Quién dice que el caos no tiene leyes

¿Quién
dice
que
el
caos
no
tiene
leyes?
por J. Navarro y J. Ros, IFIC, centro mixto CSIC – Universitat de
València y Departamento de Física Teórica, Universitat de València
Who says Chaos has no Laws? The authors explain the idea of deterministic chaos in
simple terms. They outline the two most basic laws of chaos, parameter dependence
and sensitive dependence on initial conditions, the famous butterfly effect. A list of
applications in different fields is given with some reasons as to why these ideas are
popular.
Si bien, como decía Galileo en Il Saggiatore, el universo está escrito en lenguaje
matemático, los científicos extraen las palabras para explicarlo del mismo fondo que
el resto de los mortales. La precisión que una explicación científica requiere hace, sin
embargo, que a menudo palabras de uso cotidiano adquieran significados bastante
diferentes del que tienen en el lenguaje corriente. Por poco habituado que esté el
lector a la terminología científica, podrá reconocer estas diferencias en palabras
como función, cuerpo, momento, espectro, imaginario, complejo, trabajo, campo…
Incluso imaginará la diferente reacción de dos amigos, un botánico y una
matemática,
ante
una
frase
como
“¡saca
la
raíz!”.
Muchas veces el significado habitual de un término puede servir, por analogía, para
sugerir o aclarar su acepción científica. Otras, sin embargo, puede producir cierta
sorpresa, e incluso perplejidad, encontrar en un contexto científico ciertas palabras.
Posiblemente ésta sea la primera reacción al escuchar expresiones como “teoría del
caos”, o “caos determinista”. Si éste es el caso, quizá conviene acudir a un
diccionario para disipar dudas. Una buena opción es ir al diccionario catalán
Alcover-Moll, donde leeremos: “Caos, m. 1. Estado de confusión en que estaba el
universo al principio de su creación antes de que Dios pusiera en las cosas el orden
actual. 2. Lugar de gran confusión.” Además ilustra con citas apropiadas de
Raimundo Lulio y de Verdaguer estas acepciones. La segunda nos resulta muy
familiar. Y aún más en la versión que encontramos en el Diccionari de la llengua
catalana de Fabra: “Caos... Fig. Confusión y desorden total.”
Si con este bagaje tratamos ahora de imaginar qué puede ser una teoría científica del
caos o, por si no fuese bastante, del caos determinista, la perplejidad está servida. Se
suele tener la idea de que las diferentes ciencias tratan de formular las leyes que rigen
el funcionamiento del universo como un todo y de los diferentes fenómenos que se
observan en él. Y hay que reconocer que, por las razones que sean, ley y desorden,
determinismo y caos, son palabras que no nos casan bien. Por tanto, ¿qué será eso del
caos
determinista?
Como todas las ideas, ésta tiene su historia, una larga y variada historia que,
simplificando un poco, podemos comenzar alrededor del sexagésimo cumpleaños del
rey Óscar II de Suecia y de Noruega en 1889. Con motivo de esta celebración, se
convocó un premio para el mejor trabajo relacionado con una serie de problemas
matemáticos planteados. Por atractivos e intrigantes que sean los detalles de esta
convocatoria y su resolución –¡y lo son bastante!–, no es ahora el momento de
repasarlos. Para nuestra historia, tendremos bastante con recordar que el ganador fue
Henri Poincaré (1854-1912), una de las figuras más interesantes de la ciencia de
finales
del
siglo
XIX
y
principios
del
XX.
La memoria premiada (véase figura 1), Sur le problème des trois corps et les
équations de la Dynamique, consideraba un problema astronómico muy concreto, de
fácil enunciación pero diabólicamente complicado. Considere el lector que el
problema de Kepler, que seguramente recordará, se puede enunciar como el
problema de dos cuerpos (Sol-planeta). Su solución es conocida por los bachilleres
(al menos, los planes de los años cincuenta), y no parecería en principio que aceptar
un tercer invitado fuese a complicar demasiado las cosas. Las apariencias, una vez
más,
engañan.
