TRIGONOMETRÍA  Razones Trigonométricas Consideremos el siguiente triángulo rectángulo:

TRIGONOMETRÍA
Razones Trigonométricas

 Consideremos el siguiente triángulo rectángulo:
A

B
C
Convenimos en llamar a B “cateto opuesto al ángulo ” y a C “cateto adyacente al
ángulo ”
c”
 Dados los siguientes triángulos rectángulos: c’
c
a

b
a’
b´

a”
b”

a) Observa que en todos ellos  tiene la misma medida.
b) Toma la medida de cada uno de los lados de los triángulos (trabaja en la forma más
exacta posible):
ab=
a’b’=
a”b”=
bc=
b’c’=
b”c”=
ac=
a’c’=
a”c”=
c) Completa la siguiente tabla calculando las divisiones indicadas
abc
a’b’c’
a”b”c"
medidac atetoopues toa β
medidahipotenus a
medidac atetoadyac entea β
medidahipotenus a
medidac atetoopues toa β
medidac atetoadyac entea β
medidahipotenus a
medidac ateto opues toa β
medidahipotenus a
medidac atetoadyac entea β
medidac atetoadyac entea β
medidac atetoopues toa β
1
Observa que las cocientes son los mismos para cada razón planteada y no
dependen del tamaño del triángulo, sólo del ángulo considerado. Las razones
planteadas reciben el nombre de “razones trigonométricas” y cada una de ellas
tiene un nombre particular.
Definimos entonces:
 seno de  = sen  =
medidacateto opuesto a β
medidahipotenusa
 coseno de  = cos  =
 tangente de  = tg  =
medidacateto adyacentea β
medidahipotenusa
medidacateto opuesto a β
medidacateto adyacentea β
 cosecante de  = cosec  =
 secante de  = sec  =
medidahipotenusa
medidacateto opuesto a β
medidahipotenusa
medidacateto adyacentea β
 cotangente de  = ctg  =
medidacateto adyacentea β
medidacateto opuesto a β
1) Teniendo en cuenta la figura, completa la tabla:


sen
cos
M
tg
cosec


P
Q
sec
ctg
2) Sabiendo que el triángulo abc es rectángulo en a, ab=3cm y ac=4cm :
a) Calcula la medida de bc.
2
b) Representa gráficamente al abc.
c) Confecciona una tabla similar a la del ejercicio Nº 1 y complétala con los valores
de las razones trigonométricas de b y c.
3) Utilizando la calculadora, calcula y completa:
a) sen 23º=
b) cos 41º=
c) tg 54º=
d) sen 76º 12’=
e) tg 11º 8’ =
f) cos 66º 9’=
g) sen 12º 22’ 39”=
h) cos 10º 5”=
i) tg 45º 45’ 12”=
4) En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos calcula x e y.
a)
d)
23cm
x
9cm
x
45º
30º
y
y
b)
e)
x
y
15cm
x
37º
c)
20º 35
y
100cm
x
f)
28º 40’
12cm
y
y
45cm
15º
x
Rtas: a) x = 11,5cm
b) x = 24,92cm
c) x = 21,95cm
d) x = y = 6,36cm
e) x = 37,55cm
f) x = 43,47cm
y = 19,92cm
y = 19,91cm
y = 25,01cm
y = 106,82cm
y = 11,65cm
3
5) Indica cuál es el ángulo que se indica en cada caso:
a) sen  = 0,9063  =
b) cos  = 0,6225 
c) tg  = 1  =
d) sen  = 0,5432 
=
=
e) tg  = 23,6787   =
f) cos  = 0,866   =
6) Calcula la medida del ángulo indicado en cada caso:
a)
c)

5cm

12cm

8cm
20cm
b)
30cm

d)
50cm
24cm
18cm

Rtas: a)  = 65º 22’ 32”
b)  = 53º 7’ 48”
c)  = 68º 11’ 55”
d)  = 48º 35’ 25”
7) En el triángulo abc, los catetos ab y bc miden, respectivamente, 12cm y 5cm.
Calcula la medida de los ángulos interiores y el perímetro del triángulo.


R ta s: a  22º 37'12"
b  90º

c  67º 22' 48"
pe r a bc  30cm
8) En un triángulo mpq, rectángulo en m, el cateto mp mide 8cm y la hipotenusa mide
10cm. Calcula la medida de los dos ángulos agudos.


