RELACIÓN TRIGONOMETRÍA

I.E.S. Príncipe de Asturias. Lorca.
Departamento de Matemáticas
RELACIÓN TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
y
z
x
cos  
z
y
tg  
x
sen  
1
sen 
1
sec  
cos 
1
cotg  
tg 
cosec  
z
y

x
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS USUALES

0º
90º
180º
270º
360º
30º
60º
sen 
0
1
0
-1
0
1/2
3
cos 
1
0
-1
0
1
3
45º
2
1/2
2
2
2
2
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 90º - 
sen (90º - ) = cos 
cos (90º - ) = sen 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 90º + 
sen (90º + ) = cos 
cos (90º + ) = - sen 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 180º - 
sen (180º - ) = sen 
cos (180º - ) = - cos 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 180º + 
sen (180º + ) = - sen  cos (180º + ) = - cos 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 360º - 
sen (360º - ) = - sen 
cos (360º - ) = cos 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE - 
sen ( - ) = - sen 
cos ( - ) = cos 
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
sen 2   cos 2   1;
tg  
sen 
1
1
; 1  tg 2  
; 1  cot g2  
2
cos 
cos 
sen 2 
EJERCICIOS
1.- Simplifica la siguiente expresión: cos   sen  tg  .
Indicación: Debes sustituir tg  
2.- Simplifica:
sen 
1
y operando correctamente obtendrás
.
cos 
cos 
cos 
1  sen 
.

1  sen 
cos 
Indicación: El m.c.m. es 1  sen    cos  y operando correctamente te saldrá al final una fracción
que lleva en el numerador 1 – 1, luego el resultado es 0.
3.- Sabiendo que sen  
2
, y que  es un ángulo del primer cuadrante halla el resto de las razones trigonométricas.
3
1
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Indicación: utiliza la fórmula sen2   cos2   1 en primer lugar para hallar el coseno y a partir de
ahí obtienes el resto, que te saldrá: cos  
4.- Sabiendo que cos  
Indicación:
sen  
3
, tg  
2 5
5
, sec  
3 5
5
, cos ec  
3
2
5
, cot g  
2
.
3
, y que  es un ángulo del primer cuadrante halla el resto de las razones trigonométricas .
4
Indicación: solución: sen  
5.- Sabiendo que tg  
5
7
4
, tg  
7
3
, sec  
4
3
, cos ec  
4 7
7
, cot g  
3 7
7
.
5
, y que  es un ángulo del primer cuadrante halla el resto de las razones trigonométricas .
4
Debes
partir
de
la
1  tg2  
fórmula
1
cos 
2
.
solución:
cos  
4 41
,
41
5 41
41
41
4
, sec  
, cos ec  
, co tg   .
4
5
5
41
6.- Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos, B = 37º,
y su hipotenusa, a = 5’2 m.
Indicación: Como es un triángulo rectángulo el ángulo A = 90º, luego B + C = 90º  C = 53º.
El dibujo del triángulo será:
C
a= 5’2 m
b
B
A
c
Utilizando sen B, cos B, sen C o cos C, obtendrás que b = 3’13 m y c = 4’15 m.
7.- Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos B = 29º,
y el cateto opuesto, b = 4’5 m. Solución: C = 61º, a = 9’29 m, c = 8’12 m.
8.- Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: la hipotenusa, a = 5’7m, y un
cateto, b = 4’6m.
Indicación: Debes aplicar cos C 
b 4'6

