Taller 1 matemáticas básicas: Preparación ... lo. .

Taller 1 matemáticas básicas: Preparación primer parcial. Profesor Jaime Andrés
Jaramillo. [email protected]. ITM. 2011-2
Referencia:
STEWART, James y otros. Precálculo. Quinta edición. México: Thomson, 2007.
Números Reales
1. Simplifica las siguientes fracciones:
1.440
i. 4.200
3.003
ii. 264
128
iii. 1.024
2. Escriba como decimal finito ó infinito periódico:
1
3
i.
ii.
9
10
iii.
10
9
iv.
35
8
3. Escriba como fracción:
i. 0,7777...  0.7
iv. 1,4142
vii. 3,175
ii. 0,1232323...  0.123
v. 423,0121212...  423,012
viii. 0,003
iii. 0,125634634
...  0,125634
vi.  14,05
ix. 2,03333...  2.03
4. Efectúe la operación y escriba su resultado en forma simplificada:
i. 2 
iii.
1  1  1 1 
 1    
1 1 3 3  2  2 3 
3  
2 2 4
2
5 6 1
. .
2 7 5
2
5
6
3
v. 4
4
1
5
 5

vii. 3  4  2(8  10) 

 7
ii.
3 3 4 7
  
2 4 5 3
2
4 2
 3.    16
7
5 9

5
9
vi.  3    3  
3
2

iv.
3
5  2 7
viii.  4   4      
2
3  3 9 
1 de 10
54 1 2 7
ix.  4        
23 7 3 8

1 
1 1
2
1 
2
4 
x.
*

3
4
 1 1
 1 2 *   
 2 3 
2
2
xi. 7
4
5
1 2 4
1 3
xiii.
 :  2.  
5 5 7
6 4
3 
3
1
xv.
 2    4(3  )
2 
2
2
xii. 
11  1 1  3
*   
13  4 2  26
3 
3  7 2
 2 4      
2 
5  2 9
2
13
xvi.
3
1
- 1+
2
3
xiv. 
5. Resolver aplicando las propiedades de los exponentes:
i. (35  32 ) 4
iv. (52  42  54  41 ) 3
vii. ( x 2 y 1 ) 3
ii. (6  7  3  2) 2

v. (3  2 5 )  4(3  2 5 )  6(3  25 )

viii. (ab) 2 a 4 b 3

2

2
iii.  32  4 2  34  4 3

vi. (32  510  632  1215  416 ) 40

0
ix. (ax1 ) 2 (a 1 x)
3
de la capacidad de un tanque son 8316 litros. Hallar la capacidad del tanque.
8
7. 15 hombres pueden hacer una obra en 5 días. ¿Cuántos hombres más harían falta para
hacer la obra en un día? ¿Cuántos hombres menos para hacerla en 15 días?
6. Los
8. Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado $18 000= ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
9. Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán dos obreros?
10. Trescientos gramos de queso cuestan $6 000= ¿Cuánto podré comprar con $4500?
Operaciones con expresiones algebraicas
11. Desarrolle las operaciones y escriba su resultado en forma simplificada:
i. (5x 4  4 x 3  2)(5x  3)
ii. (3x  4)  63x  14 x  8
2 de 10
iii. (2x 4  3x 2  6x  7)4x 3  1  5x 6  3x 5  3x 3  13
iv. (3x  1)(9x 2  3x  1)

vi. x  2 y  x 2  2xy  4 y 2
v. (5x  2 )(5x  2 )

vii. 4 x  316x 2  94 x  3

viii. z  x  y z  x  y x  y  z x  y  z 
xi. a  2b a  2b
x. (3t 2  1) 2 (3t 2  1)
2
2
xii. (2 x  1)(9 x  3 y)

