Solución examen de Macroeconomía IV. Convocatoria, septiembre 2004

Solución examen de Macroeconomía IV. Convocatoria, septiembre 2004
UNIVERSIDAD NACIONAL
DE EDUCACION A DISTANCIA
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Dpto. de Análisis Económico II
Paseo Senda del Rey, 11, 28040 Madrid
MACROECONOMÍA IV (ECONOMÍA)
CÓDIGO ASIGNATURA (43504)
El alumno deberá contestar únicamente a tres preguntas de las cuatro
que se le proponen, en un tiempo máximo de dos horas. Se valorará
especialmente la capacidad de síntesis así como la concreción de la respuesta.
Se aconseja subrayar aquellos elementos conceptuales que se consideren
fundamentales para el desarrollo de la exposición. Material auxiliar ninguno.
PREGUNTA 1.
En el contexto de una economía que crece de acuerdo al modelo de Solow
Swan, comentar el efecto que sobre el consumo a corto y largo plazo tiene un
aumento repentino y permanente de la tasa de ahorro. Comentar dichos
efectos en todos los casos posibles. Justifique su respuesta.
RESPUESTA
El consumo de las familias se calcula como la diferencia entre la producción y el ahorro.
c  f ( y)  sf ( y)
En el modelo de Solow y Swan el estado estacionario se alcanza cuando se cumple la
siguiente condición:
sf ( y)   (n   )
el consumo de estado estacionario se calcula como.
c*  f ( y)   (n   )
utilizando una función de producción neoclasica nos queda lo siguiente:
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c*  A    (n   )
se puede observar que el consumo a largo plazo depende del stock de capital. Para
analizar como varía el consumo cuando cambia el stock de capital analizamos el signo
de la derivada:
c*
  A  1  (n   )
*

análisis de signo:
1
c*
  A 1
  A  1  (n   )  0
 
1)
, cuando el stock de capital es

*

 n  
menor al capital de la regla de oro, el consumo aumenta con el stock de capital.
2)
c*
  A  1  (n   )  0
*

1
  A 1
 

 n  
, cuando el stock de capital es
1
  A 1
igual a 

 n  
se hace máximo.
(lo que se denomina capital de la regla de oro) el cosnumo
1
3)
c*
  A 1
  A  1  (n   )  0
 
, cuando el stock de capital es

*

 n  
superior al de la regla de oro el consumo disminuye cuando el capital aumenta, y
viceversa.
En la figura 1. Se muestra la relación entre el capital de estado estacionario y el
consumo de las familias.
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Consumo
Coro
koro
Stock de capital
per cápita
1
  A 1
Así, si una economía tiene un stock de capital superior a 
, entonces

