y reducimos términos semejantes:
12 x  3  36  x  3  x  9 AGRUPAR LOS TÉRMINOS!!
12 x  3  24
4º) Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación:
12

 24  122 x  3  576  144x  432  576  144x  576  432
1008
144x  1008 x 
7x7
144
x 3
2
2
5º) Comprobar: x  9  x  3  6  7  9  7  3  6  4  2  6
Por lo tanto podemos afirmar que la solución de la ecuación es x = 7
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Ejercicio 9.- Resolver las ecuaciones irracionales siguientes:
a)
4x  1  3x  2  1 b)
2x  1  x  1
c) 7  3x  x  7
REPASO DE ECUACIONES
1) Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del producto de sus
soluciones:
a)
2 x 2  7 x  15  0
b)
3x 2  6 x  3  0
c)
20
9 x
x
d)
x 2  5x  6  0
2) Determinar la ecuación de segundo grado en los siguientes casos:
a) Si la suma de soluciones vale 5 y cuyo producto vale 6.
b) b) Si sus soluciones son
x1  5 ; x2  1
c) Si la suma de soluciones vale -1/4 y cuyo producto vale -3/8.
d) d) Si sus soluciones son
e) Si sus soluciones son
x1 
2; x 3
2
5
x1  2 ; x2  3
f) f) Si sus soluciones son
x1  
2;
3
x2 
3
5
3) Descomponer los polinomios a partir de sus soluciones:
a) 6 x 2  11x  3 b) 15x 2  7 x  2
c) 6 x 2  13x  6
d) 10x 2  9 x  2
4) Obtener dos números sabiendo que su suma es 5 y su producto es -14.
5) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a)
x 4  10x 2  9  0
b)
x4  13x2  36  0
c)
x 4  61x 2  900  0
d)
x 4  25x 2  144  0
e)
x 4  16x 2  225  0
f)
x 4  10x 2  9  0
g)
x 4  3x 2  0
h)
x 4  29x 2  100  0
i)
 x4  2x2  4  0
k)
x4  5x2  4  0
l)
x 6  7 x3  6  0
j)
9 x 4  16  40x 2
6) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a)
2x  3  x  1
c)
3 x  1  11  2 x
x=2
b)
5x  4  1  2 x
x=10 d)
x  x4  2
e)
2x  1  x  4  6
g)
3x  21  3  2x  11
x=5 f)
x=7
h)
x=1
x=4
 4x  28   3x  21  0
 2x  2  7  x  6
x=-7
x=-1
7) Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a)
1
1

0
x2  x x  1
d)
x
2
2


x  2 x2  5x  6 x  3
2
g) x  1  1
x  12 x  1
b)
1
1
1


x  2 x  2 x2  4
c)
3
x  13
 1
x
6
x
1
x4


x2  4 x  2 x2  4
2
1
x


x  2 x2  x  2 x  1
f)

e)
h)
1
1
3
 
1  x x x  x2
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Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
con dos incógnitas.
Veamos primero una ecuación lineal con dos incógnitas. Por ejemplo la ecuación:
y =-x + 10 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
Busquemos soluciones para esta ecuación, ya que aparentemente parece tener más de
una.
Valores de x
1
2
4
5
Valores de y
9
¿Podrías encontrar mas soluciones? En caso afirmativo escribe cuatro soluciones mas.
Veamos ahora otra ecuación lineal con dos incógnitas: Por ejemplo la ecuación:
y = x + 2 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
Busquemos soluciones para esta ecuación:
Valores de x
1
4
5
7
Valores de y
¿Cuántas soluciones mas podrías encontrar para esta ecuación?
Si ahora consideramos juntas las dos ecuaciones, se dice que que ambas forman un
sistema de ecuaciones lineales:
x + y = 10
x–y=2
Una solución del sistema sería una pareja de números que fuese solución de las dos
ecuaciones ala vez.
Llamamos solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a todo
par de números x1 e y1, tales que sustituyendo x por x1 e y por y1 se verifican las
dos ecuaciones a la vez.
Dos sistemas se dice que son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Resolución de sistemas de ecuaciones.
Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es encontrar un par de
valores (uno para cada incógnita) de forma que al sustituir las incógnitas por esos
valores las dos igualdades sean ciertas. Ejemplo:
2x+y=5
2 x – y = -1
La solución del sistema es x = 1, e y =3 ya que.........
Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones estudiaremos tres métodos. Los
tres métodos consisten de una u otra manera en pasar de una ecuación con dos
incógnitas a otra equivalente con una sola incógnita, que sabemos resolver.
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Método de sustitución.
Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el valor obtenido en la
otra. Ejemplo:
3x – 2y = 10
x + 3y = 7
Elegimos la incógnita más fácil de despejar (la x de la 2ª
ecuación).
x=7– 3y
Sustituimos el valor de la x despejada en la otra ecuación:
3x – 2y = 10
3 · (7 – 3y) – 2y = 10.
Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita
que sabemos resolver.
21 – 9y – 2y = 10
 11
1
-11 y = -11
y=
y = 1 Ahora este valor de "y" lo
 11
sustituimos en la ecuación:
x=7–3y =7–3·1=7–3=4
Luego la solución será el par :
x=4
y=1
Ejercicio 1.-Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de
ecuaciones:
a)
x+y=8
x-y=-6
b)
2x+3y=7
3x- y =5
c)
2x+y=4
x–y=2
Método de igualación.
Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las
expresiones obtenidas. Ejemplo:
10  2 y
3x – 2y = 10
3x = 10 + 2y
x=
Igualamos
3
x + 3y = 7
x = 7 – 3y
10  2 y
= 7 – 3y
3
10 + 2y = 3 · (7 – 3y)
10 + 2y = 21 – 9y
Obtenemos una ecuación
Con una sola incógnita
11
1
y = 1 . Sustituimos el valor de y en
11
cualquiera de las expresiones obtenidas de x.
11y = 11
x=
y=
10  2 y 10  2  1 10  2 12


4
=
3
3
3
3
Solución:
x=4
y=1
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Ejercicio 2.- Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas:
a)
x + y = 10
x =y
b)
x+y=2
x- y=1
c)
2x+y =2
x+3y=6
Método de reducción.
Consiste en multiplicar las ecuaciones por los números adecuados para que, al
sumarlas, nos desaparezca una de las incógnitas. Así, la ecuación que obtengamos
tendrá una sola incógnita. Ejemplo:
3x – 2y = 10
Si multiplicamos la segunda ecuación por –3, obtendremos
un sistema equivalente a éste.
x + 3y = 7
3x – 2y = 10
-3 · (x + 3y) = -3 · 7
3x – 2y = 10
-3x – 9y = -21
0 - 11y = -11
+
Sumando las dos ecuaciones,
nos queda:
Obtenemos una ecuación con una sola incógnita
 11
1 y = 1
 11
A continuación sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones iniciales y
despejamos el valor de x.
x+3·1=7
x+3=7
x=7–3=4
y=
Solución:
x=4
y=1
Ejercicio 3.-Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) - 7 x - 4 y = -7
b) 2 x + 3 y = 1
c) 5 x –8 y = -13
2x - y=2
x+y=-2
2 x - 3 y = -4
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Método gráfico.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
3x - 2 y = 10
x + 3y = 7
Vamos a representar gráficamente las soluciones de cada una de las ecuaciones.
La representación gráfica de las infinitas soluciones de cada una de las ecuaciones
que forman el sistema se encuentran en una recta.
Como son rectas basta con conocer un par de soluciones para poderlas trazar:
Ecuación: 3x - 2 y = 10 para facilitar el calculo de las soluciones despejamos la
incógnita y:
3x  10
3 x  10
3x  10  2 y ;
y
y
2
2
Construyendo una tabla de soluciones:
x 4
y 1
2
-2
Ecuación: x + 3 y = 7 para facilitar el calculo de las soluciones despejamos la incógnita
y:
7x
y
3
Construyendo una tabla de soluciones:
x 1 4
y 2 1
Representan los puntos:
3 x – 2 y = 10
x++3y=7
(4,1)
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El punto de intersección el punto de coordenadas (4, 1) que es solución de ambas
ecuaciones, será la solución del sistema.
Ejercicio 4.- Resuelve gráficamente el siguiente sistema:
2x+y=7
x – y = -1
Ejercicio 5.- Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:
x – y =1
x–y=1
- 2x + 2y = -2
2x–2y=6
Discusión de un sistema: Un sistema puede tener una, infinitas o ninguna solución:
 Si tiene una única solución , se dice que el sistema es compatible determinado
(rectas secantes).
 Si tiene infinitas soluciones, el sistema es compatible indeterminado
(rectas coincidentes).
 Si no tiene solución, el sistema es incompatible (rectas paralelas).
Ejercicio 6.- Completa los sistemas de forma que sean compatible determinado:
a) x + y = 10
x - ... =
b) 2 x + y = 4
x + ... =
Ejercicio 7.- Completa los sistemas de forma que sean compatible indeterminado:
a) x + y = 10
2 x + ...
b) 2 x + y = 4
3x+ =
Ejercicio 8.- Completa los sistemas de forma que sean incompatible:
a) x + y = 10
x + ... =
b) 2 x + y = 4
2 x + ... =
Ejercicio 9.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que
consideres más adecuado:
x  2x  y   3 y  2
a) x y
 3
3 2
3 y  2 x  2  4 x  y  1

4
3
b)
1
1
x  y   x  y   y  1
3
6
6
4 y  5 x 3x  2 y
2

 1  x  y 
6
2
9
e)
4y  x  8
2 y  2 x 
x
8
3
4x  6 y  3  2 y  1
d)
1
2 x  y  ( x  1)
2
x y 5
 
3 4 6
f)
3 x  20 y 8 y  1 12x  16 y


5
3
15
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Sistemas de ecuaciones no lineales
Vamos a resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas no lineales, es decir
sistemas en los que al menos una de las ecuaciones no es de primer grado.
Para resolver este tipo de sistemas es aconsejable utilizar el método de sustitución
despejando la incógnita en la de primer grado y sustituyendo en la de segundo grado.
Veamos un ejemplo, resolver el sistema
3x + y = 5
x2 – y2 = 3
Despejemos en la primera ecuación “y”
y=5–3x
x2 – y2 = 3
Sustituimos en la segunda ecuación
y=5–3x
x 2 – ( 5 – 3x ) 2 = 3
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
x 2 – ( 5 – 3x ) 2 = 3  x 2 – ( 25 – 30 x + 9 x 2 ) = 3 ;  x 2 –25 + 30 x -9 x 2 = 3
Ordenando:
- 8 x 2 + 30 x – 28 = 0
Simplificando:
- 4 x 2 + 15 x – 14 = 0; x 
 15  225 4· 4
·  14

8
x1 = 2
x2=
7
4
Y sustituyendo estos valores en la ecuación: y = 5 – 2 x
Para x1  2  y1  5  3(2)  1
7
1
7
Para x2   y 2  5  3   
4
4
4
7 1
Las soluciones serán: 2,1 y  , 
4 4
Ejercicio 10.- Resuelve los siguientes sistemas:
x 2 + y 2 = 13
y + 3 = 3x
x2 – y 2 = 0
y -3 x = -5
4xy–6y=3
3x–8y=5
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2. Inecuaciones.
Desigualdades numéricas: ejemplo 3 < 8
1.- Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad
se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido que la anterior.
Ejercicio 1.-SUMA o RESTA un número cualquiera a la desigualdad
comprueba lo afirmado.
anterior y
2.- Si multiplicamos o dividimos por mismo número positivo a los dos miembros de
una desigualdad. Se obtiene una desigualdad del mismo sentido.
Ejercicio 2.- MULTIPLICA o DIVIDE por un número cualquiera positivo la
desigualdad anterior y comprueba lo afirmado.
3.- Si multiplicamos o dividimos por un mismo número negativo a los dos miembros de
una desigualdad. Se obtiene una desigualdad de distinto sentido.
Ejercicio 3.-MULTIPLICA o DIVIDE por un número cualquiera negativo la
desigualdad anterior y comprueba lo afirmado.
Inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Las dos partes de
una inecuación, a uno y otro lado del signo de la desigualdad se llaman
miembros. Las letras se llaman incógnitas.
Ejemplos:
a) 3 x – 9 > 6
b) 4x - 6  x + 3
Las soluciones de una inecuación son los números que al sustituir a la incógnita o
incógnitas hacen ciertas la desigualdad.
La inecuación del apartado:
a) tiene por solución (los números mayores que cinco) x >5, ya que si
sustituimos la x por números mayores que cinco se cumple la desigualdad.
Compruébalo.
b) tiene por solución (los números menores o iguales que 3) x  3, ya que si
………..(completa)…Compruébalo.
Las soluciones también la podemos representarlas mediante intervalos o
representaciones en la recta real. Por ejemplo la solución x > 5, también se puede
escribir  5,  o representar en la recta real:
5

Ejercicio 4 .- ¿ Como representarías en la recta real las soluciones de la inecuación
4x–6  x+3?
Inecuaciones equivalentes son las que tienen las mismas soluciones.
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Resolución de inecuaciones de primer grado.
El procedimiento de resolución de las inecuaciones es similar a los procesos utilizados
en la resolución de ecuaciones, es decir a partir de una inecuación obtenemos
inecuaciones equivalentes:
1.- Si sumamos o restamos un mismo término a los dos miembros de una inecuación se
obtiene una inecuación equivalente a la anterior. Lo que permite trasponer términos.
Ejemplo: 3 x – 9 > 6; 3x > 6 + 9; 3 x > 15
2.- Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por número
positivo, y distinto de cero, resulta una inecuación equivalente a la anterior
15
Ejemplo: 3 x > 15 ; x 
; x> 5
3
3.- Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por número
negativo, y distinto de cero resulta una inecuación equivalente a la anterior pero la
desigualdad cambia de sentido.
Ejemplo: - 2 x > 8 ….. dividir por -2………
Ejercicio 5.- Plantea y resuelve inecuaciones:
a) Busca números tales que al sumarle doce sean menores que cuarenta
b) ¿Qué número cumplen que su tercera parte es mayor o igual que ocho?
c) ¿Qué números al multiplicarlos por cinco serán mayores que el cuadrado de
quince?
d) ¿Qué números cumplen que al sumar diez a sus dobles nos dan un resultado
menor o igual que ocho?
e) ¿Cuándo la tercera parte de un número menos quince será menor o igual que
ocho?
f) ¿Qué números restados de siete son menores que diez?
g) Si el perímetro de un triángulo equilátero es mayor que veinte y cuatro,¿qué
puede decir de su lado?
h) Si el lado de un cuadrado es menor que dieciséis,¿qué puedes decir de su
perímetro? ¿Y de su área?
i) ¿Cómo debe ser el término independiente de la ecuación x2 -2 x + c = 0 para
que tenga dos soluciones distintas?
j) Si el lado de un hexágono está comprendido entre tres y cinco ¿ ¿cómo será su
perímetro?
Ejercicio 6.- Resuelve las siguientes inecuaciones con una incógnita y representa sus
soluciones mediante intervalos y representaciones de estos en la recta real.
a) 9 – 2/3( 3 – x) < 1
d) x – x/2  1 – 3 x
b)
( 1 – x )/ 2 + 1 > x + 4
e) ( x + 1)/2 - (x – 1)/ 3 > 4
c)
3 x + 1 > - 3 ( 5 – x)
f) 25 – 2 x < -2 – 2 x
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Inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Se llama inecuación lineal con dos incógnitas “x” e “y” cualquiera de las
expresiones siguientes: a x + b y > c; a x + b y < c ; a x + b y  c; a x + b y  c .
Estas inecuaciones se van a resolver desde el punto de vista gráfico, la ecuación
a x + b y = c, asociada a la inecuación correspondiente representa una recta. Esta
recta divide al plano en dos zonas llamadas semiplanos, como vemos en la
representación siguiente:
La solución de la inecuación de primer grado en las incógnitas x e y la forman los
infinitos puntos de uno de los semiplanos en los que la recta correspondiente divide
al plano, incluyendo la recta si la desigualdad es  ó  y sin incluirla cuando la
desigualdad es > ó < .
Veamos unos ejemplos:
Ejemplo 1. 2 x + y < 4
Primero representamos la recta asociada a la inecuación, 2 x + y = 4 . Para ello
mediante una tabla de valores representamos algunas de sus soluciones. Facilitará los
cálculos despejar una de las incógnitas por ejemplo: y = 4 – 2 x , y dando valores de
“x” a l azar encontrar los valores de “y"
x 0 2
y 4 0
Para ver la solución de la inecuación 2x + y < 4, se toma un punto cualquiera de uno
de los dos semiplanos que determina la representación gráfica de la recta asociada a la
inecuación: 2x + y = 4 , por ejemplo el punto (0,0) y sustituyendo en la inecuación
2 x + y < 4, tendremos 2 · 0 + 0 < 4, luego 0 < 4, lo que es cierto, luego este punto y
todos los puntos que se encuentran en este semiplano será solución de dicha inecuación.
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La solución de la inecuación 2 x + y < 4 es el semiplano rayado de la figura
siguiente.
Ejercicio 7.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x- y > 0
b) 2 x – y  2
c) 2 x + y  4
d) 3 x – y > 6
e) x  0 f) y > 2
Sistemas de inecuaciones lineales.
Se llama sistema de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas al conjunto formado
por dos o más inecuaciones de primer grado con dos incógnitas inecuaciones.
La solución del sistema es el conjunto de pares que satisfacen ambas inecuaciones.
Gráficamente procedemos:
a1 x + b1y  c1
a2 x + b2 y < c2
Representamos ambas inecuaciones en el mismo sistema de ejes coordenados, la
solución será la intersección de los dos semiplanos
(Zona cuadriculada)
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Ejemplo 2: Veamos un ejemplo:
x  y 1
x  y 1
Sigue las instrucciones:
a) Representa la ecuación asociada a la primera inecuación x + y = 1. Siguiendo
las indicaciones del ejemplo 1
b) Representa la ecuación asociada la inecuación x – y =1. Siguiendo las
indicaciones del ejemplo 1
Ejercicio 8.- Sistema de tres inecuaciones.
Sigue las instrucciones que a continuación se dictan:
a) Busca pares de números que cumplan las siguientes condiciones: cada uno
mayor que uno y la suma de los dos menor que diez
b) Escribe las inecuaciones que forman el sistema cumpliendo las condiciones
anteriores.
c) Representa en el mismo sistema de ejes coordenado las soluciones de las tres
inecuaciones tres inecuaciones- ¿Qué figuran determinan?
d) Toma puntos del interior de la figura y comprueba que satisfacen todas la
inecuaciones
e) Haz igual con los puntos del exterior de la figura.
f) ¿Cuál será la solución?
Ejercicio 9.- Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas:
a)
2 x  5 y  16
x  3 y  3
x  3 y  20
c) x  0
y0
y0
b)
x  y 1
Inecuaciones de segundo grado.
Para estudiar las soluciones de una inecuación de segundo grado, a x2 + bx + c > 0 ( y
también en los casos de <, ,  ) se descompone en factores la ecuación asociada a la
inecuación:
a x2 + b x + c = 0,
cuyas raíces son x1 y x2
a (x – x1) ( x – x2)
Por lo tanto el signo de la inecuación depende de los tres factores implicados:
a, (x – x1), ( x – x2) .
Para resolver la inecuación se hace la representación geométrica de las raíces sobre
la recta real, dividiendo a ésta en los intervalos representados:
 , x1 
x1
x , x 
1
2
x2
x2 ,
Y ahora simplemente tendremos que evaluar (estudiar el signo) del producto
a (x – x1) ( x – x2) en los intervalos, tomando puntos al azar pertenecientes a éstos y,
sustituyéndolos en la ecuación y comprobando si el resultado es positivo, o negativo.
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Veamos un ejemplo:
Resuelve la inecuación: x 2 – 7 x – 18 < 0
Primero calculemos las soluciones de la ecuación asociada a la inecuación:
x 2 – 7 x – 18 = 0
x 1 =-2
7  49  72 7  11
Serán : x 


2
2
x 2= 9
Luego podemos escribir la ecuación factorizada: 1 (x +2) ( x –9) = 0
Para resolver la inecuación se hace la representación geométrica de las raíces sobre
la recta real, dividiendo a ésta en los intervalos representados:
 ,2
-2
 2,9
9
9,
Estudiemos el signo del producto en cada uno de los intervalos considerados:
a) Tomemos un punto cualquiera del intervalo  ,2 , por ejemplo -3, y sustituimos
este punto en la ecuación factorizada:
1 (x +2 ) ( x – 9 ) = 1 (-3 +2 ) ( -3 – 9 ) = -1 · -12 = + 12 Resultado Positivo
Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al primer intervalo considerado, el
signo de la ecuación siempre es positivo.
Ejercicio 10.- Comprueba tu la anterior afirmación para otros valores del intervalo
 ,2
b) Tomemos un punto cualquiera el intervalo  2,9 , por ejemplo 0, y sustituimos este
punto en la ecuación factorizada:
1 (x +2) ( x – 9 ) = 1 (0 +2 ) (0 –9) = +2 · -9 = - 18 Resultado negativo
Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al segundo intervalo considerado,
el signo de la ecuación siempre es negativo.
Ejercicio 10.- Comprueba tu la anterior afirmación para otros valores del intervalo
 2,7
c) Tomemos un punto cualquiera el intervalo 9, , por ejemplo 10, y sustituimos
este punto en la ecuación factorizada:
1 (x +2) ( x – 9 ) = 1 (10 +2 ) (10– 7 ) = +12 · 2 = + 24 Resultado positivo
Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al tercer intervalo considerado, el
signo de la ecuación siempre es positivo.
Ejercicio 11.- Comprueba tu la anterior afirmación para otros valores del intervalo.
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Solución: La solución de la inecuación x 2 – 7 x – 18 < 0 será el intervalo (-2,9).
Esto indica que para todos los valores de x correspondientes al intervalo (-2,9), el
signo de la ecuación siempre será negativo.
Dos casos Especiales:
a) Discriminante nulo. Cuando el discriminante es nulo la ecuación asociada a la
inecuación
a x2 + bx + c > 0 tiene una raíz doble y resulta:
a (x – x 1) 2 > 0
Como el término (x – x 1) 2 siempre es positivo y el signo del producto dependerá
del signo de “a”solamente.
b) Discriminante es negativo, y por no ser nunca cero el signo depende también del
signo del coeficiente “a” del término de segundo grado.
Nota. Téngase en cuenta que si las inecuaciones incluyen el signo  ó  , los
intervalos en que queda dividida la recta real representada incluye los valores de las
raíces, ya que son soluciones, luego las soluciones serán por lo tanto intervalos
cerrados.
Ejercicio 12.- Resuelve las inecuaciones:
a) x 2 - 4 x + 3 < 0
b) x 2 + 5 x - 6 > 0
e) 3x 2 - 10 x +3  0
c) x 2 - 4 < 0
f) 6 - x – x 2 > 0 g) 2 x ( x- 3) > 3 x 2
d) 6x 2 - 7x + 2  0
h) x 2 – 6 < 5x
Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo.
Una inecuación polinomica de grado superior a segundo grado, si se puede
descomponer en productos de primer o segundo grado, se resuelve de forma similar a
la explicada en el caso anterior.
Ejemplo: Resolver la inecuación x 3 – x 2 – 6 x < 0
Descomponiendo en factores la ecuación asociada:
x 3 – x 2 – 6 x = x ( x 2 –x – 6) = x ( x - 3) ( x + 2)
Para resolver la inecuación se hace la representación geométrica de las raíces sobre la
recta real, (raíces x = 0, x = 3 , x = -2 ) dividiendo a ésta en los intervalos
representados: (raíces x = 0, x = 3 , x = -2 )
-2
0
+3


