TEMA 1: LOS NÚMEROS ENTEROS

TEMA 1: LOS NÚMEROS ENTEROS
1. NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
En la vida real existen cantidades que toman valores positivos y negativos, al
trabajar con ellas usamos los números enteros. Para escribir los números enteros se
utilizan los números naturales precedidos del signo + o -.
Los números enteros positivos son los que tienen el signo + y los enteros negativos
son los que tienen el signo -. El 0 es el único número que no es positivo ni
negativo, es decir, nunca lleva signo.
Los números enteros se representan en una recta eligiendo un punto de origen para
el cero. De esta forma tenemos a la derecha los enteros positivos +1, +2, +3, y a la
izquierda los enteros negativos –1,-2,-3.
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
Señala ejemplos que veas en nuestra vida cotidiana en la que sea necesario el empleo de
los números enteros.
2. EL VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de prescindir
del signo.
Ejem: el valor absoluto de –5 y +5 es /5/.
El valor absoluto de un número siempre se escribe entre barras.
ACTIVIDADES:
1. Escribe la escala de un termómetro que se indique desde diez grados bajo cero
hasta 20 grados sobre cero.
2. Representa en una recta numérica los siguientes números: -8, +5, -10,+4, +9, -2,
+7,-12, +6.
a) ¿Cuál de estos números está más próximo del origen?
b) ¿Cuál de ellos está más alejado?
c) Por cada uno de los números escribe otro número que, sobre la recta, esté
a la misma distancia del origen.
3. Completa
a) /-4/ = /+4/ = 4
b) /+5/ = /-5/ =
c) /+6/ = /
/=
d) /-2/ = /
/=
4. Escribe el valor absoluto de cada número
a) +14
b) +15
c) –6
f)-9
g) –2
h)+8
d)-7
e)+13
I) –1
j) +4
5. Si estoy en la planta baja de una casa y subo al 5º y luego bajo 7 pisos. ¿En qué
piso me encuentro?.
3. COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
El mayor de los números enteros es el que está más a la derecha de la recta
numérica.
Entre dos números enteros positivos, es mayor el de mayor valor absoluto.
+4
+1, ya que +4 está más a la derecha que +1 y /+4/ /+1/
Entre dos números enteros negativos, el mayor es el que tiene menor valor absoluto.
-7 -2, ya que –7 está más a la izquierda que –2, /-7/ /-2/
Todo número positivo es mayor que cualquier entero negativo. Los enteros positivos
están todos a la derecha de los negativos
3
-12
El cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número
positivo.
0
-3 , +1 0
ACTIVIDADES
1. De los siguientes pares de números indica cuál es el mayor en cada caso:
a) +8, +12
b) –2, -6
c) +9, -10
d) –12, +2
e) –7, -9
f) +1, -5
g) –12, -1
h) –4, +7
i) –3, +4
j) –8, -15
2. Escribe el signo mayor que, menor que, según corresponda
a) –7
+2
b)+3 -6
c)-11 -14
d) 0
-2
e)+3
0
f)-4
+4
3. Ordena de mayor a menor las siguientes series de números enteros
a) –3, +25, -16, -8, +5, 0, -9
b) –10, -23, +8, +10, -12, +23
c) +17, +4, -11, -1, +1, 0, +15, -3
d) +7, +4, +2, -50, +26, -3, +6, +13
4. Escribe los números enteros
a) mayores que -5 y menores que +4
b) menores que +1 y mayores que –8
4. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Para sumar números enteros de igual signo se suman sus valores absolutos y se pone
el mismo signo de los sumandos:
(+5) + (+7) = (+12)
(-5) + (-7) = (-12)
Para sumar números de distinto signo se restan sus valores absolutos y se pone el
signo del sumando de mayor valor absoluto
(+4) + (-5) = (-1)
ACTIVIDADES
1. Calcula:
a) (+9) + (+11) =
b) (-14) + (-11) =
c) (+15) + (-11) =
d) (+13) + (+7) =
e) (-15) + (-21) =
f) (+18) + (-6) =
g) (-4) + (+15) =
h) (+24) + (+6) =
i) (-4) + (+10) =
j) (-18) + (-5) =
k) (-8) + (-37) =
l) (-7) + (+12) =
2. Calcula y ordena los resultados de menor a mayor
a) (+1) + (-1) =
b) (-10) + (-9) =
c) (-7) + (-5) =
d) (+6) + (+9) =
e) (+11) + (-13) =
f) (+3) + (+12) =
g) (+4) + (-5) =
h) (+7) + (-15) =
i) (-4) + (-7) =
5. RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Para realizar correctamente la resta de un número entero primero hay que conocer el
opuesto de un número entero:
El opuesto de un número positivo es su número negativo
El opuesto de un número negativo es su número positivo
El opuesto de (-3) es (+3)
El opuesto de (+4) es (-4)
Para restas dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo
(-5) – (+9) = (-5) + (-9) = (-14)
ACTIVIDADES
1. Calcula las siguientes restas
a) (-4) – (+8) =
b) (+7) – (-9) =
c) (+4) – (-1) =
d) (-6) – (+9) =
2. Calcula
a) (-3) – (+5) + (+2) – (-7) =
b) (+6) + (+2) + (-4) – (-1) =
c) (-1) + (+4) – (-2) – (+5) =
d) (+1) – (+2) – (+3) + (+5)
e) (-5) – (-2) – (+1) + (+8) =
f) (+3) + (+4) + (-7) + (-2) =
6. SUMAS Y RESTAS CONVINADAS. PARÉNTESIS Y CORCHETES
El cálculo de un polinomio aritmético se puede hacer de dos formas:
 Primera forma: Se hacen las operaciones en el orden en que aparecen
5 + 4 – 7 +6 –9 = 9 – 7 +6 –9 = 2 + 6 – 9 = 8 – 9 = - 1
 Segunda forma:
Se suman los números con signo positivo +
5 + 4 + 6 = 15
Se suman los números con signo negativos –
7 + 9 = 16
Se resta el segundo resultado del primero
15 – 16 = -1
Cálculo de un polinomio con paréntesis.
 Paréntesis precedido por signo negativo –
1ª forma: Se hace primero la operación del interior del paréntesis y se suprime
el paréntesis.
