El Teorema de Pitágoras

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El Teorema de Pitágoras
David Palomino Alva
En su obra The World as Will and Idea el filósofo Arthur
Schopenhauer, realiza un ataque contra el método de Euclides
para la demostración de proposiciones. En particular, comenta con
ironía la demostración de la proposición 47, que es el número con
que aparece el teorema de Pitágoras en los Elementos.
Schopenhauer plantea que es risible y compleja por demás la forma
en que esta proposición es demostrada por Euclides, primero
realizando construcciones y trazos que sólo enturbian el espíritu,
luego se recorre una cadena deductiva de pasos y finalmente se
llega
por sorpresa a la demostración del teorema. Según
Schopenhauer esta demostración es una autentica “ pieza de
perversidad”.
El filósofo continúa presentando la figura adjunta que, según él,
posee belleza en si misma, y permite la demostración del teorema
de una manera clara a cualquier persona que se digne admirarla.
Como cualquier estudiante de bachillerato conoce, esta figura nos
permite demostrar la proposición pitagórica en tan sólo un caso particular: cuando el triángulo rectángulo es isósceles y
de ningún modo es general. El error de Schopenhauer es claro, no entiende exactamente lo que significa demostrar una
proposición en matemática. Para probar rigurosamente esta proposición debería hacerlo para cualquier triángulo
rectángulo y no sólo para uno de características particulares.
La figura anterior se ha encontrado presente en diversas culturas, en grabados, en telares, y es probable que los
babilonios hubieran conocido el teorema de Pitágoras aplicado al caso de triángulo rectángulo isósceles antes que
Pitágoras. Realmente el mérito del matemático griego radica en haber generalizado esta proposición y haberla
demostrado para cualquier triángulo rectángulo.
Varios historiadores de la matemática coinciden en que Pitágoras pudo haberse
servido de una disección para la demostración del teorema, las figuras muestran la
posible demostración de Pitágoras.
En la figura superior se puede plantear una equivalencia entre áreas de la siguiente
forma:
(a + b )2 = c2 + 4(ab/2)
La figura inferior plantea otra equivalencia, a saber:
(a + b)2 = a2 + b2 +4(ab/2)
Igualando las dos expresiones obtenemos:
c2 = a 2 + b 2
La proposición pitagórica ha llamado la atención de numerosos matemáticos y
aficionados a lo largo del tiempo, convirtiéndose en un deporte intelectual crear una
nueva prueba para esta proposición. Entre los aficionados podemos contar al
presidente James A. Gardfield quien en la época de su descubrimiento era
congresista republicano de Ohio. La demostración fue publicada por primera vez en
un semanario de Boston llamado The New England Journal of Education, el 1 de
abril de 1876. La prueba se basa en el área de un trapecio, y la mostramos en la figura
superior de la página siguiente.
Observando la construcción podemos afirmar que el área del trapecio es igual a la suma de
las áreas de los tres triángulos rectángulos que lo conforman :
2
a  b
 ab  c

  a  b  2  
 2 
2 2
 a 2  b2  c2
La demostración algebraica más sencilla del problema se basa en la semejanza de triángulos; la mayoría de nosotros la
conoce por ser frecuentemente utilizada en la escuela. La figura adjunta ilustra esta demostración.
Usemos el hecho de que los triángulos ABC , CBX y ACX
son semejantes . Entonces podemos plantear
a c

x a
 a 2  cx
b
c

cx b
 b 2  c 2  cx
Sustituyendo a2 por cx, obtenemos c2 = a2 +b2 que es lo que
deseábamos demostrar.
Existen numerosas demostraciones del teorema de Pitágoras, tal vez la obra mejor documentada sobre esto sea The
Pithagorean Proposition del profesor Elisha Scott Loomis , allí se presentan 367 pruebas del teorema. De éstas
presentaremos sólo tres más , la famosa disección de Perigal, una basada en la trigonometría y otra , utilizando álgebra
vectorial.
La disección de Perigal se basa en ilustración mostrada y prácticamente no necesita palabras, baste sólo señalar que los
segmentos UV y XY deben ser paralelos a los lados del cuadrado que se construye sobre la hipotenusa. Si ahora
disectamos el cuadrado ABDE en las cuatro piezas mostradas podemos componerlo con el cuadrado menor para formar
un cuadrado de igual área al del cuadrado mayor. Te instamos a construir un modelo en cartulina de esta demostración,
será una ayuda visual muy interesante.
La demostración que sigue se basa en la Ley de Proyecciones. En el caso mostrado podemos escribir c= b. cos  + a
cos , usando la definición de cada función trigonométrica tenemos: c = b.b/c +a.a/c, de donde obtendremos
nuevamente c2 = b2 +a2
b
a