-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo  ,2 , por ejemplo -3, y
lo sustituimos en el producto x ( x - 3) ( x + 2).
Resultará: -3 · ( -3 - 3) ( -3 + 2) = -3 · -6 · -1 = -18 NEGATIVO
Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo
de la ecuación siempre es negativo.
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-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo  2,0  por ejemplo -1, y lo
sustituimos en el producto x ( x - 3) ( x + 2).
Resultará: -1 · ( -1 -3) ( -1 +2) = -1 · -4 · +1 = + 4 POSITIVO
Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo
de la ecuación siempre es positivo.
-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo 0,3 , por ejemplo 1, y lo
sustituimos en el producto x ( x - 3) ( x + 2).
Resultará: 1 ( 1 – 3) ( 1 + 2 ) = 1 · -2 · 3 = - 6 NEGATIVO
Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo
de la ecuación siempre es negativo.
-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo 3,   , por ejemplo 4, y lo
sustituimos en el producto x ( x - 3) ( x + 2).
Resultará: 4 (4 – 3) ( 4 + 2) = 4 · 1 · 6 = 24 POSITIVO.
Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo
de la ecuación siempre es positivo.
Las soluciones de una inecuación son los números que al sustituir a la incógnita hacen
ciertas la desigualdad.
Luego la solución de la inecuación x 3 – x 2 – 6 x < 0 se encontrará en los valores de x
donde la inecuación toma valores menores que cero ( < 0)
Luego la solución será
 ,2  0,3
Ejercicio 13.- Resuelve as inecuaciones:
a) x 3 - 5 x 2 - 6x < 0
b) (x 2 -9) ( x +1) > 0
d) (10 x +3) ( x + 1) ( x-2)  0
c) (1 -x 2 ) ( x 2 – 9) < 0
e) ( x+ 1) ( x -2 ) ( x +2) > 0
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Inecuaciones Racionales.
P( x)
 0 , se pueden resolver descomponiendo los polinomios
Q( x )
que forman el denominador y numerador en factores de primer grado, representando
sus raíces en la recta real, y estudiando el signo del cociente de forma similar al
estudiado en las inecuaciones polinómicas de grado superior a dos.
Inecuaciones del tipo
( x  2)( x  3)
 0 , en este caso ya está descompuesta en factores
x 1
de primer grado. Raíces del numerador: x = 2 , x = 3, raíces del denominador x = - 1.
Veamos un ejemplo:
Representemos las raíces en la recta real:
-1
2
3
Debemos tener en cuenta que x no puede valer nunca 1, ya que hace que el
denominador se haría cero, y no existe la división por cero. Sin embargo en numerador
puede ser cero en x = 2 y x = 3, luego los intervalos serán:
 ,  1
 1, 2, 2 , 3 3,  
-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo  ,1 , por ejemplo -3, y
( x  2)( x  3)
lo sustituimos en
x 1
(3  2)( 3  3)  5 ·  6  30


Resultará
que e s un número NEGATIVO
 3 1
2
2
Esto indica que para todos los puntos pertenecientes al intervalo considerado, el signo
de la ecuación siempre es negativo.
-Si tomamos un punto cualquiera perteneciente al intervalo  1, 2 por ejemplo 0, y lo
( x  2)( x  3)
sustituimos en
.
x 1
(0  2)( 0  3)  6

Resultará:
que es un número POSITIVO.
0 1
1
Ahora tú: Comprueba los signo de los dos intervalos restantes.
¿Cuál será la solución entonces de la inecuación propuesta?
Ejercicio 14. - Resuelve las siguientes inecuaciones :
a)
2x  1
 2
x 1
b)
2x  5
0
5 x
c)
x4
 1
x2
d)
3x  5
1  0
2 x
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Ejercicio 15. -Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
a) 4  x 2  0
b) x 2  3x  2  0
c) x  32 x  3  0 d) x2 x  3  0
Ejercicio 16. - Resuelve las siguientes inecuaciones representando las soluciones en la
recta real
a) 2( x  3)  3( x  2)
b)
x  1 x  2 3x  1


x
4
3
6
c) x  3  x  2  5
2
2
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EJERCICIOS DE INECUACIONES
1. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado y representa gráficamente sus
soluciones:
a) 6x  3  4x  7
b) 2x  9  3x  5
c) xx  1  x 2  3x  1
x x
x
2x  4 2x  5
5 x  2 x  8 x  14
d)
  5
e)

f)


2
3 2
6
3
12
3
4
2
2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
a) x 2  7 x  18  0
Sol : x   2, 9

1 2


b) 12x 2  11x  2  0  Sol : x    ,    ,    
4  3




x 1x  2  x 2 1  4  4 x
3 3


c) 9  4 x 2  0  Sol : x    ,     ,     d )
2 2
5



Sol : x   ,  
e) x 2  6x  9  0
2

2 x  3x  1 1  x x  1  12
g)


3
2
4
f ) x 2  2x  3  0
Sol : No

 19  
 Sol : x   , 1 
 2 

tiene

9

 Sol : x   , 5   ,    
5


3. Resuelve las siguientes inecuaciones de grado superior:
Sol : x   1, 0  1,  
a) x 3  x  0
Sol : x  3,  
b) x  1 x 2  4x  3  0
3
2
Sol : x   ,  2  1, 2
c) x  x  4x  4  0
Sol : x   , 0  2, 3
d ) x 3  5x 2  6 x  0
4
2
Sol : x  0, 1
e) x  2x  3x  0
Sol : x   3,  2  2, 3
f )  x 4  13x 2  36  0


g ) x  1 x  1 x  2  0
h) x 2 x  1  2x1  x  0
3
2
Sol : x   , 1  2,  
Sol : x  0, 1  2,  
4. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:
x2
2x  3
Sol : x   2, 2
a)
0
b)
0
x2
x 3
x
Sol : x   ,  1  0,   
c)
0
x 1
x2 1
Sol : x   3,  1  1,  
d)
0
x3
x2  9
Sol : x   3,  1  2, 3
e) 2
0
x x2
1
2
Sol : x   ,  3  3, 9
f)

x3 x3
x2  4
1
x3
Sol : x   ,  2  2,  4
g) 2


x 4 x2 x2

 3 
 Sol : x   , 3 
 2 

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Repaso
1.- Plantea y resuelve:
a) Halla un número sabiendo que su cuadrado mas su doble es igual a cero.¿Cuántos
números cumplen la condición?
b) Halla un número sabiendo que el doble de su cuadrado menos diez veces su valor es
cero ¿Cuántos hay?
c) Si al cuadrado de la cantidad de monedas de euro que tengo lo disminuyo en diez
veces dicha cantidad,” me quedo sin un duro” ¿Cuántas céntimos tengo?
2.-Plantea ecuaciones de segundo grado que tengan por soluciones:
a) x 1= 2 ; x 2= -1; b) x 1= 2 ; x 2 = -3; c) x 1 = 1/2 ; x 2 = 2; d) x 1= 0 ; x 2 = - 3;
3.- Resuelve las ecuaciones de segundo grado:
a) m2 = 5 m – 7 b) 4x - 8 = x2/2; c) t2 = - 2 t – 1 ; d) x2 – 10 ( x - 3 ) = - 4 ;
d) x 4-5 x 2+4=0
e)x 4-26 x 2+25 = 0
4.-.- ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de segundo grado?
a) ¿En qué caso las soluciones de una ecuación de segundo grado serán números
racionales? ¿En que caso serán números irracionales? ¿De qué dependen el
número y el tipo de soluciones de una ecuación de segundo grado?
b) ¿Plantea ecuaciones de segundo grado que tengan una, dos ó ninguna solución y
resuélvalas para comprobarlo?
5. - Un albergue juvenil tiene habitaciones con literas de dos y de cuatro camas.
Sabiendo que tiene 80 habitaciones y 270 camas ¿cuántas habitaciones son de cada
tipo?
6. -En unos grandes almacenes hacen una rebaja del 20% en abrigos y del 10% en
camisas, Julia paga 128,4 €. por un abrigo y una camisa. Si los hubiera comprado
antes de las rebajas habrían costado 156 €. ¿Cuál era el precio sin rebajar del abrigo y
de la camisa?
7. - Divide un listón de madera de 1,20 metros en dos trozos de modo que el producto
de las longitudes de los dos trozos sea de 1100 cm2. Halla las longitudes de los dos
trozos.
8. - Un estanque tiene un volumen de 2000 m3. Si tiene 5 m. de profundidad y es 5 m
mas largo que ancho, ¿cuáles son las dimensiones?
9. - La suma de las edades de un padre y su hijo es de 58 años y dentro de diez años la
edad del padre será el doble que la de su hijo. Calcula las edades de ambos.
10. - Elisa y Patricia van a jugar un partido de tenis y entre el público se encuentran
sus hermanos, que forman un grupo no superior a seis.
a) ¿Qué condición deben de cumplir los hermanos de Elisa y Patricia?
b) ¿Puede ser el número de hermanos un número negativo?
c) Plantea el sistema de inecuaciones y resuélvelo gráficamente.
d) ¿Todas las soluciones del sistema de inecuaciones son soluciones del problema
en este contexto?
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11. - ¿Cómo debe ser el término independiente de la ecuación x2 – 2 x + c = 0 para que
tenga dos soluciones distintas?
12.- Dibuja los ejes coordenados en cada caso y resuelve de forma gráfica las
inecuaciones siguientes:
a) x  y  0 : b)2 x  y  2; c) x  1  0; d ) 2 x  y  2; e) y  0;
f ) y  2
13.- Un día estaba pintando distraídamente los ejes cartesianos en el suelo, cuando
observé que una hormiguita se paseaba alegremente sin salir del recinto determinado
por las ecuaciones:
x  1  0

y  2  0
Dibuja el recinto por dónde se paseaba la hormiguita
14.- Resuelve las siguientes inecuaciones poli nómicas:
a) x 2 - 4 x - 3 < 0
b) x 2 + 5 x - 6 > 0
e) 3x 2 - 10 x +3  0
f) 6 - x – x 2 > 0
a) x 2-5 x + 6<0
c) x 2 - 4 < 0
d) 6x 2 - 7x - 2  0
g) 2 x ( x- 3) > 3 x 2
b) x 2- 4>0 c) x 2-4 x + 3  0
h) x 2 – 6 < 5x
d)x 3-x 2-4 x + 4<0
15.-Calcula la solución de las siguientes inecuaciones fraccionarias:
a)
x3
2x  1
x
x
 0 b)
 0 c)
 1 d )
2
x 1
x2
x3
x2
16.- Resuelve la inecuación: y-2x+4<0
17.- Resuelve las inecuaciones:
a) x + 5 >11
b)
x3 2 x

3
2
3
18.- Determina la ecuación de segundo grado que tiene por suma y producto de las
raíces los valores que a continuación de dan: S = 2 y P = -15
19.- Resuelve la ecuación irracional
a) 7  3x
x7
b)
2x  1  1  x
c) 3 6 x  1  5  2 x
20.-Tres segmento miden respectivamente 8, 22 y 24 cm. Si se añade a los tres una
misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud.
21.- El producto de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es 17 ¿ Cuáles son
esos números?
22. - Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
3x  2 y  6
5 x  2 y  10
b)
x  2 y  11
2x  y  2
c)
2 x  3 y  10
5 x  4 y  2
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23. - Por métodos algebraicos soluciona los siguientes sistemas de ecuaciones:
3x 5 y

2
2
4
b)
12x
3y
 1
5
4
x  2( x  y )  3 y  2
a) x y
 3
2 3
c)
10x  2  y  1
x  3x  y   5
24. -Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
a) 4  x 2  0
b) x 2  3x  2  0 c) x  32 x  3  0 d) x2 x  3  0
25. - Resuelve las siguientes inecuaciones representando las soluciones en la recta real
a) 2( x  3)  3( x  2)
b)
x  1 x  2 3x  1


x
4
3
6
c) x  3  x  2  5
2
2
26. - Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:
a)
2 x  5 y  16
x  3 y  3
b)
y0
x  y 1
x  3 y  20
c) x  0
y0
27. - Si el perímetro de un triángulo equilátero es mayor que 24 ¿qué puedes decir de su
lado?
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Autoevaluación
1.- Atendiendo al número de soluciones clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones.
a) x + y = -1
2 x -y = 1
b) 2 x – y = 3
4 x -2 y = 12
c) 3x + 2 y = 4
6x=8-4y
Si representásemos gráficamente estos sistemas, ¿qué podríamos prever de la situación
de las de las ecuaciones en el plano cartesiano?
2.- ¿Cómo debe ser el coeficiente “b” en la ecuación x 2 + b x + 1 = 0 para que dicha
ecuación deba tener dos soluciones reales? ¿Y para que tenga una raíz? ¿Y para que no
tenga raíces reales?
3.- Resuelve las inecuaciones:
a) x3 + 4 x2 + 5 x + 2  0
b)
5x
3
3x  4
c)
x 2 – 6 < 5x
4.- La diagonal de un rectángulo mide 30 cm. y su área 432 cm2. Halla las dimensiones
del rectángulo.
5.-Resuelve las ecuaciones siguientes:
a)
2x  1  x  4  6
b) x 4- 5
x 2+ 4 = 0
6.- Resuelve: x + y  1
x- y>1
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Refuerzo
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Unidad IV
1.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 24 cm. y la hipotenusa 18 cm más que el
otro cateto. Halla el perímetro y el área del triangulo.
2.- Halla la solución de las siguientes ecuaciones.
a) x 4 –17 x 2 + 16 = 0
b) (x-2)2 = 3 c) 3 6 x  1  5  2 x
3.- Por métodos algebraicos resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
x  2( x  y )  3 y  2
x y
 3
3 2
x 2  y 2  61
2x  y  4
4.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
2x
2x  1
 1 d) x 3 – x 2 -4 x + 4 < 0 e)
 2
a) x 2-2 x – 3 < 0 b) x3 – x > 0 c)
x3
x 1
5.- Para que la solución del sistema a x + b y = 4
yb
sea (2,3) Calcula los valores de a
6.-Explica los siguientes términos apoyándote en ejemplos y representaciones gráficas:
a) Sistemas de ecuaciones lineales
b) Sistemas de ecuaciones compatibles determinado
c) Sistemas de ecuaciones compatibles indeterminados
d) Sistemas de ecuaciones incompatibles
e) Resolver un sistemas de ecuaciones
f) Solución de un sistema de ecuaciones lineales
g) Solución de un sistema de inecuaciones
7.- Representar el conjunto de puntos que satisface la inecuación 2 x – 3 y + 5 > 0 ;
8.- Resuelve: 7 x + 2 y > 14
4 x + 5 y > 20
9.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones: 3 /4 y -2.
10.- Halla el lado de un cuadrado tal que la suma de su área mas su perímetro es igual a
252.
11.-Calcula el valor de b para que la ecuación 3 x 2 – b x + 3 = 0 tenga dos soluciones.
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UNIDAD V. LOGARITMOS. ECUACIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS.
1. Concepto de logaritmo. Nomenclatura. Cálculo de logaritmos en cualquier
base.
2. Propiedades de los logaritmos.
3. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
Concepto de logaritmo. Nomenclatura. Cálculo de logaritmos en cualquier base.
Consideremos la igualdad 2 3  8 (tomaremos la base y el exponente natural para
comprender más fácilmente los conceptos).
Si ocultamos la base, esto es, x 3  8 , y nos preguntamos ¿qué número elevado al cubo,
es decir, multiplicado tres veces por sí mismo, da 8?, averiguamos que es 2 y escribimos
3
8  2 diciendo entonces que 2 es la raíz cúbica de 8.
Por otro lado, si ocultamos el exponente, es decir, 2 x  8 , y nos preguntamos ¿a qué
número tenemos que elevar 2 para obtener 8?. Averiguamos que es 3, escribiendo
entonces que log2 8  3 diciendo entonces que 3 es el logaritmo de 8 en base 2. Esto
dará lugar a otra operación desconocida hasta ahora llamada logaritmo. En general
daremos la siguiente:
Definición: llamamos logaritmo en base b del número N al exponente al que hay que
elevar b para obtener N, es decir,
logb N  a
“si y solo si”
N  ba
La base “b” ha de ser siempre positiva (aunque puede ser cualquier número real) y por
lo tanto N también lo será.
Si escribimos “log” sin indicar ninguna base supondremos que ésta es 10 llamándose
logaritmo decimal, y si escribimos “ln”, la base será el número “e” diciendo entonces
que los logaritmos son neperianos.
En las calculadoras científicas aparecen ambos logaritmos y para su cálculo escribimos
primero el número y después la tecla de logaritmo correspondiente (es al contrario en
los modelos nuevos). Para calcular el logaritmo en cualquier base usaremos las fórmulas
siguientes:
logb N 
Ejemplo: log5 100 
log N
log b
o bien
log b N 
ln N
ln b
log100
log5
Si no disponemos de calculadora intentaremos realizar el cálculo mediante la definición,
es decir:
log3 81  x → 3 x  81 → 3 x  34 → x = 4
esto lo haremos si el número dado se puede escribir como potencia de la base del
logaritmo, pues en caso contrario terminaremos usando la calculadora.
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Propiedades de los logaritmos.
a) logb 1  0 para cualquier base.
b) logb b  1
c) Solo tienen logaritmos los números positivos.
d) log A  B  log A  log B
 A
e) log   log A  log B
B
f) log A p  p  log A
g) Para el “log de una raíz” basta escribir una potencia de exponente
fraccionario.
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
Ecuaciones logarítmicas: son ecuaciones donde la incógnita está sometida a la acción
del logaritmo, como por ejemplo:
log x  log( x  1)  log
1
2
Para resolverlas intentaremos llegar a una igualdad del tipo
log ESTO = log AQUELLO, de donde deduciremos que ESTO = AQUELLO
(desapareciendo el log).
Resolvamos pues el ejemplo anterior (usando las fórmulas de la pregunta anterior)
log x  log( x  1)  log
1
x
1
x
1
 log

; log
;
; 2x  x  1 ; x = 1
2
x 1
2
x 1 2
Ejemplo: en algunos ejercicios donde aparece un número suelto podemos sustituirlo por
otra expresión que incluya la palabra logaritmo como por ejemplo:
log x  log 4 x  2 ; log x  4 x  log100 ; 4 x 2  100 ; x 2 
100
; x 2  25 ; x = 5
4
o bien, si no usamos este artificio, aplicamos la definición de logaritmo
log x  log 4 x  2 ; log x  4 x  2 ; log 4 x 2  2 ; 102  4 x 2 ; x 2 
100
; x=5
4
A veces al resolver una ecuación logarítmica podemos terminar resolviendo una de tipo
exponencial, en la cual también se intenta llegar a una expresión de la forma:
baseESTO = baseAQUELLO ,de donde pondremos: ESTO = AQUELLO
(“base ha de ser el mismo número en ambos miembros”)
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Ejercicios de logaritmos
Sabiendo que logb N  a si y solo si N  b a , realiza los siguientes ejercicios:
1. Calcula x en: a) log5 x  2 ; b) log4 x  2 ; c) log1 x  4 ; d) log x  0 ,
2
e) log x  3 ; f) log 8 x 
1
1
1
; g) log 4 x 
; h) log3 x  1 ; i) log 25 x 
3
2
2
2. Calcula x en: a) log6 36  x ; b) log3 27  x ; c) log 3
d) log9 3  x ; e) log4 8  x ; f) log4 2  x ; g) log 8
3. Calcula x en: a) logx 16  2 , b) log x 10 
1
x ;
2187
1
 x ; h) log 1 2  x
8
2
1
1
1
 4 ; d) log x 9 
; c) log x
4
81
2
e) logx 2  0,25 ; f) logx 0,001 3 ; g) logx 125  3 ; h) log x 3 
4. ¿Qué relación existe entre log3 2 y log 1 
3
1
3
1
.
2
5. Si loga b  0,25 , ¿cuánto vale logb a ?
6. ¿Qué relación hay entre a y b si log a + log b = 0?
7. ¿Qué relación hay entre a y b si log a + log b = 1?
8. Calcula x sabiendo que log5 (log3 (log2 x)))  0
a
9. Calcula a sabiendo que log7    log7 x  2
b
10. Prueba que log 1 a  log 1 b  0
a
b
11. Prueba que si loga x + loga y = 0, entonces x·y = 1
12. ¿Qué se le tiene que hacer a un número para que su logaritmo en base 3 aumente
en 2 unidades?
13. Si se multiplica por 36 el número N, su logaritmo en cierta base aumenta en 2
unidades, ¿cuál es dicha base?
a b
14. Prueba que log(a 2  b 2 )  log(a  b)  log  
b a
1
1
15. Prueba que log  x  ( x 2  1) 2   log  x  ( x 2  1) 2   0 para todo x > 1




 1
1
16. Prueba ln 1  1
a 2 b 2
 1
1
1
  ln a  1 ln b  ln(b  a)  ln a 2  b 2 
 2


2

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EJERCICIOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
1. Resuelve:
b) 4 x  5 x1  1600
a) 2 x  3x  12 18
d ) 10x
g) 3
j)
3
2
11x30
2 x 1
 2  5
2
e) 8 x
 28  3  3  0
x
a 7 x  a 2
4 
3 x 2 x
3
8
 3 x
6x
x2
x2  1
f ) 3x1  3x  3x1  117
1
5
 2
x 1
i)    3,5
7
 0,5
2 x 1
l ) 7 2 x3  8  7 x1  1  0
1
n) 32 x1  9
o) 3  2 x3  192 3x3
r)
3 x2
h) 2
k)
2
m) 21 x  1
8
2
c) 9 x3  33x5
ñ) e x  2e  x  3
4
p) 2 4 x  2 2 x  12  0
q)
4
x


