El Teorema de Pitágoras
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El Teorema de Pitágoras David Palomino Alva En su obra The World as Will and Idea el filósofo Arthur Schopenhauer, realiza un ataque contra el método de Euclides para la demostración de proposiciones. En particular, comenta con ironía la demostración de la proposición 47, que es el número con que aparece el teorema de Pitágoras en los Elementos. Schopenhauer plantea que es risible y compleja por demás la forma en que esta proposición es demostrada por Euclides, primero realizando construcciones y trazos que sólo enturbian el espíritu, luego se recorre una cadena deductiva de pasos y finalmente se llega por sorpresa a la demostración del teorema. Según Schopenhauer esta demostración es una autentica “ pieza de perversidad”. El filósofo continúa presentando la figura adjunta que, según él, posee belleza en si misma, y permite la demostración del teorema de una manera clara a cualquier persona que se digne admirarla. Como cualquier estudiante de bachillerato conoce, esta figura nos permite demostrar la proposición pitagórica en tan sólo un caso particular: cuando el triángulo rectángulo es isósceles y de ningún modo es general. El error de Schopenhauer es claro, no entiende exactamente lo que significa demostrar una proposición en matemática. Para probar rigurosamente esta proposición debería hacerlo para cualquier triángulo rectángulo y no sólo para uno de características particulares. La figura anterior se ha encontrado presente en diversas culturas, en grabados, en telares, y es probable que los babilonios hubieran conocido el teorema de Pitágoras aplicado al caso de triángulo rectángulo isósceles antes que Pitágoras. Realmente el mérito del matemático griego radica en haber generalizado esta proposición y haberla demostrado para cualquier triángulo rectángulo. Varios historiadores de la matemática coinciden en que Pitágoras pudo haberse servido de una disección para la demostración del teorema, las figuras muestran la posible demostración de Pitágoras. En la figura superior se puede plantear una equivalencia entre áreas de la siguiente forma: (a + b )2 = c2 + 4(ab/2) La figura inferior plantea otra equivalencia, a saber: (a + b)2 = a2 + b2 +4(ab/2) Igualando las dos expresiones obtenemos: c2 = a 2 + b 2 La proposición pitagórica ha llamado la atención de numerosos matemáticos y aficionados a lo largo del tiempo, convirtiéndose en un deporte intelectual crear una nueva prueba para esta proposición. Entre los aficionados podemos contar al presidente James A. Gardfield quien en la época de su descubrimiento era congresista republicano de Ohio. La demostración fue publicada por primera vez en un semanario de Boston llamado The New England Journal of Education, el 1 de abril de 1876. La prueba se basa en el área de un trapecio, y la mostramos en la figura superior de la página siguiente. Observando la construcción podemos afirmar que el área del trapecio es igual a la suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos que lo conforman : 2 a b ab c a b 2 2 2 2 a 2 b2 c2 La demostración algebraica más sencilla del problema se basa en la semejanza de triángulos; la mayoría de nosotros la conoce por ser frecuentemente utilizada en la escuela. La figura adjunta ilustra esta demostración. Usemos el hecho de que los triángulos ABC , CBX y ACX son semejantes . Entonces podemos plantear a c x a a 2 cx b c cx b b 2 c 2 cx Sustituyendo a2 por cx, obtenemos c2 = a2 +b2 que es lo que deseábamos demostrar. Existen numerosas demostraciones del teorema de Pitágoras, tal vez la obra mejor documentada sobre esto sea The Pithagorean Proposition del profesor Elisha Scott Loomis , allí se presentan 367 pruebas del teorema. De éstas presentaremos sólo tres más , la famosa disección de Perigal, una basada en la trigonometría y otra , utilizando álgebra vectorial. La disección de Perigal se basa en ilustración mostrada y prácticamente no necesita palabras, baste sólo señalar que los segmentos UV y XY deben ser paralelos a los lados del cuadrado que se construye sobre la hipotenusa. Si ahora disectamos el cuadrado ABDE en las cuatro piezas mostradas podemos componerlo con el cuadrado menor para formar un cuadrado de igual área al del cuadrado mayor. Te instamos a construir un modelo en cartulina de esta demostración, será una ayuda visual muy interesante. La demostración que sigue se basa en la Ley de Proyecciones. En el caso mostrado podemos escribir c= b. cos + a cos , usando la definición de cada función trigonométrica tenemos: c = b.b/c +a.a/c, de donde obtendremos nuevamente c2 = b2 +a2 b a c La última demostración que presentaremos, usa el hecho de que si dos vectores son perpendiculares su producto escalar será nulo. c b a Tenemos que c = a + b, entonces: c2 = c.c = (a + b).