4º B ESO Matemáticas:Tema 6 Semejanza(teoría)

TEMA 6. SEMEJANZA
6.1 FIGURAS SEMEJANTES
Dos figuras que tienen la misma forma se llaman semejantes, aunque pueden tener distintas
dimensiones.
Los elementos (puntos, lados, ángulos…) que se corresponden en una semejanza se dice que
son los elementos homólogos.
Dos figuras semejantes tienen los lados correspondientes proporcionales y los ángulos
correspondientes iguales.
En dos figuras semejantes el cociente entre las medidas de dos lados homólogos se llama
razón de semejanza (r ó k).
Dadas las siguientes figuras que son semejantes:
c
a
a’
1
c’
b’
b
2
Distinguimos la figura 1 y la 2. En el numerador se ponen los elementos de la misma figura y
en el denominador se ponen los elementos de la otra figura.
Formamos la proporción:
a b c
  k
a ' b' c '
 Comprueba que las siguientes figuras son semejantes e indica la razón de
proporcionalidad.
b=8
1
2
b=4
a=10
a’=5
 Sabiendo que son semejantes, con k=3, calcula las dimensiones que faltan.
a
1
a’=4
2
b’
b=21
6.2 MEDIDA DE FIGURAS SEMEJANTES
Dadas dos figuras semejantes no sólo podemos hacer proporciones con los lados, sino que sus
perímetros correspondientes serán proporcionales y el área y volumen también estarán
relacionados de la siguiente manera:
P1
k
P2
A1
 k2
A2
V1
 k3
V2
 Dado el triángulo de la figura, calcula las dimensiones de otro semejante a él cuyo
perímetro sea de 26 cm.
a=10
b=18
1
c=24
a’
b’
2
c’
IMPORTANTE: En un mismo ejercicio no cambiar el orden de las operaciones, es decir, si
Datosdela prim era figura
empezamos
TODAS las proporciones tienen que hacerse de la
Datosdela segundafigura
misma forma.
 Sabiendo que la relación entre los volúmenes de dos ortoedros es 27, calcula las
dimensiones de la segunda figura sabiendo que la primera es:
c=3
c’
1
2
b=6
a=9
b’
a’
6.3 TEOREMA DE THALES
Dadas dos rectas secantes, si son cortadas por dos o más rectas paralelas, los segmentos
correspondientes que determinan sobre las rectas secantes son proporcionales.
Para relacionarlo con proporcionalidad lo ponemos:
r
:
r'
AB
BC
AC


A' B' B' C ' A' C '
También puede ponerse:
A' B' AB A' B' AB



B' C ' BC A' C ' AC
 Calcula los segmentos que faltan
r
r’
4
x
8
12
y
9
 Calcula los segmentos que faltan
r
x
r’
12
15
y
12
8
z
TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES
Una aplicación del Teorema de Thales la encontramos en los triángulos.
Dado un triángulo, si trazamos una línea paralela a uno de los lados, obtenemos un triángulo
semejante al primero y de menor tamaño. ( En esta figura se puede aplicar Thales o bien
proporcionalidad)

En el siguiente triángulo se ha trazado un segmento MN paralelo al lado mayor, de
modo que NB mide 6 cm. ¿Cuánto miden los lados del triángulo
MN?
A
N
12
9
M
6
B
C
18
6.4 CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Hay tres criterios de semejanza para triángulos:
Primer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
(El tercero siempre será igual ya que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º)
 ¿Son semejantes los siguientes triángulos?
Cˆ '  35º
Ĉ
1
2
 =90º
B̂ =56º
B̂'
Â' =90
º
Segundo criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

¿Son semejantes los siguientes triángulos?
b=6
c=8
c’ = 20
b’ = 15
1
2
a = 10
a’ = 25
Tercer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos es igual.
 Determina si son semejantes los siguientes triángulos
Triángulo 1: a=15, b=24 y Cˆ  40º
Triángulo 2: a’=10, b’=16 y Cˆ '  40º
Podemos dibujar los triángulos si queremos, aunque no es necesario.
a = 15
a’ = 10
1
2
Cˆ '  40º
Cˆ  40º
b = 24
b’ = 16
6. 5 ESCALAS
La razón de semejanza que se utiliza en la representación mediante modelos, planos o mapas de
magnitudes reales es la escala.
Para calcular la escala se divide una longitud medida en el modelo, plano o mapa, entre la
 PLANO 
longitud correspondiente a la realidad 

 REALIDAD
 En el plano de un parque se utiliza la escala 1:1000.
Sabiendo que un estanque rectangular mide en el plano 3cm y 7cm respectivamente, ¿cuánto
mide en la realidad?
6.6 TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos
a
b
a2 = b2 + c2
c
6.7 TEOREMA DE LA ALTURA
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones de
los catetos
h2 = m· n
c
b
h
m
a: hipotenusa
b, c: catetos
h: altura
m, n: proyecciones
n
a
 Dado el siguiente triángulo rectángulo, calcula el valor de los catetos
c
b
m = 6’4
n= 3’6
6.8 TEOREMA DEL CATETO
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa del
triángulo por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa
b2 = a· m
c2 = a· n
a: hipotenusa
b, c: catetos
h: altura
m, n: proyecciones
c
b
h
m
n
a
 En un triángulo rectángulo, las proyecciones m y n de los catetos sobre la hipotenusa
miden 12’8 y 7’2 cm respectivamente. Calcula la medida de los lados del triángulo
b
c
m = 12’8
n = 7’2
a
 En un triángulo rectángulo de 7 cm de altura sobre la hipotenusa se cumple que m =
con m y n proyecciones de los catetos. Calcula las proyecciones
c
b
h=7
m=
n
4
n
n
,
4