 64  3x  81  0
2
1
4  2x
s)
x
2. Calcula el valor de x en los siguientes casos:
a)
 
x  log3 3 3
e) log7 x  2
3. Calcula:
1
a) log125
5
27
f ) log 5
3 125
4 3

k ) log 1 

9
3


b)
4 3

x  log 1 

9
 3 
c)
f ) log7 7 x  2
b) log8 4 2
g ) log343 7
l ) log
3
3
1
9
1
125
 39 

m) log 3 

27


d ) log216
1
6
81
i ) log 2
3 16
d)
x  7 log7 3
h) x  loglog10
g ) log7 x 4  2
c) log2 0.125
h) log25
1
x  log 3  
9
3
e) log25 125
 
j ) log3 3 3
n) loglog10
4. Desarrolla, aplicando las propiedades de los logaritmos:
a2 3 b
a

b) log  c 4 d 
a) log
4 3
b

c
m

c) log  p 3 q 
n

Pág. 98
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5. Halla la expresión algebraica de x si:
1
a) log x  2log a  3 log b   2 log c  log d 
2
1
1
b) log x  log a  3 log b  log c  2 log d 
2
3
c) log x 
3
1
log a  log c  log b
5
2
6. Sabiendo que log 2 y log 3 son conocidos, calcula (sin calculadora):
 12 
a) log 
5
3
b) log5 8
c) log 2,025
 36 
d ) log 
 5
2
e) log64,8  3 0.5
2
7. Resuelve:
1
a) log x  6  log 2 x  3  2  log 25
2
x
x
32
c) 5 log  2 log  3 log x  log
2
3
9
e) log7 x  9  log3x  4  2
2
x
2
x
2

 5 x  9 log 2  log 125  3
d ) log 3x  1  log 2 x  3  1  log 5
 
f ) log1250 2  2  log 2 2 x
2

g ) 2 log x  1  logx  0.9
i)
b)
2 x

h) log 25  x 3  3 log4  x  0
2 log x  log y  5
j) 
logx  y   4

 4 x  7 log5  log16  4
log x  log y  3
k) 
2 log x  2 log y  1
l)
1

x log5  y log5  log


5

 x log 1  y log3  log 1

9
3

8. Resuelve:
x
 log 3 5  2
5
d ) logx  1  log x  1
a) log 7  log x  log 3
b) log 3
c) logx 100 logx 25  2
f ) log3x  5  log2 x  1  1  log5
h) 2 log x  logx  6  0
g ) log4x  1  log3x  2  log 2
i) logx  1  log 5  x  log 5  x  0
j ) log2 x  3  logx  1  log2 x  5  log1  x 


l ) 3 log x  log 2x 2  x  2  0
n) 5 log
e) log2  logx  3  log 2x
x
x
32
 2 log  3 log x  log
2
3
9
4

k ) 4 log x  log x 2    log5
5

m) 2 log x  1  logx  0,9
1
ñ) log x  6  log 2 x  3  2  log 25
2
Pág. 99
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9. Resolver:
log x  log y  1

a)  x
y  5

x  y  9
b) 
log x  log y  1
log x  log y  3
d) 
log x  log y  1
2 log x  3 log y  5
e) 
3 log x  log y  2
 x 2  y 2  21
g) 
log x  log y  1
x
y

2  5  9
h)  x 1
y 1

2  5  9
1

logx 4  y  
j) 
2
log y 4  x   2

logx  y  3  2

k) 
1
log y x  3 

2

x  y  2
c) 
log x  log y  1
log x  5 log y  7
f) 
5 log x  log y  4
x
y

2  2  10
i)  x y

2  4
logx  y   logx  5  log5

l)  2 x
 y 2
2
Repaso
1. Desarrolla, aplicando las propiedades de los logaritmos:
a3 b
a

a ) log
b) log 2  c 4 d 
3
4
b

c b
m

c) log  p 3 q 2 
n

2. Usando la definición calcula el valor de:
5
2
,
log 3 9 27 .
32
3. Conociendo log2=0,3010 y log3=0,4771 y utilizando las propiedades de los
logaritmos, calcula:
log 12,
log5 4,8 ,
log 3 0,6 ,
log(0,027) 3 ,
log 5 5184
, .
4. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
log 3 (81),
log 25 5,
log 9 4 3 ,
x
81
a) 4 log  log  2 log x
3
4
c) log(4 x  1)  log(3x  2)  log 2
e) 2 log x  log( x  16)  2
log 2
b) log(3x  5)  log(2 x  1)  1  log 5
d) 3 log x  log(2 x 2  x  2)  0
1
f) log(5x  4)  log 2  log( x  4)
2
5. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 2 2 ( x 1)  2 x  3  320  0
b) 4 x  5  2 x  4  0 c) 52 x 1  5 x  2  2500
1
d) 25 x 1  30  5 x 1  125  0 e) 3 x  x 1  4
f) 9 x  2  3 x  2  81  0
3
Pág.100
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UNIDAD VI. FUNCIONES.
Funciones. Definición.
Son muchas las relaciones que existen entre diversos conjuntos de objetos en las
actividades cotidianas. Por ejemplo,
- A cada persona le corresponde una edad.
- A cada medicamento le corresponde un precio
- A cada automóvil le corresponde una matricula
- A cada número le corresponde su cuadrado.
- A cada número real le corresponde dos raíces cuadradas.
Uno de los aspectos mas importantes de la ciencia consiste en establecer relaciones
entre diversos tipos de fenómenos. Una vez que se conoce la relación entre los dos
tipos de fenómenos se pueden hacer predicciones. (Relación entre el espacio y el
tiempo, la relación entre la presión de un gas y la temperatura. etc.)
Las relaciones especiales llamadas funciones representan unos de los conceptos más
importantes de las matemáticas.
Relaciones y funciones: Veamos algunos ejemplos de las relaciones:
Relación 1.-A cada número se le hace corresponder su cuadrado
Relación 2. -A cada número se le hace corresponder su raíz cuadrada.
Relación 3.-A cada número se le hace corresponder su cubo.
Relación 1
Dominio.
Recorrido
Número
cuadrado
Relación 2
dominio
número
recorrido
raíz cuadrada
Relación 3
dominio
número
recorrido
cubo
1
1
0
0
0
0
-1
1
+1
1
1
0
0
-1
-1
-1
-2
4
2
+ 2
2
8
+2
- 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Una relación o correspondencia es una regla (proceso, método) que produce una
correspondencia entre un primer conjunto llamado dominio y un segundo conjunto
llamado recorrido, tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más
elemento del recorrido.
Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que a cada
elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del recorrido
En las relaciones anteriores vemos que la relación 1 y la relación 3 son funciones, y que
la relación 2 no es función, ya que un elemento del dominio le corresponde dos
elementos del recorrido.
Relaciones especificadas mediante ecuaciones:
La mayoría de los dominios y recorridos que vamos a estudiar serán dados en R y las
reglas que hacen corresponder o asociar a cada elemento del dominio un elemento del
recorrido serán ecuaciones.
Por ejemplo, consideremos la ecuación: y = x 2 – x
Real)
dónde x  R (x es un número
Pág.101
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Para cada valor de x se obtiene un resultado de y.
Por ejemplo, para x = 3, entonces y = 3 2 - 3 = 6
La ecuación asocia a cada valor x del dominio (número real cualquiera) un valor y del
recorrido.
La variable “x” se le llama variable independiente (puesto que los valores se dan en
forma independiente) y la variable “y” se le llama variable dependiente (ya que
dependen del valor que le demos a la variable independiente)
Con la ecuación anterior y = x 2 – x dónde x  R podemos obtener una tabla de
valores de la función, simplemente sustituyen la variable independiente por números
reales en la ecuación:
x
Y
0
0
1
0
-1
2
2
2
-2
6
3
6
Por comodidad solemos elegir números enteros, pero también podríamos haber tomados
otros números reales:
1
 1  1 3
Por ejemplo x = , entonces y =        =
2
 2  2 4
2
Dado que en una función los elementos del recorrido y del dominio forman parejas,
esta correspondencia se puede ilustrar también en forma de pares ordenados:
 1 3
(0,0) , ( 1,0) , (-1,2), ( 2, 2) (-2, 6) , ( 3 , 6) ,   , 
 2 4
Esta sería una forma alternativa pero equivalente de definir las funciones., por pares
ordenados.
Si representamos estos pares de valores en un sistema de ejes coordenados,
obtendremos una gráfica de la función.
Pág.102
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Como consecuencia de las definiciones vemos que una función, se puede determinar
de diferentes formas:
-Mediante una ecuación.
-Mediante una tabla.
-Mediante un conjunto de pares ordenados.
-Mediante una gráfica.
Prueba de la recta vertical de una función:
Una relación es una función si una recta vertical pasa como máximo por un punto de la
gráfica de la función, si la recta pasa por más de un punto de la gráfica no es una
función.
En la figura siguiente vemos la gráfica de una relación que no es una función, ya que
cualquier recta vertical puede cortar a la gráfica en más de un punto.
Notación de funciones.
De la misma forma que utilizamos letras ”x” e “y” para designar las variables
independiente y dependiente, utilizaremos también letras para designar las funciones,
por ejemplo las letras “f” y “g”, para designar las siguientes funciones:
f: y= 2x+1
g:
y=x2+2x -3
Si “x” representa un elemento del dominio de la función f, frecuentemente vamos
a utilizar f(x) en lugar de “y” para designar el número del recorrido de la función f
asociado a “x”.
El símbolo f(x), se lee “efe de x “ y representa la pareja de “x”, o valor de “y” asociado
a “x”, utilizaremos indistintamente: “y” ó “f(x)”, es decir las funciones anteriores la
podemos escribir:
f (x) = 2 x + 1
g (x) = x 2 + 2 x - 3
La ventaja de esta notación es que si escribimos f (2) y g (1), es que indican de forma
clara el valor del recorrido asociado a estos valores:
Pág.103
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f(2) = 2 · 2 + 1 = 5
g(1) = 12 + 2 · 1 – 3 = 0
Ejercicio 3.- Dadas las funciones:
2
a) f(x) = 2x +3 Calcula f(0), f(-1), f 

 3 
2x
b) g(x) = 2
Calcula g( 0), g ( 1 ), g ( 2), g ( -2 ) , g ( 3)
x 4
Ejercicio 4.a) Dada la función f(x) = x + 7. Calcula “ x “ para f(x) = 2, y =0 , f(x) = -3
2x
b) Dada la función y = 2
. Calcula “x” para f(x) = 0, y = 1, y = - 2
x 4
Ejercicio 5.- Obtén una tabla con cinco pares de valores de la función dada por la
ecuación y = 2x – x 3
Ejercicio 6.- La función dada por
independiente ¿es una función?
la ecuación y
2
= x siendo “x” la variable
Ejercicio 7.- Encontrar el dominio y el recorrido de la función:
f   2,3,  1,3, 0,2, 1,2
Ejercicio 8.- Encontrar el dominio y recorrido de la función:
g   2,1,  1,1, 2,3, 5,41,2
Si una función está definida mediante una ecuación y no se indica el dominio, se
supondrá que éste es el conjunto de todos los números reales que, al reemplazar a la
variable independiente produzcan valores reales de la variable dependiente.
El recorrido será el conjunto de todos los resultados correspondientes a los valores
sustituidos.
Ejercicio 9.- ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función definida por la ecuación
y = x 2 +3? ¿Y de la función y = 3 x 3 + 2 x 2 + 5 x -2?
Ejercicio 10.- ¿Cuál es el dominio de la función
y
y
1
?
x
¿Y de la función
2x
?
x 4
2
Ejercicio 11.- ¿Cuál es el dominio de la función y =  x ?¿Y de la función
y =  x2  x ?
Ejercicio 12.- Sabrías encontrar una regla para definir los dominios de funciones
polinómicas ( ejercicio 9), racionales (ejercicio 10 ) e irracionales (ejercicio 11)?
Pág.104
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También podemos calcular el dominio a través de sus gráficas.
Cuando se dibuja la gráfica de una función, los valores del dominio se asocian por lo
general al eje de abscisas (eje horizontal) y los valores del recorrido al eje de
ordenadas (eje vertical).
Ejemplo: Gráfica de la función “f”
y
3
2
R
e
c
o
-3
r
r
i
d
o
1
x
0
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
Dominio
Ejercicio 13.- ¿Cuál será el dominio de la función “f”? ¿Y su recorrido? A la vista de la
gráfica podrías completar la siguiente tabla:
x -1,5 1 0
2
y
1,5
Ejercicio 14.- Calcula el dominio y el recorrido de las gráficas de las funciones
representadas:
Función: f (x)
Función: g(x)
Puntos de Intersección con los ejes:
Son los puntos donde la gráfica corta a los ejes de coordenadas. En los puntos de
intersección con el eje X el valor de y = 0, mientras que los puntos de intersección con
el eje Y el valor de x =0.
Ejemplo: Calcula los puntos de intersección con los ejes de las siguientes funciones:
y=2x+3
En la función y = 2x +3 ,
Pág.105
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Para calcular la intersección con el eje X sabemos que y = 0, y calculamos el valor de
“x” que le corresponde sustituyendo:
0 = 2 x +3, luego - 2 x = 3 y despejando
3
 3 
x   luego el punto de intersección o de corte será   ,0  .
2
 2 
Para calcular la intersección con el eje Y , sabemos que x =0 , y calculamos el valor de
“y” que le corresponde sustituyendo: y = 2 · 0 + 3 , luego y = 3, por lo tanto el punto
de intersección será ( 0, 3)
Ejercicio 16.- Calcula los puntos de intersección con los ejes de las siguientes
funciones:
2x  2
x2
a) y = 3x -2 b) y = x 2 – 4 c) y 
d) y = x – 1 e) y 
3
x 1
Propiedades generales de las funciones.
Todas las funciones que tienen un dominio y un recorrido de números reales tienen una
gráfica, que es la grafica de las parejas ordenadas de números reales que constituyen la
función.
Ahora vamos a ver algunas propiedades de la funciones mediante su graficas.
Simetrías:
Una función que es simétrica con respecto al eje de ordenadas se le llama función par,
si la función es simétrica con respecto al origen se dice impar.
Pág.106
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Sin necesidad de dibujar la gráfica podemos conocer si una función es par o impar
simplemente comprobando:
Si f (-x) = f (x) entonces la función es par. (simétrica respecto al eje de ordenadas)
Si f (-x) = - f(x) entonces la función es impar. (simétrica respecto al origen de
coordenadas)
Ejemplo: Determina sin hacer la gráfica si las funciones siguientes son pares o impares.
a) f (x) = x 3 , b) g(x) = x 2 d) h(x) = x 3 + 1
a) f(x) = x 3; Sustituyendo “x” por “-x”
en la función dada
3
vemos que “- x ” es igual f(x) pero negativa, es decir que
f(-x) = (-x) 3 = - x 3
f(-x) = (-x) 3 = - x 3 = - f(x) luego la función es IMPAR
b) g(x) = x2; Sustituyendo “x” por “-x”
en la función dada
vemos que “ x 2 ” es igual g(x) , es decir que
g(-x) = (-x) 2 = x 2
g(-x) = (-x) 2 = x 2 = g (x) luego la función es PAR.
c) h(x) = x 3 +1; Sustituyendo “x” por “-x”
en la función dada
h(-x) = (-x) 3 +1= - x 3 +1 vemos que no es igual que h(x) , ni que -h(x) luego
dicha función no es par ni impar.
Veamos sus gráficas:
Para la función f(x) = x 3. Impar. Simétrica con respecto al origen
f(1) = 1
f(-1) = -1
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Para la función g(x) = x 2. Par. Simétrica respecto del eje de ordenadas
g ( -2) =4
g ( 2) = 4
Para la función h ( x ). Ni par, ni impar.
¿Por que importa saber si una función es impar o par? Por que si desea graficar la
función nos va a dar información auxiliar para dibujarla reduciendo los cálculos.
Ejercicio 15.- Sin graficar, determinar si las funciones siguientes son pares o impares.
a) y = x 3 + x
b) g(x) = x 2 + 1
c) y = 2 x + 4
d) h(x) = 3 x
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Tasa de variación
Consideremos una función y = f (x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje
de abscisas " a" y " a+ h " , siendo "h " un número real que corresponde al incremento
de x (Δ x).
Se llama tasa d e vari aci ón (T .V.) de la función en el i n terval o [a, a+h ] ,
que se representa por Δ y , a la d i f eren ci a en tr e l as ord en ad as correspondientes
a los puntos de abscisas a y a+h .
Δ y = [f (a+h ) − f (a)]
Tasa de variación media
Se llama tasa d e vari aci ón med i a (T .V.M.) en intervalo [a, a+ h ] , y se
representa por
ó
, al coci en te en tr e l a tasa d e vari aci ón y l a
amp l i tu d d el i n terval o considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:
Interpretación geométrica
La expresión anterior coincide con la pendiente de la rec ta secan t e a l a f u n ci ón
f (x), que pasa p or l os p u n tos d e ab sci sas a y a+h .
ya que en el triángulo PQR resulta que:
Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].
El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de
variación media mensual.
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Signo de la función: Si la función es positiva, su gráfica se sitúa por encima del eje
X, y si es negativa se sitúa por debajo del eje X.
Ejemplo: Dada la gráfica de la función “f”, estudia el signo de la función
3 y
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
La función será positiva para todos los números menores que -1, es decir en el intervalo
 ,1
La función será negativa para todos los números mayores que -1 y menores que 1 es
decir en el intervalo  1,1
La función volverá ser positiva para todos los números mayores que 1 y menores que 2,
es decir en el intervalo 1,2
La función volverá a ser negativa para todos los números mayores que 2, es decir en el
intervalo 2, .
La función será nula en x= -1, x = 1 , y en x = 2
Ejercicio 16.- Estudia el signo de la gráfica de la función siguiente
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Monotonía:
Crecimiento y decrecimiento: El crecimiento y decrecimiento son propiedades locales,
es decir no se estudian en todo su dominio sino por intervalos., aunque a veces
podemos decir que una función es creciente en todo su dominio si lo es en todos sus
puntos.
Intuitivamente una función es creciente en un intervalo de su dominio si al aumentar
el valor de la variable independiente (x) aumenta el valor de su variable dependiente
(y)
Es decir si tomamos dos puntos cualesquiera de un intervalo “x 1” y “ x 2 ” , y si lo
comparamos vemos que :
x1 > x2
y sus asociados f(x 1) > f(x 2) se dice que la
función es creciente en ese intervalo:
Intuitivamente una función es decreciente en un intervalo de su dominio si al
aumentar el valor de la variable independiente disminuye el valor de su variable
dependiente.
Es decir si tomamos dos puntos cualesquiera de un intervalo “x 1” y “ x 2 ” , y si lo
comparamos vemos que :
x1 > x2
y sus asociados f(x 1) < f(x 2) se dice que la
función es decreciente en ese intervalo:
Y se dice que una función es constante en un intervalo de su dominio si para
cualquier par de valores de “ x”: x1, x2 de dicho intervalo siempre se cumple que
f(x1) =f(x2)
Ejercicio 9.- Estudia el dominio, recorrido, signo, intersecciones con los ejes, y
monotonía (crecimiento, decrecimiento), de la grafica de la función siguiente:
D
D= decreciente;
C = creciente;
C.
D.
Cte.
C te= constante
Pág.111
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Máximos y mínimos.
Si observamos la representación de una función vemos puntos
presenta cambios en el crecimiento de la función
donde la gráfica
Max. relativo
mín. relativo
mín. relativo
Se observa que hay puntos donde la función pasa de ser creciente a decreciente y al
revés. Estos puntos se les llama máximo y mínimos relativos.
-Si observamos la gráfica vemos que x = -1,5 es un mínimo relativo porque cualquier
punto cercano a él le corresponde un valor de la función mayor.
De igual forma podemos afirmar que la función tiene un máximo relativo en x = 0
porque cualquier punto cercano a él le corresponde un valor de la función menor.
Ejercicio 10.- ¿Existe otro mínimo relativo en la gráfica anterior? ¿En que punto?
¿Cuál es su valor?
En general el Máximos absoluto de una función es el mayor de los máximos relativos
de dicha función. Por otra parte, si una función está definida en un intervalo cerrado
a, b sus máximos absolutos, si los tiene, serán los puntos del intervalo dónde la
función alcance esos valores.
En general el Mínimos absoluto de una función es el menor de los mínimos relativos
de dicha función. Por otra parte, si una función está definida en un intervalo cerrado
a, b sus mínimos absolutos, si los tiene, serán los puntos del intervalo dónde la
función alcance esos valores.
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Max. Absoluto
Mín. Absoluto
Asíntotas:
Veamos una función racional
que se llama hipérbola:
f(x) =
1
, si queremos
x
representarla construyamos una tabla de valores:
x
Y
-3
-2
-1
0
1
2
3
Aunque es obvio que esta función no existe para x = 0 , es conveniente saber lo que
sucede en la gráfica cuando x toma valores próximos a cero, ya sea acercándonos por la
derecha del cero ( x  0  ) o por la izquierda del cero ( x  0  )
Construye las tablas: x se aproxima a 0 ( x  0  )
x
1/x
1
0,1
0,01 0,0001 0,0000001 …
…
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x se aproxima a 0 ( x  0  )
x
1/x
-1
-0,1
-0,001 ……
……
……
Observemos las tablas y la gráfica:
Cuando x se aproxima a 0 por la derecha ( x  0  ) 1/x se vuelve cada vez mayor,
aumenta sin límite.
Cuando x se aproxima a 0 por la izquierda ( x  0  ) 1/x se vuelve cada vez menor,
disminuye sin límite.
Por lo tanto la gráfica de la función se acerca al eje vertical “Y” pero sin tocarlo
cuando x se acerca a cero.
Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica se llaman asíntotas. En este caso
el eje vertical Y es una asuntota vertical.
Veamos
ahora
el comportamiento de la función para valores de “ x ” muy
grandes, es decir cuando x   y también cuando x  
x
1/x
x
1/x
1
10
-1
1000 100000 100000000 …
-10
-1000
……
…
……
Ejercicio 11.-¿Qué puedes deducir de estas dos últimas tablas?
En general una recta x =a es una asíntota vertical de una función si esta aumento o
disminuye sin límite cuando x  a  o x  a  .
Una recta y = b es una asíntota horizontal si f(x) se aproxima a “b” cuando x  
o x  
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Ejercicio 12.- En las siguientes gráficas de funciones racionales escribe las ecuaciones
de sus asíntotas horizontales y verticales.
Continuidad.
Una función es continua cuando su gráfica no presenta interrupciones. En caso
contrario será discontinua en los valores de “x” en los que se presentan interrupciones.
Discontinuidades. Una función es discontinua en un punto x = a si su gráfica se
interrumpe en ese punto.
En ese puntos x = a se pueden presentar los tres tipos de discontinuidades siguientes
a) Discontinuidad evitable
y
5
4
3
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
1
2
3
4
5
-1
y
5
4
3
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
3
4
5
-1
Pág.115
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Estas gráficas se dicen que presentan una discontinuidad evitable en el punto x = a, ya
que sólo faltaría añadir o modificar dicho punto para que las funciones fuesen continuas
en él.
Este tipo de discontinuidad crea un “agujero” en la gráfica de la función.
b) Discontinuidad de salto finito.
y
4
3
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
Ésta gráfica se dice que en el punto x = 1 presenta una discontinuidad de salto finito
La amplitud del salto es la diferencia positiva entre 1 y 0,5
c) Discontinuidad asintótica
En la gráfica de esta función se dice que en el punto x = -1 presenta una
discontinuidad de salto infinito o asintótica.
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Estudiemos que ocurre con la función en valores de “x” próximos a -1:
- Para cada valor de x próximos a -1 y menores que -1, (valores por la izquierda
de -1: -1,1; -1,01; -1,001; …), la función (y) toma valores cada vez mas
pequeños; matemáticamente esto se expresa diciendo que la función tiende a
menos infinito ( y   ).
- Para cada valor de x próximos a -1 y mayores que -1, (valores por la derecha de
-1 : -0,9; -0,99;…), la función (y) toma valores cada vez más grandes;
matemáticamente esto se expresa diciendo que la función tiende a más infinito
( y   ).
Esta función presenta una discontinuidad de salto infinito en el punto x = -1, porque
en valores próximos a -1 (por la izquierda y por la derecha) la función tiende a
 ó .
Veamos otro ejemplo de discontinuidades de salto infinito.
¿En que punto presenta la discontinuidad la función de la gráfica?
12 y
10
8
6
4
2
x
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2
Ejercicio 13.- Estudia las discontinuidades de las siguiente función.
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Clasificación de las funciones a partir de la ecuación o criterio que la define.
Representación gráfica.
-
Funciones polinómicas:
Función lineal: f es una función del tipo y = m x + n
dónde m  0,
m, n  R
mx + n es un polinomio de primer grado.
La gráfica de esta función es una línea recta, y ya que por dos puntos pasa una línea
recta solamente será necesario construir una tabla de valores para un par de puntos.
2
Por ejemplo, estudiemos la función y =  x  4
3
2
Grafiquemos la función y =  x  4 , construyamos su tabla
3
x
y
0
4
3
2
Cualquier otro punto estará alineado con estos dos puntos, es decir pertenece a la recta.
Ejercicio 14.- Comprueba si los puntos (1,2), (6,0) pertenecen a dicha recta
2
Grafiquemos y =  x  4
3
y
6
4
2
x
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2
-4
-6
Ejercicio 15 .- En la grafica de la función anterior, calcula:
Dominio:
Recorrido:
Intersecciones con los ejes:
Continuidad:
Crecimiento:
Ejercicio 16.- Graficar las siguientes funciones lineales
1
a) y = x - 2 b) y = 2x + 3 c) y = 2 x
2
Pág.118
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Estudiemos el significado de “m” y “n”.
Pendiente de una recta. El coeficiente “m” nos da una medida de la inclinación de la
recta, que llamaremos pendiente.
Interpretada geométricamente la pendiente de la recta es la razón (cociente) del
cambio de las ordenadas (y) al cambio de las abscisas (x), cuando P1 se mueve a P2,
Figura 1.
P2 (x 2, y 2)
P1 (x 1, y 1)
En la Figura 1, P 1 ( x 1, y 1) y P2 ( x2, y2) son dos puntos distintos de una recta , la
pendiente vendrá dada por:
cam biode ordenadas y 2  y1
m