c
La última demostración que presentaremos, usa el hecho de que si dos vectores son perpendiculares su producto escalar
será nulo.
c
b
a
Tenemos que c = a + b, entonces:
c2 = c.c = (a + b).(a + b) = a.a + a.b +b.a +b.b , como a.b = b.a = 0 , por ser a  b, obtenemos c2= a2 + b2.
Cabe comentar aquí algo no muy conocido a nivel elemental, la propiedad Pitágorica no sólo es válida para los
cuadrados sino también para cualquier figura construida sobre los lados de un triángulo rectángulo. Basta solamente
con que las tres figuras sean semejantes entre sí, y que sus lados semejantes estén sobre los lados del triángulo
rectángulo.
El estudio de las propiedades de los números pitagóricos (ternas de números enteros que son las medidas de las
longitudes de los lados de triángulos rectángulos) ha ocupado la atención de matemáticos y aficionados. Desde la época
de Diofanto se sabe que existe una cantidad infinita de estas ternas, sin embargo en el suplemento dominical de el diario
El Comercio del 17 de noviembre de 1996, apareció una nota en la cual se afirmaba lo contrario.
La noticia da cuenta de un abogado peruano, aficionado a la matemática, que descubrió una simplificación del teorema
de Pitágoras, basta leer el facsímil que reproducimos aquí para que veamos dónde se encuentra el razonamiento errado
de este enigmático señor. Dos semanas después El Comercio publicó una de las decenas de cartas aclaratorias que se
enviaron a su redacción, las verdades matemáticas son contundentes, y el diario adjudicó la victoria a sus protestantes
lectores.
Las ternas pitagóricas tienen interesantes propiedades , veamos algunas de ellas. A partir de la conocida terna (3,4,5)
podemos obtener otras ternas, por ejemplo (6,8,10) (9,12,15) etc. basta sólo multiplicar cada número por una
constante, a aquellas ternas que no pueden ser obtenidas a partir de otras por la multiplicación por una constante se les
denomina ternas primitivas. En lenguaje matemático esto equivale a decir que los números que pertenecen a una terna
pitagórica primitiva son primos entre sí. Algunas de estas ternas son (3,4,5), (5,12,13) , ( 7,24,25) , existen dieciséis
ternas pitagóricas primitivas cuyos números son menores que cien; para comprobar esta afirmación debemos primero
hallar todas las soluciones enteras positivas de la ecuación c2= a2 + b2, veamos cómo conseguimos esto.
Ante todo debemos saber que uno de los números a o b debe ser par y el otro impar, supongamos sin pérdida de
generalidad, que a sea impar y b sea par.
A partir de c2= a2 + b2 obtendremos a2 = c2 – b2 = (c +b )(c-b)
Los factores (c + b) y (c - b) son primos entre sí . En efecto, si estos números tuvieran algún divisor común primo , a
excepción de la unidad, entonces también dividirá a su suma (c + b) + (c - b) = 2c , a su diferencia (c + b) – (c - b) = 2b,
y a su producto (c + b)(c + b) = a2 , es decir 2c, 2a y a2 tendrían un divisor común. Como a es impar este divisor no
puede ser 2, y por eso, los números a, b y c tendrían ese factor común, lo que sin embargo es imposible, pues hemos
supuesto que a, b, y c son primos entre sí. La contradicción obtenida nos lleva a la conclusión que c + b y c - b son
primos entre sí. Pero si el producto de dos números primos entre sí es un cuadrado, entonces, cada uno de ellos será un
cuadrado, es decir :
c + b = m2
c – b = n2
Al resolver este sistema hallamos
c
m2  n 2
m2  n 2
, b
2
2
a2 = (c + b)(c - b) = m2n2 , a =mn ,
De aquí que las ternas pitagóricas primitivas se obtienen de las ecuaciones:
m2  n 2
m2  n 2
a  mn , b 
, c
2
2
donde m y n son primos entre sí. Dando valores diversos a m y n podemos obtener todas las ternas primitivas que
deseemos, por ejemplo para m = 3 y n = 1 se halla la terna (3,4,5).
Anotaremos aquí dos propiedades de las ternas pitagóricas cuya demostración puede resultar un buen ejercicio.


Uno de los catetos debe ser múltiplo de tres
Uno de los números pitagóricos debe ser múltiplo de 5
Error de un pitagórico aficionado
Como hemos visto a los largo de este artículo numerosos matemáticos, políticos, periodistas, etc, se han visto atraídos
por este famoso teorema, existen también varios diseñadores de rompecabezas que han basado sus juegos en
disecciones usadas para la demostración del teorema, el profesor Hilario Fernández Long, de la Universidad de Buenos
Aires, ideó un rompecabezas pitagórico de tres piezas que permite una demostración visual del teorema, hasta ahora es
el rompecabezas pitagórico con el menor número de piezas. ¿Te atreverías a romper este record?
Pitagóras de Samos, tuvo el apoyo del tirano Milos, rey de Crotona , y fundó una secta de personas dedicadas al estudio
de la matemática, se les conoció como Los pitagóricos y gozaron de muchos privilegios. Vivieron en el secreto del
conocimiento, hoy en día existe una moderna versión de la secta de los Pitagóricos, La Pithagorean Internacional
Society, pero a diferencia de su predecesora se encarga de difundir los trabajos de matemáticos y aficionados de todo el
mundo, está abierta a todos los interesados en el estudio de los trabajos de Pitágoras y sus discípulos. Este grupo adoptó
como emblema de su sociedad la figura mostrada abajo. Es curioso saber que el radio de la circunferencia inscrita en
los dos triángulos es también un número entero ¿Podrías calcular su valor?
BIBLIOGRAFÍA
GARDNER, M. Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos, Cátedra, 1987,Madrid
SCOTT, E., The pithagorean proposition, NCTM, 1968, New York
BOLT, B., Actividades matemáticas, Labor , 1989, Barcelona
PONIACHIK J., Diversiones Pitagóricas, en Cacumen, Enero 1984, Zugarto Ediciones, Madrid
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