R ta: p  36º52'12"
q  53º 7' 48"
9) La diagonal de un rectángulo de 8cm de altura mide 16cm. Calcula el ángulo que la
diagonal forma con la base.
Rta: 30º
10) Calcula la medida de los ángulos y la superficie de un triángulo isósceles cuya base
mide 12cm y los lados iguales 10cm cada uno.
4
Rta: 53º 7’ 48”, 53º 7’ 48”, 73º 44’ 24”
48cm2
11) En cada uno de los siguientes apartados, calcula x e y
a)
c)
108º
y
16cm
x
30cm
18º 30’
x
b)
y
d)
45º
y
x
70°
25cm
x
y
7,5cm
6cm
Rtas: a) x = 4,94cm
b) x = 2,73cm
c) x = 94,55cm
d) x=18,33cm
11cm
y
y
y
y
=
=
=
=
15,22cm
4,77cm
89,67cm
47°9’23”
12) Recuerda que la altura de un triángulo isósceles es perpendicular a la base y la
divide en dos partes iguales. Teniendo en cuenta esto, calcula el perímetro de un
triángulo isósceles en el que los lados y ángulos congruentes miden 25cm y 40º
respectivamente.
Rta: 88,30cm
13) La figura representa un poste de 3m de altura que está sostenido
por un alambre de 4,5m. Calcula la medida del ángulo que el
alambre forma con el poste.
Rta: 48º 11’ 23”
14) Se desea construir una rampa que permita el acceso de las sillas de rueda a un
auditorio que está a 1m sobre el nivel de la calle. Si el espacio del que se dispone
para construir la rampa es de 5m, ¿qué ángulo va a formar con el plano de la calle?
¿Cuál será la longitud de la rampa?
L
1m
5m
Rta: 11º 18’ 36” ; 5,10m
5
15) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4 sen x – 2 = 0
3 tg x + 5 = 8
–cos x + 1,25 = 1
4 sen x – 2,4 = 2 senx – 1,6
0,4 tg x – ( -tg x + 1,5 ) = 2 – 5 tg x
0,24 ( 1 – cos x ) + cos x = 2
Rta: a) 30º
b) 45º
c) 75º 31’ 21”
d) 23º 34’ 41”
e) 28º 40’ 23”
f)  x
16) Calcula las cinco razones trigonométricas que faltan en cada apartado:
a) sen x = 0,6
b) cos x =
5
13
c) tg x = 0,75
5
d) sec x =
3
149
e) cosec x =
140
7
f) ctg x =
24
9
g) cos x =
41
8
h) sen x =
17
Rtas: a) cosx= 0,8
12
b) senx=
13
3
c) senx=
5
4
d) senx=
5
140
e) senx=
149
24
f) senx=
25
40
g) senx=
41
15
h) cosx=
17


tgx=0,75 cosecx= 1,6 secx=1,25 ctgx= 1,3
12
13
5
5
tgx=
cosecx=
secx=
ctgx=
5
12
12
4
4
5
5
4
cosx=
cosecx=
secx=
ctgx=
5
3
4
3
3
4
5
3
cosx=
tgx=
cosecx=
ctgx=
5
3
4
4
51
140
149
51
cosx=
tgx=
secx=
ctgx=
149
51
51
140
7
24
25
25
cosx=
tgx=
secx=
cosecx=
25
7
7
24
41
40
41
9
tgx=
cosecx=
secx=
ctgx=
9
9
40
40
8
17
17
15
tgx=
cosecx=
secx=
ctgx=
15
6
15
8
17) Verifica las siguientes identidades trigonométricas:
1
a ) se nβ  se nβ  1   co s2β  1 
co se cβ
b) tg  . ctg  + cos  =
1
+1
sec 
6
c) sen  . cos  . ( tg  + ctg  ) = sen  . cosec 
d) ( 1 – sen  ) . ( 1 + sen  ) =
cos 
sec 
e) ( sen  + cos  )2 – 1 = 2 .tg  . cos2
f) cosec  . ( tg  . sec  - sen  ) = tg2
g) sen  . cos  . tg  . ctg  . sec  . cosec  = 1
h)
sen . ctg cos . tg

 sec . cos
sec
cosec
18) El pentágono regular abcde está inscripto en una circunferencia de centro “o” y
radio r=6cm. Calcula las medidas de la apotema y el lado del pentágono.
Rta: ap=4,85cm
l=7,05cm
19) Bruno y Carla están remontando barriletes. Tras soltar 85m de hilo, el barrilete de
Bruno forma un ángulo de 45º con la horizontal, mientras que el de Carla forma un
ángulo de 40º.
a) ¿A qué altura está cada uno de los barriletes?
b) ¿Cuántos metros de hilo tendría que haber soltado Carla para que su barrilete,
formando ese mismo ángulo, estuviera tan alto como el de Bruno?
Rtas: a) Carla: 54,64m
Bruno: 60,10m
b) 93,50m
a
20) Sabiendo que bc=12cm, ab=4cm
c=32º, a=20º, calcula el perímetro
del cuadrilátero abcd
b
d
c
m
Rta: 40,97cm
21) Un avión vuela a 6500m de altitud. Cuando le faltan recorrer 40km para llegar al
punto de aterrizaje “A” comienza a descender. ¿Cuál es el ángulo de descenso del
avión?
40km
6500m
A
Rta: 9º 13’ 48”
22) El triángulo def es obtusángulo, fh es su altura y
fh=6cm. Calculá:
a) dh
b) eh
f
7
c) df
d) fe
e) de
Rtas: a) 5,03cm
b) 2,18cm
c) 7,83cm
d
50º
110º
e
d) 6,39cm
e) 2,85cm
h
a
23)
b
c
Sabiendo que ab=8cm y c=37º 30’, calcula el radio
de la circunferencia
Rta: 6,57cm
24) Coloca V o F justificando tu respuesta:
a) senx – 1 = 2 senx – 1,5
 x=30º
b) sen2 + cos2=1
c) sen =0,5  sec  = 2
d) (cos + sen)2=1
e) Si  es un ángulo agudo mayor de 45º, sen > cos
f) Es imposible que el coseno de un ángulo sea mayor que 1.
g) sen(2.) = 2.sen 
h) No existe ningún ángulo para el cual el seno y el coseno sean iguales.
Rtas: a) V
b) F
c) F
d) F
e) V
f) V
g) F
h) F
8
9