¿Y qué tiene que ver eso con el caos? Pues que los movimientos de tres cuerpos
controlados por la ley de atracción universal de Newton, paradigma del determinismo
laplaciano y base de la concepción mecanicista del mundo, podían resultar
terriblemente complicados. Y en un preciso sentido técnico, Poincaré introducía (en
la versión publicada de su trabajo) el concepto de lo que en lenguaje actual llamamos
soluciones caóticas u homoclínicas, que él llamaba doblemente asintóticas. La figura
2, en su modesta apariencia, es en nuestra opinión reveladora. Compara el poder de
abstracción y de imaginación de Poincaré con los resultados numéricos obtenidos con
ordenador en 1964. Éstos corresponden a un artículo de los astrónomos Hénon y
Heiles, que representó un papel importante en la revitalización del interés por el caos.
Huelgan
los
comentarios.
De hecho, la palabra caos, en el sentido científico que ahora nos interesa, parece
haber sido usada por primera vez en 1975, en un artículo de los matemáticos Li y
Yorke, aunque el principal resultado había sido demostrado, incluso de manera más
general, por el ruso Sharkovski en 1964 en una revista ucraniana. ¡Otro de los
muchos
ejemplos
del
efecto
de
la
incomunicación
científica!
Sin embargo, dejemos las cuestiones técnicas y tratemos de explicar, aunque sea
brevemente, de qué va eso del caos. Las teorías deterministas (y la mecánica
newtoniana es el ejemplo clásico) implican que, conocido perfectamente el estado de
un sistema en un instante determinado, su evolución posterior queda absolutamente
fijada. De aquí se infiere la posibilidad de hacer predicciones. Podemos
inmediatamente objetar que nunca llegaremos a conocer el estado con precisión
absoluta y que, por tanto, las predicciones necesariamente heredarán imprecisiones
inevitables. La objeción es impecable y así se había aceptado tradicionalmente. Pero
el hecho no tenía más transcendencia porque se presuponía que los errores originados
en las predicciones estaban dentro de los márgenes de error inherentes a toda
observación
experimental.
Quizá conviene ilustrar lo que decimos. Imaginemos que representamos los posibles
estados de un sistema por granos de uva. La idea clásica es que los granos que
constituyen un racimo en un instante determinado evolucionan de tal manera, que
después de un cierto tiempo los correspondientes granos formarán también otro
racimo de dimensiones similares a las originales. En otras palabras, no esperamos
nunca encontrar en racimos, y aún menos en vides diferentes, los granos que
inicialmente
estaban
en
un
mismo
racimo.
Claro que hay situaciones en las que las predicciones no se pueden hacer con
precisión aceptable. Podemos pensar en las dificultades de las predicciones
meteorológicas debidas a la gran cantidad de factores que pueden influir en ellas.
Clásicamente, estos comportamientos “complicados” que limitan fuertemente la
predictibilidad se atribuyen únicamente a la complejidad estructural del sistema
considerado.
Pues bien, la teoría del caos determinista cuestiona estas ideas. No propone nuevas
leyes físicas, simplemente estudia mejor las ecuaciones clásicas y descubre que muy
a menudo éstas tienen soluciones que permiten, siguiendo la analogía anterior, ¡que
granos de uva del mismo racimo vayan a parar en su evolución a racimos o incluso a
vides
diferentes!
Este cambio de planteamiento es el que se originó en los trabajos de Poincaré.
Aunque pueden rastrearse contribuciones importantes durante la primera mitad del
siglo XX, fue a partir de los años cincuenta cuando toda una serie de investigaciones
multidisciplinares con contribuciones teóricas, numéricas y experimentales llevaron a
la necesidad de aceptar: a) el determinismo más estricto es completamente
compatible con la impredictibilidad más absoluta; b) sistemas de inocente apariencia
por su estructura pueden presentar comportamientos verdaderamente perversos en su
evolución
temporal.
Uno de los rasgos característicos que explican estos hechos es lo que se llama
extrema sensibilidad a las condiciones iniciales de la evolución de los sistemas. Eso
quiere decir que una misma ley puede hacer que dos sistemas preparados
inicialmente en estados prácticamente iguales acaben en su evolución, totalmente
determinista, en estados diferentes. En expresión bien gráfica esto es lo que el
meteorólogo Edward Lorenz bautizó como el efecto mariposa. Y que, aunque lo
pueda parecer, no es simplemente una coartada para los equipos de predicción del
tiempo en las televisiones. Lo que quiere decir es que, por ejemplo, el tiempo que
hará en A puede depender del hecho de que una mariposa agite o no las alas en B. Y
si el lector es cinéfilo puede recordar alguna imagen de la película homónima de
Colomo.
