Olimpiada matemática.

Olimpiada
matemática.
Apuntes de la olimpiada matemática
Índice:
-
Carta de invitación, 3 .
Números, 5.
Teorema de Cárdano-Viète, 6.
Medias, 7.
Trigonometría, 8.
Geometría, 9.
 Triángulos, 9.
 Puntos importantes, 9.
 Teoremas, 11.
- Varios, 13.
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Apuntes de la olimpiada matemática
CONVOCATORIA DE LA XLVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA
Pamplona, 29 de octubre de 2009
Estimados colegas:
Al igual que en años anteriores, algunos profesores del Departamento de Matemáticas
de la Universidad Pública de Navarra nos estamos encargando de organizar la 1ª Fase de la
Olimpiada Matemática Española para alumnos de Bachillerato de Navarra.
Los participantes, por el hecho de serlo, aceptan las normas que regulan la Olimpiada
Matemática, que se pueden consultar en http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimconv.htm y
que se resumen en lo siguiente:
Para participar en la 1ª Fase (Distrito de Navarra) hay que ser alumno de Bachillerato en
Navarra (excepcionalmente, podría participar algún alumno de E.S.O. que sea especialmente
brillante) y basta con presentarse con el D.N.I. en el Aula 09 del Aulario de la Universidad
Pública de Navarra el viernes 15 de enero de 2010 a las 9h 30m.
En ese momento se rellenará una hoja de inscripción.
Se propondrán varios problemas de matemáticas o de ingenio, para ser realizados en
dos sesiones (mañana y tarde), cuyas respuestas serán evaluadas por la organización.
Durante la prueba no se permite usar calculadora. Sí se pueden usar útiles de dibujo, como
regla y compás. Las decisiones del tribunal serán inapelables.
Los tres primeros clasificados obtienen un premio en metálico que otorga la
Subdirección General de Becas y Promoción Educativa del Ministerio de Educación y Ciencia
(380 euros, 285 euros y 220 euros, respectivamente) y obsequios del Depto. de Matemáticas
de la Universidad Pública de Navarra y del Gobierno de Navarra. Además, esos tres primeros
clasificados adquieren el derecho a participar en la Fase Nacional de la Olimpiada, que se
celebrará en Valladolid entre el 25 y el 28 de marzo de 2010. Los gastos de alojamiento y
manutención de la Fase Nacional corren por cuenta de la organización; los viajes, los organiza
(y paga si es posible) el Departamento de Matemáticas de la Universidad Pública de Navarra.
Los primeros clasificados de la Fase Nacional reciben nuevos premios y forman parte
del Equipo Olímpico de España, que participará en al 51ª Olimpiada Matemática Internacional,
que se celebrará en Astana (Kazasjstan) en el mes de julio de 2010. También tienen opción a
formar parte de la representación española en la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas,
que se celebrará en Paraguay en septiembre de 2010.
En la última edición de la Fase Nacional de la Olimpiada, los tres representantes
navarros obtuvieron sendas medallas de oro, plata y bronce. Además, Ander Lamaison, el
medalla de oro, ha conseguido medalla de bronce en la Olimpiada Internacional y también en la
Iberoamericana.
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Apuntes de la olimpiada matemática
Los profesores que preparen a sus alumnos para participar en la Olimpiada, pueden
obtener una certificación de Actividades de Innovación, según establece una Resolución de la
Secretaría de Estado de Educación (B.O.E. 02-12-95).
Yo puedo facilitar a los interesados material para esos entrenamientos. Podéis contactar