ix. a  3 a 2  3a  9
3
3
3
2 2
3
3
2 2
3
xiii. 2x y  4x y  6x y  ( x  4x y  3x y)
1
xiv. (3xz 3  2 z 4 )  xx 3  2 x 2 z  5 z 3   ( x 3 z 2  5 x 2 z 2  11z 5 )
z
2
x
xv. y(3  6 x  1)  (3x 2  3xy  y 2 )  (2 x 2 y  4 y)
y
12. De cual expresión hay que restar  18x 3  14x 2  84x  45 para que la diferencia dividida entre
14x 2  7 x  5 de cómo cociente x 2  9
Factorización
13. Factorice (Factor común)
i. m5  3m 4 
ii. 16x 2 y 2  8x 2 y  24x 4 y 3
iv. 93a 3 x 2 y  62a 2 x 3 y 2
v. 27a2 xy2  45ax2 y - 63axy2
iii. 35m2 n3  70m3
vi. 12t 2 z  24t 3 z 2  24t 4 z 3  36t 5 z 4
vii. 42xy 2  21x 2 y  56xy viii. 205z 4 t 3 r 2  123z 3t 2 r 3  164z 2 t 4 r 4 ix. 12m5 n 2  3m 4 n 3
14. Factorice (Factor común por agrupación)
i.
a2 + ab + ax + bx =
ii.
iii.
ab - 2a - 5b + 10 =
iv.
v.
am - bm + an - bn =
vi.
2
vii.
3x - 3bx + xy - by =
viii.
2
2
ix.
3a - b + 2b x - 6ax =
x.
ab + 3a + 2b + 6 =
2ab + 2a - b - 1 =
3x3 - 9ax2 - x + 3a =
6ab + 4a - 15b - 10 =
a3 + a2 + a + 1 =
15. Factorice (Diferencia de cuadrados)
ii. 36x 2  16
a 2 b4

i.
100 9
iv. 64x 2  1
v. 25x 2 y 4  49z 2
iii.
1 4 25
x 
4
81
vi. 9 x 2  4 z 2
16. Factorice (Trinomio cuadrado perfecto TI)
3 de 10
i. x 2  25  10x
ii. 4 x 2  12x  9 
17. Factorice (Completación de cuadrados TI)
i. a 4 y 4  7a 2 y 2  16
ii. a 4  16a 2 b 2  36b 4
v. 1  2x 4 y 8  81x 8 y16
iv. 100 45t 2  t 4
viii. 121 21x 2 y 2  x 4 y 4
vii. 625x 8  16
18. Factorice (Trinomio de la forma x2 + ax + b)
i. x 2  7 x  12
ii. x 2  15x  100
iv.
v.
iii.
x 2 xy y 2


4
3
9
iii. 49x 8  76x 4 y 4  100y 8
vi. 64z 4  t 4
ix. 9 x12  23x 4  144
iii. x 2  2 x  3
vi.
2
19. Factorice (Trinomio ax  bx  c )
2
ii. 24x 2  2 x  2
i. 2 x  5 x  3
2
v. 15x 2  26x  8
iv. 8 x  6 x  9
20. Factorice (Diferencia de cubos)
27
ii. 27n 3  64r 6
i. x 3 
64
21. Factorice (Suma de cubos)
ii. x 9  y15
64x 3 a 3
i.

125y 3 8
iii. 6 x 2  7 x  2
vi. 10x 2  13x  4
iii.
2x  y3  8x6 
iii.
125x6
 z6 
3
8y
22. Factorice decidiendo cual caso aplicar. Tenga en cuenta que es posible que más de un
caso se presente en un solo ejercicio:
2
7
iii. 125x 3 y 3 z  8z 4
i. k 3  27
x 
ii.
3
12
3
3
2 2
iv. 27a  15b
v. x y  49z 2
1
c8

vi.
64 100
2
2
2
5 10 11
6 11 12
viii. 8b m  26mn  6b n
vii. 10x y z  11x y z
ix. x 3  64
x. 2 m b  a n  2 m n  a b
xi.