 n  
sabemos que un aumento de la tasa de ahorro (lo que hará que aumente la inversión)
llevará a un menor consumo a largo plazo. Como hemos señalado, a la derecha del
capital de la regla de oro hay una relación inversa entre consumo y capital, más capital
implica menor consumo a largo plazo y por lo tanto menor bienestar.
Si la economía tienen un stock de capital superior al de la regla de oro y se reduce el
ahorro, y con ello el capital per cápita, el consumo tanto a corto como a largo plazo
aumentará.
Gráficamente se puede justificar de la siguiente forma:
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(n+ d)k
PIB cápita
f(y)
y*
oro
y
s1f(y)
A
C*
Coro
B
Soro
koro
soro f(y)
C'
S1
K*
Stock de capital per
cápita
Del punto (2) se sabe que el stock de capital de la regla de oro es aquel en el que la
pendiente de la función de producción es igual a la suma de la tasa de crecimiento de la
población y la tasa de depreciación (punto A).
Para ese stock de capital la diferencia entre el ahorro y la producción es el consumo de
la regla de oro. Es el máximo consumo que pueden obtener los agentes dados los
parámetros estructurales de la economía.
Si una economía se encuentra en el punto B, la tasa de ahorro es s1, el consumo es c * y
la producción y* . En este punto, se puede ver gráficamente que el consumo es menor al
de la regla de oro, que por definición es el máximo. Si la tasa de ahorro disminuye y
pasa de s 1 a s oro , el consumo de largo plazo aumenta desde c * a c oro .
Gráficamente el efecto que sobre el consumo a la argo plazo tendra una reducción de la
tasa de ahorro es el siguiente:
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Gráfico 1
c
c1
c0
t
Por el contrario, si la economía se encuentra a la derecha de la regla de oro, es decir,
tiene un stock de capital per cápita superior al de la regla de oro, y se produce un
aumento de en la tasa de ahorro el consumo a largo plazo disminuirá. A corto plazo, al
aumentar la tasa de ahorro, el consumo también disminuye. Para la misma renta, si el
ahorro aumenta el consumo disminuye.
Si la economía tiene un stock de capital inferior al de la regla de oro, entonces un
aumento de la tasa de ahorro dará lugar a un aumento del consumo a largo plazo, pero a
corto plazo el consumo disminuye.
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PREGUNTA 2.
Contestar a las siguientes preguntas:
2.1 Bajo los supuestos establecidos en el modelo de Solow-Swan con
progreso tecnológico exógeno, derivar analíticamente la ley de evolución
del capital per cápita. Es decir, partiendo de las ecuaciones del modelo,
presentar como obtener la ecuación que describe la evolución del stock
de capital per cápita.
2.2 En el contexto del modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico
exógeno, calcular el PIB per cápita, el stock de capital per cápita y el
consumo per cápita de estado estacionario.
RESPUESTA
2.1 Ley de evolución del capital per cápita.
Partimos de la identidad de contabilidad nacional:
Yt  Ct  I t  Gt  X t  M t
donde, Yt representa el PIB, Ct representa el consumo privado, I t representa la
inversión, Gt representa el gasto público, X t y M t representan
respectivamente las exportaciones e importaciones.
Dados los supuestos del modelo de Solow-Swan sabemos que:
Gt  X t  M t  0
lo que implica que:
Yt  Ct  I t
Como no hay sector público, no hay impuestos, y por tanto la producción es
igual a la renta. La renta en la economía se destina o bien a consumo o bien a
ahorro, que denotamos por la letra St .
Yt  Ct  St
lo que implica que el ahorro en la economía es igual a la inversión.
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I t  St
La variación en el stock de capital es igual a la inversión neta de depreciación.
Kt 1  Kt  I t  Kt

K t 1  sYt  Kt (1) ley de evolución del
capital agregado.
K t 1  I t  K t
Nos interesa obtener la ecuación que describe el comportamiento de stock de
capital per cápita. Para ello dividimos la expresión (1) por la cantidad de
trabajo efectivo, que es: At Lt .
Dividimos la expresión (1) por la cantidad de trabajo efectivo:
K t 1 sYt K t


AL
AL AL
(2)
definimos el stock de capital per cápita por unidad de trabajo efectivo:
K

AL
K AL  K ( A L  AL ) K AL K A L AL
K
ˆ 


(

)

 ˆ ( xa  n)
AL AL AL A L AL
AL
( AL) 2
̂ 
(3)
donde xa es la tasa de crecimiento de la tecnología, n es la tasa de
crecimiento de la población y ̂ es el capital per cápita por unidad de trabajo
efectivo.
Despejamos de la ecuación (2) y tenemos:
K
 ˆ   ( x a  n)
AL
(4)
Sustituimos (4) en (2):
ˆ  ˆ ( xa  n)  syˆ  ˆ
(5)
donde ŷ la producción por unidad de trabajo efectivo.
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ˆ  syˆ  (  n  xa )ˆ (6)
2.2
Ley de evolución del capital per cápita por
unidad de trabajo efectivo.
En el contexto del modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico exógeno,
calcular el PIB per cápita, el stock de capital per cápita y el consumo per cápita
de estado estacionario.
Suponemos que la función de producción es la siguiente. Y  K  (AL)1 , que
en términos per cápita se puede escribir como:
yˆ  ̂ 
Sustituimos en la expresión (6):
ˆ  sˆ   (  n  xa )ˆ
El estado estacionario, es una situación en la cual las variables per cápita
crecen a una tasa constante:
 