 0'807, luego C  36º11'40" . B = 53º48’19”. c = 3’37m.
a 5'7
9.- Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: los dos catetos, b = 3’5m y
c = 2’8m.
Indicación: Debes partir de tgB 
b
.
c
Solución: B = 51º20’24”, a = 4’48m, C = 38º39’35”.
10.- Las bases de un trapecio isósceles miden 7 y 4 metros; su altura mide 5 metros. Halla los ángulos del
trapecio.
Este trocito mide1’5 m.
Indicación:
Aplicando tg A 
7m
5
, hallas A y como 2A + 2B = 360º,
1'5
te debe salir: A = 73º18’27” y B = 106º41’.
A
A
5m
B
4m
2
B
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11.- De un triángulo acutángulo, ABC, se conocen dos ángulos, B = 47º y C = 64º, y la altura
correspondiente al tercer vértice, h = AA ' = 2 m. Halla los lados a, b y c del triángulo.
Indicación: Dibuja un triángulo cualquiera con los ángulos agudos, ponle nombre a los vértices y a
los lados. Llámale al vértice de arriba A y traza la altura AA ' . Fíjate que el triángulo que se forma AA’B es
rectángulo y aplica que sen B = h/c y de ahí calculas c. Después fíjate en que tg B = h/BA’.
AA’C es también un triángulo rectángulo, luego sen C = h/b y de ahí calculas b y observa que tg C
= h/CA’. Solución: c = 2’73 m, b = 2’23m y a = 2’ 84m.
12.- Desde un punto A del suelo se observa una torre, PQ, y se la ve bajo un ángulo  = 31º. Se avanza 40
m. en dirección a la torre, se mira y se la ve, ahora, bajo un ángulo  = 58º. Halla la altura h de la torre y la
distancia de A al pie, Q, de la torre.
P
Indicación: Mirando el triángulo AQP aplica tg 
Mirando el triángulo BQP aplica tg . Obtienes así un sistema
y resolviéndolo obtendrás BQ = 24 m y h = 38’4m.
Finalmente AQ = 64 m.
h


A
d
Q
B
13.- Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:
a)
cos 
2 cos2   sen2   1
1
1
sen   tg   cos 
2
 sen  ; b)
; c) tg   cot g 
; d)

2
2
tg 
cos 
cos 
sen  cos 
2
2
 sen2   cos2  
1
 sen  cos  
 
= 

  
2

cos   sen2 
 cos  sen  
 cos   sen  
Soluciones: a)
1
; b) 3 cos ; c ) 0; d) 2 tg 
sen 
14.- Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: uno de sus ángulos,
B = 51º, y el cateto contiguo, c = 7’3m.
Solución: C = 39º, b = 9’01m, a = 11’60m.
15.- Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: la hipotenusa, a = 4’6m, y
un cateto, c = 3’1m.
Solución: b = 3’40m, B = 47º37’24”, C = 42º22’35”.
16.- De un rombo ABCD se conocen la diagonal AC = 4m. y el lado AB = 5m. Halla los ángulos del rombo
y su otra diagonal.
Solución: 132º48’, 47º12’, 9’2m.
17.- Desde un cierto punto del terreno se mira a lo alto de una montaña y la visual forma un ángulo de 50º
con el suelo. Al alejarse 200 m de la montaña, la visual forma 35º con el suelo. Halla la altura, h, de la
montaña.
Solución: 339’6 m.
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RELACIÓN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES
 rad = 180º.
SIGNO DE SENO Y COSENO EN LOS CUADRANTES
+
-
+
+
-
+
18.- Indica el cuadrante al que pertenece cada uno de los siguientes ángulos y expresa en grados los que
están dados en radianes y viceversa. a)
27
 rad, b) 2’5 rad, c) 425º, d) – 77º30’
8
Indicación: Para ver en qué cuadrantes están pasa los dos primeros ángulos a grados
sexagesimales, haciendo una regla de tres. a) 247º30’, b) 143º14’. Para ver en qué cuadrante está 425º,
divídelo por 360º y estará en el mismo cuadrante que el resto que es: 65º. Luego a) 3º, b) 2º, c) 1º, d) 4º.
Para pasar c) y d) a radianes utiliza otra vez la regla de tres y obtendrás c)
85
rad, d) –1’35 rad.
36
19.- Halla el cuadrante al que pertenece cada uno de los siguientes ángulos: a) 2.576º, b) –2.265º,
40 rad, d) – 57rad.
c)
Solución: a) Equivale a 56º, luego 1º; b) Equivale a – 105º, luego 3º; c) Equivale
a 131º49’, luego 2º, d) Equivale a – 25º51’33”, luego 4º.
20.- Sabiendo que  es un ángulo del 1º cuadrante cuyo coseno vale 7/25, halla los valores exactos del
seno y coseno del ángulo a/2.
Solución: sen
a 3
a 4
 , cos 
2 5
2 5
TEOREMA DEL SENO
a
b
c