2 x  y 2  2 x  y
xii. 2 x 2  11x  6
23. Factorice
i. 3x5  48x

iv. 4 x 2 y 2  x 2  y 2  z 2
vii. 25x 2  10 3x  3

2
ii. x 3  x 2  81x  81
iii. 3x3  3x 2  3x  3
3
1
1
v. ax  a  bx  b
2
3
2
vi. 6bx6  48by9
viii.
x  32  3x  3  28
ix. x3  x 2  16x  16
24. Factorice
4 de 10
i. x 2  3a  2bx  6ab
iv.
4x4  y 4
vii.
1 3 1
ax  ax
3
3
ii. x2  a  5bx  5ab 
iii. 16x 4  4 x 2  1 c.
v. x 8  y 8
vi. 6bx6  48by9
3
1
1
viii. ax  a  bx  b
2
3
2
ix.
8 3
x  y3
27
Fracciones algebraicas
25. Simplifique la expresión
x2  7x  6
x 2  4 x  12
ii.
x 2  7 x  10
x 2  25
iii.
2 xy  2 y 2  4 x  4 y
x2  y2
iv.
x 3  2 x 2  3x
x2  x
v.
2x 2  9x  5
3x 2  17x  10
vi.
6 y 2  11y  3
3y 2  y
vii.
y2  9
y 3  27
x 3  64
x 3  8 x 2  32x  64
ix.
2x3  x 2  6x
2x 2  7x  6
6( x  1) 2
3( x  2)(x  1)
xii.
y5  y3  y2 1
y2  2y 1
xv.
2 z 2  5z  3
z 2  3 z  18
i.
x.
x2  x  2
x 2  17
viii.
xi.
xiii.
 2 x 2  7 xy  6 y 2
 6 x 2 y  3xy 2  9 y 3
xiv.
1 x2
x3 1
xvi.
zx 2  4 xyz  4 y 2 z
x 2  3xy  2 y 2
xvii.
 12y 2  2 y  2
8  64y 3
xviii.
3x 4  2 x 3  3x 2  2 x
x6 1
26. Efectúe la operación y escriba su resultado en forma simplificada:
i.
x 2  6x  9 2x  2
*
x3
x2 1
x 2  7 x  6 2x 2  x  1
 2
3x  9
x  5x  6
iii.
t 1
t 2  4t  5

v.
5t  10 t 2  8t  16
vii.
1
5

x  4  x  2 2
ix.
x
4x
18

 2
x3 x3 x 9
2
ii.
4x 2  9
4x 4  6x 3  9x 2
*
2x 2  7x  6
8 x 7  27x 4
iv.
2y4  4y2
3y 2  y
*
6 y 2  14y  4 y 2  2
5 x 2  12x  4 25x 2  20x  4

vi.
x 4  16
x 2  2x
2
3x

viii. 2  x 9 x  18
5x
2x  1 3  y


2
x y x y
x y
2
x.
5 de 10
xi.
xiii.
xv.
4 4y 1

3
y
y 1
xii.
x
1
7


2
x  x  12 x  3 x  4
3x
5x
40

 2
x2 x2 x 4
xiv.
xvi.
4
x

2x  1 1  2x
x 2  2 x  3 3x  12
*
x 2  8 x  16 x  1
12. Simplifique la expresión
x

y
1

x2
i.
y
x
1
y2
1
3
x2
4
x
x
iii.
ii.
x
3

x4 x3
1
2

x x4
iv.
 1 1 
x2  y2 

   x  y 
x  y 
 x y 
Ecuaciones lineales
11. Resuelva la ecuación:
a) 6 x  2 x  1  3x  9
d)
1 x 1 x

 1  2x
2
3
b) 3( x  3)  2( x  4)
e)
1
x  2 5 x  32 12  x


3
4
2
c)
2 x  11 1  3x 1  x


3
4
5
f)
27  x 7 9 x  54
 
2
2
10
12. La suma de las edades de Hernán y Pedro es de 84 años, y Pedro es 8 años menor que
Hernán. Hallar ambas edades.
13. Pague $87 000= por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 000= más que
el libro y $20 000= menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada artículo?
14. La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.
15. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar ambos números.
6 de 10
16. La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar ambos números.
17. Entre Andrés y Bernardo tienen $1 154 000=. Bernardo tiene $506 000= menos que Andrés
¿Cuánto dinero tiene cada uno?
18. En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son
la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada piso?
19. Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24.
20. Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.
21. Juliana tiene 14 años menos que Catalina y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene
cada una?
22. Hallar tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 192.
23. La suma de tres números enteros pares consecutivos es 102. ¿Cuáles son los números?
24. Pagué U$325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó U$80 más que el coche
y los arreos U$25 menos que el coche. Hallar los precios respectivos.
25. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65.
Hallar los números.
26. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto 10 manzanas más que el segundo y 15
más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?
27. Repartir 310 dólares entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la
primera y 40 más que la tercera.
Ecuación cuadrática:
28. Resuelva la ecuación (Encuentre si es posible las soluciones complejas)
a) x 2  25  0
b) x 2  39
c) x 2  14x
d) x 2  12x  0
e) 8 x 2  5 x  0
f)
x 2  15x  56  0
g) 12x 2  17x  5  0
h) 6 x 2  23x  20  0
i)
7 x 2  5x  16  0
7 de 10
4 x 2  11x  5  0
k) 8x 2  15x  17  0
l)
m) 7 x  5  2 x 2  2 x
n) (3x  1)2 x  5  3x 2
o) 4 x 2  5  8  5x  8x 2
p) 42  15x  6 x 2  22x  22
q) 9 x 2  10x  12  0
r) 6 x 2  21x  33  4 x
j)
9 x 2  30x  25  0
29. Resuelva la ecuación (Si existen soluciones complejas determínelas)
a)
x  13  x  7
b)
d)
x  3x  1  21
e)
h)
g)
2x  3
4x  4
1 
x
1 x
1 x
j)
4 x  20
4 x