cam biode abscisas
x2  x1
Figura 2
P1 (
,
)
P2 (
,
)
Ejercicio 17.- Escribe las coordenadas de los puntos P 1 y P 2 y calcula la pendiente de
la recta de la figura 2.
¿Sabrías relacionar el signo de la pendiente con el crecimiento y decrecimiento de la
función lineal?
Pág.119
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Figura 3.
P1 (
,
)
P2 ( , )
Ejercicio 17 .- Escribe las coordenadas de dos puntos P 1 y P 2 y calcula la pendiente de
la recta de la figura 3
Veamos el caso de una recta vertical o paralela al eje Y.
Por ejemplo la gráfica de la recta de la figura 4.
Ésta grafica no representa ninguna función, ya que para un determinado valor de x ( en
este caso x = 1), la ordenada toma cualquier valor, y si recordamos la definición de
función que vimos al principio de la unidad:
Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que a cada
elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del recorrido
Y como independientemente del valor que tenga “y”, “x” siempre toma el valor 1, su
ecuación será x = 1. Luego la recta de ecuación x = 1 no es una función
Figura 4
5 y
4
3
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
Ejercicio 18.- Encuentra la pendiente de la recta representada en la figura 4.
Pág.120
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Ejercicio 19.- Trazar una recta que pase por cada par de puntos y encontrar su
pendiente.
a) (-3,-4) , (3,2) b) (-2,3), (1, -3) c) (-4,2), (3,2) d) (2,4) , (2, -3)
Comprueba que el orden de sustitución de los puntos en la expresión de la pendiente
y  y1
es irrelevante.
m 2
x 2  x1
Ejercicio 20.- Encontrar las ecuaciones de las rectas verticales y horizontales que pasan
por el punto (7, -12) y también por el punto (0,0). ¿Cuáles serían las ecuaciones de los
ejes coordenados?
Ordenada en el origen “n”.
El término “n” en la ecuación de la recta y = m x + n, corresponde al valor de la
ordenada (y) cuando la abscisa es cero ( x = 0), es decir en el origen.
Ejemplo: Calcula la ordenada en el origen de la ecuación de la recta: y = 3 x - 2
La ordenada en el rigen será n = - 2, ya que si x = 0 , y = 3 · 0 -2 = -2.
El afirmar que la ordenada en el origen es -2 , equivale a afirmar que pasa por el punto
(0,-2).
Ejercicio 21.- Calcula la ordenada en el origen de las funciones:
1
a) y = x - 2 b) y = 2x + 3 c) 2 x
2
Ecuación de la recta: Hasta ahora hemos dibujado las gráficas de las rectas a partir de
un par de puntos obtenidos de su ecuación.
Ahora veremos como calcular la ecuación a partir de un par de puntos de su gráfica.
Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, -4) y (3, 2)
Veamos dos formas de abordar este problema:
a) Queremos hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.
Si es una recta sabemos que su ecuación es de la forma y = m x + n, y también
sabemos que los puntos (-3, -4) y (3, 2) pertenecen a dicha recta luego:
y=mx+n;
sustituyendo las coordenadas (-3, -4)
sustituyendo las coordenadas (3, 2)
-4 = m · -3 + n
2=m·3 + n
Luego solo tendremos que resolver dicho sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son “
m “ y “n” , ordenando dichas ecuaciones y resolviéndolo por reducción tendremos:
-3m +n =-4
3m +n =2
-3m+n =-4
3m+n= 2
2
 1 n = - 1
2
y sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones del sistema tendremos el valor de “ m “ :
+ 2 n = -2
3 m + ( -1 ) = 2 ; 3 m – 1 = 2 ;
n=
3m=2+1; 3m =3; m =1
Luego la ecuación de la recta pedida será y = x - 1
Pág.121
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Ejercicio 22 .- Calcula la ecuaciones de las rectas que pasan por cada par de puntos.
No hay que graficar.
a) ( -1,2) y ( 1 ,5) b) (-3, -3) y (2, -3) c) (0,4) y (2,4)
b) Otra forma de abordar este problema.
Queremos calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, -4) y (3, 2),
Para ello vamos a considerar también otro punto cualquiera de la recta de coordenadas
genéricas (x , y )
R( x, y)
Q (3, 2)
P(-3, -4)
Calculemos primero la pendiente de la recta que pasa por
y  y1  4  2
los puntos P y Q : m  2

 1; m = 1
x2  x1  3  3
Ahora calculemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos
y  y1 y  2
;
m 2

x2  x1 x  3
Q y
R :
Las pendientes tienen que ser iguales ya estos puntos pertenecen a la misma recta,
luego igualando ambas pendientes tendremos:
y2
1
; Luego x – 3 = y – 2 ,
x3
Despejando: y = x – 1 que será la ecuación de la recta pedida
Ejercicio 23.- Utilizando el método anterior. Calcula la ecuación de las rectas que
pasan por cada par de puntos.
a) ( 2,-1) y ( 3 , 1) b) ( -1 , 2) y ( 3, -4) c) (0,2) y (3,0)
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Vectores
Componentes de un vector
En la figura de la derecha tenemos representado el vector AB, de
origen el
punto A(3, 3) y extremo el punto B(7, 5). Para
representarlo unimos ambos puntos con un segmento e indicamos el
sentido del vector con una punta de flecha que apunta a B, el
extremo.
Para ir del punto A al B hacemos dos desplazamientos: uno
horizontal a la derecha de 4 unidades y otro vertical hacia arriba de
2 unidades.
Decimos en este caso que las componentes del vector AB son 4 y 2,
y escribimos AB(4, 2).
Esas componentes se pueden obtener restando a las coordenadas del extremo las del
origen; AB (4, 2) = AB (7- 3, 5 - 3).
Para calcular los componentes de un vector se restan a las coordenadas del
extremo las del origen.
Suma de vectores
Para sumar gráficamente dos vectores AB y CD dibujamos un vector BE que sea
equipolente al segundo, CD, y que tenga como origen el extremo del primer vector
AB, esto es el punto B.
El vector suma de AB y CD se obtiene uniendo el origen de AB, A, con el extremo de
BE, E; AB + CD = AB + BE = AE.
De forma numérica, las componentes del vector suma se hallan sumando las
componentes de los vectores que se suman. En el ejemplo:
AB+CD= (3, 3) + (2, -2) = (3 + 2, 3 + (-2)) = (5, 1)
B
B
E
A
Hacemos lo siguiente
C
A
D
También podríamos haber trasladado C hasta A manteniendo el vector CD paralelo a sí
mismo y haber construido un paralelogramo con los vectores AB y CD: entonces la
diagonal que parte desde A es el vector suma de ambos.
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Vector opuesto. Resta de vectores
Dos vectores son opuestos si tienen igual modulo y direcci6n pero
sentidos contrarios. La suma de dos vectores opuestos es el vector nulo
(0, 0). Las componentes del vector opuesto de un vector dado son los
opuestos de las componentes de dicho vector.
Restar dos vectores es sumar el primero con el opuesto del segundo. En
la primera figura podemos ver la resta de los vectores u y v. Obtenemos
el opuesto de v y lo sumamos a u.
Numéricamente el resultado es:
u–v = u + (-v) = (4, 3) – (-2, 2) =
= (4, 3) + (2, –2) = (4 + 2, 3 – 2) = (6, 1)
Producto de un vector por un número
El producto de un vector por un numero k es igual a la suma de k veces
el mismo vector, por lo que el resultado es un vector de la misma
dirección y k veces más grande.
En la figura puedes ver que si k > 0 los dos vectores tienen el mismo
sentido, como u y 2u,pero si k < 0, tienen sentidos distintos como
u y –3u.
Las componentes del producto se obtienen multiplicando por el número
las componentes del vector. Para u(1, 2) tenemos que
2u = (2 • 1, 2 • 2) = (2, 4) y (-3)u = = ( -3, –6).
Dependencia de vectores
Dos vectores u y v son linealmente dependientes si tienen la misma dirección, es
decir, si existe un numero k tal que v = ku
Así, u(2, 6) y v(8, 24) son linealmente dependientes ya que v = 4u.
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Punto medio de un segmento
Supongamos que tenemos los puntos A(2,3) y B(6,7): si queremos obtener el punto
medio basta con hacer la semisuma de las coordenadas de sus extremos, esto es
= (4 ,5)
Probémoslo:
Si llamamos M(x,y) al punto medio del segmento AB, la relación entre los vectores AB
y AM es AB = 2 AM, y en función de sus componentes escribiremos (6 - 2, 7 – 3) = 2
(x – 2 , y – 3) , por lo tanto,
Igualando componentes
→
→
ECUACIONES DE LA RECTA
Una recta viene determinada por un punto por el que pasa y un vector director que
indica la dirección de la recta.
Supongamos que la recta “r” viene
r
A
dada por el punto “A” y el vector
director “d”.
d
Sabemos que dado un punto cualquiera
delplano hay un “vector de posición”
que va desde el origen a dicho punto,
X
y en el caso que nos ocupa tendremos
“OA” y “OX”. Pues bien, podríamos
escribir la relación vectorial
O
, siendo X un punto
genérico (cualquiera) de la recta.
d
Si ponemos el vector
en función del vector director de la recta (en nuestro ejemplo
es dos veces el vector , esto es,
) tendremos en general
ECUACIÓN VECTORIAL
donde hemos sustituido por letras minúsculas a los vectores de posición de los puntos
“A” y “X”.
Si las coordenadas del punto “X” son ( x , y ), las del “A” son ( a1 , a2 ) y las
componentes del vector director son ( d1 , d2 ) podemos escribir la ecuación vectorial
de la siguiente manera
( x , y ) = ( a1 , a2 ) + t ( d1 , d2 ) y operando obtenemos
Pág.125
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( x , y ) = ( a1 , a2 ) + ( td1 , td2 ) = ( a1 + td1 , a2 + td2 ), y como para que dos vectores
sean iguales han de ser iguales sus componentes tendremos las dos siguientes
expresiones
x = a1 + td1
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
y = a2 + td2
Si despejamos “t” de ambas expresiones e igualamos los resultados tendremos
ECUACIÓN CONTINUA
Si quitamos denominadores,
( x – a1 ) d2 = ( y – a2 ) d1
y operamos
x d2 – a1 d2 = y d1 – a2 d1
pasamos todo al primer miembro
x d2 – y d1 + a1 d2 – a2 d1 = 0
A = d2
B = – d1
si ahora hacemos un cambio de letras y llamamos
A x + B y + C = 0 ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA
C = a1 d2 – a2 d1
Si despejamos la “y” obtendremos
Tendremos
llamando
y
y=mx+n
ECUACIÓN EXPLÍCITA
Al número “m” se le llama pendiente (nos indica la mayor o menor inclinación de la
recta) y al “n” ordenada en el origen (indica el punto del eje Y por donde la recta corta a
dicho eje)
A la hora de trabajar con rectas, hemos de tener en cuenta que nos pueden dar
cualquiera de los tipos vistos anteriormente y atendiendo al desarrollo teórico que
hemos hecho, debemos de ser capaces de saber su vector director y un punto por el que
pasa la recta de forma inmediata, esto es:
Si la recta es 2x – 8 y + 4 = 0 , como hemos llamado A = d2 y B = – d1, y el vector
director es (d1 , d2 ) tendremos que es ( -B , A ), es decir (8, 2).
Análogamente si queremos saber su pendiente sin necesidad de despejar hemos de tener
en cuenta el cambio que hemos hecho
Pág.126
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y entonces será
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que en nuestro caso m = 2 / 8
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO
Si dos rectas en el piano se cortan tienen un único punto en común. Como este punto
pertenece a las dos rectas, sus coordenadas han de satisfacer las ecuaciones de ambas. El
problema geométrico de hallar la intersección de dos rectas es equivalente a resolver
algebraicamente el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas.
Las relaciones entre la posición de dos rectas en el plano y el sistema formado por las
dos ecuaciones de ambas rectas son:
 Sistema con una única solución: las rectas se cortan en un punto, cuyas
coordenadas son la solución del sistema.
 Sistema sin solución las rectas son paralelas.
 Sistema con infinitas soluciones las rectas coinciden
Si las rectas vienen dadas por sus ecuaciones implícitas, es decir,
Ax+By+C=0
A´ x + B´ y + C´ = 0
Tendremos:
SECANTES
PARALELAS
SUPERPUESTAS O COINCIDENTES
Pág.127
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EJERCICIOS
VECTORES
1 . Dado el v ect or
,
= (2 , -1), d et erm i nar do s vect ores equi pol e nt es a
, sabi endo que A(1 , -3) y D(2, 0).
2 . C al cul a el val or de k sabi endo que el m ódul o del vect or
es 5.
= (k, 3)
3 . S i es un vect or de c om ponent es (3,4), hal l ar un vect or uni t a ri o de
s u m i s m a di recci ón y sent i do.
4 . Dados l os vé rt i ces de un t ri án gul o A( 1, 2), B( -3, 4) y C ( -1, 3),
hal l ar l as coord enad as del bari c ent ro.
5 . Hal l ar l as coord ena das del p unt o C , sabi endo que B(2, - 2) es el
punt o m edi o de AC , A( -3, 1).
6 . Averi guar si est án a l i neados l os punt os:
A(-2 , -3), B(1, 0 ) y C (6, 5).
7 . C al cul a l as coo rden adas de D par a que el cuad ri l át ero de vért i ces:
A(-1 , -2), B(4, -1), C (5, 2) y D; sea un paral el o gr am o.
8 . Las coord enadas d e l os ex t rem os del segm ent o A B son: A ( 2, -1) y
B(8, -4 ). Hal l a r l as coorden adas del p unt o C que di vi de al se gm ent o
AB en dos p art es t al es que AC es l a m i t ad de C B.
9 . S i el segm ent o AB de ex t rem os A(1,3), B(7, 5), se di vi de e n cuat ro
p art es i gual es, ¿ cuál es son l as coorden a das de l os punt os de di vi si ón?
10.
Hal l ar el si m ét ri co del punt o A(4, -2) r espect o de M (2, 6).
1 1 . Hal l ar un ve ct or u ni t ari o de l a m i sm a di rec ci ón que el vect or
=(8, -6).
1 2 . C al cul a el ex t rem o del vect or
sabi endo que sus com ponent e s son
(3, -1) y su ori gen A( -2, 4).
13.
Hal l ar el si m ét ri co del punt o A(3, -2) r espect o de M ( -2, 5).
1 4 . Det erm i nar a con l a condi ci ón de qu e l os punt os A(0, a) y B(1, 2 )
di s t en una uni dad.
Pág.128
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ECUACIONES DE LA RECTA
1 5 . Escri be d e t odas l a s form as posi bl es l a ecu aci ón d e l a re ct a
que pasa por l os pun t os A(1,2) y B ( -2,5) .
1 6 . De un paral el ogram o ABC D conoc em os A(1, 3), B(5, 1 ), C ( -2,
0). Hal l a l as coo rde nadas del vé rt i ce D.
1 7 . Hal l ar l a pendi ent e y l a ord enada en el ori gen de l a re c t a
3x + 2 y - 7 = 0.
18.
Est udi ar l a posi ci ón rel at i va de l as rect a s de ecua ci ones:
1 2x + 3 y - 4 =0
2 x - 2 y + 1= 0
3 3x - 2 y -9 = 0
4 4x + 6 y - 8 = 0
5 2x - 4 y - 6 = 0
6 2x + 3 y + 9 = 0
1 9 . Hal l ar l a e cuaci ón de l a rect a r, que pasa por A(1,5 ), y es
paral el a a l a r ect a s ≡ 2x + y + 2 = 0.
20. S e t i ene el cuadri l á t ero ABC D cu yos vért i ces son A(3, 0), B(1 ,
4), C ( -3, 2) y D( - 1, -2). C om prueba que es un paral el ogr am o y
det erm i na su c ent ro.
21.
Hal l ar l a e cuaci ón d e l a rec t a que pas a por el punt o (2, -3) y es
paral el a a l a r ect a q ue une l os punt os (4 , 1)) y ( -2, 2 ).
22.
La r ect a r ≡ 3x + n y - 7 = 0 pasa por el punt o A(3,2) y es
paral el a a l a r ect a s ≡ m x + 2 y -13 = 0. C al cul a m y n.
23.
Dado el t ri ángul o A BC , de coorden adas A(0, 0) , B(4, 0) y C (4,
4); cal cul a l a ecu aci ón de l a m edi ana qu e pasa por el vért i c e B.
24.
De un par al el o gram o se conoce un v ért i ce, A (8, 0 ), y el pun t o de
cort e d e l as dos di a gonal es, Q (6, 2). Ta m bi én sabem os qu e ot ro vért i c e
s e encuent ra en el o ri gen d e coo rdenad a s. C al cul ar:
1 Los ot ros vért i c es .
2 Las e cua ci ones de l as di agon al es.
3 La l on gi t ud de l as di agon al es.
Pág.129
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Función polinomica de segundo grado: Función cuadrática
Función cuadrática viene dada por la función. f(x) = a x2 + b x + c siendo a  0
Vamos a graficar el caso más simple de una función cuadrática:
f (x) = x 2 cuando b, c  0.
Con la ecuación anterior y = x 2 dónde x  R podemos obtener una tabla de valores
de la función, simplemente sustituyen la variable independiente por números reales en
la ecuación.
Se observa que el conjunto de pares ordenados que se pueden obtener es infinito y su
gráfica se extiende mas allá de cualquier hoja de papel, por grande que sea. Por lo tanto
para dibujar su grafica se incluyen suficientes puntos de tal forma que el resto sea
evidente. Tomemos los siguientes puntos:
x
-2
-1
0
1
2
y
4
1
0
1
4
La gráfica es una curva que se llama parábola
y
5
Eje simetría
4
3
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
Vértice: Punto de intersección de
la curva con su eje
Se puede demostrar que la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola.
De hecho la grafica de f(x) = ax2 + b x + c, dónde a  0, es la misma que f(x) = x 2,
modificada por desplazamiento a la derecha, a la izquierda, arriba, abajo, expansión
o contracción según los valores de a, b, y c .
Ejercicio 24 .- En la grafica de la función anterior, calcula:
Dominio:
Recorrido:
Intersecciones con los ejes:
Continuidad:
Crecimiento:
Máximo y mínimos
Eje de simetría
Pág.130
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Gráficas en movimiento:
Ejercicio 25.- Asocia cada gráfica a su ecuación. ¿Qué puedes decir del coeficiente
“a”?
1 2
a) y = x 2 b) y = 2 x 2 c) y =
x
2
y
5
(1)
(2)
( 3)
4
3
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
Ejercicio 26 .- Asocia cada gráfica a su ecuación. ¿Qué puedes decir del coeficiente
1
“a”?
a) y = - x 2 b) y = - 2x2 c ) y =  x 2
2
2 y
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
(1) (2) (3)
-2
-3
-4
-5
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Ejercicio 27.-Asocia cada gráfica a su ecuación. a) y = (x +2)2 b) y = ( x -2) 2
Calcula en ambas gráficas: dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, continuidad,
crecimiento, máximo y mínimos, eje de simetría, vértice.
y
4
3
(1)
(2)
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
Ejercicio 28.-Asocia cada gráfica a su ecuación. a) y = x 2 + 2 b) y = x 2 -2 .
Calcula en ambas gráficas: dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, continuidad,
crecimiento, máximo y mínimos, eje de simetría, vértice.
y
4
(1)
(2)
3
2
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
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Ejercicio 29.- Asocia cada gráfica a su ecuación una ecuación
a) y = ( x + 2)2 -2 b) y = (x - 2)2 + 2 c) y = ( x -2) 2 -2 d) y = ( x + 2)2 +2
I
II
III
IV
Ejercicio 30.- En las funciones del ejercicio 27 estudia:
Dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, continuidad, crecimiento, máximos y
mínimos, eje de simetría., vértice.
Ejercicio 31.- Escribe las ecuaciones de las siguientes graficas de funciones
cuadráticas.
I
II
III
Ejercicio 32.- En las funciones del ejercicio 29 estudia: Dominio, recorrido,
intersecciones con los ejes, continuidad, crecimiento, máximos y mínimos, eje de
simetría., vértice.
Pág.133
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Representación gráfica de un función cuadrática completa.
Forma general f(x) = a x 2 + b x + c si está función cuadrática la pudiésemos
escribir de la forma f(x) = a ( x – x1)2 + y1 . El punto de coordenadas ( x1, y1) sería el
vértice de dicha parábola.
Veamos: f ( x)  ax2  bx  c  ax2  bx 