conmigo en el tfno. 948-169541. También podéis encontrar información en Internet; por
ejemplo en http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimmain.htm .
En cualquier caso, esperamos a los alumnos representantes de vuestro centro (a
quienes puede acompañar un profesor, si lo creéis oportuno) el próximo día 15 de enero,
viernes. Cada centro puede enviar cuantos alumnos desee, aunque se recomienda que no
sean más de 3 ó 4 por aula.
Un cordial saludo,
Gustavo Ochoa
Depto. de Matemáticas
Universidad Pública de Navarra
Los estudiantes de Bachillerato (o, incluso, de 4º de la ESO) que estén interesados, pueden
recibir sesiones de preparación para la Olimpiada. Consistirán, fundamentalmente, en analizar
la forma de resolver problemas del tipo de los que suelen aparecer en la 1ª Fase y en la Fase
Nacional. Por favor, animad a vuestros estudiantes para que acudan.
El encargado de impartir esas sesiones de preparación es Daniel Lasaosa. Para participar, es
suficiente con acudir, los sábados 14 de noviembre, 12 y 19 de diciembre, a las 10h 30m al
aula 05 del Aulario de la Universidad Pública de Navarra. También pueden contactar con
Daniel a través de su correo electrónico: [email protected].
Daniel Lasaosa fue medalla de oro en la Fase Nacional de la XXVII Olimpiada Matemática
Española. Es colaborador habitual en las tareas de organización y corrección de exámenes en
la Fase Nacional de la Olimpiada. Y también lo fue en la última Olimpiada Internacional.
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Apuntes de la olimpiada matemática
Números
Números naturales ( ):
Los números naturales son los reales que son enteros positivos. Se denota el conjunto de los números
naturales por N, así que:
N = { x | x = número entero positivo} = { 1, 2, 3, 4, ..... }.
Números enteros (
Los enteros son los números reales : Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
Números racionales ( ):
Los racionales son los números reales que se pueden expresar como razón de dos enteros. Se denota el
conjunto de los números racionales por Q, así que :
Q = {x | x = p/q, donde p pertenece a Z, q pertenece a Z
Números irracionales (
):
Los irracionales son los números reales que no son racionales, esto es, el conjunto de los números
irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales Q en los números reales R; por eso se
denotan los números irracionales por Ejemplo :
, π.
Números reales
:
Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos representar por puntos de una
línea recta, la recta de los números reales.
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Apuntes de la olimpiada matemática
Teorema de Cárdano-Viète
Este teorema sirve para resolver ecuaciones de n-incógnitas:
Sea la ecuación:
.
Siendo
las incógnitas y
Si
los coeficientes de las incógnitas..
son las soluciones de la ecuación entonces se cumplen las siguientes
ecuaciones:
........
Ej: resuelve la siguiente ecuación:
Entonces:
;
;
Aplicando el teorema tendremos las siguientes ecuaciones:
Resolvemos las ecuaciones y nos dan las soluciones de la ecuación:
;
6
;
Apuntes de la olimpiada matemática
Medias
Teniendo n-elementos tales que:
 M. Aritmética (A):
se presentan las siguientes medias:
.
 M. Geométrica (G):
 M. Armónica (H):
.
.
 M. Cuadrática (Q):
Teorema: Si
. Si se dan cualquiera de las igualdades, por
ejemplo A = G, entonces se dan todas : Q = A = G = H y
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.
Apuntes de la olimpiada matemática
Trigonometría
tg  =
sen 