4 x
k)
x 4  7 x 2  18  0
(4 x  2)(x  1)  (2 x  1)(x  3)
1 x
1

1 3x
x
3
2x  1  2 x 
x
4  3x
2x  3
i)
6x  29  x  x  5
l)
2x  4x  3  3
x  5x  14
r)
4x  24x  11  0
3xx  2  72
u)
7x  10x  2x  155
m)
n)
p)
x  6x  8  0
q)
s)
x  4  12x
t)
2
7x  2 
x 4  2x 2  3  0
20
43 x  3  11
x
2
2x  1
f)
o)
6
3
x2
x2
21
c)
1 2
3
x x 0
8
4
2
2
2
2
30. Un terreno rectangular tiene su largo igual al doble de su ancho. Si el largo se aumenta en
40m y el ancho en 6m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno original.
31. Un automóvil ha recorrido 200km en cierto tiempo, para haber recorrido esa distancia en 1,0
h menos, la velocidad debía haber sido 10 km/h más. Halla la velocidad del automóvil.
32. Determina las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 36 cm y la
suma de los catetos es 21 cm
33. Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 56 m y su área es
180m2.
34. Una persona compró cierto número de calculadoras por $150 000=. Podría haber comprado
5 más, si cada una hubiese costado $5 000= menos. ¿Cuántas calculadoras compró?
¿Cuánto costó cada calculadora?
8 de 10
35. Tres segmentos miden 8, 15 y 16 cm respectivamente. Si se quita a cada uno la misma
longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud.
36. Calcula el lado de un cuadrado, sabiendo que el producto del área de dicho cuadrado por el
área del rectángulo que se obtiene al aumentar la base en 2 cm y disminuir la altura en 2
cm es igual a 6237 cm2.
37. (Usar dos variables) El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m 2.
Calcula los catetos.
38. (usar dos variables)La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las
aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m 2. Calcula las longitudes de las diagonales, el
perímetro y el área de dicho rombo.
39. La raíz cuadrada de la edad del padre nos da la edad del hijo y dentro de 24 años la edad del
padre será doble que la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?
40. (Usar dos variables) El área de un triángulo rectángulo es 120 cm 2 y la hipotenusa mide 26
cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos? [24cm,10cm]
41. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendría dentro de 6 años.
Determine la edad actual.
42. Determine el valor de k, de modo que la ecuación 3x2 + 4x = k – 5 tenga:
a. Dos soluciones reales y distintas.
b. Dos soluciones reales e iguales.
c. Dos soluciones que no sean números reales
43. Calcula el valor de b en la ecuación 5 x 2  bx  6  0 5x2 + bx + 6 = 0, sabiendo que una de
sus soluciones es 1.
¿Cuál es la otra solución de la ecuación?
44. Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye partiendo de un pedazo cuadrado de
cartón, cortando un cuadrado de 5 cm en cada esquina, y doblando hacia arriba los lados. Si
la caja debe contener 80 cm3, ¿qué dimensiones debe tener el pedazo de cartón?
45. Un rectángulo áureo es un rectángulo que puede dividirse en un cuadrado y en otro
rectángulo, que también es áureo, semejante al original. En la figura, ABCD es un rectángulo
áureo porque puede dividirse en un cuadrado AFED y en un rectángulo áureo FBCE.
Estableciendo una proporción de las longitudes de los lados de los rectángulos se obtiene
a
b

a  b a . Si b = 1, resuelve la ecuación para a.
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A
a
F b
B
E
C
a
D
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