La reflexión que se nos ocurre inmediatamente es: todo eso está muy bien y puede
ser muy entretenido, pero ¿es simplemente un divertimento matemático y mera
elucubración de teóricos? Ciertamente no. Desde los años sesenta o setenta del siglo
pasado toda una serie de estudios y experimentos han detectado comportamientos de
este tipo en una gran multitud de sistemas y fenómenos. En la ciencia, como en tantas
otras esferas de la actividad humana, las modas imponen su dominio. Durante los
años setenta y ochenta del último siglo se publicaron multitud de trabajos que
descubrían situaciones caóticas por todas partes. Tanto es así que incluso se podría
llegar a pensar si no sería pura casualidad que las predicciones de la ciencia clásica
de tantos y tantos hechos observacionales hubiesen tenido éxito.
Evidentemente resulta una exageración pensar así. Y eso por varias razones. En
primer lugar, hemos asociado la idea de comportamientos caóticos a la evolución
temporal de sistemas y fenómenos. Pero, a veces, para observar comportamientos de
este tipo hay que dejar pasar un tiempo extraordinariamente largo. O sea, que, a corto
plazo, de una duración que la propia teoría permite estimar, aún tienen sentido las
predicciones convencionales. Hay una segunda consideración que hace que se pueda
confiar todavía en el poder predictivo de muchos modelos físicos o de otras ciencias.
Como hemos dicho, el comportamiento caótico, con la impredictibilidad que
conlleva, constituye una posibilidad, nunca una necesidad. La evolución temporal de
un sistema se traduce, dentro de una teoría dada, en unas ecuaciones en las cuales
figuran también unos parámetros de los que dependen las soluciones. Y, a veces, una
misma ecuación origina soluciones cualitativamente diferentes (regulares unas,
caóticas las otras) según los valores que tomen estos parámetros. A estos fenómenos
se
les
llama
bifurcaciones.
Más arriba hemos mencionado que, en áreas muy diferentes de la actividad científica
en el último cuarto del siglo XX, se han detectado fenómenos caóticos y se han
elaborado modelos basados en las ideas del caos para explicar otras. Aunque sólo sea
en titulares, damos una lista representativa. Como los conceptos básicos surgieron en
un contexto matemático, no es extraño que fueran las ciencias más matematizadas, la
astronomía
y
la
física,
los
primeros
campos
de
aplicación.
En el caso de la astronomía se ha estudiado la estabilidad del sistema solar. En
particular, se ha determinado que Hyperion, un satélite de Saturno, tiene en la
actualidad un movimiento caótico y se piensa que muy probablemente todos los
satélites de forma irregular han pasado en su historia por épocas de movimientos
irregulares. Eso valdría para Fobos y Deimos, de Marte, y Nereida, de Neptuno. La
distribución de asteroides o, mejor dicho, su ausencia allá donde esperamos, también
se
explica
por
análisis
de
inestabilidades
y
caos.
En física, el espectro de aplicaciones es amplísimo. Osciladores en sistemas
mecánicos, circuitos electrónicos, corrientes de convección, turbulencias, sistemas
acústicos y ópticos no lineales… En química hay todo un campo de lo que se llaman
osciladores químicos, que son reacciones en las que las concentraciones de los
productos van variando de manera totalmente errática, y en casos particularmente
vistosos eso se traduce en una danza impredictible de colores.
En sistemas biológicos se han estudiado poblaciones que, en determinadas
circunstancias de su medio ambiente, pueden evolucionar caóticamente. En fisiología
también se han utilizado ideas basadas en la teoría del caos para analizar
electroencefalogramas o electrocardiogramas. Incluso en ciencias sociales, donde la
matematización es mucho más reciente y/o menos habitual, se construyen
comportamientos de aspecto aleatorio. El estudio de mercados financieros es un
ejemplo.
Al hablar de la presencia de comportamientos caóticos en sistemas reales conviene
hacer una matización. Por sus connotaciones con el significado ordinario del término,
algún lector puede pensar que estos tipos de evolución deben ser evitados. De aquí la
importancia de saber cuándo (es decir, para qué condiciones iniciales y/o para qué
valores de los parámetros) un sistema evolucionará caóticamente. Eso puede ser
cierto en algunas aplicaciones. Pero no siempre es así. En muchos casos se puede
hacer un uso, digamos, positivo del caos. Puede permitir, por paradójico que parezca,
estabilizar láseres y circuitos electrónicos, neutralizar arritmias cardíacas en animales
e
incluso
transmitir
mensajes
de
manera
segura.