8 – (-2 + 6) = 8 – 4 = 4
2ª forma: Dado que la resta es la suma del opuesto, al suprimir el paréntesis
cambiamos los signos del interior.
8 – (- 2 +6) = 8 + 2 – 6 = 4
 Paréntesis precedido del signo positivo +
1ª forma: Suprimir el paréntesis sin cambiar los signos del interior
5 + (- 3 + 4 ) = 5 – 3 + 4 = 6
2 forma: Se hacen primero las operaciones del interior del paréntesis.
5+(-3+4)=5+1=6
Cálculo de corchetes
Los corchetes son como paréntesis, se utilizan cuando en una expresión aparece más
de un paréntesis.
1ª forma: Hacemos primero los paréntesis y después resolvemos el corchete
2ª forma: Suprimimos los paréntesis cambiando los signos del interior si va
precedido del signo –
Hacemos lo mismo con el corchete.
ACTIVIDADES
1. Calcula:
a) 3 – 4 +6 –2 +1 – (-5) – 7
b) (-5) – 4 – 3 + 2 +1 + 6
c) 4 – 3 – 6 + 5 –1 + 2 – 7 + 8
d) – 5 + 3 – 1 + 4 – 8 + 7
2. Calcula de dos formas:
a) – ( - 2 + 6 ) + ( 9 – 4 )
b) – 2- ( 6 – 4 + 3 – 2 )
c) – 4 – 3 – 6 + 5 – 1 + 2 – 7 + 8
d) 7 + [ - 4 – ( - 2 – 3 ) + 5 ] – 1
7. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para hallar el producto de dos números enteros:
 Multiplicamos sus valores absolutos
 Al resultado obtenido le ponemos el signo + si los dos factores son del
mismo signo, y el signo -, si los factores tienen signos contrarios.
Regla de los signos
+
+
-
+
+
+
+
-
ACTIVIDADES
1. Calcula los siguientes productos enteros
a) (+4) . (+2) =
b) (+3) . (-1) =
c) (-7) . (-5) =
d) (-1) . (+3) =
e) (-5) . 0 =
f) (+7) . ( -2) =
g) 0 . (+7) =
h) (-2) . (+1) =
i) (-3) . (-4) =
2. Completa la siguiente tablas
a
b
/a . b/
Signo (a . b)
A.b
3
-7
21
-
-21
-8
-2
-9
5
12
-
4
-2
-14
-7
21
+
3. Expresa como producto de dos enteros los siguientes números
a) –1
b) +1
c) –16
d) +8
e) 0
f)-5
4. Un producto de dos números enteros tiene 105 factores. Averigua el signo de
cada producto en cada caso.
a) Un quinto de los factores es negativo.
b) Dos séptimos de los factores son positivos
8. DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para hallar el cociente de dos números enteros:
 Dividimos sus valores absolutos
 Al resultado obtenido le ponemos el signo + si los dos factores son del
mismo signo, y el signo -, si los factores tienen signos contrarios.
Regla de los signos
+
+
-
+
+
ACTIVIDADES
1. Calcula las siguientes divisiones de enteros
a) –24 : +3
b) +12 : -2
c) –15 : -5
d) +11 : +1
e) +9 : - 9
f) –6 : +1
g) +6 : -1
h) 0 : - 4
i) –35 : + 7
j) + 38 : - 19
k) + 60 : +12
l) 0 : - 9
2. Escribe todos los enteros:
a) Menores que +3 y mayores que – 2
b) Mayores que – 7 y menores que – 3
c) Mayores que –3 y menores que +1
d) De valor absoluto menor que dos
3. Rellena los huecos
a) (-7) +---------- = -9
+
+
-
b) ---------- + (+8) = -12
c) (+3) + ---------- = +14
d) (-4) + ------------ = -4
e) (+7) + ------------ = 0
f) ------------- + (+2) = +2
4. Calcula de dos formas :
a) (-5) + (-3 +2)
b) (+9) – (-7 –3)
c) (-4) – (-2 +1)
d) (-9) – (-3 –2)
e) (+6) – (4 –1)
f) (+3) + (1 –8)
5. Calcula
a) (-2) + [ - 3 – (+2 – 4) +1] – 5
b) 3 – [- 2 – (- 1 – (-6)) – 3] + 7
c) 1 + [2 + (- 7 – (+4) – 1)] – 6
d) – 9 – [- 1 – (3 + (- 1 – (+ 7)))] – 10
6.Completa la tabla
a
b
c
2
-3
-4
-1
4
-2
1
2
3
-2
-1
-3
A . /b – c/
/a/ . /b + c/
7. Rellena los huecos para que las igualdades sean ciertas
a) ------ . (-7) = +21
b) ------ . (+5) = -35
c) (+9) . ------ = 0
d) (+6) . ------- = +18
e) (+4) . ------- = +4
f) ------- . (-7) = +7
g) (-10) . ------ = 0
h) (+3) . ------- = -12
/a + b/ . c
TEMA 2: DIVISIBILIDAD
1. MÚLTIPLOS Y DIVISORES
30 : 6 = 5
El dividendo 30 se dice que es múltiplo del divisor 6 y se escribe 30 = 6. Se dice
también que 30 es divisible por 6.
Si 30 es múltiplo de 6, 6 es divisor de 30.
Dado dos números naturales a y b, decimos que a es múltiplo de b y que b es divisor
de a si la división de a entre b es exacta.
A
b
0
n
múltiplo de
a
b
divisor de
Para obtener un múltiplo de un número, basta con multiplicarlo por cualquier
número natural. Observa cómo se obtienen múltiplos de 3:
3x2=6
6=3
3 x 7 = 21
21 = 3
3 x 4 = 12
12 = 3
3 x 12 =36
36 = 3
ACTIVIDADES
1. Halla mentalmente cuatro múltiplos de:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e)11
f) 4
g) 6
h) 8
g)8
h)72
2.Halla mentalmente cuatro divisores de:
a) 60
b) 48 c)80
d)100 e)50
f)24
3. Halla un múltiplo y un divisor de cada uno de los siguientes números:
a)6
b)15
c)24
d)40
e)35
f)17
g)21
h)39
4. ¿Se pueden envasar 125 litros en un número exacto de bidones de 5 litros? ¿Y en
bidones de 10?
5. Busca todos los números x, tales que la división 80 : x sea exacta.
6. ¿Es 1.209 múltiplo de 13? Razona tu respuesta.
