Geometría Analítica.....Unidad 2 Unidad 2 Lugares Geométricos Sección 2.7 Transformación de coordenadas.

Geometría Analítica.....Unidad 2
Unidad 2 Lugares Geométricos
Sección 2.7 Transformación de coordenadas.
Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión o
figura se cambia en otra siguiendo una ley dada la cual se expresa en una o
más ecuaciones que reciben el nombre de ecuaciones de transformación.
Como hemos observado en los temas anteriores, el objeto primordial de la
Geometría Analítica es deducir las propiedades de las curvas geométricas y el
estudio de sus ecuaciones. Se facilita su estudio cuando se logra simplificar su
ecuación, lo cual se logra mediante una transformación de los ejes de
coordenadas, cuyo proceso se reduce a 2 movimientos: una de traslación y otro
de rotación.
Traslación de ejes
Sean OX, OY los ejes originales y sean O’X’, O’Y’ los nuevos ejes, cuyo origen
tiene las coordenadas (h,k) con respecto al primer sistema.
Supongamos que (x,y) son las coordenadas de un punto P con respecto de los
ejes originales, y (x’,y’) las coordenadas del mismo punto, respecto de los
nuevos ejes como se indica en la figura siguiente:
Determinamos x e y en función de x’, y’, h y k por suma y diferencias de
segmento, observamos que, las ecuaciones de la translación de ejes, son:
x = h + x’
y = k + y’
FJDM…..004D…..010D…..014D 1
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Rotación de ejes:
La rotación de ejes consiste en que dado un sistema de ejes cartesianos, hallar
otro de tal forma que sus ejes formen un ángulo cualquiera con referencia a los
primeros, coincidiendo los orígenes de ambos sistemas. Sean 0X, 0Y los ejes
originales y sean 0X', 0Y', los nuevos ejes girados a un ángulo  con respecto a
los primeros como se indica en la figura:
Para determinar x y y en función de x', y' y el ángulo  se tiene:
x = OM  ON  MN = x' cos  - y' sen 
y = PM  PM '  M ' M = x' sen  + y' cos 
Por consiguiente las fórmulas de rotación de coordenadas son:
x = x' cos  - y' sen 
y = x' sen  + y' cos 
FJDM…..004D…..010D…..014D 2
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Ejemplos:
1. Transformar la ecuación 2x2 + 3y2 - 8x + 6y = 7, cuando se traslada el origen
de coordenadas al punto ( 2 , -1 ).
Solución:
Las coordenadas del nuevo origen son O’(2,-1) sustituyéndolas en las
ecuaciones de traslación se obtiene:
x = x' + h  x = x' + 2
y = y' + k  y = y' + (-1)  y = y' - 1
Sustituyendo en la ecuación dada, tenemos:
2(x' + 2)2 + 3(y' - 1)2 - 8(x' + 2) + 6(y' - 1) = 7
Desarrollando y simplificando:
2(x'2 + 4x' + 4) + 3(y'2 - 2y' + 1) - 8x' - 16 + 6y' - 6 = 7
2x'2 + 8x' + 8 + 3y'2 - 6y' + 3 - 8x' + 6y' - 22 = 7
x' 2 y '2

 1 Ecuación de una elipse horizontal con centro en el
9
6
nuevo origen y eje mayor sobre el eje X'.
2x'2 + 3y'2 = 18 
2. Transformar la ecuación x2 + y2 + 6x + 4y - 3 = 0 trasladando los ejes al nuevo
origen (-3 , -2).
Solución:
Sustituyendo h = -3 y k = -2 en las ecuaciones de traslación, se tiene:
x = x' + h  x = x' - 3
y = y' + k  y = y' - 2
Sustituyendo en la ecuación dada:
(x' - 3 )2 + (y' - 2)2 + 6(x' - 3 ) + 4(y' - 2) - 3 = 0
x'2 - 6x' + 9 + y'2 - 4y' + 4 + 6x' - 18 + 4y' - 8 - 3 = 0
x'2 + y'2 -16 = 0  x'2 + y'2 = 16 Ecuación de la circunferencia con centro en el
nuevo origen.
SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES POR TRASLACIÓN DE EJES
En los ejemplos anteriores, puede observarse que la transformación de las
ecuaciones aplicando traslación de ejes, conduce a otras ecuaciones más
simples, sin alterar los lugares geométricos, es decir, dada la ecuación de una
curva, es posible hallar un nuevo sistema de ejes tal que nos proporcione otra
ecuación más sencilla, los siguientes ejemplos nos muestran su aplicación.