Estado estacionario:
̂
 cte
ˆ
Calculamos la tasa de crecimiento del capital per cápita por unidad de trabajo
efectivo:
 
ˆ
 sˆ  1  (  n  x a )
ˆ
La tasa de crecimiento del capital es constante en estado estacionario, si y solo
si, el stock de capital per cápita es constante. Si el capital es constante en
estado estacionario, la tasa de crecimiento del capital es nula:
Así, tenemos que en estado estacionario,   
ˆ
0
ˆ
sˆ  1  (  n  xa )
1

 1
s
ˆ *  
Stock de capital por unidad de trabajo efectivo de

 (  n  x a ) 
estado estacionario.
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

 1
s
yˆ *  
PIB per cápita por unidad de trabajo

 (  n  x a ) 
efectivo de estado estacionario


 1
s
c *  (1  s ) 
Consumo per cápita por unidad de trabajo

 (  n  x a ) 
efectivo de estado estacionario
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PREGUNTA 3
Demostrar que con una tecnología de producción CES una innovación
tecnológica potenciadora del capital es inconsistente con la existencia de
estado estacionario. Lo mismo supuesto una innovación tecnológica neutral en
sentido de Hicks.

Función CES: Yt  B(t ) D(t ) K (t )  A(t ) L(t )


1
 
donde, B(t ) , D(t ) y A(t ) representan los diferentes tipos de progreso
tecnológico.
B(t )  B0e xb t , D(t )  D0exd t , y A(t )  A0exa t . Suponer por simplificar que
B0  A0  D0  1 y L0  1 .
RESPUESTA

Función CES: Yt  B(t ) D(t ) K (t )  A(t ) L(t )
que B0  A0  D0  1 y Lt  1 .


1
 
Vamos a mostrar primero que una innovación tecnológica potenciadora del
capital no es consistente con la presencia de estado estacionario.
xB  x A  0
Así, la función de producción queda de la siguiente forma:


1
(esta
Yt  D(t ) K (t )  1 
potenciadora del capital)

función
incorpora
una
Tomamos logaritmos a la función de producción:
1

logYt  log D(t ) K (t )  1



innovación
tecnológica
(1)
derivamos ambos lados de la ecuación (1):
Y 1 D(t ) 1 D (t ) K (t )  D(t ) K (t ) 1 K (t )
d logYt  / dt   (
)
Y 
D(t )K (t )  1
Operando tenemos que la tasa de crecimiento de la producción es igual a la suma de las
tasas de crecimiento de la tecnología y el capital, multiplicadas por un cociente que será
variable siempre que la tecnología y el capital crezcan a distinta tasa.
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


Y
 ( D(t ) K (t ) ) 

Y  
( D   K )

Y




D
(
t
)
K
(
t
)

1


(2)
El término ente llaves crecerá incesantemente a no ser que la tasa de
crecimiento de K sea exactamente la opuesta a la tasa de crecimiento de D de manera
que el producto KD sea constante
En estado estacionario, las variables económicas tiene que crecer a una tasa
constante. Para que la producción crezca a una tasa constante se tiene que cumplir que,
o bien el capital y la tecnología crezcan a una tasa opuesta, es decir,  D   K , en cuyo
caso  Y se hace cero, o bien que la tecnología no crezca y tampoco el capital, es decir:
 D   K  0.
En cualquiera de los dos casos  Y será igual a cero, por lo tanto  D  0 , por lo
que no hay progreso tecnológica potenciador del capital.
Mostramos ahora que una innovación tecnológica neutral en sentido de Hicks es
inconsistente con la existencia de estado estacionario.
En este caso, x D  x A  0 , y la función de producción es de la forma:


1
Yt  B(t ) K (t )  1 
Tomamos logaritmos a ambos lados de la ecuación:
log(Yt )  log B(t ) 
1



log K (t )  1
(3)
derivamos ambos lados de la ecuación (3) y tenemos:
Y B 1 K (t ) 1 K
 
Y B  K (t )  1
y operando nos queda:
Y B
K (t ) K
 
Y B K (t )  1 K
(4)
En estado estacionario el stock de capital agregado y la producción crecen a la misma
tasa. Esto solo ocurrirá si la tasa de crecimiento del capital agregado es igual a cero y
además si la tasa de crecimiento de la tecnología es cero.
 K   Y  xB  0
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De nuevo tenemos que para que se de una situación de estado estacionario no puede
haber progreso tecnológico neutral en sentido de Hicks.
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PREGUNTA 4
Una economía se encuentra en una situación de estado estacionario (punto A,
del gráfico 1). Suponer que la presencia de un shock lleva a la economía al
punto B . Qué ocurrirá con el stock de capital per cápita? (aumenta o
disminuye). ¿Y con el consumo per capita? (aumenta o disminuye). Justifique
su respuesta.
Gráfico 1
c  0
A
  0
B
Nota: En el gráfico 1 el punto A (estado estacionario), es aquel en que
se cumple que c  0 y   0 . En el eje horizontal del gráfico 1, se
representa el stock de capital per cápita y en el eje vertical se representa
el consumo per cápita.
Las ecuaciones que en el modelo de Ramsey determinan la evolución
del capital per cápita y el consumo per cápita vienen dadas por las
expresiones (1) y (2).
(1)
  A   c  (  n)
c 1
 (A  (1 )     )
c 
donde  , representa el capital per cápita. c representa el consumo per
cápita.  representa la tasa de depreciación del capital.  representa el
factor de descuento, y  es el parámetro que determina el grado de
(2)
c 
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concavidad de la función de utilidad y representa el deseo de alisar el
consumo en el tiempo.
RESPUESTA
Si la economía pasa del punto A al punto B, el stock de capital per cápita aumentará y el
consumo per cápita disminuirá. Eso es obvio porque se observa gráficamente. Lo
interesante es saber que ocurrirá con el consumo per cápita y el stock de capital per
cápita una vez que la economía se sitúe en el punto B.
Una vez que la economía esté situada en el punto B, el consumo per cápita tenderá a
disminuir y el stock de capital per cápita aumentará.
Demostración.
La curva k  0 recoge todas aquellas combinaciones de consumo y capital per cápita
para las que el stock de capital per cápita no cambia. Si estando en un punto como A
( c0 , k 0 ) , el consumo disminuye pasando de c0 a c1 , donde c1  c0   , ¿qué ocurrirá
con el stock de capital per cápita?
  Ak0  (c0   )  (  n)k 0    0
el stock de capital aumenta. Esto es siempre así.
La evolución del capital per cápita en aquellas combinaciones de consumo y capital per
cápita por debajo de la línea k  0 , será siempre positiva.
La curva c  0 recoge aquellas las combinaciones de consumo y stock de capital para
las cuales el stock de capital per cápita no cambia. Si estando en el punto A ( c0 , k 0 )
aumenta el stock de capital per cápita, ¿qué ocurre con el consumo?, ¿aumenta o
disminuye?.
1
 A  1
De la ecuación (2) sabemos que k 0 es igual a 
. Si aumenta el stock de

 (   ) 
capital entonces el consumo per capita disminuirá.
 c 
c 1
 (A(k 0  1) (1 )     )  0
c 
La evolución del consumo per cápita en aquellas combinaciones de consumo y capital
per cápita a la derecha de la línea c  0 , será siempre negativa.
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Sabemos entonces que, situados en el punto B, donde c B  c0 y k B  k 0 , la evolución
del consumo per cápita será negativa y la evolución del stock de capital per cápita será
positiva.
Gráfico 1
c  0
c
c0
k  0
A
c1
B
k0
k1
k