7. Busca: a) Tres múltiplos de 20
c) Tres divisores de 20
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
Los múltiplos de un número son otros números que lo contienen una cantidad exacta
de veces.
Ejem: 12, 24, 36, 48... Estos números son múltiplos de 12.
Los múltiplos son infinitos.
Los múltiplos de a se obtienen al multiplicar a por cualquier otro número natural.
Todo número a es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
DIVISORES DE UN NÚMERO
Los divisores de un número son otros números que caben en él una cantidad exacta
de veces.
12 : 1 = 12; 12 : 2 = 6; 12 : 3 = 4; 12 : 4 = 3; 12 : 6 = 2; 12 : 12 = 1
Los números 1, 2, 3, 4, 6, 12 Son divisores de 12
ACTIVIDADES
1. Busca todos los divisores de:
a) 15
b) 18 c)36
d) 100
2. Busca los cinco primeros múltiplos de 13.
3. Busca el primer múltiplo de 13 mayor de 500
PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Los conceptos de múltiplo y divisor son inversos uno de otro, existiendo unas
propiedades que estudiamos conjuntamente:
1. Todo número es múltiplo de sí mismo.
Todo número es divisor de sí mismo.
Al dividir 3
3 el resto es 0 por tanto 3 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 3.
2.Todo número es múltiplo de 1.
El número 1 es divisor de cualquier número.
Al dividir 3
1 el resto es 0 por tanto 3 es múltiplo de 1 y 1 es divisor de 3
3.La suma de a + b de dos múltiplos de un número m también es múltiplo de m.
Un número natural m, que es divisor de otros dos, es divisor de su suma a + b
14 es múltiplo de 2 porque 14
2
0
7
6 es múltiplo de 2 porque 6
2
0
3
14 + 6 = 20 y 20 es múltiplo de 2 porque:
20
2
0
10
8. La diferencia a – b de dos múltiplos de un número m también es múltiplo
también es múltiplo de m.
Un número natural m, que es divisor de otros dos a y b, es divisor de su
diferencia a – b.
14 – 6 = 8 y 8 es múltiplo de 2 porque 8
2
0
4
ACTIVIDADES
1. Sin efectuar operaciones, averigua si 5 es divisor de:
a) 75 + 35
c) 80 – 25
e) 1.000 - 25
b) 75 - 35
d) 80 + 25
f) 1.000 + 25
2.Sin efectuar las operaciones, averigua si 3 es divisor de:
a) 123 + 321
c) 408 + 237
e) 5.000 + 200
b) 1.020 – 360
d) 408 – 237
f) 3.000 – 1.000
3.Verdadero o falso:
a) Si a un múltiplo de 3 le sumamos 12 obtenemos otro múltiplo de 3.
b) Si a un múltiplo de 10 le sumamos 15 obtenemos otro múltiplo de 10.
4.¿Cuál de estas afirmaciones es verdadera?
a) Si un número es múltiplo de 15, también es múltiplo de 3 y de 5.
b) Si un número es múltiplo de 3 y de 5, también es múltiplo de 8.
2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por 2 cuando acaba en 0 o en cifra par

Un número es divisible por 5 cuando acaba en 0 o en 5.

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es
múltiplo de 3.

Un número es divisible por 10 cuando termina por 0

Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es
múltiplo de 9
ACTIVIDADES
1. De los siguientes números 231, 426, 520, 1.080, 2.745 y 4.500:
a) ¿Cuáles son múltiplos de dos?
b) ¿Cuáles son múltiplos de tres?
c) ¿Cuáles son múltiplos de tres?
d) ¿Cuáles son múltiplos de tres?
2. De los números anteriores, ¿Hay alguno divisible por 9?
3.De todos estos números: 180, 373, 248, 150, 627, 222, 115
Escribe los múltiplos de 2, de 3 y de 6
4. En el número de tres cifras 25x:
¿Para qué valores de x el número es múltiplo de 3?
¿Para qué valores de x el número es múltiplo de 2?
3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Se llaman números primos aquellos que sólo son divisibles por sí mismos y por la
unidad.
Cualquier número natural que no es primo se llama compuesto.
Los números compuestos tienen más divisores que los números primos y admiten
más de una composición en producto de dos factores.
Los números primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
ACTIVIDADES
1. Hay parejas de números primos que se escriben con las mismas cifras
pero en orden inverso, como 13 y 31. ¿Qué otras parejas encuentras?
2. Un número capicúa de tres cifras es de la forma a b a ¿Cuál es el
número primo más pequeño formado por tres cifras?
3. ¿En qué cifras terminan los números primos menores que 100? ¿Son
primos todos los números que terminan en esas cifras?
4. Descompón en dos factores los siguientes números:
a) 180
b)345
c)123
5. Descompón en el máximo números de factores:
a)36
b)150
c)200
6. Busca todos los números primos comprendidos entre 50 y 80.
7. Di cuáles son primos y cuáles compuestos: 88, 89, 101, 111, 213.
Razona en cada caso la respuesta.
4. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS
Para descomponer un número en factores primos lo dividimos entre 2 tantas veces
como sea posible, después entre 3, después entre 5.... y así sucesivamente con los
siguientes números primos hasta obtener 1 de cociente.
Ejem:
924
2
462
2
231
3
77
7
11
11
1
ACTIVIDADES
1. Descompón en factores primos:
a) 64
b)270
c)360
d)594
g) 2.340
h)5.236
i) 6.300
j)8.820
e)975
f)2.000
2. Descompón en el máximo número de factores:
a)91
b)432
c)525
3. Calcula los números que tienen las siguientes descomposiciones:
a) 24 · 32
b) 23 ·53
c) 32 · 52 · 7
d) 23 ·. 32 · 5 · 13
4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:

Se descomponen los números en factores primos

Se toman todos los factores primos (comunes y no comunes) elevado cada uno a
la máxima potencia.
Ejem:
45
3
60
2
15
3
30
2
5
5
15
3
5
5
1
1
45 = 3 · 3 · 5 · = 32 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5
m.c.m. (45, 60) = 32 · 22 · 5 = 3 · 3 · 2 · 2 · 5 = 180
El cálculo del mínimo común múltiplo facilita algunos procesos matemáticos y resuelve
muchos problemas.