Hemos expuesto, si bien esquematizadas al máximo y desprovistas de toda vestidura
formal, algunas de las ideas que forman el núcleo central de la teoría del caos, sus
leyes y sus aplicaciones. Obviamente, hemos omitido mucho más de lo que se ha
dicho: caos espacial, relación con la geometría fractal, caos cuántico… Sin más
precisión técnica resulta casi imposible entrar en discusiones más concretas. Y la
teoría no está aún ni de lejos cerrada. De hecho, no hay una única definición
universalmente aceptada de caos, e incluso cuando se acepta una concreta, no resulta
nada fácil demostrar que rigurosamente un sistema la satisface. A veces se tienen
muchas evidencias, pero no una demostración irrefutable. El famoso atractor de
Lorenz ha estado toda una vida ilustrando el caos en portadas de libros, revistas
especializadas y prensa en general. Sólo en el año 1999 el matemático sueco Tucker
ha
demostrado
su
pedigrí
caótico.
Para ir acabando, además de las resonancias más o menos exóticas que el nombre
puede sugerir, hay una serie de características que ayudan a explicar el interés que
desde finales de los años setenta despiertan los temas relacionados con el caos. He
aquí
algunas:
— Toca aspectos siempre atractivos en la divulgación de las ideas de la física como
determinismo, predictibilidad… Es cierto que éstas son también referencias
habituales en discusiones de mecánica cuántica, pero en el caos determinista el
debate se plantea en forma más paradójica, pues no se debe abandonar el esquema
newtoniano
más
familiar.
— Los estudios en esta área combinan en el nivel fundamental, y no simplemente
instrumental, técnicas y resultados experimentales y analíticos con tratamientos
numéricos, de simulación y representación gráfica. Y eso ha contribuido a reconocer
un estatuto al uso de los ordenadores mucho más elevado que el habitual papel de
simple
herramienta
auxiliar
que
normalmente
se
les
atribuye.
— Un atractivo especial quizá le viene al caos de su marcado carácter interdisciplinar
repetidamente
comentado.
— Es posible hacerse una idea relativamente precisa desde el punto de vista técnico
con un modesto bagaje matemático, aunque los análisis pueden después complicarse
seria
y
peligrosamente.
— Sin recorrer a inversiones espectaculares, se pueden realizar experimentos
científicamente significativos. ¡Y eso es importante! Se diría que sin llegar a la
esquina es posible construirse un circuito caótico. ¿Y quién no ha visto aquellos
péndulos
de
mil
formas
que
oscilan
sin
sentido?
Decíamos al principio que el diccionario Alcover-Moll ilustraba el uso de la palabra
caos con citas de Lulio y de Verdaguer. Y ya que el 2002 fue su centenario, podemos
acabar recordando de L’Atlàntida que “renacer parece el caos, sepulcro y cuna de los
mundos”
Caos en casa
Si está cansado/da de ver siempre el mismo caos en su casa, le proponemos que le dé
un toque científico. No cuesta demasiado y puede entretener a las visitas. Empiece
por construirse un péndulo con un hilo y una bolita de hierro. Si lo hace oscilar
observará un movimiento monótono que sería eterno si pudiera eliminar el roce con
el aire. Para hacer el experimento un poco más divertido, coja ahora tres imanes (esos
que tiene en la puerta de la nevera y que siempre van por el suelo le pueden servir) y
póngalos sobre una mesa. Ahora deje oscilar el péndulo por encima de los imanes
(figura 3). Si lo hace repetidas veces observará lo extraño que es el movimiento y
cómo resulta difícil hacer predicciones. A veces el movimiento se limita alrededor de
uno de los imanes, otras acaba cerca de otro. En la figura intermedia se puede ver una
representación esquemática de esta situación. Ahora podría marcar en un papel cada
posición desde la que va soltando la bolita con un color diferente (rojo, azul,
amarillo) según el imán en el que acaba concentrándose el movimiento. Pero para
evitarle dolores de cabeza, no nos atrevemos a proponérselo. En cambio, le invitamos
a contemplar la espectacular figura 4 que representa, por simulación con ordenador,
lo que se obtendría. ¡Enhorabuena! Acaba usted de descubrir el caos determinista.
J. N. / J. R
© MÈTODE. Universitat de València