cos 
sen 
Sen +
Cos -
cos
1
cotg  =
Tg
Sen +
Cos +
Sen - Sen Cos - Cos +
1
sec  =
cos 
1
cosec  =
sen 
cos
tg
0º
0
1
0
30º
12
3 2
45º
2 2
2 2
1 3
60º
Radianes 90º
Grados 1
Grados  Radianes
Radianes =
sen
grados.2 
360 º
Grados =
0
360º .radianes
2
Ángulos complementarios: El coseno de un ángulo es igual seno del complementario.
(90º -  )
El seno de un ángulo es igual coseno del complementario.
Ángulos suplementarios: El coseno de un ángulo es igual a -coseno del complementario.
(180º -  )
El seno de un ángulo es igual seno del complementario.
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
1
sen
2
 + cos  = 1
2
cos (2  ) = cos 2
3
 - sen
sen (2  ) = 2 sen  . cos 
2
2

Tg 2 x  1 
4
1
Cos 2 x
TRIÁNGULOS RECTANGULOS:
a
h
C
b
c
a cos C + c cos A = b
A
Área =
8
a sen C = c sen A = h
b.c
2

b.a.senC
2

b.c.senA
2

1
2
b.(a.senC) 
1
2
b.(c.senA)
1
Apuntes de la olimpiada matemática
GEOMETRÍA
Triángulos:
Tipos:
Según los lados:
 Equilátero: tres lados iguales.
 Isósceles: tiene dos lados iguales.
 Escaleno: los tres lados desiguales.
Según los ángulos:
 Acutángulo: tres ángulos son agudos.
 Obtusángulo: un ángulo obtuso.
 Rectángulo: un ángulo recto.
Puntos importantes:
 Incentro: Punto donde se cortan las bisectrices de sus ángulos.
Este punto es equidistante a los tres lados y por tanto el centro
de la circunferencia inscrita en el triángulo tangente a los lados.
Mueve los vértices del triángulo ¿De qué lado del triángulo estará más
cerca el punto D? ¿Por qué?
 Circuncentro: lugar donde se cortan las mediatrices de sus
lados. Este punto es equidistante de los vértices y por tanto
centro de una circunferencia que pasa por los vértices.
Mueve los vértices del triángulo y observa:
1) ¿De qué vértice del triángulo estará más cerca el punto D?
¿Por qué?
2) Pulsa de nuevo el botón de la figura, vuelve a modificar los
vértices del triángulo y describe lo que ocurre.
- ¿De qué depende que el circuncentro de un triángulo esté
en su interior o no?
- ¿De qué lado del triángulo estará más cerca el punto D?
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Apuntes de la olimpiada matemática
 Baricentro: Punto donde se cortan las medianas del Triángulo.
Medianas: unen un vértice con el punto medio del lado contrario.
Este punto tiene la propiedad de ser el centro de gravedad del
triángulo.
Mueve los vértices del triángulo y observa:
1) ¿Qué cumplen las dos rectas que determinan el punto Ba?
2) Pulsa de nuevo el botón de la figura, fíjate en las longitudes
de los segmentos ABa y BaF, vuelve a modificar los vértices
del triángulo y describe lo que ocurre. ¿Qué relación existe
entre esas dos longitudes?
3) Vuelve a pulsar el botón ¿De qué modo divide el baricentro
de un triángulo a cada una de sus medianas?
 Ortocentro: Punto donde se cortan las alturas del triángulo.
1) Mueve los vértices del triángulo y observa:
-¿Qué cumple el segmento verde (altura sobre el lado AB
del triángulo)?
- ¿Qué condición debe cumplir el triángulo para que la
altura sobre AB caiga fuera de dicho segmento?
- ¿Y para que caiga justo sobre su punto medio?
-¿Y para que la altura sea vertical?
2) Ahora investiga:
3) ¿De qué depende que el ortocentro de un triángulo esté en
su interior o no?
4) ¿Dónde se sitúa el ortocentro de un triángulo rectángulo?
¿Por qué?
5) ¿De qué vértice del triángulo estará más cerca su
ortocentro?
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Apuntes de la olimpiada matemática
TEOREMAS
A
c
Siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
b
B
a
R
C
 Teorema del seno:
 Teorema del coseno:
.

.
 Si
entonces
.
Recta de Euler: Recta que pasa por Tres puntos importantes: Circuncentro, baricentro y
ortocentro.
Mueve los vértices del triángulo y observa la posición de sus cuatro puntos notables
(Circuncentro, Incentro, Baricentro y Ortocentro):
¿Qué se puede decir de esa posición para cualquier triángulo obtusángulo? ¿y si el triángulo es
acutángulo?
¿Dónde se sitúan los centros de un triángulo rectángulo?
¿Y si el triángulo es isósceles?
¿Cómo ha de ser el triángulo para que sus cuatro centros coincidan?
Fíjate que tres de los cuatro centros siempre están alineados. ¿Cuáles? (Visualiza la Recta de
Euler para comprobarlo)
Teorema de Stewart:
A
b
c
y
x
D
a
El Teorema nos sirve para saber las longitudes de las Cevianas.
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Apuntes de la olimpiada matemática
Teorema de Ceva:
F
E
B
C
D
Este teorema se utiliza para ver si tres puntos están alineados.
Potencia:
B
α
El triángulo PDC es semejante al PBA.
A β
C
β
D
α
P
por lo tanto
P
A
R
D
O
d
D
Si
A
puedo dibujar
una circunferencia que pase por A,B,C y D
P
B
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C
Apuntes de la olimpiada matemática
Varios
Serie geométrica: Si
entonces
Ej:
.
Factorial:
Una excepción: 0! = 1.
Ej: 6!=720
Por ejemplo:
El b. de Newton:
siendo
Principio del palomar de Dirichlet:
Si se quiere meter 21 palomas en 20 palomares no quedará más remedio que meter una
en 19 palomares y en el 20 dos palomas.
Teorema de Couchy:
Según el producto vectorial si se tiene 2 vectores de dimensión n:
=
y
=
Entonces:
Ya que
Si se produce la igualdad quiere decir que el ángulo entre los vectores es cero y son paralelos.
Analíticamente hablando serán proporcionales, por lo tanto podemos escribir:
Siendo
,
Funciones: Funciones 1 Funciones 2
2) Observa cómo se modifican las funciones dependiendo de sus constantes característica.
1) Compara los distintos tipos de funciones.
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