Por ejemplo: Se han apilado cubos de 45 cm de arista hasta alcanzar la altura de otra
pila de cubos de 60cm de arista ¿Cuál es la altura de las torres?.
La altura de una torre es múltiplo de 45cm y la de la otra, múltiplo de 60. Las dos
alturas coinciden en el mínimo común múltiplo de ambos números.
Solución: m.c.m. (45, 60) = 60
ACTIVIDADES
1. Calcula:
a) m. c. m (12, 18)
e) m. c. m (14, 21)
b) m. c. m (24, 36)
f) m. c. m (36, 45)
c) m. c. m (90, 120)
g) m. c. m (84, 126)
2. Calcula:
a) m. c. m (4, 6, 8)
b) m. c. m (60, 72, 90)
c) m. c. m (50, 100, 125)
5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS NÚMEROS
El máximo común divisor se puede utilizar para resolver múltiples problemas de la vida
cotidiana. Ejemplo: Se desea dividir un terreno rectangular de 100 metros de ancho por
120 metros de largo en parcelas cuadradas lo más grandes que sea posible. ¿Cuánto
debe medir el lado de cada parcela?
El lado de la parcela cuadrada debe ser:
-Divisor de 100
-Divisor de 120
-Lo mayor posible
Solución: M. C. M (100, 120)= 120 metros
Para calcular el Máximo común divisor de varios números:

Se descomponen los números de factores primos

Se toman solamente los factores primos comunes, elevados al menor exponente
con el que aparecen.
ACTIVIDADES
1. Calcula:
a) M. C. D. (50, 75)
d) M. C. D. (28, 42)
b) M. C. D. (63, 99)
e) M. C. D. (165, 231)
c) M. C. D. (216, 240)
f) M. C. D. (360, 450)
2. Calcula:
a) M. C. D. (12, 18, 24)
b) M. C. D. (20, 30, 40)
c) M. C. D. (24, 36, 60)
ACTIVIDADES DE REFUERZO
1. Obtén el m. c. m y el m. c. d de los siguientes pares de números:
a) 24 y 36
d) 15 y 20
g) 12 y 18
j) 7 y 11
b) 12 y 15
e) 3 y 5
h) 15 y 30
k) 14 y 16
c) 6 y 24
f) 18 y 8
i) 9 y 15
l) 8 y 9
2. ¿Qué diferencia hay entre dos múltiplos consecutivos de 5? ¿Y de 13? ¿Y de 19?
3. Entre 50 y 100, busca cuatro número múltiplos de 3 y otros 4 que no lo sean.
4.¿Cuánto debe valer un número para que el número 2x0 sea múltiplo de 5? ¿Y de tres?
5. Di si los siguientes números son divisibles por 2, 3, y 5: 680, 1.920, 3. 255, 456, 856.
6. Calcula cuánto ha de valer x para que:
a) x5 sea divisible por 3 y por 5
b) 3x8 sea divisible por 2 y por 3
c) x30 sea divisible por 2, 3, y 5.
7. ¿Qué número comprendido entre 100 y 200 es múltiplo de 5 y la suma de sus cifras
es 7?
8. Tania tiene menos de 35 caramelos y los quiere guardar en bolsas de 2, de 3 y de 5
caramelos sin que sobre ninguno ¿Cuántos caramelos tiene?.
Si los guarda en bolsas de dos ¿Cuántas bolsas necesita? ¿Y si lo hace en bolsas de tres?
¿y en bolsas de 5?
9. Se dispone de rollos de cuerda que tienen 144m y 120m de longitud, respectivamente
¿Cuál es el mayor número de trozos iguales que se pueden hacer con los dos rollos
juntos?
10. En un campanario, una campana toca cada 30 minutos y otra cada 45 minutos. Si
empiezan a tocar a las 12 de la mañana ¿Cuántas veces sonarán juntas hasta las 12 de la
noche?
11. Se quiere enlosar una habitación rectangular de 520 cm de largo y 240 cm de ancho
con losas cuadradas de la mayor dimensión posible y que no sea preciso cortar ninguna
losa. ¿Cuál será la dimensión de cada losa?
12. Dos autobuses salen de una misma estación en direcciones distintas. El primero
tarda en regresar 8 días y el segundo 10 días. Cada autobús realiza sus viajes sin
descanso. ¿Cuántos días tardarán los autobuses en coincidir nuevamente?
13. Descompón en factores primos:
a)
48
f) 54
b)
90
g)105
14.
c)
120
h) 135
d)
180
i) 378
e)
700
j) 1. 872
El número de participantes en un desfile es tal que se pueden agrupar en filas de
3 en 3, de 5 en 5 o de 25 en 25, pero no pueden hacerlo de 4 en 4 ni de 9 en 9. ¿Cuál es
el número de participantes si sabemos que es mayor que 1.000, pero menor que 1. 250?
LAS FRACCIONES
1. FRACCIONES EQUIVALENTES
Las fracciones aparecen al dividir un todo o una unidad en varias partes iguales y
tomar varias de esas partes. Obtenemos distintos tipos de fracciones cuando el
numerador es menor, igual o mayor que el denominador.
Fracción menor
fracción igual
fracción mayor
que la unidad
a la unidad
a la unidad
3
4
6
4
4
4
ACTIVIDADES
1. Escribe tres fracciones menores que la unidad, tres iguales a la unidad y tres
fracciones mayores a la unidad. Dibuja estas fracciones.
La fracción también actúa como operador. Por ejemplo: Jorge compra 8 botes de
pintura. Los ¾ de los botes son de pintura verde. ¿Cuántos botes de pintura verde
compra Jorge?
En este caso, la fracción ¾ actúa sobre el 8 como operador que multiplica por 3 y divide
por 4 o que divide por 4 y multiplica por 3. Las dos posibilidades se expresan así:
8
:4
2
.3
6
8
.3
2
:4
6
3/4
3/4
¾ de 8 = 3 . 8 = 24 = 6
4
4
Fracciones equivalentes, Las fracciones equivalentes son aquellas que representan una
misma parte pintada:
2/3
4/6
Como las partes pintadas de cada rectángulo son iguales, decimos que las fracciones
2/3 y 4/6 son equivalentes.