b2 b2
b
b2  b2

 c  a x 2  x  2  
c 
4a 4a
a
4
a
4
a


b 
 b 2  4ac

 a x   
2a 
4a

2
Por tanto su gráfica es una parábola que tiene por eje de simetría x  
será el punto
b
y su vértice
2a
 b  b 2  4ac 

V   ,
4a
 2a

b
 b 
su ordenada será f   
2a
 2a 
2
Ejemplo: Dada la función f(x) = 2 x + 4 x – 5. Calcula su eje de simetría y su vértice.
O mejor sabiendo la abscisa del vértice que es x  
Eje de simetría:
x
b
4
   1
2a
4
Vértice de abscisa x = -1 y de ordenada f(-1) = 2 ( -1)2 + 4 (-1) - 5 = -7 ;
Vértice: V (-1,-7)
Para representar gráficamente una parábola: f(x) = a x 2 + b x + c
a) Se estudia el valor del coeficiente “a” de x 2 (si a  0   , si a  0  )
b
b) Se halla el eje de simetría. x  
2a
c) Hallamos el vértice.
d) Se hallan intersecciones con los ejes.(Eje X: y = 0; Eje Y: x = 0)
e) Y si fuese necesario se forma una tabla de valores tomando abscisas próximas al
eje de simetría.
Ejemplo. Representar gráficamente la función f(x) = x 2 – 4 x + 3
a) Se estudia el valor del coeficiente “a” de x 2
b) Se halla el eje de simetría. x  
c)Vértice: x = 2,
si a  0  
b
4

 2;  x  2
2a
2
f(2)= 22 – 4 · 2 + 3 = -1
luego el vértice ( 2, - 1)
Pág.134
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d) Se hallan intersecciones con los ejes.
Eje X: y = 0;
x 2 – 4 x + 3 = 0;
x 1 =3
x
4  16  12 4  2


2
2
x2 = 1
Intersecciones con el eje X: (3,0) y (1, 0)
Eje Y: x = 0
y = 0- 0 + 3 = 3
Intersecciones con el eje Y: (0,3)
Representa los puntos calculados y dibuja su gráfica
Ejercicio 33.- Representa las parábolas definidas por las funciones siguientes
1
a) y = - x 2 + 2 x + 3 b) y = x 2 + 6 x + 5 c) y = x 2 + x + 3
4
Pág.135
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- Funciones Racionales.- Vimos una función racional (Pág. 103) que se
llama hipérbola:
f(x) =
1
, Si queremos representarla construyamos una taba de valores.
x
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
x
Ejercicio 35.- Asocia cada gráfica a su ecuación una ecuación:
Ejercicio 34.- Grafica la función f ( x)  
a) f ( x) 
2
0,5 1
1

b) g ( x) 
c) f ( x) 
x
x
2x
x
I
II
III
Pág.136
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Ejercicio 36.- En general las funciones del tipo f ( x) 
k
. Tienen las propiedades:
x
Su dominio es ……………………….
Su gráfica es simétrica…………….
Si k>0 la función es ……………….
Si k<0 la función es ……………….
Ejercicio 37.- Asocia cada gráfica a su ecuación y determina sus asíntotas
1
1
a ) y   1 b) y   2
x
x
I
II
La gráfica de a) y 
hipérbola f ( x) 
k
p
x
se obtienen trasladando verticalmente ” p” unidades la
k
. La traslaciones hacia arriba o hacia abajo según sea p >0 ó
x
p<0
Pág.137
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Ejercicio 38.- Asocia cada gráfica a su ecuación y determina sus asíntotas
1
1
a) y 
b) y 
x2
x2
I
II
Ejercicio 39.- Representa las hipérbolas:
a) y 
1
x3
b) y 
1
x2
c) y 
2
1
x2
- Funciones definidas a intervalos.
Hasta ahora hemos visto funciones definidas por una sola ecuación para todo su
dominio. Pero también podemos definir las funciones con diferentes ecuaciones,
siempre que se especifique los intervalos en los que actúa la ecuación,
Ejemplo: Graficar la función dada
 x 2 para x  0

f ( x)   x  1 para 0  x  5
 3 para 5  x

Esto quiere decir que la función tiene tres tramos, y entre los tres trozos cubren el
conjunto de números reales, su dominio es  .
Formemos una tabla por cada tramo y después grafiquemos:
Primer Trozo: y = x 2 para x  0
x
Y
-3
-2
-1
0
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Segundo trozo: y = x +1 para 0 < x < 5
Tercer trozo; y = -3 para
x
y
0
5
x
y
5
7
x5
Ejercicio 40.- Representa la siguiente función:
 1 para x  2

f ( x)   x 2 para  2  x  2
1 para x  2

Determina su dominio, recorrido, monotonía, cortes con los ejes y continuidad.
Ejercicio 41.- Representa la siguiente función:
 2 x  3 para x  3

f ( x)  2 para  3  x  1
 x  5 para x  1

Determina su dominio, recorrido, monotonía, cortes con los ejes y continuidad.
Ejercicio 42.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
 1 para x  3
a) f ( x)  
2 para x  3
 x  3 para x  3
b) f ( x)  
1 para x  3
Ejercicio 43.-.De la gráfica de la función siguiente determina su dominio, recorrido,
monotonía, cortes con los ejes, continuidad y escribe su ecuación.
Ejercicio 44.-. Representa gráficamente:
a) y  x
b) y  x  4
c) y  x 2  4
d) y  x 2  5 x  6
Pág.139
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- Función Exponencial.
y = a x con a >1
Vamos a estudiar la función exponencial: y = 2 x
Para graficar la función, construyamos la tabla. (Utiliza tu calculadora)
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
1/4
Gráfica:
Características.
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Monotonía:
Asíntotas.
Corte con los ejes.
Vamos a estudiar la función exponencial: y = a x con 0 < a < 1
x
1
Estudiemos la función y    .
 2
Para graficar la función, construyamos la tabla. (Utiliza tu calculadora)
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
Pág.140
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Gráfica:
Características.
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Monotonía:
Asíntotas.
Corte con los ejes
Ejercicio 44.- En filipinas abunda un alga en la que se ha observado que la superficie
que ocupa crece de forma gradual, duplicándose cada año. Se ha estudiado el
crecimiento de una muestra que ocupa una superficie de 1 dm2. Contesta.
a) ¿Qué superficie ocupa al cabo de tres años?
b) ¿Cuál es la ecuación de la función?
c) ¿De qué tipo es el crecimiento, lineal o exponencial?
- Función Logarítmica. y = loga x donde a es un número real
positivo (a >0) y distinto de 1 (a ≠ 1)
Representa los función logarítmica f ( x)  log x
Función recíproca de una función dada.a)Graficar las funciones y = 3x +1.
b) En el mismo sistema de referencia vamos a representar su función recíproca.
La función recíproca de ésta función la obtenemos de la siguiente forma:
1.- En y = 3x +1 despejamos “x”
2.- Después reemplazamos “x” por “y”
Dicha función es la función recíproca de y = 3x + 1;
Al trazar la bisectriz del primer cuadrante ( y = x) ambas son simétricas respecto
de la bisectriz del primer cuadrante.
Ejercicio 45.- Grafica la función y = x 2 y su recíproca para valores de x > 0
Pág.141
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Límite de funciones
Límite de una función: Decimos que la función f(x) tiene por límite L en el punto x=u,
si a medida que x se acerca a u, se verifica que f(x) se acerca a L (tanto como
queramos).
Se escribe:
u puede ser a, a  , a  ,  ,  .
donde 
L puede ser cualquier real,  ,  .
lim f(x)  L
x u
Propiedades:
Operaciones
Función
Propiedades
Adición
Suma
lim f  g ( x )  lim f ( x)  lim g ( x)
Opuesta
lim f ( x )   lim f ( x )
Diferencia
lim f  g ( x )  lim f ( x)  lim g ( x )
Producto
lim fg ( x)  lim f ( x )·lim g ( x )
Multiplicación
Multiplicación
número
Composición
Potencia
por
xa
xa
xa
x a
xa
xa
xa
xa
1
1
lim ( x) 
x a f
lim f ( x )
 
x a
Cociente
lim f ( x )
f
lim ( x)  x  a
x a g
lim g ( x )
 
xa
por
xa
xa
Inversa
un Producto
número
xa
un lim c  g ( x )  c  lim g ( x )
xa
x a
Constante
lim c  c
Compuesta
lim g  f ( x)  g lim f ( x)
Identidad
lim x  a
Potencia
lim f ( x) g ( x )  lim f ( x) x  a
Expresiones indeterminadas:
k
,
0
xa
xa
xa
xa
0
,
0




x a
x a
lim g ( x )

, 0  ,   , 1 , 0 , 00.

Pág.142
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Límite de funciones (cuando resultan expresiones indeterminadas):
a)
si son iguales,  límitey puede se -  ó  .
k
se calculan límites laterales 
0
si son distintosno existeel límite.
0
se descomponen numerador y denominador (RUFFINI), simplificando a
0
continuación.
b)

se divide numerador y denominador por la máxima potencia de x en el

denominador.
c)
d)    se multiplica y divide por la conjugada.
e) 1 se aplica la definición del número e.
CONTINUIDAD
Def. 1:
f(x) continua en a si lim f (a  h)  f (a )  0
h 0
Def. 2:
f(x) continua en a si
 f(a)
y de cumple lim f ( x ) = f(a)
x a
f ( x)
 lim
x a
Definición de continuidad lateral
1. CONTINUA a la derecha si lim f ( x) = f(a)
xa
2. CONTINUA a la izquierda si lim f ( x) = f(a)
xa
Pág.143
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Def. 3:
f(x) continua en a si
1.  f(a)
2. lim f ( x) = lim f ( x)   lim f ( x )
xa
xa
x a
3. f(a)= lim f ( x )
x a
 lim f ( x) pero  f (a ) ó bien f (a )
 xa
EVITABLE: llamaremosVERDADERO VALOR al valorque
deberíamosdar a f ( x) para que fuese CONT INUA

DISCONTINUIDADES

 lim f ( x)  lim f ( x)

 xa 
xa 


1ª especie llamamosSALT O DE LA FUNCIÓNa


 lim f ( x)  lim f ( x)

xa
 xa

INEVITABLE: 
2ª especie No existe lim f ( x) ó lim f ( x)

xa 
xa 






Pág.144
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FUNCIONES
1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
x 1
1
2x
a) y 
b) y  2
c) y  2
x3
2 x  5x  2
x  x 1
e) y  x 2  x  1
f) y  3 x  1
g) y 
d) y 
x2  4
x2  1
h) y 
x2  1
x4  x3  x2  x
4x 2  1
x2  1
2. Representa las siguientes funciones indicando:
a) Domino y recorrido.
b) Monotonía y acotación.
c) Máximos y mínimos.
 x  2 si x  1
a ) f ( x)   x 2  2 x  15 b) f ( x)  
2 x  3 si x  1
2
d ) f ( x)  x 2  3x  2
e) f ( x )  x  2 x  1
 x 2  4x  3 si x  0

h ) f ( x )   x  3
si 0  x  2
1
si x  2

 x 2 si x  2

c) f ( x)  1 si x  2
4 si x  2

f ) f ( x)  E ( x) g ) f ( x)  x  E ( x)
x 2  x

i ) f ( x)  3 x  1
8

si x  1
si 1  x  3
si x  3
 2
 E ( x)
1

si
x 1
x
 x 2  2 x  3


si 1  x  3
i ) f ( x)   x
j ) f ( x)   x  1
 x  6 si 3  x  6


 x  3
0
si
x6
 12

 x
3. Estudia la simetría de las siguientes funciones:
x 1
a) y  x 2  5
b) y  2
c) y  x 2  x
x 2
4. Dadas las funciones f ( x)  x  1, g( x)  x 2  3. Calcula f  g
x 1
Haz lo mismo con las funciones f ( x)  x  3, g( x) 
.
x2
5. Calcula las funciones recíprocas de:
x 1
1
y  x 2  1,
y
,
y 2
,
x2
x 1
si x  5
si  5  x  3
si -3  x  0
si 0  x  3
si 3  x  6
si x  6
d) y  x 3  x
y g f.
y
x 1
.
x2
6. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
3  x 2
si x  1

2
a) f ( x)  
 1 si x  1
 x
2 x  3

b) g ( x )   3

x2
si
x0
si
x0
Pág.145
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7. Un bar de “copas” abre sus puertas a las 9 de la noche sin ningún cliente y las cierra
cuando se han marchado todos. Se supone que la función que representa el número de
clientes, C, en función del número de las horas que lleva abierto, h, es
c(h)  80h  10h 2
a) Hallar el número máximo de clientes que llegan a concentrarse en el local en una
noche.
b) Se deseamos ir cuando haya menos de 150 personas pero más de 70, ¿entre qué
horas debemos hacerlo?
c) ¿A qué hora cierra el bar?
8. Un centro comercial abre a las 10 horas y cierra a las 22 horas. Se ha comprobado
que el número de personas que acuden a dicho centro puede calcularse en función de la
hora del día, por medio de la función y = - x2 + 36 x - 260 donde y es el número de
personas y x la hora del día.
a) ¿Cuántos clientes hay esperando cuándo se abre el comercio? ¿Cuántos hay
comprando cuándo se cierra?
b) ¿Cuántos clientes hay a las 3 de la tarde?
c) Haz una tabla de esta función?
d) Representa gráficamente la función.
e) ¿Cuál es el máximo número de clientes que acuden a este comercio y a qué hora lo
hacen?
f) ¿En que periodos del día aumenta el número de clientes y en cuál disminuye?
g) Si el comercio retrasará el cierre hasta que no hubiera ningún cliente, ¿a qué hora
cerraría?
9. La altura que alcanza en cada instante un balón que se lanza verticalmente hacia
arriba viene dada por la función h(t) = 40 t - 5 t2 donde h es la altura en metros y t el
tiempo en segundos.
a) Representa gráficamente la función.
b) ¿En cuántos segundos alcanza la altura máxima?
c) ¿Cuánto tiempo tarda en caer al suelo?
10. Halla la fórmula de las siguientes funciones y represéntalas:
a) Recta que pasa por los puntos (1, 2) y (–3, 4).
2
b) Recta que pasa por (2, 3) y es paralela a y   x  4 .
3
c) Parábola con a=-2, b=2 y corta al eje Y en (0, 4).
11. Dibujar la gráfica que indica el costo de una carrera de taxi de 2 Km, sabiendo que
cada 300 metros cuesta 50 céntimos y la bajada de bandera inicial un euro.
12.Una empresa de alquiler de vehículos ofrece para una semana las siguientes dos
modalidades:
a) 30 € diarias y kilometraje ilimitado.
b) 60 € a la semana, más 30 céntimo cada kilómetro.
Estudia la conveniencia de elegir una u otra modalidad, apoyándote en una
representación gráfica y en las respectivas funciones que dan el gasto.
13. Un depósito de agua está completamente lleno con 50 000 litros y debido a una fuga
empieza a perder agua a razón de 25 litros por minuto.
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a) Escribe la función que liga la cantidad de agua contenida en el depósito y el
tiempo transcurrido desde que empezó la pérdida. Represéntala.
b) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que quede en el depósito 4 000 litros?
c) Si en ese instante se tapa el agujero y empieza a llenarse a razón de 100 litros
por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse?
14. Una persona va a comprarse un coche y no sabe si elegir diesel (D) o gasolina (G).
El D vale 11 500 €, consume 5 litros a los 100 kilómetros y el precio del gasoil es de
0,64 € por cada litro. Por otro lado, el G vale 9 800 €, consume 6 litros cada 100
kilómetros y el precio de la gasolina es de 0,80 € por litro. Da la función que liga el
gasto total de cada modelo en función de los kilómetros recorridos (se supone que el
consumo de los coches no va a variar ni el precio del combustible). Haz una
representación gráfica. ¿Cuál de los dos modelos conviene más?
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LÍMITE DE FUNCIONES. Calcula los siguientes límites:
1
1
1
1
 1

 1

1. lim

 3   2. lim 

 3   33. lim 2

x2 x  2
x


x

2
x2
x  4x  8 2


x2 x2

4
4
2
2
3x
3x
x  25
x  25
4.lim 3
 05. lim 3
 6. lim 2
 27. lim 2
1
x 0 x  x 2
x   x  x 2
x 5 x  5 x
x   x  5 x
x2  x  6
x 2  2x  3
2
8. lim 2
 5 9. lim 3
 10. lim
2
x2
x

1
x  3x  2
x  2 x  x  2 3 x 
x 1 1 1
 12. lim
x2
2 x 
11. lim
x2
x
2

 x  x 2  x  113. lim
 4x  1 
 4x  1 
14. lim 
  15. lim 
2 
x  
x  
 2 
 2x 
x
1
x2
x 0
 x 2
 016. lim 

x   x  1


x
1

 x 1 
 x  2  x2
  e19. lim
17. lim
 e 4 18. lim 


x2
x  
x  
x

1
 2x 


20. lim
x  


 3x 2  1 

x  3  x  2  021. lim 
2
x  
 3x 
2 x 1
 2 x  3  3 x 1
 5x  4 
23. lim 
 124. lim 3 x 1 


x   2 x  3
x  


 2  5x 
26. lim
x  
 5x
3x 2  2 x  2 x
 x 3 

29. lim 2
x 1 2 x  2 


2
1
x 1
 127. lim
3
x  

1
2
 e 30. lim
x 3
x
x
2
2

2 x 0
4 x 2 1

4
x2  x
2x
 e 6

2 x 0
2 x 5
2 x 5
 122. lim
x  
x 2  2x  x  1
x
 x 2  2x  1 
  e 2
 125. lim 2
x  
 x  4x  2 
x3  2x  1
x
 128. lim
 2
x 0
x 1
1 x 1


x 1  2 1
1
 31. lim ( x  2)(x  3)  x  
x


x3
4
2
x9 3
4
x2  x
x2  x
32. lim
 33. lim
 134. lim
 1
x 0
x  
x
x
x  16  4 3 x 
1
x 2  2x  1
 x  2  ( x2)2
35. lim 3


36
.
lim



x  1 x  3 x 2  3 x  1
x2
 2 
Dadas las funciones:
 x 2  2 x  3si x  0
 2 x  3si x  1

 2
 x 1
x  2
f ( x)  
si 0  x  4 g ( x)  
si 0  x  1
x 3
 x3
si
x4
2
3si x  1
Calcula :
lim f ( x),lim f ( x),lim f ( x),lim f ( x),lim f ( x),lim f ( x) lim f ( x)
x  
x  1
x 0
x2
x 3
x4
x  
lim g ( x),lim g ( x),lim g ( x),lim g ( x)lim g ( x),lim g ( x), lim g ( x),
x  
x  1
x 0
x2
x 3
x4
x  
Pág.148
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I.E.S. MANUEL LOSADA VILLASANTE
UNIDAD VII. ESTADÍSTICA.