sen A sen B sen C
TEOREMA DEL COSENO
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
21.- De un triángulo se conocen los ángulos B = 120º y C = 30º y el lado a = 3 m., resuelve el triángulo.
Indicación: Empieza calculando A = 30º y después aplica el teorema del seno dos veces y obtendrás:
b = 3 3 m. y c = 3 m.
22.- Resuelve un triángulo del que se conocen a = 4’7 m., b = 2’2m. y C = 54º.
Indicación: Aplicando el teorema del coseno obtienes que c = 14’77m. Aplicando ahora el teorema del
coseno para cos A se obtiene que A = 98º26’24” y como A + B + C = 180º tenemos que B = 27º33’36”.
23.- Resuelve el triángulo del que se conocen: A = 40º, b = 5m, a = 2m.
Indicación:
Aplicamos teorema del seno:
2
5
5 sen 40º

 senB 
 1'61 que este
sen 40º senB
2
triángulo no tiene solución, ya que el seno no puede ser mayor que 1.
24.- Resuelve el triángulo del que se conocen: A = 40º, b = 5m, a = 4m.
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53 º27 '50 "
Indicación: Empieza como en el anterior, pero este sí tiene solución: B = 
126 º32 '9"
Sí B = 53º27’50”  C = 86º32’10” 
Sí B = 126º32’29”  C = 13º27’31” 
si
B  1º cuadr ante
si
B  2º cuadrante
4
c

 c  6'21m
sen 40º sen 86º32'10"
4
c

 c  1'45m
sen 40º sen13º27'31"
25.- Resuelve el triángulo del que se conocen a = 7m, b = 9m y c = 3m.
Indicación: Aplica tres veces el teorema del coseno y obtienes: A = 40º36’, B = 123º12’, C = 16º12’
26.- Una persona observa un globo desde dos posiciones distintas situadas en un mismo plano vertical que
pasa por el globo. Dichas posiciones distan entre sí 0’9 km. Las visuales, del observador al globo, forman
20º y 30º con la horizontal. Halla la altura del globo. Solución: 201m.
27.- Dos lados de un paralelogramo miden 2 y 3m y forman un ángulo de 50º. Halla las longitudes de las
diagonales del paralelogramo.
Indicación: Dibuja un paralelogramo de lados 2 y 3 m y el ángulo entre ellos de 50º. El ángulo opuesto
debe medir 130º. Aplica a las dos diagonales el teorema del coseno y obtendrás: 2’30m y 4’55m
sen a  cot ga cos a  tg a

sec a
cos eca
28.- Simplifica:
Solución: 1
cos   cos 3 
sen   sen 3 
29.- Simplifica:
Solución: tg
sen 3 x  sen x
 tg x
cos x  cos 3 x
30.- Simplifica:
Solución: -1
31.- Simplifica: (sen x + cos x)2 - tg x cotg x
Solución: 2 sen x cos x
1
 cos x  tg2 x  cos x
cos x
32.- Simplifica:
Solución: 0
33.- Simplifica:
(1  cos x)(1  cos x)
sen x
Solución: sen x
34.- Simplifica:
Solución:
35.- Simplifica:
sen x
1 cos x
 1 cos x
cos4 a(1 sen a)
(1 sen2 a)2
36.- Simplifica:
Solución: 1+ sen a
sen4 a  sen2 a cos 2 a
 cot ga
cos 4 a  cos 2 a sen2 a
Solución: -tg a
5