Las fracciones que son equivalentes, producen el mismo efecto al actuar sobre un
número. Por ejemplo:
2/3 de 12 = 2 . 12 = 8
3
4/6 de 12 = 4 . 12 = 8
6
Si se multiplican en cruz los términos de las fracciones equivalentes, también se
obtiene el mismo resultado:
2/3 = 4/6 porque 2 . 6 = 3 . 4
ACTIVIDADES
1. De las siguientes fracciones, escribe las que son equivalentes a la fracción 3/7.
6/21; 6/14; 9/21; 15/28; 12/28; 15/35; 27/63.
2. Calcula.
a) 4/6 de 420
b) 3/7 de 630
c) 11/15 de 105
d) 16/14 de 126
La simplificación de fracciones
Si se multiplican los dos miembros de una fracción por el mismo número, se obtiene
una fracción equivalente.
3/5 = 3 . 2 = 6
5 . 2 = 10
2/5 = 6/10
Como consecuencia de la propiedad anterior podemos afirmar:
Si se dividen los dos términos de una fracción por el mismo número, se obtiene una
fracción equivalente,
Esta transformación recibe el nombre de simplificación de fracciones. Una fracción que
no se puede simplificar se llama irreducible.
18/24 = 18 : 2 = 9 = 9 : 3 = 3
24 : 2 =12= 12 : 3= 4
¾ es irreducible.
Método rápido de simplificación: Para obtener la fracción irreducible de una fracción
dada, dividimos el numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos.
18/24 M.C.D (18, 24) = 6.
18 : 6 = 3
24: 6 = 4
Fracción irreducible: 3/4
ACTIVIDADES
1. Obtén fracciones equivalentes a:
a) 2/7
b) 15/20
c) 6/9
2. Escribe:
a) Una fracción equivalente a 2/3 que tenga por numerador 10.
b) Una fracción equivalente a 4/10 que tenga 20 por denominador
c) Una fracción equivalente a 15/20 que tenga 6 por numerador.
3. Simplifica.
a) 8/12
d) 15/45
b) 10/20
e) 16/24
4. Obtén en cada caso la fracción irreducible:
a) 4/28
b) 30/36
d) 36/60
e) 25/75
c) 12/30
f) 40/60
c) 44/48
f) 80/100
5. Simplifica dividiendo el numerador y denominador por el máximo común divisor de
ambos:
a) 40/72
b) 36/48
c) 60/75
d) 54/126
6. Busca, en cada caso, el valor de x para que estas igualdades sean ciertas:
a) 4/6 = x/9
b) 4/10 = 6/x
c) x/21 = 6/9
Reducción de fracciones a común denominador
Comparar, sumar y restar fracciones de igual denominador es muy fácil. Por esta
razón cuando no lo tienen, lo más fácil es sustituir las fracciones por fracciones
equivalentes con igual denominador.
Por ejemplo, si queremos ordenar de menor a mayor las fracciones: 7/9, 5/12 y
13/18. Debemos:
 Elegimos como denominador común a las fracciones, el mínimo común
múltiplo de los tres denominadores.
9 = 32
12 = 22 . 3
18 = 2 . 32

m.c.m. (9, 12, 18) = 22 . 32 = 36
En cada fracción, dividimos el resultado obtenido en el m.c.m. con el
denominador. Y el resultado de la división de multiplica por el numerador y
el denominador de la fracción para obtener la fracción equivalente.
36 : 9 = 4
7 . 4 = 28
9 . 4 = 36
36 : 12 = 3
5 . 3 = 15
12 . 3 = 36
36 : 18 = 2
13 . 2 = 26
18 . 2 = 36
28 / 36; 15 / 36; 26 / 36
Ahora podemos ordenar: 5 / 12
13 / 18
7/9
ACTIVIDADES
1. Reduce a común denominador.
a) 3 / 8; 5 / 12
b) 4 / 6; 5 / 12
c) 1 / 3; 1 / 4; 1/6
d) –2 / 5; 1 / 6; -3 / 2
e) 7 / 20; -11 / 30; 4 / 15
f) –3 / 10; 20 / 75; 7 / 30
2. Ordena de menor a mayor.
a) 3 / 4; 4 / 5; 7 / 10
b) 5 / 6; 3 / 5; 7 / 10; 13 / 15
c) 11 / 12; 13 / 15; 9 / 20; 23 / 30
2. OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS
Suma y resta de fracciones
Para sumar o restar fracciones, primero las debemos reducir a común denominador.
Por ejemplo:
1 / 6 – 7 / 10 + 4 / 15 =
6=3.2
10 = 5 . 2
15 = 3 . 5
m.c.m (6, 10, 15) = 3 . 5. 2 = 30
30 : 6 = 5
1.5= 5
6 . 5 = 30
30 : 10 = 3
7 . 3 = 21
10 . 3 = 30
30 : 15 = 2
4.2= 8
15 . 2 = 30
5 / 30 – 21 / 30 + 8 / 30 = 13 / 30 – 21 / 39 = - 8 / 30 = -4 / 15
Debemos recordar que igual que con los números enteros dos fracciones son
opuestas cuando la suma de ambas es cero. Ejemplo = 1 / 2 - 1 / 2 = 0
ACTIVIDADES
1. Escribe los opuestos de las siguientes fracciones
a) – 3 / 4
b) – 2 / 5
c) 5 / 8
d) – 1 / 2
2. Calcula.
a)
b)
c)
d)
2/3+1/6–7/9=
7 / 10 – 7 / 15 – 1 / 3 =
5 / 12 – 11 / 20 + 16 / 45 =
1/2+1/6–1=
e) 2 – 3 / 4 – 5 / 6 =
f) 2 – 13 / 15 – 6 / 5 =
g) 3 / 2 – (4 / 3 – 1) =
h) (2 / 3 – 5 / 12) – (1 / 4 – 1 / 9) =
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores y se multiplican los
denominadores.
2 / 3 . 4 / 5 = 8 / 15
Cuando alguno de los factores es un número entero se considera que este número
está dividido entre 1.