3. Simplificar la ecuación x2 + y2 - 10x + 4y - 7 = 0 haciendo que los términos de
primer grado se anulen.
Solución:
Sustituyendo x = x' + h e y = y' + k en la ecuación dada se obtiene:
(x' + h)2 + (y' + k)2 - 10(x' + h) + 4(y' + k) - 7 = 0
Desarrollando términos
x'2 + 2x'h + h + y'2 + 2y'k + k - 10x' - 10h + 4y' + 4k - 7 = 0
FJDM…..004D…..010D…..014D 3
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Para que x' y y' se anulen es necesario que sus coeficientes sean cero, es decir
2h -10 = 0  h = 10/2  h = 5
2k + 4 = 0 k = - 4/2  k = -2
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se tiene:
x'2 + x'(10 -10 ) + y'2 + y'(-4 + 4) + 25 + 4 - 50 - 8 - 7 = 0
x'2 + y'2 - 36 = 0
2
2
x' + y' = 36 Ecuación de la circunferencia con centro en el nuevo origen.
La ecuación obtenida es del tipo x2 + y2 = r2, comparando términos se tiene:
r2 = 36  r = 6
Coordenadas del nuevo centro O’(5 , -2).
Otra forma de resolver el problema seria esta:
De la ecuación dada x2 + y2 - 10x + 4y - 7 = 0, complete los cuadrados en x e y
como se ilustra a continuación:
(x2 - 10x + 25 - 25) + (y2 + 4y + 4 - 4) = 7
(x - 5)2 + (y + 2)2 = 7 + 25 + 4
x2 - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 36 quedando:
(x - 5)2 + (y + 2)2 = 36, haciendo x - 5 = x' e y + 2 = y', la ecuación anterior se
transforma en x'2 + y'2 = 36.
Observe que el origen del sistema al cual queda referida la ecuación, tiene por
coordenadas (5 , -2) ya que es de la forma (x - h)2 + (y - k)2 = r2, lo que coincide
con la primera solución.
4. Transformar la ecuación x2 - 2xy + y2 - 8 x - 8 y = 0, girando los ejes un
ángulo de 45°.
Solución:
Sustituyendo en las ecuaciones de rotación de ejes se obtiene:
x = x' cos  - y' sen 
x = x' cos 45° - y' sen 45°
y = x' sen  + y' cos 
y = x' sen 45° + y' cos 45°
Para simplificar las ecuaciones anteriores recordaremos el valor del seno y
coseno de 45°:
sen 45° = 2 / 2 y cos 45° = 2 / 2
Las ecuaciones anteriores se transforman en:
2
 y'
2
2
y  x'
 y'
2
x  x'
2
2
x
x'
2
2
2
2
y
x'
2
2
2
y'
2
2
y'
2
Sustituyendo en la ecuación dada:
FJDM…..004D…..010D…..014D 4
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Desarrollando y aplicando las propiedades de los radicales:
Simplificando:
2y'2 - 16x' = 0
2y'2 = 16x'
Dividiendo por 2  y'2 = 8x' Ecuación de una parábola con centro en el origen 0'.
La ecuación y'2 = 8x' es de la forma y2 = 4ax, por lo tanto:
a) Vértice = V(0,0) b) 4a = 8 ; a =2 c) Foco = F(a , 0) = F(2 , 0)
d) Longitud del lado recto = 4a = 8 e) Ecuación de la Directriz x = -2
La figura ilustra el proceso de
transformación: la curva en su
posición inicial se encuentra
referida a los ejes originales 0x y
0y, al aplicar las ecuaciones de
rotación los ejes se giran un
ángulo de 45° tomando las
nuevas posiciones 0x' y 0y', es
decir que el eje 0x' coincide
ahora con el eje de simetría de la
parábola y como consecuencia
lógica la ecuación resulta más
simple.
FJDM…..004D…..010D…..014D 5
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Problemas:
Parte I
En cada uno de los siguientes ejercicios transformar la ecuación dada
trasladando los ejes coordenados al nuevo origen.
a) x2+ y2 +2x – 6y + 6 = 0, O’(-1,3)
Resp: x´2 + y´2 = 4
b) 3x2 + 2y2 +12x – 4y + 8 = 0, O’(-2,1)
Resp: 3x´2 + 2y´2 = 6
2
2
c) 4x – y – 8x – 10y – 25 = 0, O’(1,-5)
Resp: 4x’2 – y´2 = 4
d) xy – 3x + 4y – 13 = 0, O’(-4,3)
Resp: x’y’ = 1
Parte II
Aplicando las formulas de traslación de ejes x = x’ + h e y = y`+ k, reducir las
ecuaciones siguientes a sus formas mas simples y establecer la naturaleza de la
figura.