Estadística: clases y conceptos básicos
Variables o caracteres estadísticos
Encuestas y muestreo
Tablas estadísticas: recuento.
Tablas estadísticas: frecuencias
Representaciones gráficas.
Diagramas de tallos y hojas
Medidas estadísticas. Clasificación.
Parámetros de centralización: media aritmética, mediana, moda y percentiles.
Parámetros de dispersión: recorrido, desviación media, varianza, desviación
típica.
 Coeficiente de variación.
Estadística: clases y conceptos básicos.
En sus orígenes históricos, la Estadística estuvo ligada a cuestiones de Estado
(recuentos, censos, etc.) y de ahí proviene su nombre. Hoy en día está presente en todos
los ámbitos humanos, tanto individuales como colectivos.
La Estadística surge ante la necesidad de poder tratar y comprender conjuntos
numerosos de datos. Los estudios estadísticos, en la actualidad, impregnan numerosos
ámbitos. Algunos de estos son: salud y enfermedad, comunicación con los demás, gente
en el trabajo, gente en la escuela y en deporte, recuento de bienes, etc.
Entre otras, podemos adoptar como definición de Estadística la siguiente:
La Estadística es la ciencia que se ocupa de la recogida de datos, su organización y
análisis; así como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse.
Por tanto, la Estadística es la parte de las Matemáticas que se ocupa de los
procedimientos que permiten el tratamiento sistemático de datos, la búsqueda de
conclusiones de los mismos y la toma de decisiones tras su análisis.
Según el problema que se estudie y el método utilizado, se distinguen dos clases de
Estadística, la Estadística descriptiva y la Estadística inferencial.
ESTIDISTÍCA
DESCRIPTIVA INFERENCIAL
La Estadística descriptiva se ocupa de tomar los datos de un
conjunto, organizarlos en tablas o en representaciones gráficas
y del cálculo de unos números que nos informen de manera
global del conjunto estudiado.
Los conceptos básicos que aparecen en cualquier estudio
estadístico son:
 Población. Es el conjunto formado por todos los
elementos que existen para el estudio de un determinado
fenómeno.
 Individuo u objeto. Es cada elemento de la
población.
Pág.149
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 Muestra. Es el subconjunto que tomamos de la población para determinar
el estudio del fenómeno.
 Tamaño de la muestra. Es el número de individuos que la componen.
La Estadística inferencial trata sobre la elaboración de conclusiones para la
población, partiendo de los resultados de una muestra y del grado de fiabilidad de estas
conclusiones.
Variables o caracteres estadísticos.
Cada una de las cualidades o propiedades referidas a los elementos de una población
objeto de estudio estadístico se llama variable o carácter estadístico.
Las clases de variables estadísticas que aparecen en cualquier estudio estadístico son:
Variables o caracteres cualitativos son aquellos que no se pueden medir y se
describen con palabras.
Algunas de las variables cualitativas son: la raza de un perro, la marca de un
automóvil, las preferencias en el deporte, el estado civil de una persona, etc.
Variables o caracteres cuantitativos son aquellos que se pueden medir y expresar
con números.
Estas últimas pueden ser de las clases que se describen a continuación:
CARACTERES O VARIABLES
ESTADÍSTICAS
Variables o caracteres cuantitativos discretos son aquellos
que pueden tomar solamente un número finito de valores
numéricos.
CUANTITATIVAS
Algunas de estas variables son: el número de hermanos de
cada alumno de tu clase, el número de parados de cada
ciudad española, la temperatura máxima diaria de una
localidad a lo largo de un mes, etc.
DISCRETAS CONTINUAS
Variables o caracteres cuantitativos continuos son aquellos
que pueden tomar cualquier valor en un intervalo dado.
CUALITATIVAS
Se consideran variables cuantitativas continuas las
siguientes: la estatura de los alumnos de tu centro, el peso de
cada una de las frutas que tiene un árbol, etc.
Pág.150
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1. Clasifica los siguientes caracteres estadísticos:
a) Numero de huesos de cada ser vivo.
b) Intención de voto.
c) Velocidad que, en un instante dado, llevan los vehículos que circulan por las
carreteras españolas.
d) Talla de calzado de los alumnos de tu centro.
e) Tipos de zumos que prefieren los adolescentes.
f) Temperatura máxima en tu ciudad cada día del año.
g) La medida de los diámetros de las ruedas de un automóvil.
h) La duración de cada lámpara eléctrica producida por una empresa durante un mes.
Pág.151
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Encuestas y muestreo.
En el estudio de cualquier fenómeno estadístico y para conocer los datos hay que
preguntar a un numero determinado de individuos.
Se llama encuesta a las preguntas que se formulan a un cierto número de
individuos de un colectivo o población.
Las encuestas deben contener las preguntas precisas que nos permiten conseguir los
datos que nos hacen falta, por ello es importante elaborar bien el cuestionario de
preguntas.
Las características más significativas que debe poseer una encuesta son:
 El tema de la encuesta y las variables que intervengan deben ser claras y
concretas.
 Las preguntas tienen que ser precisas para que sean entendidas por todos
los encuestados.
 Las preguntas no deben influir en los encuestados.
 En la medida de lo posible, cada pregunta debe ser contestada con una sola
palabra.
 Las preguntas deben estar ordenadas para que unas respuestas no
condicionen a otras.
Muestreo
Una vez que se ha elaborado una encuesta hay que plantearse a quién se la hacemos.
En unos casos se aplica a toda la población, y en otros a la parte de la población que
llamamos muestra.
Es conveniente conocer los siguientes criterios básicos en la elección de muestras:
 Cada elemento de la población debe tener igual oportunidad de encontrarse
en la muestra.
 Las características de los elementos de la muestra han de reproducir, con la
máxima exactitud posible, los de la población.
 Si la muestra es demasiado pequeña puede inducir a errores y si es
demasiado grande no resulta manejable.
A las técnicas que nos permiten elegir una muestra se la llama muestreo. El tipo de
muestreo más utilizado que garantiza que la muestra es representativa de la población
es el muestreo aleatorio simple.
El muestreo aleatorio simple se basa en que todas las muestras del mismo tamaño
tienen las mismas posibilidades de ser tomadas.
Pág.152
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La obtención de una muestra mediante muestreo aleatorio simple
puede verse en la actividad resuelta que sigue. En ella se ha
utilizado la tabla de números aleatorios del margen.
12159
30156
59069
54107
99681
66144
90519
01722
58081
81295
05091
95785
53338
82470
06315
13446
47544
41942
59407
19458
La tabla de números aleatorios, forma parte del libro A million
random digits publicado en Estados Unidos en el año 1955. En el
citado libro aparece una tabla de un millón de dígitos, obtenidos
de forma aleatoria mediante una ruleta electrónica de diez
sectores.
27252
93259
84098
68582
60646
37875
74585
43759
97054
11298
53679
11863
75814
25251
19680
01889
78985
32261
63787
10087
97437
58009
77211
54256
37493
52922
20681
70110
84591
69330
80739
98823
93803
65302
94609
59178
50979
60135
99257
39544
ACTIVIDAD RESUELTA
87569
22896
33230
15652
12544
22661
62237
64527
37216
56985
55970
39635
97210
12456
12544
52623
63725
20080
14526
23654
72771
38472
24511
12458
45978
12459
32596
25643
12354
25874
89654
45689
25463
12456
36415
56324
12536
78965
52124
25786
25631
78326
25731
20564
12542
45329
45973
02145
01568
78032
82931
56248
20189
50479
54301
46312
59431
25012
63025
12981
15487
45217
02385
22485
03144
67980
03458
12554
66487
40023
46302
45178
25445
02310
56881
20684
34987
22684
35971
22956
1. En un centro de enseñanza hay 650 estudiantes. Se desea
obtener una muestra de 15 alumnos con el fin de conocer
su opinión acerca de las actividades deportivas que el
centro organiza.
Para obtener la muestra de los 15 alumnos que responderán a una
encuesta, seguimos el siguiente proceso:
a) Numeramos todos los alumnos con los números:
001, 002, 003, ... 648, 649 y 650.
b) Vamos a la tabla de números aleatorios y
comenzamos por cualquier fila (columna)
separamos los dígitos en grupos de tres. No
tendremos en cuenta los siguientes: 000, 651, 652,
..., 998 y 999.
Tabla de números aleatorios.
c) Si comenzamos por la primera columna de la tabla del margen
obtenemos que los alumnos que se van a encuestar se corresponderán
con los números:
121, 301, 590, 541, 272, 606, 580, 542, 374, 228, 332, 156, 125, 384 y 245.
Pág.153
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Tablas estadísticas: recuento.
A partir de la recogida de datos, a través de encuestas o entrevistas, suelen ordenarse
para un mejor manejo. La forma usual de ordenarlos consiste en realizar un recuento,
y posteriormente, formar una tabla.
El recuento en Estadística se realiza de la siguiente forma:
1. Se ordenan las cualidades o valores que puede tomar la variable estadística,
colocándolos en la primera columna de la tabla.
2. Cada vez que aparece un dato correspondiente a una cualidad o valor se
traza un pequeño segmento.
3. En la columna del total se anota el número total de segmentos trazados para
cada cualidad o valor.
Veamos la realización del recuento en el ejemplo que sigue.
Preguntados los alumnos de una clase por el color de la pared de su habitación, han
respondido:
“blanco, marrón, blanco, marrón, blanco, blanco, blanco, marrón, marrón,
azul, blanco, marrón, blanco, rosa, verde, rosa, blanco, verde, blanco, verde,
blanco, azul, azul, amarillo, amarillo”.
COLOR DE LA
HABITACIÓN
amarillo
azul
blanco
marrón
rosa
verde
RECUENTO
TOTAL
2
3
10
5
2
3
Preguntados por el número de hermanos de cada una, las respuestas han sido:
2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 1, 2, 4, 2, 5.
NÚMERO
DE HEMANOS
1
2
3
4
5
RECUENTO
TOTAL
5
10
6
3
1
Pág.154
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Cuando se trabaja con variables cualitativas o cuantitativas discretas, las cualidades o
valores de estas aparecen descritos en la tabla.
En el caso de las variables cuantitativas continuas, los datos deben agruparse en clases
o intervalos.
El valor medio de cada clase o intervalo se llama marca de clase y se calcula como la
semisuma de los extremos del intervalo.
Para construir intervalos o clases hemos de tener en cuenta los siguientes puntos:
 Es conveniente que el número de intervalos que debemos considerar en
cualquier estudio esté entre 5 y 10.
 Usualmente tomamos los intervalos con igual amplitud o longitud. Sólo en
el caso de que existan valores muy dispersos tomamos distintas amplitudes.
 Calculamos la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño de la
variable a estudio (recorrido de la variable).
 Calculamos la amplitud de cada intervalo dividendo el recorrido por el
número de intervalos que tomemos.
En la actividad que sigue puede verse el recuento de una variable cuantitativa
continua.
ACTIVIDAD RESUELTA
1. Los pesos de 60 alumnos que cursan 3º de ESO, en kg, son:
48, 48, 50, 55, 59, 54, 60, 60, 64, 65, 69, 57, 62, 70, 59, 57, 52, 60, 53, 57, 53, 45, 54,
47, 59, 60, 57, 66, 62, 55, 52, 63, 67, 58, 49, 47, 54, 62, 57, 53, 51, 46, 54, 67, 62, 46,
49, 57, 56, 64, 60, 50, 48, 67, 53, 49, 63, 68, 55, 60.
Elabora la tabla estadística correspondiente utilizando cinco intervalos de igual
amplitud.
Observamos que los valores extremos son 45 y 70. El recorrido o amplitud total de los
datos es 70 – 45 = 25. Como deseamos tener cinco intervalos estos tendrán 5 de
amplitud.
El recuento nos lleva a la tabla siguiente:
PESOS
EN INTERVALOS
[45, 50]
[50, 55]
[55, 60]
[60, 65]
[65, 70]
MARCA
DE CLASE
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
RECUENTO
TOTAL
11
14
14
13
8
Pág.155
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Tablas estadísticas: frecuencias.
En las tablas construidas en el epígrafe anterior, en la comuna correspondiente al total
se obtienen unos valores cuyo significado es el número de veces que se presenta cada
cualidad o valor de la variable estadística. A estos números les llamamos frecuencias
absolutas.
Signo sumatorio,

En Estadística resulta muy útil
el uso del signo sumatorio, 
(letra griega sigma mayúscula).
Con él se expresa la suma de
todos los números o valores
sobre los que actúa.
Frecuencia absoluta, fi, de una cualidad o de un valor xi de
la variable estadística es el número total de veces que
aparece esta cualidad o valor.
La suma de todas las frecuencias absolutas es
necesariamente el tamaño de la muestra o la población a
estudio:
Por ejemplo:
n
f1  f 2  f 3  ...  f n1  f n   f i  N
5
 xi  x1  x2  x3  x4  x5
i 1
i 1
Se lee: “suma (o sigma) desde
i=1 hasta i=5 de los x sub i”.
f 1  f 2  f 3  ...  f n 1  f n   f i  N
i 1
En ocasiones nos interesa saber cuál es la proporción del
número de individuos con un valor determinado respecto del
total. Estos valores reciben el nombre de frecuencias
relativas.
Frecuencia relativa o proporción, hi, de una cualidad o de un valor xi, es el cociente
que resulta de dividir su frecuencia absoluta entre el número total, N, de individuos.
Representa la proporción de estos sobre el total y verifica 0  hi  1.
La suma de todas las frecuencias relativas es la unidad:
n
h1  h2  h3  ...  hn1  hn   hi  1
i 1
Frecuentemente en las tablas estadísticas aparecen porcentajes.
Frecuencia porcentual o porcentaje, pi, de una cualidad o de un valor xi es el tanto por
ciento que representa este valor o cualidad respecto del total. Se calcula multiplicando
la frecuencia relativa por 100 y verifica 0  pi  1.
La suma de todos los porcentajes es 100:
n
p1  p2  p3  ...  pn1  pn   pi  100
i 1
Pág.156
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Frecuencias acumuladas
A menudo nos interesa conocer cuántos datos estadísticos presentan valores,
proporciones o porcentajes que son menores o iguales a uno dado. Para este fin se
estudian las frecuencias acumuladas.
Frecuencia absoluta acumulada, Fi, de una cualidad o de un valor xi es la suma de
todas las frecuencias absolutas correspondientes a los valores anteriores a xi y a la
suya propia.
Las frecuencias absolutas acumuladas se obtienen:
Fi  f1  f 2  ...  f i
Frecuencia relativa acumulada, Hi, de una cualidad o de un valor xi es la suma de
todas las frecuencias relativas correspondientes a los valores anteriores a xi y a la suya
propia.
Las frecuencias relativas acumuladas se obtienen:
H i  h1  h2  ...  hi
Frecuencia porcentual acumulada, Pi, de una cualidad o de un valor xi es la suma de
todas las frecuencias porcentuales correspondientes a los valores anteriores a xi y a la
suya propia.
Las frecuencias porcentuales acumuladas se obtienen:
Pi  p1  p2  ...  pi
ACTIVIDA RESUELTA
1. Construye una tabla con las frecuencias y las frecuencias acumuladas con los
datos obtenidos para la variable estadística número de hermanos que figura
en el epígrafe 4.
Número
de
hermanos
xi
1
2
3
4
5
TOTAL
Frecuencia absoluta
fi
Acumulada
Fi = f1 + f2 +...+ fi
5
10
6
3
1
25
5
15
21
24
25
Frecuencia absoluta
hi 
fi
N
0,20
0,40
0,24
0,12
0,04
1
Frecuencia porcentual
Acumulada
pi  hi  100 Acumulada
Hi = h1 + h2 +...+ hi
Pi = p1 + p2 +...+ pi
0,20
0,60
0,84
0,96
1
20 %
40 %
24 %
12 %
4%
100 %
20 %
60 %
84 %
96 %
100 %
Pág.157
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Representaciones gráficas.
A veces es conveniente expresar la información contenida en las tablas estadísticas
mediante un gráfico, con el fin de hacerla más clara y evidente. Mencionaremos los
principales tipos de gráficos.

Diagrama de sectores
Se utiliza para comparar las distintas modalidades de un carácter, y consiste en un
círculo dividido en tantos sectores circulares como modalidades tiene el carácter.
Para construir un diagrama de sectores, el ángulo central de cada sector ha de ser
proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.
Representamos mediante un diagrama de sectores la distribución estadística que
clasifica a los alumnos según la Autonomía de nacimiento. Para el cálculo del ángulo
central procedemos así:
Autonomía
Número
de
alumnos
Andalucía
19
Castilla-La Mancha
7
Cataluña
2
Galicia
1
País Vasco
1
30
Medida del ángulo central
19
 360 º  228 º
30
7
 360 º  84 º
30
2
 360 º  24 º
30
1
 360 º  12 º
30
1
 360 º  12 º
30
Tabla estadística de una variable cualitativa
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
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Diagrama de barras. Polígono de frecuencias
Se utiliza para comparar datos cualitativos o cuantitativos discretos.
Para construir un diagrama de barras se representan sobre el eje de abscisas los datos
y en esos puntos se levantan barras proporcionales a las frecuencias absolutas.
Representamos el diagrama de barras asociado a la distribución que clasifica a los
alumnos según el número de hermanos.
Número Número
de
de
hermanos alumnos
0
3
1
9
2
13
3
2
4
1
5
1
8
1
0
1
2
3
4
5
8
Tabla estadística de una
variable discreta.
Si unimos los extremos de las barras obtenemos el polígono de frecuencias.

Histograma. Polígono de frecuencias
Se utiliza para distribuciones de variable estadística continua o para distribuciones que
variable estadística discreta cuyos datos han sido agrupados en clases.
Para construir el histograma se representan sobre el eje de abscisas los extremos de las
clases. Se construyen unos rectángulos de base la amplitud del intervalo y de altura la
frecuencia absoluta si los intervalos tienen la misma amplitud. En caso contrario, las
alturas de los rectángulos se calculan de modo que sus áreas son proporcionales a las
frecuencias de cada intervalo.
Representamos el histograma asociado a la distribución que clasifica a los alumnos
según su peso en kilogramos.
El polígono de frecuencias se obtiene al unir los puntos medios de los lados superiores
de cada rectángulo. Con el fin de que el área encerrada bajo el polígono de frecuencias
sea igual a la suma de las áreas de los rectángulos, se une el extremo por la izquierda del
polígono con la marca de clase anterior; análogamente, con el extremo por la derecha.
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PESO
(Kg)
40

45
50
55
60
65
70
75
[40, 45]
[45, 50]
[50, 55]
[55, 60]
[60, 65]
[65, 70]
[75, 80]
Número
de
alumnos
1
3
10
9
4
2
1
Diagrama lineal
Se utiliza para mostrar las fluctuaciones de uno o varios caracteres estadísticos con el
paso del tiempo.
El gráfico siguiente expresa, en miles, los matrimonios, nacimientos y defunciones que
se ha producido en un determinado año:
nacidos vivos
matrimonio
s
defunciones
Pág.160
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Diagramas de tallos y hojas.
Una moderna técnica de recogida de datos es la que se conoce como diagrama de
tallos y hojas.
Veamos en qué consiste con el siguiente ejemplo:
Las puntuaciones obtenidas por 40 alumnos en un test han sido las siguientes:
41, 53, 72, 62, 81, 93, 81, 74, 56, 62, 45, 47, 62, 58, 88, 76, 77, 63, 43, 56, 76, 63, 78,
73, 65, 66, 91, 82, 61, 72, 36, 50, 91, 32, 60, 80, 51, 68, 61, 71.
Para construir el diagrama de tallos y hojas procederemos del siguiente modo:
Paso 1º.
Paso 2º.
Se observa entre qué valores están las Se va leyendo uno a uno cada dato,
cifras de las decenas de todos los datos y anotando la cifra de las unidades de cada
se tiene que van de 3 a 9.
uno en la fila correspondiente:
Primer dato 41
Segundo dato 53
Tallo
Tallo
Hojas
Tallo
Hojas
3
3
3
4
4
1
4
1
5
5
5
3
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
Paso 3º.
Paso 4º.
Cuando los datos han sido anotados, se Se vuelve a escribir la tabla ordenando de
obtiene una tabla como esta:
menor a mayor las unidades dentro de cada
fila:
Tallo
Hojas
3
6 2
Tallo
Hojas
4
1 5 7 3
3
2 6
5
3 6 8 6 0 1
4
1 3 5 7
6
2 2 2 3 3 5 6 1 0 8 1
5
0 1 3 6 6 8
7
2 4 6 7 6 8 3 2 1
6
0 1 1 2 2 2 3 3 5 6 8
8
1 1 8 2 0
7
1 2 2 3 4 6 6 7 8
9
3 1 1
8
0 1 1 2 8
9
1 1 3
Esto es un diagrama de tallos y hojas.
Del diagrama se deduce:
 Hay 2 alumnos con puntuaciones entre 30 y 39; 4 alumnos con puntuaciones
entre 40 y 49, y así sucesivamente.
 Hay más alumnos con puntuaciones entre 70 y 79 que entre 50 y 59.
 La clase con mayor frecuencia es la que tiene de extremos 60-69.
 Si unimos los últimos números de cada fila obtenemos el polígono de
frecuencias.
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ACTIVIDADES
1. Enuncia tres variables estadísticas de cada una de las clases que aparecen en el
texto, referidas a los alumnos de tu curso.
2. Responde a lo que se pide en la actividad anterior, referidas, en este caso, a un
individuo de tu lugar de residencia.
3. Clasifica las siguientes variables estadísticas:
a. La profesión que piensan tener los alumnos de tu clase.
b. El peso de cada una de las manzanas producidas por un determinado
manzano.
c. El número de caries que tiene cada uno de los alumnos de un colegio.
d. La altura de los árboles de un parque público.
e. Los habitantes de cada una de las provincias españolas.
f. La categoría de cada club de fútbol español.
g. El número de miembros de cada familia de tu centro.
h. La longitud del brazo de los habitantes de una ciudad.
i. El número de satélites de cada planeta del Sistema Solar.
j. El número de habitaciones de las viviendas de tu barrio.
4. En una ciudad viven 9800 personas de la tercera edad. El Ayuntamiento desea
conocer la opinión de este colectivo acerca de la Asistencia Social ofertada por
el Ayuntamiento. Para realizar este estudio extrae una muestra de tamaño 30.
¿Cómo efectuar esta muestra utilizando la técnica de muestreo aleatorio simple?
5. Hemos lanzado al aire 4 monedas 50 veces y hemos anotado el número de caras
obtenido en cada lanzamiento. Los resultados son:
3, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 3, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 2, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 0, 3, 2,
4, 2, 2, 3, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 2, 3, 2.
Haz el recuento y la correspondiente tabla estadística.
6. En un prestigioso laboratorio científico se midió durante varios años la
velocidad de la luz, de forma experimental. Los treinta valores que se
obtuvieron, en km/s, fueron:
300 006
299 781
299 904
300 090
300 144
300 075
300 380
299 904
299 789
299 640
299 400
300 000
299 825
300 035
299 587
299 804
300 021
299 806
300 082
299 751
299 507
299 712
299 984
300 012
300 202
299 875
299 822
300 120
300 043
299 603
Pág.162
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Observa que el valor mayor es de 300 380 y el menor 299 400. El recorrido es
de 300 380 –299 400 = 980. Hacemos cinco intervalos, luego la amplitud de
cada uno será 980 / 5 = 196. Los intervalos que hay que considerar serán:
[299 400, 299 596); [299 596, 299 792); [299 792, 299 988);
[299 988, 300184); [300 184, 300 380].
A la vista de lo anterior calcula la tabla estadística correspondiente con intervalos,
marcas de clase, recuento y todas las frecuencias que aparecen en esta unidad.
7. La densidad de población, en habitantes por km2, de las provincias españolas, en
el año 1986, era de:
50, 141, 54, 63, 43, 48, 158, 110, 13, 10, 48, 105, 136, 184, 226, 99, 23, 24, 13,
12, 32, 23, 25, 34, 24, 29, 22, 10, 60, 21, 597, 83, 29, 83, 208, 65, 1093, 31, 21,
141, 41, 59, 201, 598, 89, 50, 88, 345, 532, 52, 3 620, 3 742.
En ocasiones no resulta útil usar intervalos de la misma amplitud, como ocurre
en este caso. Utiliza los intervalos [0, 20), [20, 40), [40, 80), [80, 160),
[160, 3 800] y elabora la tabla estadística completa.
8. Las calificaciones obtenidas por los 50 alumnos de dos clases de 3º de ESO, en
un ejercicio de Matemáticas han sido:
4, 6, 6, 0, 3, 2, 4, 4, 7, 0, 4, 9, 5, 4, 3, 6, 5, 2, 6, 3, 5, 6, 8, 4, 3, 4, 10, 5, 8, 7, 3, 4, 2,
8, 4, 7, 9, 1, 10, 6, 3, 7, 6, 8, 2, 5, 4, 1, 7, 8.
Elabora una tabla estadística en la que aparezcan las frecuencias simples y
acumuladas.
9. Completa los datos que faltan en las tablas estadísticas siguientes:
a)
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi Fi hi
40
0,16
10
65 0,06
5
0,02
60
185
210
20
245
0,02
TOTAL
b)
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi
3
6
8
10
Fi
pi
0,03
15 9,37
12,50
42
50
5
59
TOTAL
7,81
c)
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi
3
Hi
Pi
0,08
12
20
0,35
0,53
17
16
70
0,94
4
TOTAL
10. Representa las siguientes series de datos mediante diagrama de barras:
a) 1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 9.
b) 2, 2, 2, 6, 6, 8, 8, 8.
c) 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8.
163
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11. Representa las siguientes distribuciones de datos mediante polígono de
frecuencias:
a) xi 1 2 3 4 5 6
fi 15 20 16 18 15 12
b) xi 1 2 3 4 5 6
fi 15 11 17 20 17 10
c) xi 1 2 3 4 5 6
fi 16 19 16 19 15 20
12. Los siguientes datos son una muestra del número de ejemplares vendidos (en
miles) de un periódico en 20 puntos de venta diferentes durante un mes:
7, 4, 10, 9, 6, 9, 7, 8, 11, 6, 8, 10, 11, 6, 10, 10, 8, 11, 6, 5.
Construye la tabla con las diferentes frecuencias y dibuja el polígono de
frecuencias acumuladas.
13. Preguntados 60 alumnos por el número de miembros de su familia, las
respuestas han sido:
5, 4, 4, 5, 6, 6, 4, 7, 3, 2, 8, 4, 5, 6, 3, 6, 5, 7, 3, 4, 3, 5, 6, 2, 4, 5, 6, 6, 4, 3, 7, 7,
4, 4, 4, 3, 8, 5, 6, 3, 6, 4, 3, 7, 2, 5, 4, 8, 6, 5, 7, 4, 4, 3, 6, 5, 7, 8, 4, 3.
Construye una tabla con los datos anteriores en la que figure el recuento y las
frecuencias. Dibuja un diagrama de barras con los valores de las frecuencias
absolutas.
14. La tabla (que aparece incompleta) resume las calificaciones obtenidas por los
80 alumnos de 3º de ESO en cierto instituto:
Calificación
Insuficiente
Suficiente
Bien
Notable
Sobresaliente
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
0,375
20
10
6
a. Completa la tabla con las frecuencias que faltan.
b. A través de un diagrama de sectores, representa gráficamente la
información.
15. Se han obtenido las pulsaciones de un equipo de atletas después de una carrera.
Los datos obtenidos han sido los siguientes:
[70, 75) [75, 80) [80, 85) [85, 90) [90, 95) [95, 100]
Pulsaciones
3
3
7
10
12
8
Número de atletas
Calcula:
a. Las marcas de clase y la tabla con las frecuencias porcentuales
correspondientes.
b. Representa el histograma con las frecuencias de la tabla de arriba.
164
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
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Medidas estadísticas. Clasificación.
Para poder comparar entre sí distribuciones estadísticas de distintas poblaciones o
muestras y, en cualquier caso, para disponer de un modo rápido que nos indique la
forma de la distribución estadística, sin necesidad de repasar grandes tablas y gráficos,
se han establecido unos números llamados parámetros o medidas estadísticas, que
aparecen clasificados en el cuadro siguiente:
Parámetros estadísticos:
o De centralización:
 Media aritmética
 Mediana
 Moda
o De dispersión:
 Rango o recorrido
 Desviación media
 Varianza
 Desviación típica
Parámetros de centralización.
Media aritmética de una variable estadística es el cociente que resulta de
dividir la suma de todos los valores por el numero total de estos.
Se representa por x .
Su cálculo se realiza, según las expresiones que siguen, atendiendo a la presentación de
los datos:
o Para datos sin frecuencias
n
x
 xi
x1  x2  ...  xn i 1