5 / 6 . (-4) = 5 / 6 . –4 / 1 = -20 / 6
Una fracción de otra fracción es igual al producto de ambas fracciones:
2 / 3 de 4 / 5 = 2 / 3 . 4 / 5 = 8 / 15
El producto de dos fracciones inversas es la unidad:
2/3.3/2=5/5=1
ACTIVIDADES
1. Escribe la fracción inversa de cada una de las siguientes fracciones:
a) 5 / 2
b) –4 / 7
c) 1 / -2
d) 11 / 15
2. Calcula y simplifica.
a) 2 / 3 . –9 / 4
b) 15 . –1 / 5
c) 2 / 5 . (-3) . –5 / 2
3. Calcula y simplifica.
a) 3 . (1 / 2 + 1 / 3)
b) 2 / 5 . (1 / 2 – 1 / 4)
d) (1 – 1 / 4) . (1 – 1 / 5) e) 5 / 7 . (1 – 5 / 3 + 1 / 5)
c) 3 / 5 . (2 – 4 / 3)
f) (1 / 2 + 1 / 3) . (2 – 4 / 5)
División de fracciones
Para dividir dos fracciones se multiplican las fracciones en cruz.
A/b:c/d=a.d/b.c
1/2:3/4=4/6
ACTIVIDADES
1. Calcula y simplifica:
a) 10 / 3 : 5
b) 14 : 21 / 2
c) 2 / 3 : 4 / 5
d) 1 / 5 : 1 / 2
e) 4 / 3 : 2 / 15
i) 16 / 3 : 3 / 16
2. Calcula y reflexiona
a) 5 : 1 / 2
f) 5 / 18 : 15 / 9
g) 20 / 7 : 30 / 7
h) 5 / 3 : 5 / 4
b) 4 : 1 / 2
c) 3 : 1 / 2
d) 15 : 1 / 2
c) 1 / 5 : 2
d) 1 / 15 : 2
3. Calcula y reflexiona.
a) 1 / 3 : 2
b) 1 / 4 : 2
¿Qué observas?
4. Calcula.
a) –3 / 4 : (1 + 1 / 3)
b) b) (-2 / 5) : (8 / 10 – 3 / 5)
c) (2 / 3 + 1 / 2) : 7 / 2
d) (1 / 2 + 1 / 3) : (1 / 2 – 1 / 3)
e) (1 / 2 – 1 / 3) : 1 / 3
f) (1 / 2 – 1 / 4) : (1 / 2 + 1 / 4)
3. PROBLEMAS ARITMÉTICOS CON NÚMEROS FRACCIONARIOS
La fracción de un número: Problema directo.
Para calcular la fracción de un número se multiplica el número por la fracción.
Por ejemplo: se han vaciado las 3 / 8 partes de un depósito que contenía 2.400 litros de
agua. ¿Cuántos litros se han extraído?
8 / 8 de depósito son 2. 400 litros por lo que 3 / 8 serán
3 . 2.400 = 7.200 = 900
8.1
8
La fracción de un número: problema inverso.
Por ejemplo: Patricia se ha gastado 3 / 8 de sus ahorros en un viaje a París. Si el viaje
la ha salido por 900 euros, ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?
Para resolver este problema hacemos la operación inversa a la anterior. La operación
inversa a la multiplicación es la división:
3 / 8 de X = 900
900 : 3 = 2.400
1 8
ACTIVIDADES
1. Un barco lleva recorridas las tres décimas partes de un viaje de 1.700 kilómetros.
¿Cuántas millas le faltan todavía por recorrer?
2. Marina ha acertado 35 preguntas en un test. ¿Cuál era el número total de preguntas si
los aciertos suponen los 7 / 12 del total?
Distintas partes de un todo.
Por ejemplo: Marta tiene 1.500 euros en su cuenta. Se gasta 1 /3 en un equipo de
música y 2 / 5 en la reparación del coche. ¿Qué fracción total le queda? ¿Cuánto
dinero le queda?
1 / 3 + 2 / 5 = 5 / 15 + 6 / 15 = 11 / 15 del dinero.
Si se ha gastado 11 / 15 del dinero le quedan 4 / 15 por gastar.
Para calcular el dinero que le queda, calculamos 4 / 15 de 1.500
4 . 1.500 = 400 . 400 euros le quedan.
15
Fracción de una fracción.
Por ejemplo: Una huerta tiene 1.500 metros cuadrados de superficie. Se siembra 1 / 3
del terreno con patatas, y 2 / 5 del resto con alubias.
¿Qué fracción queda aún libre? ¿cuánto metros cuadrados quedan libres?
Patatas 1 / 3 del total. Por lo tanto quedan libres 2 / 3.
Las alubias ocupan 2 / 5 del total, o sea,2 / 5 de los 2 / 3.
2 . 2 = 4 / 15
5 3
¿Cuánto terreno ocupan las patatas y las alubia? 1 / 3 + 4 / 15 = 9 / 15
Si hay ocupadas 9 / 15 partes y el total es 15 / 15. Quedarán libres 6 / 15.
Ya hemos contestado la fracción que aún queda libre 6 / 15. Ahora debemos calcular
los metros que quedan libres.
6 / 15 de 1. 5000
6 . 1.500 = 600
15
Solución, quedan sin sembrar 6 /15 partes del terreno que son 600 metros cuadrados.
ACTIVIDADES
1. De los 270 viajeros que ocupan un avión, 1 / 6 son americanos, 2 / 5 africanos y el
resto europeos. ¿cuántos viajeros ocupan el avión?
2. De un depósito de agua se saca 1 / 3 del contenido y, después, 2 / 5 de lo que
quedaba. Si aún quedan 600 litros. ¿Cuánta agua había al principio?
4. LOS NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son los que se pueden expresar en forma de fracción:
Número racional = Número entero
Número entero
Algunos ejemplos de números racionales son:
a) 2 / 3
b) 1,5 = 3 / 2
c) –2 = -6 / 3
d) 0, 3333..... 1 / 3
Un número racional puede expresarse de muchas formas diferentes:
Por ejemplo: 0,5 = 1 / 2 = 2 / 4 = 3 / 6 = ..... = 25 / 50 = ....
Los números racionales están ordenados:
-2
-1
-1 / 3
0
1/3
1/2
1
2
También puedes ordenar números racionales de la misma forma que ordenabas
fracciones: reduciendo a común denominador.
-1
-1 / 3
1/3
1/2
1
-6 / 6
-2 / 6
2/6
3/6
6/6
Todos los números enteros y, por tanto, los naturales, son también racionales.
Efectivamente, cualquier entero puede expresarse como una fracción. Por ejemplo:
5 = 10 / 2 =20 / 4 = ....