a) y2 + 6y – 4x + 5 = 0
Resp: y’2 = 4x’ parábola
b) x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0
Resp: x’2 + y’2 = 25 circunferencia
2
2
c) 3x – 4y + 12x + 8y – 4 = 0
Resp: 3x’2 – 4y’2 = 12 hipérbola
2
2
d) 2x + 3y – 4x + 12y – 20 = 0
Resp: 2x’2 + 3y’2 = 34 elipse
e) x2 – 4y2 + 6x + 8y + 1 = 0
Resp: x’2 – 4y’2 = 4 hipérbola
2
f) y – 4x – 6y + 17 = 0
Resp: y’2 = 4x’ parábola
g) x2 + 8x – 3y + 10 = 0
Resp: x’2 – 3y’ = 0 parábola
Parte III
En cada uno de los siguientes ejercicios transforme la ecuación dada por
rotación de ejes en un ángulo igual al indicado
a) x2 – 2xy + y2 – x = 0, ángulo 45º
b)
3 y2 + 3xy – 1 = 0, ángulo 60º
Resp: 4y’2 – 2 x’ + 2 y’ = 0
Resp: 3 x’2 – 3 y’2 – 2 = 0
Parte IV
En los ejercicios siguientes por una rotación de los ejes coordenados
transformar la ecuación dada en otra que carezca de términos x’y’
a) 9x2 + 3xy + 9yx2 = 5
b) 5x2 + 4xy + 2y2 = 2
c) 16x2 + 24xy + 9y2 + 25 x = 0
Resp: 21x’2 + 15y’2 – 10 = 0
Resp: 6x’2 + y’2 – 2 = 0
Resp: 5x’2 + 4x’ – 3 y’ = 0
Parte V
Hallar las nuevas coordenadas del punto dado cuando los ejes rotan el ángulo
dado:
a) Punto A(3,-4), ángulo 30º
Resp; 3 2 3  2, 3 2  2 3
b) Punto B(1,0), ángulo 90º
Resp: (0, -1)
c) Punto C(0,1), ángulo 90º
Resp: (1, 0)
d) Punto D(1, -2), angulo 45º
Resp: ( 2 2, 3 2 2)
Resp: (2, 4)
e) Punto E  2,3 2 , angulo 45º




FJDM…..004D…..010D…..014D 6
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Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas
Si trasladando ejes coordenados o rotándolos obtenemos ecuaciones mas
simples, entonces si aplicamos a una ecuación estos dos procesos
simultáneamente podremos obtener una simplificación mayor este proceso se
llama simplificación por transformación de coordenadas.
Primero consideremos una traslación del los ejes a un nuevo origen O’(h, k), la
cual posteriormente es seguida de una rotación de los ejes en torno a O’ de un
ángulo  como vemos en la siguiente figura:
Sea P un punto cualquiera y sean (x,y), (x’,y’) y (x’’,y’’) sus coordenadas
respectivamente a X-Y (ejes originales), X’-Y’ (ejes trasladados) y X’’- Y’’ (ejes
rotados) para la traslación tenemos que:
x = x’ + h e y = y’ + k
para la rotación queda que:
x’ = x’’ cos  - y ‘’ sen 
y’ = x’’ sen  + y’’ cos 
si efectuamos un cambio de ejes coordenados mediante una traslación seguido
de una rotación las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo
sistema son:
x = x’’ cos  - y ‘’ sen  + h
y = x’’ sen  + y’’ cos  + k
donde  es el ángulo de rotación y (h,k) las coordenadas del nuevo origen.
FJDM…..004D…..010D…..014D 7
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Ejemplo:
5. Hallar las nuevas coordenadas del punto P(-1,3) cuando los ejes coordenados
son trasladados al origen O’(4,5) y después se giran un ángulo de 60º.
Solución:
Problemas
Parte VI
Cuales son las coordenadas del punto cuando los ejes se giran el ángulo
especificado y luego el origen se traslada al punto especificado.
a) punto P(3,6), angulo 30º , O’(2, -6)
Resp: 1  3 3 2 , 9 2  3 3
b) punto P(2,2), angulo 45º , O’(-1,1)
Resp: (2 2 , - 2 )
c) Por traslación de los ejes coordenados el nuevo al nuevo origen O’(3,3) y
después rotación en un ángulo de 30º las coordenadas de un cierto punto P se
transforman en (7,6). Encuentre las coordenadas de P con respecto a los ejes
originales.
Resp:

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FJDM…..004D…..010D…..014D 8