(a + b) = a.a + a.b +b.a +b.b , como a.b = b.a = 0 , por ser a b, obtenemos c2= a2 + b2. Cabe comentar aquí algo no muy conocido a nivel elemental, la propiedad Pitágorica no sólo es válida para los cuadrados sino también para cualquier figura construida sobre los lados de un triángulo rectángulo. Basta solamente con que las tres figuras sean semejantes entre sí, y que sus lados semejantes estén sobre los lados del triángulo rectángulo. El estudio de las propiedades de los números pitagóricos (ternas de números enteros que son las medidas de las longitudes de los lados de triángulos rectángulos) ha ocupado la atención de matemáticos y aficionados. Desde la época de Diofanto se sabe que existe una cantidad infinita de estas ternas, sin embargo en el suplemento dominical de el diario El Comercio del 17 de noviembre de 1996, apareció una nota en la cual se afirmaba lo contrario. La noticia da cuenta de un abogado peruano, aficionado a la matemática, que descubrió una simplificación del teorema de Pitágoras, basta leer el facsímil que reproducimos aquí para que veamos dónde se encuentra el razonamiento errado de este enigmático señor. Dos semanas después El Comercio publicó una de las decenas de cartas aclaratorias que se enviaron a su redacción, las verdades matemáticas son contundentes, y el diario adjudicó la victoria a sus protestantes lectores. Las ternas pitagóricas tienen interesantes propiedades , veamos algunas de ellas. A partir de la conocida terna (3,4,5) podemos obtener otras ternas, por ejemplo (6,8,10) (9,12,15) etc. basta sólo multiplicar cada número por una constante, a aquellas ternas que no pueden ser obtenidas a partir de otras por la multiplicación por una constante se les denomina ternas primitivas. En lenguaje matemático esto equivale a decir que los números que pertenecen a una terna pitagórica primitiva son primos entre sí. Algunas de estas ternas son (3,4,5), (5,12,13) , ( 7,24,25) , existen dieciséis ternas pitagóricas primitivas cuyos números son menores que cien; para comprobar esta afirmación debemos primero hallar todas las soluciones enteras positivas de la ecuación c2= a2 + b2, veamos cómo conseguimos esto. Ante todo debemos saber que uno de los números a o b debe ser par y el otro impar, supongamos sin pérdida de generalidad, que a sea impar y b sea par. A partir de c2= a2 + b2 obtendremos a2 = c2 – b2 = (c +b )(c-b) Los factores (c + b) y (c - b) son primos entre sí . En efecto, si estos números tuvieran algún divisor común primo , a excepción de la unidad, entonces también dividirá a su suma (c + b) + (c - b) = 2c , a su diferencia (c + b) – (c - b) = 2b, y a su producto (c + b)(c + b) = a2 , es decir 2c, 2a y a2 tendrían un divisor común. Como a es impar este divisor no puede ser 2, y por eso, los números a, b y c tendrían ese factor común, lo que sin embargo es imposible, pues hemos supuesto que a, b, y c son primos entre sí. La contradicción obtenida nos lleva a la conclusión que c + b y c - b son primos entre sí. Pero si el producto de dos números primos entre sí es un cuadrado, entonces, cada uno de ellos será un cuadrado, es decir : c + b = m2 c – b = n2 Al resolver este sistema hallamos c m2 n 2 m2 n 2 , b 2 2 a2 = (c + b)(c - b) = m2n2 , a =mn , De aquí que las ternas pitagóricas primitivas se obtienen de las ecuaciones: m2 n 2 m2 n 2 a mn , b , c 2 2 donde m y n son primos entre sí. Dando valores diversos a m y n podemos obtener todas las ternas primitivas que deseemos, por ejemplo para m = 3 y n = 1 se halla la terna (3,4,5). Anotaremos aquí dos propiedades de las ternas pitagóricas cuya demostración puede resultar un buen ejercicio. Uno de los catetos debe ser múltiplo de tres Uno de los números pitagóricos debe ser múltiplo de 5 Error de un pitagórico aficionado Como hemos visto a los largo de este artículo numerosos matemáticos, políticos, periodistas, etc, se han visto atraídos por este famoso teorema, existen también varios diseñadores de rompecabezas que han basado sus juegos en disecciones usadas para la demostración del teorema, el profesor Hilario Fernández Long, de la Universidad de Buenos Aires, ideó un rompecabezas pitagórico de tres piezas que permite una demostración visual del teorema, hasta ahora es el rompecabezas pitagórico con el menor número de piezas. ¿Te atreverías a romper este record? Pitagóras de Samos, tuvo el apoyo del tirano Milos, rey de Crotona , y fundó una secta de personas dedicadas al estudio de la matemática, se les conoció como Los pitagóricos y gozaron de muchos privilegios. Vivieron en el secreto del conocimiento, hoy en día existe una moderna versión de la secta de los Pitagóricos, La Pithagorean Internacional Society, pero a diferencia de su predecesora se encarga de difundir los trabajos de matemáticos y aficionados de todo el mundo, está abierta a todos los interesados en el estudio de los trabajos de Pitágoras y sus discípulos. Este grupo adoptó como emblema de su sociedad la figura mostrada abajo. Es curioso saber que el radio de la circunferencia inscrita en los dos triángulos es también un número entero ¿Podrías calcular su valor? BIBLIOGRAFÍA GARDNER, M. Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos, Cátedra, 1987,Madrid SCOTT, E., The pithagorean proposition, NCTM, 1968, New York BOLT, B., Actividades matemáticas, Labor , 1989, Barcelona PONIACHIK J., Diversiones Pitagóricas, en Cacumen, Enero 1984, Zugarto Ediciones, Madrid