-5 = -10 / 2 = -20 / 4 = .....
ACTIVIDADES
1. Expresa en forma de fracción y representa en la recta numérica los siguientes
números: -2; -0,5; 0,25; 1; 1,5
2. Coloca en el diagrama los siguientes números: -2; 1 / 4; 2,6; 24; 2 / 3; -10 / 2; -1 / 3;
3,6
Círculo grande: números racionales.
Círculo mediano: Números enteros
Círculo pequeño: Números naturales
Propiedades de la suma y del producto
Al operar con fracciones has manejado las propiedades de la suma y de la
multiplicación de números racionales. A continuación se presentan todas juntas para
que puedas apreciar la estructura del conjunto.
PROPIEDADES DE LA SUMA
PROPIEDADES DE LA
MULTIPLICACIÓN
Propiedad conmutativa
A/b.c/d=c/d.a/b
Propiedad asociativa
A / b . (c / d . e / f) = (a / b . c / d) . e / f
Tiene un elemento neutro: el uno
A/b.1=a/b
A / b, distinto de 0, tiene un inverso, b / a
A/b.b/a=1
Propiedad conmutativa
A/b+c/d=c/d+a/b
Propiedad asociativa
A / b + (c / d + e / f) = (a / b + c / d) + e / f
Tiene un elemento neutro: el cero
A/b+0=a/b
A / b, tiene un elemento opuesto, -a / b
A / b + -a / b = 0
Propiedad distributiva
A / b . (c / d + e / f) = a /b . c / d + a / b . e / f
ACTIVIDADES
1. Entre los siguientes números racionales, asocia cada uno con su opuesto:
0,5
-0,2 1 / 3 -0,25 2 / 5 -0,4 -0,3 -1 / 2 0,2
1/4
2. Escribe, en forma de fracción, cada uno de los siguientes números racionales:
0,5
-0,5 0,4
-1,5 2
3,2
3. Calcula:
a) 1
1/2
b) 1
3/5
c) 1 / 6
1/2+1/3
d) 1 / 2
1–1/2
4. Calcula el valor de cada expresión y comprueba que A = B y C = D
A = 12 . (1 / 3 – 1 / 4)
B = 12 . 1 / 3 – 12 . 1 / 4
C = 2 / 3 . (1 / 2 + 1 / 5)
D=2/3.1/2+2/3.1/5
¿Cómo se llama la propiedad por la que se dan las igualdades anteriores?
5. Calcula el opuesto y el inverso de las expresiones A, B, C y D del ejercicio anterior.
Los números decimales, ¿Son racionales?
Recuerda que un número racional sí se puede expresar en forma de fracción. Recuerda
también que hay tres tipos de decimales: exactos, periódicos y los que tienen infinitas
cifras decimales no periódicas.
Analicemos cada grupo por separado.
DECIMALES EXACTOS. PASO A FRACCIÓN.
3, 47 0,5
2,125 son decimales exactos.
Observa que pueden trasformarse en fracciones quitándoles la coma y dividiéndolos por
una potencia de base 10 con exponente igual al número de cifras decimales suprimidas.
3,47 = 347 / 100
0,5 = 5 / 10
2,125 = 2125 / 1000
Veamos, por tanto, que cualquier número decimal exacto se puede trasformar en
fracción, es decir, es un número racional.
DECIMALES PERIÓDICOS, PASO A LA FRACCIÓN
Los siguientes números son decimales periódicos:
1,33333...... = 1,3
3,46666..... = 3,46
0,2424..... = 0,24
a) Decimales periódicos puros:
Un decimal periódico puro, es el que tiene el periodo inmediatamente después de la
coma.
Ejemplo: 1,3333...... = 1,3
Para transformar un número periódico puro en fracción. Ponemos como numerador
el número sin la coma menos la parte entera del número, y como denominador, un
número formado por tantos nueves como cifras tiene el período
Ejemplo: 13 – 1 = 12
9
9
b) Decimales periódicos mixtos:
Para transformar un número periódico mixto en fracción, colocamos como
numerador el número sin la coma menos la parte entera y lo de delante del período.
Y de denominador tantos nueves como cifras tiene la parte periódica y tantos ceros
como cifras tiene la parte decimal no periódica.
Ejemplo: 3,46 = 346 – 34
90
DECIMALES CON INFINITAS CIFRAS NO PERIÓDICAS
Estos números no pueden transformarse en fracción, por lo tanto no son números
racionales.
ACTIVIDADES
1. Expresa en forma de fracción:
a) 0,25
b) 3,5
c)0,7
d) 0,02
e) 1,37
f) 0,15
d) 0,32
e) 1,43
f) 2,57
c) 3 /8
d) 1 / 25
2. Sabiendo que 0,2 = 2 / 9, expresa en forma de fracción:
a) 1,2
b) 3,2
c) 0,02
3. Transforma en fracción:
a) 0,4
b) 1,5
c) 3,1
4. Transforma en fracción 1,536
ACTIVIDADES DE REFUERZO
1. Expresa en forma decimal.
a) 7 / 10
b) 2 / 5
2. Calcula:
a) 2 / 3 de 24
b) 3 / 5 de 100
e) 4 / 5 de 800
f) 7 / 15 de 480
3. ¿Cuántos gramos son?
a) 3 / 4 de Kilo
b) 2 / 5 de Kilo
c) 7 / 9 de 27
d) 2 / 7 de 14
c) 1 / 8 de Kilo
d) 5 / 8 de Kilo
4. Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:
a) 2 / 10; 3 / 15
b) 6 / 9; 4 / 7
c) –2 / 3; -8 / 12
d) 14 / 35; 16 / 40
5. Escribe:
a) Una fracción equivalente a 2 / 5 que tenga por numerador 6.
b) Una fracción equivalente a 4 / 10 que tenga por numerador 10
c) Una fracción equivalente a 9 /12 que tenga por denominador 18.
6. Calcula el termino X que falta en cada caso.
a) 3 / 7 = X / 15
b) 18 / 4 = 27 / X
d) X / 36 = 27 / 81
7. Simplifica hasta obtener una fracción irreducible:
a) 30 / 24
b) 56 / 64
c) 45 / 105
e) 18 / 66
f) 121 / 143
g) 144 / 540
8. Reduce a común denominador:
a) 1 / 2, 1 / 4, 1 / 8
c) 1, 5 / 6, 3 / 8, 7 / 12
c) 3 / X = 15 / 20
d) 40 / 72
h) 72 / 306
b) 2 / 5, 3 / 4, 7 / 10
d) 1 / 3, 3 / 5, 1 / 6, 2 / 15.