N
N
o Para datos con frecuencias
n
x
 xi f i
x1 f 1  x 2 f 2  ...  x n f n i 1
 n

f1  f 2  ...  f n
 fi
n
 xi f i
i 1
N
i 1
Mediana de una variable estadística es el valor que deja a su izquierda un
número de datos iguales a los que deja a su derecha. Se denota por Me.
Ejemplo:
La calificación que han obtenido 7 alumnos en Matemáticas y 8 alumnos en Lengua han
sido (los datos tienen que estar ordenados):
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7.
2, 2, 4, 4, 6, 8, 8, 8.
165
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
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Observamos que en Matemáticas la nota 6 deja tres
alumnos a su izquierda y tres a su derecha. En las de
Lengua, como no hay una nota central, tomamos la media
aritmética de las dos notas centrales: (4 + 6) / 2 = 5.
Decimos que la nota mediana en Matemáticas es 6 y en
Lengua 5.
El proceso anterior, para calcular la mediana, es útil cuando
disponemos de pocos datos, pero cuando el número de
estos es grande este procedimiento resulta muy laborioso,
siendo necesario construir una tabla estadística con
frecuencias acumuladas como podemos ver en el margen.
Cuando los datos están agrupados en intervalos llamamos
clase mediana a la primera clase o intervalo cuya
frecuencia acumulada sobrepase a la mitad del número de
individuos. Si no necesitamos mucha precisión podemos
tomar como valor aproximado de la mediana la marca de
clase correspondiente a la clase mediana.
Cálculo de la mediana
Las notas que obtuvieron 32
alumnos en un examen de
matemáticas:
Notas
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi
Fi
2
2
3
5
7
5
3
2
2
1
2
4
7
12<16
19>16
24
27
29
31
32
La mediana es el primer valor cuya
frecuencia acumulada, Fi
sea
mayor que la mitad del número de
individuos N/2 = 16.
Cuando es necesaria mayor precisión en el cálculo de la En nuestro caso la nota
Me nos
= 5.da su
mediana, para variables agrupadas en intervalos, utilizamos la mediana
expresiónesque
valor exacto, como podemos ver en la siguiente actividad resuelta:
1. En la tabla adjunta mostramos los resultados obtenidos al tallar los 30 alumnos
de una clase. Calcula la talla mediana.
El intervalo o clase
Frecuencias
mediana es [165, 170)
Talla (cm) Marca de clase xi
Absolutas fi Acumuladas Fi ya que es el primer
[150, 155)
152,5
1
1
intervalo cuya
[155, 160)
157,5
3
4
frecuencia acumulada
[160, 165)
162,5
10
14
Fi = 26, sobrepasa a la
[165, 170)
167,5
12
26
mitad del número de
[170, 175]
172,5
4
30
individuos N/2 = 15.
Para obtener la mediana exacta utilizamos la siguiente expresión:
N
 FMe 1
2
Me  L1 
c
f Me
Me  165 
L1 = extremo inferior de la clase mediana
c = amplitud de la clase mediana
fMe = frecuencia absoluta de la clase mediana
FMe-1 = frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana.
15  14
 5  165,42 cm es la talla mediana.
12
Cuartiles
Al estudiar la mediana hemos visto que, una vez ordenados de menor a mayor los datos
de una distribución, la mediana divide a éstos en dos partes iguales.
Ejemplo:
166
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I.E.S. MANUEL LOSADA VILLASANTE
Si tenemos los 20 datos de la siguiente distribución:
16, 22, 21, 20, 23, 22, 17, 15, 13, 22, 17, 18, 20, 17, 22, 16, 23, 21, 22, 18.
Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor:
13, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
14
15 16 17 18 19 20
Los valores que quedan en medio son: 20 y 20, pues hacia la izquierda quedan 9 datos
y hacia la derecha otros 9. Por lo tanto la mediana es 20. Me = 20.
Se llama cuartiles a tres valores que dividen la serie de datos en cuatro partes
iguales.
Se representan por Q1, Q2, Q3, y se designa cuartil primero, segundo y tercero,
respectivamente.
En la distribución anterior Q1 = 17 (20 : 4 = 5), Q2 = 20 (5 x 2 =10) y Q3 = 22.
Se llama quintiles a cuatro valores que dividen la serie de datos en cinco partes
iguales.
Se representan por K1, K2, K3, y se designa quintil primero, segundo y tercero,
respectivamente.
En la distribución anterior:
K3 = 21 (4 x 3 =12),
K1 = 16 (20 : 5 = 4),
K4 = 22 (4 x 4 =16).
K2 = 18 (4 x 2 =8),
Se llama deciles a nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes
iguales.
Se representan por D1, D2, D3,..., D9, y se designa decil primero, segundo,
tercero,.., noveno, respectivamente.
En la distribución anterior:
D6 = 21 (6 x 2 =12),
D1 = 15 (20 : 10 = 2),
D7 = 22 (7 x 2 =14),
D2 = 16 (2 x 2 =4),
D8 = 22 (8 x 2 =16),
D3 = 17 (3 x 2 =6),
D9 = 22 (9 x 2 =18),
D4 = 18 (4 x 2 =8),
D5 = 20 (5 x 2 =10),
Se llama percentiles a 99 valores que dividen la serie de datos en cien partes
iguales.
Se representan por P1, P2, P3,..., P99, y se designa percentil primero, segundo,
tercero,.., nonagésimo noveno, respectivamente.
En la distribución anterior:
P1 = (20 : 100 = 0,2),
P2 = (2 x 0,2 =0,4),
.
.
.
P10 = 15 (10 x 0,2 =2),
P20 = 16 (20 x 0,2 =4),
P30 = 17 (30 x 0,2 =6),
P40 = 18 (40 x 0,2 =8),
P50 = 20 (50 x 0,2 =10),
P60 = 21 (60 x 0,2 =12),
P70 = 22 (70 x 0,2 =14),
P80 = 22 (80 x 0,2 =16),
P90 = 22 (90 x 0,2 =18),
167
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Debido a que los cuantiles son parámetros del tipo de la mediana, su cálculo se realiza
de forma análoga.
Ejercicios:
1. Las calificaciones en la asignatura Matemáticas de los 40 alumnos de una
clase vienen dadas por la siguiente tabla:
Calificaciones
Nº de alumnos
1
2
2
2
3
4
4
5
5
8
6
9
7
3
8
4
9
3
Calcular:
a. Los cuartiles primero y tercero.
b. Los percentiles de orden 30 y 70.
2. Se ha aplicado un test sobre satisfacción en el trabajo a 88 empleados de
una fábrica, obteniéndose los resultados que se dan en la siguiente tabla:
Clases
[38-44)
[44-50)
[50-56)
[56-62)
[62-68)
[68-74)
[74-80)
fi
7
8
15
25
18
9
6
88
Fi
7
15
30
55
73
82
88
Calcular:
a. Los cuartiles primero y tercero.
b. Los percentiles de orcen 40 y 90.
3. Dadas estas series estadísticas:
a. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
b. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Hallar:
a. Los cuartiles 1º y 3º.
b. Los deciles 2º y 7º.
c. Los percentiles 32 y 85.
La moda de una variable estadística discreta cualitativa es el valor o cualidad de
la variable con mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo.
A veces la moda no es única, pues existen distribuciones que tienen dos, tres o más
modas. A la distribución que tiene dos modas se le llama distribución bimodal, a la que
tiene tres modas, distribución trimodal y así sucesivamente.
Cuando los datos están agrupados en intervalos llamamos clase modal a la clase con
mayor frecuencia absoluta. Si no necesitamos mucha precisión en el cálculo de la moda,
podemos tomar como valor aproximado de la misma la marca de clase de la clase
modal.
168
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Cuando es necesario mayor precisión en el cálculo de la moda para variables agrupadas
en intervalos recurrimos a la expresión que nos da su valor exacto como podemos ver en
la siguiente actividad resuelta:
1. Encuentra la talla moda en la distribución estadística de la página anterior.
El mayor valor de la frecuencia absoluta, 12 da como clase modal [165, 170). El valor
aproximado de la moda es 167,5 cm.
Para obtener la moda exacta utilizamos la siguiente expresión:
Mo  L1 
 f Mo
Mo  165 
f Mo  f Mo 1
c
 f Mo 1    f Mo  f Mo 1 
L1 = extremo inferior de la clase modal
c = amplitud de la clase modal
fMo , fMo-1 , fMo+1 = frecuencias absolutas de la
clase modal, de la clase anterior y de la posterior
12  10
 5  166 cm
12  10  12  4
Por tanto, la talla moda de esta clase es Mo = 166 cm, que como podemos ver se
aproxima mucho al valor central de la clase modal, 167,5 cm.
Parámetros de dispersión.
Los Parámetros de dispersión son valores numéricos que nos informan de las
desviaciones que sufren los datos de una distribución estadística respecto de los
parámetros centrales, en particular respecto a la media aritmética.
Recorrido o rango de una variable estadística es la diferencia entre el dato
mayor y el menor. Es decir, es la longitud del tramo dentro del cual están los
datos.
Desviación media de una variable estadística es el promedio de las distancias de
los datos a la media:
x1  x  f1  x2  x  f 2  ...  xn  x  f n  xi  x  f1
DM 

N
N
Varianza de una variable estadística es la media aritmética de los cuadrados de
las desviaciones de todos los datos o marcas de clase respecto de la media. Se
representa por  2 .
Las expresiones equivalentes que permiten calcular la varianza son:
  xi  x   f i
n
2 
2
i 1
N
n
 x 2i f n
 2  i 1
N
 x2
Desviación típica de una variable estadística es la raíz cuadrada positiva de la
varianza. Nos informa de la dispersión, por término medio, de cada dato respecto de la
media. Se representa por .
Las expresiones equivalentes que permiten calcular la desviación típica son:
169
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
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  xi  x   f i
n

n
2

i 1
N
 x 2i f n
i 1
N
 x2
Utilización conjunta de la media y la desviación típica
Se han anotado las tallas, en centímetros, de 33 alumnos, obteniéndose:
163, 169, 171, 163, 158, 168, 173, 167, 165, 172, 178, 156, 168, 165, 162, 158, 169,
171, 163, 171, 170, 177, 151, 181, 167, 167, 165, 166, 164, 158, 161, 176, 170.
Representamos el polígono de frecuencias
unimodal y bastante simétrica.
y observamos que la distribución es
Calculamos la media y la desviación típica:
x  166,76 cm.
  6,47 cm.
Vamos a calcular el porcentaje de personas con estaturas en los siguientes intervalos:
x   , x     160,29; 173,23
Hay 24 personas con estaturas en este intervalo; o sea, el 72 % del total.
x  2 , x  2   153,82; 179,70
Hay 31 personas con estaturas en este intervalo; o sea, el 94 % del total.
x  3 , x  3   147,35; 186,17
Hay 33 personas con estaturas en este intervalo; o sea, el 100 % del total.
Estos resultados que acabamos de obtener experimentalmente se generalizan del
siguiente modo:
En distribuciones con una sola moda y bastante simétricas (comportamiento normal) se
verifica que:
- En el intervalo x   , x    se encuentra el 68 % de los datos.
- En el intervalo x  2 , x  2  se encuentra el 95 % de los datos.
- En el intervalo x  3 , x  3  se encuentra el 99 % de los datos.
170
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Coeficiente de variación.
Los pesos de los toros de lidia de una ganadería se distribuyen con una media
x  500 kg y una desviación típica   40 kg .
Los pesos de los perros de una exposición canina tienen una media x  20 kg y una
desviación típica   10 kg .
La desviación típica de los pesos de la manada de toros bravos (40 kg) es superior que
la de los perros (10 kg). Sin embargo, los 40 kg son poca cosa para el enorme tamaño de
los toros (es decir, los toros de esa manada son muy parecidos en peso), mientras que
10 kg es mucho en relación con el peso de un perro. En casos como este, la desviación
típica no es una medida adecuada para comparar dispersiones. Por ello, definimos un
nuevo parámetro estadístico.
Para comparar la dispersión de dos poblaciones heterogéneas, se define el
coeficiente de variación así:

CV 
x
Al dividir  entre x estamos relativizando la dispersión.
El resultado se da, a veces, en tantos por ciento.
En el ejemplo de los toros y los perros, obtenemos:
40
 0,08
o Para los toros: CV 
500
10
 0,50
o Para los perros: CV 
20
Es decir, el 8 %
Es decir, el 50 %
De este modo sí que se aprecia claramente que la variación de los pesos de los perros
(50 %) es mucho mayor que la de los pesos de los toros (8 %).
171
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ACTIVIDADES
1. Las calificaciones que obtuvieron 32 alumnos de una clase, en Matemáticas, en
la primera evaluación fueron las que aparecen en la tabla.
xi
fi
1
2
2
2
3
3
4
5
5
7
6
5
7
3
8
2
9
2
10
1
¿Cuál es la calificación media de la clase?
2. La temperatura que ha marcado un
termómetro en los diferentes días de la
semana, ha sido (en grados centígrados) los
que pueden verse en la tabla.
Mínima Máxima
4
19
Lunes
-2
18
Martes
-3
21
Miércoles
1
13
Jueves
4
12
Viernes
0
14
Sábado
3
22
Domingo
Calcula:
a. La temperatura media mínima.
b. La temperatura media máxima.
c. La media de las oscilaciones extremas
diarias.
3. Las edades de los componentes de una peña de aficionados al fútbol son:
18, 16, 21, 20, 18, 16, 21, 18, 21, 18, 20, 19, 36, 24, 18, 20, 18, 19 Y 20.
Calcula la edad media aritmética, la edad mediana y la edad moda.
4. Las temperaturas medias en las capitales de 12 países miembros de la UE, en
grados centígrados, son:
Amsterdam, 13; Atenas, 25; Berlín, 14; Bruselas, 15; Copenhague, 11; Dublín,
14; Lisboa, 20; Londres, 15; Luxemburgo, 15; Madrid, 20; París, 15; Roma, 22.
Calcula, en esta distribución, la media, la moda y la mediana. Haz el gráfico más
adecuado a esta distribución.
5. La renta per cápita de las provincias españolas figura en la tabla siguiente:
Renta per cápita
en euros
Número de
provincias
[1000, 1300)
[1300, 1600)
[1600, 1900)
[1900, 2200)
[2200, 2500)
[2500, 2800]
5
15
11
13
3
3
Calcula la renta per cápita media, mediana y moda.
6. La tabla muestra la distribución, a lo largo de
una mes del número de camiones que circulan
diariamente por un cruce de carreteras.
Calcula la media, la moda y la mediana y haz
el gráfico más adecuado.
PASO DE VEHÍCULOS
Nº de días
Nº de camiones
por día
[350,
[400,
[450,
[500,
[550,
400)
450)
500)
550)
600]
2
5
11
172 9
4
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7. Para el siguiente conjunto de datos:
19, 9, 15, 17, 11, 18, 11, 6, 8, 21, 14, 5, 10, 10, 7, 4, 13, 19, 17, 11, 12, 9, 8, 5, 14 y 11.
Obtén su mediana.
8. Las respuestas correctas a un test de 79 preguntas realizado por 600 personas
son las que se recogen en la siguiente tabla:
[0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80]
Respuestas
40
60
75
90
105
85
80
65
Nº de personas
a. Calcula el número medio de respuestas correctas.
b. Obtén la mediana.
c. Representa gráficamente los datos de esta distribución.
9. Los siguientes datos son calificaciones obtenidas en cierta prueba de Idioma:
2, 5, 3, 4, 7, 9, 5, 2, 7, 4, 8, 3, 5, 8, 7, 9, 3, 2, 4, 1, 10, 9, 4, 8, 6, 9, 3, 3, 7, 1, 2, 8,
6, 7, 3, 6, 4, 7, 4, 8, 2, 3, 7, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 4, 3, 7, 5, 6, 9, 5, 7 y 2.
a. Elabora una tabla en la que aparezcan las diferentes frecuencias simples.
b. Calcula media, mediana y moda de las calificaciones.
c. Calcula todos los parámetros de dispersión citados en el texto.
10. En un hospital se quiere estimar el peso de las niñas recién nacidas. Para ello se
seleccionan, de forma aleatoria, 100 de estas obteniéndose los siguientes
resultados:
Intervalos
[1; 1,5) [1,5; 2) [2; 2,5) [2,5; 3) [3; 3,5) [3,5; 4) [4; 4,5) [4,5; 5]
(kg)
1
2
5
20
40
26
5
1
Nº de niñas
a. Calcula los pesos medio, mediano y moda de la distribución anterior.
b. Determina la desviación típica.
11. El cartograma muestra la potencia (en kw)
instalada con energía solar fotovoltaica a
finales de 1995 en las distintas
Comunidades Autónomas.
a. Calcula la media y la desviación
típica de la potencia instalada.
b. ¿Cuántas Comunidades Autónomas
tienen el valor de su potencia
instalada
en
el
intervalo
x   , x    ?¿Qué porcentaje
representan?
173
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
I.E.S. MANUEL LOSADA VILLASANTE
12. Una fábrica de yogures empaqueta estos en cajas de cien unidades cada una.
Para probar la eficacia de la producción se han analizado 80 cajas comprobando
los yogures defectuosos que contiene cada una y se han obtenido los resultaos de
la tabla:
Nº de yogures
defectuosos
Nº de cajas
0
1
2
3
4
5
6
40
15
10
9
3
2
1
Define cuáles son los individuos de esta muestra y la variable estadística.
Después calcula para esta distribución estadística la media aritmética, la moda,
la mediana, la varianza, la desviación típica y el número de cajas que están en
los intervalos: x   , x    ; x  2 , x  2  ; x  3 , x  3 . A la
vista de los resultados, ¿puede calificarse la distribución de normal?
13. El presupuesto del Insalud, por Comunidades Autónomas y en miles de
millones, del año 1992 fue el siguiente:
Comunidad
Autónoma
Cataluña Navarra Andalucía Galicia
Presupuesto
379
29
417
146
Comunidad País
Valenciana Vasco
243
132
Gestión
directa
1040
a. Construir el diagrama de sectores correspondientes a esta distribución de
frecuencias.
b. ¿Qué datos de los anteriores se encuentran en el intervalo x   , x    ?
14. En cierta línea de autobuses municipales se ha
registrado el número diario de viajeros que la
han utilizado el último mes, obteniéndose la
información que aparece en la tabla.
a. Realiza el gráfico correspondiente.
b. Calcula la media, la mediana y la moda
del número de viajeros.
c. Encuentra la desviación típica.
Nº de
viajeros
(miles)
[0, 3)
[3, 6)
[6, 9)
[9, 12]
Nº de días
5
5
15
5
15. En la fabricación de cierto tipo de bombillas se han detectado algunas
defectuosas. Se han estudiado 200 lotes diferentes de 500 piezas cada uno,
obteniéndose los datos de la tabla adjunta:
1
5
Defectuosas
Nº de lotes
2
15
3
38
4
42
5
49
6
32
7
17
8
2
Calcula los parámetros de centralización y de dispersión.
16. Calcula parámetros de centralización y de dispersión:
xi
fi
[0, 25)
20
[25, 50)
40
[50, 75)
100
[75, 100]
60
174
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I.E.S. MANUEL LOSADA VILLASANTE
17. Los lados de dos cuadrados miden 5 y 7 m respectivamente. Halla el área del
cuadrado cuyo lado sea la media aritmética de los otros dos lados.
18. Un trayecto de 7 km es recorrido por una motocicleta en la siguiente forma: 3
km a 60 km/h y los otros 4 restantes a 100 km/h ¿Cuál es la velocidad media?
19. Se desea compara la duración de dos marcas de lámparas halógenas, A y B. Para
ello, elegimos dos muestras, compuestas por 10 lámparas de cada una de las
marcas. La duración en semanas de cada una de ellas fue:
Marca A
Marca B
23
22
26
29
24
24
32
27
28
30
26
29
22
25
25
27
20
22
21
30
a. Calcula la media y la desviación típica de las duraciones de cad
marca de lámparas.
b. ¿Qué marca sería aconsejable elegir?
20. Si a los numero 10, 12, 14, 16, 18 y 20, los sumamos 9 se obtiene 19, 21, 23, 25,
27, 29. Compara las medias y desviaciones típicas de ambas series.
21. Si a los numero 10, 12, 14, 16, 18 y 20, los multiplicamos por 4 se obtiene 40,
48, 56, 64, 72, 80. Compara las medias y desviaciones típicas de ambas series.
175
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UNIDAD VIII. PROBABILIDAD
-
Experimentos aleatorios. Sucesos.
Operaciones con sucesos.
Probabilidad de un suceso.
Regla de Laplace.
Frecuencia y probabilidad.
Propiedades de la probabilidad.
Probabilidad condicionada.
Sucesos dependientes e independientes.
Experimentos aleatorios. Sucesos.
Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir,
que depende de la suerte o del azar.
Cuando conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo, decimos que es un
experimento determinista.
Ejemplo 1:
El juego de la rana consiste en lanzar discos de metal a la boca de una rana, ganando
el premio si encestas. Acertar o no es un hecho en el que influye la suerte; sin
embargo, siempre que tiras el disco, este cae por efecto de la gravedad. Determina un
experimento aleatorio y otro determinista.
Acertar en la boca
1º Lanzar el disco
No acertar en la boca
2º Lanzar el disco
El disco cae
El caso 1 es un experimento aleatorio porque no podemos asegurar elresultado. En el
caso 2, sí sabemos de antemano lo que va a ocurrir, luego es un experimento
determinista.
Un suceso elemental es cada uno de los posibles resultados de un experimento
aleatorio. El conjunto de todos los sucesos elementales se llama espacio muestral.
En general, un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo 2:
Extraemos una bola de una urna con bolas numeradas del 1 al 5. Define el espacio
muestral y escribe sucesos que no sean elementales.
El espacio muestral tiene 5 sucesos elementales: E = {1, 2, 3, 4, 5}
Los sucesos no elementales pueden ser:
A = “Sacar un número par” = {2, 4}
B = “Sacar un número mayor que 3” = {4, 5, 6}
176
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
I.E.S. MANUEL LOSADA VILLASANTE
Una técnica muy utilizada para calcular el espacio muestral de un experimento aleatorio
es el diagrama de árbol.
Ejemplo 3:
Juan tiene 2 corbatas, una azul y otra roja, y 3 camisas de colorees azul, rosa y
blanco, respectivamente. Si escoge al azar una corbata y una camisa, ¿cuál será el
espacio muestral?
Para calcular el espacio muestral construimos un diagrama de árbol:
Corbata Azul
Cam. Azul
Cam. Rosa
Corbata Roja
Cam. Blanc
Cam. Azul
Cam. Rosa
Cam. Blanc
E = {AA, AR, AB, RA, RR, RB}
Un suceso compuesto es aquel suceso que está formado por dos o más sucesos
elementales.
Cuando dos sucesos pueden ocurrir simultáneamente decimos que son compatibles; en
caso contrario, se denominan incompatibles.
Ejemplo 4:
En un experimento de lanzar un dado, escribe ejemplos de sucesos compuestos,
compatibles e incompatibles.
Consideramos los sucesos compuestos:
A = “Salir par”
B = “Salir múltiplo de 3”
C = “Salir potencia de 2”
Los sucesos A y B son compatibles. Si sale 6 es “par” y “múltiplo de 3”.
Los sucesos B y C son incompatibles. No hay ningún número que sea “múltiplo de 3” y,
a la vez, sea “potencia de 2”
Ejercicios:
1. Di cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles son
deterministas.
a) Pesar 1 dm3 de agua.
b) Medir el lado de un cuadrado de 2 cm2.
c) Preguntar un número de 2 cifras.
d) Lanzar un dado y anotar la puntuación.
e) Elegir un jersey del armario.
177
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2. Define los sucesos elementales, el espacio muestral y dos sucesos no
elementales al extraer una carta de la baraja española.
3. En un experimento de elegir un número al azar y anotar su resto de dividir
entre 3, pon un ejemplo de suceso que no sea el conjunto vacío.
4. Lanzamos una moneda y un dado. Calcula el espacio muestral mediante
una diagrama de árbol.
5. se extrae una carta de la baraja española. Indica cómo son los siguientes
sucesos.
a) A = “Sacar oros”
B = “Sacar copas”
b) A = “Sacar bastos”
B = “Sacar un as”
6. Tenemos una bolsa con 8 bolas numeradas del 1 al 8. Extraemos una bola, y
si tiene un número impar, extraemos otra sin reemplazar la primera. Si el
número es par, extraemos dos bolas sin reemplazar la que ya hemos sacado.
a) Determina el espacio muestral.
b) Pon un ejemplo de dos sucesos compatibles.
c) Escribe dos sucesos incompatibles.
Operaciones con sucesos.
La unión de dos sucesos, A y B, es otro suceso formado por todos los sucesos
elementales que hay en A o en B, y se escribe A  B.
La intersección de dos sucesos, C y D, es otro suceso formado por todos los sucesos
comunes de C y D, y se escribe C  D.
En términos de operaciones con sucesos:
- Que ocurra A o B se traduce como A  B.
-
Que ocurra A y B se traduce como A  B.
Ejemplo 5:
Lourdes y José juegan a lanzar un dado. Lourdes gana si saca un número par o
mayor que 4, y José gana cuando es impar y menor que 3.
Describe esta situación en términos de experimentos aleatorios y sucesos.
En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, el espacio muestral es:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Los sucesos son:
A = “Número par” = {2, 4, 6}
B = “Número mayor que 4” = {5, 6}
Lourdes gana si: GL = “Número par o mayor que 4” = {2, 4, 5, 6}
GL es la unión de A y B  GL = A  B
178
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Otros sucesos son:
C = “Número impar” = {1, 3, 5}
D = “Número menor que 3” = {1, 2}
José gana si: GJ = “Número impar y menor que 3” = {1}
GJ es la intersección de C y D  GL = C  D
A partir de las operaciones con sucesos es fácil definir otros sucesos:
El suceso contrario o complementario de un suceso A es otro suceso, que escribimos
como A , y que está formado por los sucesos elementales del espacio muestral que no
están en A.
 El contrario de la unión es la intersección de los contrarios.
A  B  A B
 El contrario de la intersección es la unión de contrarios.
A  B  A B
 El contrario del contrario coincide con el suceso de partida.
A A
Siempre se cumple que:
A  A =E
A  A =Ø
E =Ø
Ø =E
Ejemplo 6:
En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y una moneda,
considerando el suceso A = “Sacar divisor de 6 en el dado y cara en la moneda”,
calcula el suceso contrario de A.
El espacio muestral es:
E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X}
A = {1C, 2C, 3C, 6C}
El suceso contrario de A está formado por todos los sucesos del espacio muestral que no
están en A.
E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X}
A = {1C, 2C, 3C, 6C}
Por tanto, tenemos que A = {4C, 5C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X}
179
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Ejercicios:
7. En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado con sus caras
numeradas del 1 al 8, expresa en forma de uniones e intersecciones los
siguientes sucesos.
a) “Salir número par y no primo”
b) “Salir número impar o primo”
c) “Salir número primo o par”
8. En la extracción de una bola de una bolsa que contiene 10 bolas numeradas
del 1 al 10, consideramos los sucesos A = “Número par” y B = “Múltiplo de
3”. Calcula:
a) A  B
b) A  B
9. De un experimento de sacar una carta de la baraja española, consideramos
los sucesos a = “Sacar una figura” y B = “Sacar oros”. Obtén los sucesos.
a) A  B
b) A  B
c) A
d) B
10. Tomamos una pieza de fruta de un frutero donde hay manzanas, fresas,
plátanos y peras. Calcula los contrarios de los siguientes sucesos.
a) “Que sea manzana o pera”
b) “Que no sea plátano”
c) “Que crezca en árboles”
11. En una caja hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Escribe el suceso contrario,
uno compatible y otro incompatible de estos sucesos.
a) A = “Sacar número menor que 4”
b) B = “Sacar número impar”
12. Con los datos del ejercicio anterior, calcula estos sucesos.
a) A
e) A  B
b) A  B
f) A  B
c) A  B
g) A  B
d) A  B
h) A  B
Probabilidad de un suceso
La probabilidad, P, de un suceso es una función que a cada suceso de un experimento
aleatorio le asocia un número comprendido entre 0 y 1 y mide la facilidad de que el
suceso ocurra.
180
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Cuanto más se acerque la probabilidad de un suceso a 1, mayor será la posibilidad de
que ocurra, y recíprocamente, cuanto más se acerque a 0 más difícil será que suceda.
Un suceso seguro es aquel que siempre ocurre, y su probabilidad es 1. Por ejemplo:
P(E) = 1.
Se dice que un suceso es un suceso imposible cuando nunca sucede, es decir, cuando su
probabilidad es 0. Por ejemplo: P(Ø) = 0.
Ejemplo 7:
Tenemos 2 bolas de igual peso y tamaño, una blanca y otra negra, en una bolsa. Si
extraemos una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?
La probabilidad de coger una u otra bola será igual. Por tanto, podríamos repartir la
probabilidad de que ocurran ambos sucesos:
P(blanca) =
1
2
P(negra) =
1
2
Lo mismo sucedería si tuviéramos 3 bolas, iguales en peso y tamaño, pero de diferente
color; podríamos repartir la probabilidad de los 3 sucesos elementales, y a cada uno le
1
asignaríamos una probabilidad de
3
Regla de Laplace
Un experimento es regular cuando todos sus sucesos elementales tienen la misma
probabilidad, es decir, son sucesos equiprobables.
La regla de Laplace nos permite calcular probabilidades de un suceso cuando el
experimento aleatorio es regular.
La regla de Laplace afirma que la probabilidad de un suceso es igual al número de
sucesos elementales que contiene dividido entre el número total de sucesos elementales
del espacio muestral.
Para operar se suele utilizar esta expresión.
nº de casos favorablesde A
P(A)
nº de casos posibles
181
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Ejemplo 8:
Carmen tiene una bolsa con 5 caramelos: 1 de menta, 2 de limón y 2 de fresa. Si
escoge un caramelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de menta?¿Y de
limón?¿Y de fresa?
Este es un experimento regular, porque Carmen tiene igual probabilidad de coger
cualquiera de los 5 caramelos.
Para poder aplicar la regla de Laplace, los sucesos elementales tienen que se
equiprobables.
Si aplicamos la regla de Laplace, tenemos que:
P(menta) 
nº de caramelos de menta 1
=  0,2
nº de caramelos
5
P(limón) 
nº de caramelos de limón 2
=  0,4
nº de caramelos
5
P(fresa) 
nº de caramelos de fresa
2
=  0,4
nº de caramelos
5
Ejercicios
13. Si en una bolsa tenemos 4 bolas de diferentes colores: rojo, blanco, verde y
amarillo, calcula la probabilidad de :
a) “Sacar bola marrón”
b) “Sacar bola de algún color”
c) “Sacar bola verde”
14. Halla las probabilidades de estos sucesos.
a) “Salir cara al lanzar una moneda”
b) “Obtener un 5 cuando juegas al parchís”
c) “Sacar un 2 en un dado con forma de tetraedro y cara numeradas del 1 al
4”.
15. De los siguientes experimentos, escribe cuáles son sus sucesos elementales.
a) “Lanzar un dado”
b) “Lanzar una moneda”
c) “Observar cómo cae una chincheta, con lapunta hacia arriba o hacia
abajo”
d) “Contestar al azar una pregunta con 4 posibles respuestas”
e) “Extraer una bola de una bolsa que tiene 2 bolas rojas y 3 azules”
f) “Lanzar un dado de 8 caras y una moneda”
¿Qué probabilidad le asignarías a cada uno de los sucesos?
182
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16. En una bolsa hay 5 bolas rojas, 10 verdes y 5 azules, y se extrae una bola,
Calcula la probabilidad de los sucesos.
a) “Sacar bola roja”
b) “Sacar bola verde”
c) “Sacar bola azul”
17. En un aula hay 17 chicos y 19 chicas. Se elige una persona al azar.
Determina la probabilidad de estos sucesos.
a) “Ser un chico”
b) “Ser una chica”
18. Se lanza un dado de 6 caras. Calcula la probabilidad de estos sucesos.
a) A = “Salir un número par”
b) B = “Salir un número múltiplo de 3”
c) C = “Salir un número menor que 4”
19. En un dado se suprime la cara 6 y se añade otra cara 1. ¿Cuál es el espacio
muestral? ¿Son los sucesos elementales equiprobables?¿Puedes calcular su
probabilidad?
Frecuencia y probabilidad
La probabilidad coincide con el número hacia el que se aproximan las frecuencias
relativas de un suceso cuando repetimos el experimento aleatorio un número elevado de
veces.
Esa propiedad se conoce como ley de los grandes números.
Esta propiedad es una herramienta muy útil para calcular probabilidades de manera
experimental.
Ejemplo 9:
Calcula la probabilidad de que, al alanzar una moneda, salga cara.
Sin aplicar la regla de Laplace, realizamos el experimento numerosas veces y contamos
el número de caras que van saliendo.
Número de lanzamientos
Número de caras (fi)
Frec. Relativa (hi)
10
7
0,7
100
41
0,41
1.000
556
0,556
10.000
4.968
0,4968
183
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Observamos que las frecuencias relativas se aproximan al valor de la probabilidad que
podríamos haber obtenido aplicando la regla de Laplace, esto es, a 0,5.
P(A)
nº de casos favorables 1
  0,5
nº de casos posibles
2
Propiedades de la probabilidad.

La probabilidad de un suceso no puede ser menor que 0 ni mayor que 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1

La probabilidad del suceso seguro es 1 y la probabilidad del suceso imposible
es 0.
P(E) = 1

P(Ø) = 0
Cuando dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es la suma
de sus probabilidades.
P(A  B) = P(A) + P(B)

La probabilidad de cualquier suceso es igual a 1 menos la probabilidad de su
contrario.
P(A) = 1 – P( A )

Para dos sucesos cualesquiera, A y B, se verifica siempre que la probabilidad
de la unión es igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la
intersección.
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
Si A y B son sucesos incompatibles la probabilidad de su intersección es 0.
Ejemplo 10:
Consideramos los sucesos:
A = “Ser una persona morena”
con P(A) = 0,6
B = “Tener los ojos marrones”
con P(A) = 0,7
A  B = “Ser moreno y con ojos marrones”
con P(A  B) = 0,42
Calcula la probabilidad de que, elegida una persona al azar:
a) No sea morena
b) Sea morena o tenga ojos marrones
a) “No sea morena” = A
P( A ) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4
b) “Sea morena o tenga ojos marrones” = A  B
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = 0,6 + 0,7 –0,42 = 0,88
184
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Ejercicios:
20. Se ha lanzado una moneda 75 veces obteniéndose 43 caras. ¿Cuál es la
frecuencia relativa del suceso “Salir cruz”?
a)
32
75
b) 32
c)
32
100
d) 0,32
21. Una máquina hace arandelas para tornillos. Explica cómo calcularías la
probabilidad de que, escogida una de las arandelas al azar, sea defectuosa.
22. E una bolsa hay bolas numeradas del 1 al 5. Se repite 5.000 veces el
experimento de extraer una bola, se anota el resultado y, después, se devuelve
a la bolsa. Las frecuencias obtenidas son:
Bola
1
2
3
4
5
fi
1.200
800
700
1.300
1.000
Calcula la probabilidad de que, al sacar una bola, se obtenga un múltiplo de 2.
23. Una urna contiene 4 bolas blancas, 1 roja y 5 negras. Se considera el
experimento de sacar una bola al azar. Calcula las probabilidades de estos
sucesos.
a) A = “Sacar bola blanca”
b) B = “Sacar bola roja”
c) C = “Sacar bola que no sea negra”
d) D = “Sacar bola que no sea roja”
e) E = “Sacar bola vede”
f) F = “Sacar bola blanca o negra”
g) G = “Sacar bola roja o negra”
24. Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de
que la suma:
a) Sea 3
b) Sea inferior a 11.
c) No sea 7.
d) Sea 4 ó 5.
25. Si dos sucesos, A y B, verifican que la suma de sus probabilidades es igual a 1,
son:
a) Compatibles
c) Incompatibles
b) Contrarios
d) No se puede saber
185
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Probabilidad condicionada.
El cálculo de la probabilidad de un suceso B, cuando sabemos que ha ocurrido otro
suceso A, se denomina probabilidad condicionada.
Se escribe P(B/A) y se lee “probabilidad de B condicionada a A”
Ejemplo 11
En una clase de 4º eso hay 8 chicos y 12 chicas. Si 5 chicos y 8 chicas lee el
periódico y escogemos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:
a) “Lea el periódico y sea chico”
b) “ No lea el periódico o sea chico”
c) “ Sea chica, sabiendo que lee el periódico”
d) “Lea el periódico, sabiendo que es chica”
Como todos los alumnos tienen la misma probabilidad de ser escogidos, los sucesos
elementales son equiprobables y podemos aplicar la regla de Laplace.
A = “Ser chica”
B = “Ser chico”
C = “Lee el periódico”
D = “No lee el periódico”
a) P(C  B) 
nº de chicos que leen el periódico
5

 0,25
nº de estudiante s
20
b) P(D B)  P(D) + P(B) - P(D  B) =
7
8
3


 0,6
20 20 20
c) P(A/C) =
nº de chicasque leen el periódico 8

 0,615
nº de estudiantes que leen
13
d) P(C/A) =
nº de chicas que leen el periódico
8

 0,6
nº de chicas
12
Sucesos dependientes e independientes.
Dos sucesos, A y B son independientes cuado que ocurra uno no influye en que ocurra
el otro. En caso contrario, decimos que los sucesos son dependientes.
Dos sucesos, A y B, son independientes, si P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A).
Regla del producto
La regla del producto es una forma de calcular la probabilidad de la intersección de
sucesos.
P(A  B) = P(A) · P(B/A) = P(B) · P(A/B)
Si dos sucesos A y B, son independientes, entonces P(A  B) = P(A) · P(B).
La regla del producto se puede utilizar para calcular el valor de la probabilidad
condicionada.
186
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
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Ejemplo 12:
Extraemos 2 bolas de una bolsa en la que hay 12 bolas rojas y 8 azules. Si al sacar
la primera la devolvemos, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la
segunda sea azul?¿Y si no la devolvemos?
CON DEVOLUCIÓN
P(A)
P(B/A)
12
20
12
20
8
20
Roja
8
20
12
20
Azul
Roja
Azul
Roja
8
20
Azul
P(A  B) = P(A) · P(B/A)
P(Roja  Azul) = P(Roja) · P(Azul /Roja) =
12 8

 0,24
20 20
SIN DEVOLUCIÓN
P(A)
P(B/A)
11
19
12
20
8
20
Roja
Azul
8
19
12
19
7
19
Roja
Azul
Roja
Azul
P(A  B) = P(A) · P(B/A)
187
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
P(Roja  Azul) = P(Roja) · P(Azul /Roja) =
I.E.S. MANUEL LOSADA VILLASANTE
12 8
  0,25
20 19
Si devolvemos la bola, los sucesos “Obtener primera bola azul” y “Obtener segunda
bola roja” son independientes. Y si no la devolvemos, son dependientes.
Ejercicios:
26. En una caja de bombones hay 5 bombones de chocolate blanco y 15 de
chocolate negro. Si 2 bombones de chocolate blanco y 10 de chocolate negro
tienen relleno de licor, y escogemos un bombón al azar, calcula la
probabilidad de los sucesos.
a) “Sea de chocolate negro y esté relleno”
b) “No tenga relleno o sea de chocolate blanco”
c) “Sea de chocolate blanco, sabiendo que es relleno”
d) “Sea relleno, sabiendo que es de chocolate negro”
27. En una urna tenemos 2 bolas blancas y 2 azules. Si la primera bola que
extraemos no se vuelve a introducir en la urna (sin reemplazamiento),
calcula la probabilidad de obtener una bola azul y, después, una bola
blanca.
28. Si el experimento anterior fuera con reemplazamiento, halla la
probabilidad de obtener una bola azul y, después, una bola blanca.
29. Al extraer una bola de la urna (en la urna hay dos bolas rojas y tres azules)
y anotar el color, se devuelve a la urna. Calcula la probabilidad de que, al
extraer dos bolas, sean rojas.
30. En el ejercicios anterior, ¿son los sucesos dependientes o independientes?
31. Propón un experimento, y busca un ejemplo de sucesos independientes y
otro de sucesos incompatibles.
188