¿Cómo enseñar la varianza

¿Cómo enseñar la varianza?
Ejemplo 1
Aquí tenemos 9 rectángulos cuya altura es de 8 centímetros (y todo tienen
la misma base).
¿Existe alguna variación respecto de su altura entre estos rectángulos?
¿Cuál es el promedio de la altura de estos rectángulos?
8  8  8  8  8  8  8  8  8 72

8
9
8
Ejemplo 2
El quinto rectángulo y el octavo rectángulo en un acto de rebeldía
cambiaron su altura. El quinto rectángulo, ahora de color rojo, mide 10
centímetros, y el octavo rectángulo, de color azul, mide 6 centímetros?
¿Cuál es el nuevo promedio de estos 9 rectángulos?
8  8  8  8  10  8  8  6  8 72

8
9
8
... ¡el mismo promedio! Pero... ¿ha habido variación?
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El rectángulo rojo tiene +2 centímetros sobre el promedio, y el rectángulo
azul tiene –2 centímetros bajo el promedio. Los otros rectángulos tienen
cero diferencia respecto del promedio.
Si sumamos estas diferencias de la altura respecto del promedio, tenemos:
0+0+0+0+2+0+0–2+0=0
Este valor nos parece indicar que ¡no ha habido variabilidad! Y sin
embargo, ante nuestros ojos, sabemos que hay variación
Una forma de eliminar los signos menos de aquellas diferencias que sean
negativas, esto es de aquellos mediciones que estén bajo el promedio, es
elevar al cuadrado todas las diferencias, y luego sumar...
02  02  02  02  22  02  02  (2) 2  02  8
Y este resultado repartirlo entre todos los rectángulos, es decir lo
dividimos por el número de rectángulos que es 9
0 2  0 2  0 2  0 2  2 2  0 2  0 2  (2) 2  0 2  8 8
  0,89
9
9
Se dice entonces que la varianza fue de 0,89
Observemos que las unidades involucradas en el cálculo de la varianza
están al cuadrado. En rigor la varianza es de 0,89 centímetros cuadrados.
De manera que se define 0,89  0,943
La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar o típica
Que la desviación estándar haya sido de 0,943 significa que en promedio la
altura de los rectángulos variaron (ya sea aumentando, ya sea disminuyendo)
en 0,943 centímetros.
Es claro que esta situación es “en promedio”, puesto que sabemos que los
causantes de la variación fueron los rectángulos quinto y octavo. Esta
variación hace repartir la “culpa” a todos los demás rectángulos que se
“portaron bien”.
La desviación estándar mide la dispersión de los datos respecto del
promedio o media
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Ejemplo 3
¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las alturas de los
rectángulos?
En primer lugar debemos calcular el promedio
8  4  8  8  10  8  7  6  8
 7,44
9
Luego debemos calcular la varianza
Si la varianza fue de 2,469, entonces la desviación estándar es de
2,469  1,57
Lo que significa que, en promedio, los rectángulos se desviaron más o
menos (más arriba o más abajo) en 1,57 centímetros.
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Para que el alumno aprenda la varianza necesariamente debe saber:
sumar, restar, multiplicar, dividir, potencia de orden 2, raíz cuadrada
Y es claro que esto no es suficiente (salvo que queramos que aprenda de
memoria los cálculos). Necesitamos estimular su imaginación para que
“vea” la variabilidad existente en la naturaleza.
Entregar una lista de fenómenos en que un mismo atributo tenga
variabilidad si se mide este atributo a un número de individuos u objetos.
He aquí unos sencillos ejemplos:
•La altura de los alumnos del curso.
•La nota obtenida en matemáticas de los alumnos del curso.
•El valor del dólar diario en euros en el transcurso de una semana.
•El consumo mensual de agua potable durante 5 meses en la casa.
•El número de accidentes de tráfico diarios durante un mes en la ciudad.
•Las faltas de ortografía en el dictado de un pequeño texto que comete
cada alumno del curso.
Pida al alumno que de ejemplos, de tal forma que pueda calcular el
promedio o media, la varianza y la desviación estándar.
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