9. Reduce a común denominador y después ordena de menor a mayor:
a) 1, 2 / 5, 3 / 4, 7 / 10
b) 2 / 3, 5 / 12, 1 / 2, 3 / 4
c) 1, 3 / 5, 3 / 2, 7 / 5, 11 / 10
10. Calcula:
a) 1 + 1 / 2
b) 1 / 2 + 1 / 4
c) 1 / 2 – 1 / 4
d) 1 – 3 / 4
e) 1 – 1 / 3
f) 1 / 5 + 1 / 10
g) 1 / 5 – 1 / 10
h) 1 – 1 / 10
i) 2 – 3 / 2
j) (5/6 + 2/3) – (3/2 – ¼)
k) (3/2 – 4/5) – (1/5 - 2/3) – ½
l) (4 – 5/8) – (5 – ¾) + (3 – ½ - 3/8)
11. Calcula y simplifica
a) 5 / -3 · 4 / 5
b) 3 / 7 · -7/ 2
e) 2 / 5 : 2 / 3
f) 2 / 9 : -7 / 18
12. Calcula y simplifica
a) 1
c) 5 / 8 · 4 / 10
g) 6 : 3 / 5
b) 1
c) 1 / 2
1/6
2/3
1/3
d) 2 / 5
e) 1 / 3
f) 1 / 3
3/4
d) 1 / 2 · (-6)
h) 1 / 2 : 2 / 5
2
2
13. Calcula y simplifica
a) (-10 / 3) · (1 / 5 – 1 / 4)
b) (1 – 4 / 7) · (1 / 3 + 1 / 2)
c) (2 / 7 – 2) · (1 – 5 / 4 – 25 / 12)
14. Expresa en forma de fracción
a) 2,4
b) 5,3
c) 0,8
d) 0,05
e) 1,37
15. Verifica la igualdad de estas expresiones
2 / 3 · (6 / 7 · 1 / 4)
(2 / 3 · 6 / 7) · 1 / 4
¿Qué propiedad se confirma con la igualdad de esos resultados?
16. Calcula
a) (2 / 5 : 1 / 2) : 4 / 3
b) 2 / 5 : (1 / 2 : 4 / 3)
¿Tiene la división de números racionales la propiedad distributiva?
17. Tres cuartas partes de un metro de cinta cuestan 2,10 euros. ¿Cuánto cuestan dos
metros y medio?
18. Ernesto ha recorrido, en su paseo, dos quintas partes del camino que tiene una
longitud total de 8 Km. ¿Cuánto le falta para llegar al final?
19. Raquel se ha gastado 3 / 10 de su dinero en un cómic. Si aún le quedan 21 euros
¿Cuánto tenía al principio? ¿Cuánto le costó el cómic?
20. De un depósito que contenía 1000 litros de agua, se han sacado, primero, 1 / 5 del
total, y después, 3 / 4 del total. ¿Cuántos litros quedan?
TEMA 4: LOS NUMEROS DECIMALES. LOS PORCENTAJES
1. LOS NÚMEROS DECIMALES
1. Calcula
1234,87594 + 6348,1984 =
45944,8 – 234, 7586 =
7893,1549 + 334,985 =
456,23 – 122,445 =
2. Calcula
2345,89 : 12 =
456,98 · 143,54 =
98456,123 ; 25=
49284, 234 · 95465, 274=
3. Resuelve:
1234686 : 2,4=
947117 : 6,5 =
478568 : 7,8 =
65452215 : 9,10
4. Resuelve:
7946,4585 : 4,2 =
7913,786 : 3,5 =
330587, 1284 : 6,6 =
719685, 784 : 3,7=
2. LOS PORCENTAJES
Un porcentaje supone una proporción.
Al tomar un mismo tanto por ciento de distintas cantidades vemos que el total y la parte
tomada son directamente proporcionales.
Ejemplo:
Tomemos el 30% de distintas cantidades:
TOTALES
100
200
300
30%
30
60
90
400
120
50
15
450
135
Esto nos permite construir proporciones para calcular porcentajes:
De 100
tomo
30
100
30
De 250
tomo
X
250
X
X = 250 · 30
100
....
....
Para calcular un determinado tanto por ciento se divide entre 100 y se multiplica
por el tanto.
ACTIVIDADES
1. Calcula:
a) 35% de 2.580
d) 2% de 280
b) 80% de 3.575
e) 150% de 500
c) 5% de 640
f) 120% de 400
2. En una ciudad de 23.500 habitantes, el 68% están contentos con la gestión municipal.
¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el ayuntamiento?
Problemas de porcentajes
CÁLCULO TOTAL, CONOCIDA LA PARTE
De un total desconocido, sabemos la parte asociada a determinado porcentaje. ¿Cuál es
el total?
Ejemplo:
Hoy han faltado al ensayo de la banda 6 músicos, lo que supone el 20% del total.
¿Cuántos miembros tiene la banda?
100
20
100
20
X = 6 · 100 = 30
X
6
X
6
20
Solución: La banda tiene 30 miembros.
CÁLCULO DEL PORCENTAJE, CONOCIDOS EL TOTAL Y LA PARTE
De un total conocido, se ha tomado una parte determinada. ¿Qué porcentaje se ha
tomado?
Ejemplo:
En las últimas elecciones municipales, de un censo de 2.500 personas, el alcalde actual
recibió el voto de 1.500 ciudadanos. ¿Qué porcentaje de votantes apoyó al alcalde?
2.500
1.500
2.500
1.500
100
X
100
X
X = 1.500 · 100 = 60
2.500
Solución: El actual alcalde recibió el apoyo del 60% de los ciudadanos.
ACTIVIDADES
1. En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el tanto por
ciento de ausencia?.
2. Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84% de todas las camas
disponibles. ¿De cuántas camas dispone dicho hospital?
3. De 475 hombres encuestados solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué porcentaje
de hombres reconocen que saben planchar?
4. El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30 años. ¿Cuántos habitantes
tiene la aldea, si hay 90 jóvenes menores de 30 años?