EL TEOREMA DE PITAGORAS

EL TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras o de la escuela de Pitágoras se refiere a los lados de
un triángulo rectángulo. En efecto, los lados tiene nombres especiales: Los
catetos, lados que conforman el ángulo recto y la hipotenusa, el teorema
establece una relación que permite calcular la longitud de la hipotenusa cuando
se conocen las longitudes de los catetos.
En este orden de ideas, el teorema de
Pitágoras es tal vez la proposición más
estudiada por los matemáticos profesionales
y aficionados.
B
a
c
A
C
b
C 2  a2  b2
Existen en la actualidad más de 1000 demostraciones.
En este acápite, vamos a mostrar algunas de las demostraciones por su valor
histórico y su originalidad.
Veamos:
1. Demostración geométrica
(Tomado del libro “de Pitágoras a Einstein de K.O. Frie Drichs)
a
b
a
C
b
C
b
C
b
a
C
a
C
c
c
b
C
a
C
C
a
C
a
C
a
b
C
c
b
a
C
b
C
a
C
c
a
C
b
La construcción geométrica en la figura 2, determina dos rectángulos a y b. El
área del cuadrado mayor de lado a + b. El área de este cuadrado es igual a la
suma de las áreas de las áreas a2 y b2 (los cuadrados de lados a y b
correspondientes) mas el duplo del área correspondiente al rectángulo a y b.
De otra parte, cada rectángulo puede ser considerado por dos triángulos
rectángulos iguales, de catetos a y b. altura, trasladar esos 4 triángulos
al
cuadrado mayor de la figura 2, de manera que los ángulo s rectos coincidan
con los del cuadrado mayor, con la condición que el cateto menor esté dirigido
a la izquierda
y el mayor hacia la derecha,
la figura
limitada por la
hipotenusa. Es un cuadrilátero cuyos cuatro lados tienen la misma longitud C.
de hecho se trata de un cuadrado. En efecto, en el punto de cada lado del
cuadrado mayor donde coinciden los vértices de dos triángulos se forman
ángulos que suman 180o. Dos ángulos son complementarios por oponerse a los
catetos a y b respectivamente
de triángulos rectángulos congruentes.
En
consecuencia, el tercer ángulo (900) es recto. En esta forma se ha conseguido
que el cuadrado mayor, descompuesto en la figura 1 en dos cuadrados, a2 y b2
y 4 triángulos rectángulos de catetos a y b que aparecen también en la figura 2
descompuesto por un cuadrado de área C2 en los mismos 4 triángulos
mencionados si se eliminan los cuatros triángulos iguales, se puede concluir
C 2  a  b2
2. Demostración con recortes de papel
Esta genial demostración que utiliza recortes de papel fue ideada por el
matemático
inglés
HENRY
PERIGAL
(1801-1898)
veamos
su
demostración.
1) Se dibuja triángulo rectángulo.
2) Se construye cuadrado sobre
cada uno de los lados del
rectángulo.
3) Se determina el punto de corte
(p) de las distancias del cuadrado
del lado b.
4) Se traza una línea paralela a la
hipotenusa que pase por el punto
p.
5) Por este punto se traza una
perpendicular a la recta anterior.
6) Se corta el cuadrado de lado a y
las cuatro regiones del cuadrado
de lado b.
7) Con estas piezas se dispone de tal
manera que cubra exactamente el
cuadrado de lado c.
c2
c
a
b
p
b
2
a2
3. DEMOSTRACION DEL EX PRESIDENTE ESTADOUNIDENSE J. A
GARFIEL
Para esta demostración Garfiel dispuso dos triángulos iguales de la siguiente
manera. Después unió los puntos P y Q, formándose un trapecio cuya área
viene dada por:
b
p
a
 Bb
A
h 
2


c
ab
A
a  b 
 2 
a2 b2
A    ab
2 2
c
b
1
De otro lado el área de trapecio es igual a la suma de las áreas de los
tres triángulos rectángulos que lo forman. En efecto.
ab a.b c 2
c2


 ab 
2
2
2
2
Igualando
1
y
2 ,
Multiplicando se obtiene:
a2  b2  c2
2
ab b 2
c2

 ab  ab 
2
2
2
4. EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y LA LITERATURA
Tomado del libro: “Enseñanza de la comprensión lectora” cuyos autores son
los hermanos Alcides y Carlos Parra Rojas.
EL DRAMA
Había una vez un triángulo con dos catetos que se enamoraron de la misma
hipotenusa, como ella no se decidía a darle el sí a uno para no ofender al
otro, ni al otro para no ofender al uno, los catetos, los catetos se retaron a
duelo. Dispararon al unísono sus revólveres y, como los dos tenían
excelente puntería, ambos dieron en el blanco. El triángulo quedo desecho;
la hipotenusa se convirtió en una simple y común línea recta.
Interpreta:
______________________________________________________
______________________________________________________________
__
______________________________________________________________
__
Argumenta ¿Qué otras hipotenusas y catetos encuentra a nivel económico,
social y político.
______________________________________________________________
__
______________________________________________________________
__
______________________________________________________________
__
______________________________________________________________
__
Propone escriba tu propio comentario sobre lo que le generó el mini cuento
“El Drama”
______________________________________________________________
__
______________________________________________________________
__
______________________________________________________________
__
______________________________________________________________
__
5. Generalización del teorema de Pitágoras
A. A los lados del triángulo rectángulo, se trazan semicírculos y se
cumple la siguiente relación.
c2  a2  b2
 2  2  2
c  a  b , es decir
8
8
8
A  A1  A2 , siendo A: área
A
del semicírculo del lado c, A1 área del
lado b y A2 el área del lado a.
c
c b
A1
a
A2
Si se tiene círculos completos cuyos radios sean la longitud de los lados del
triángulo rectángulo.
a
c
c
c2  a2  b2
b
C 2   a2  b2
Ejemplos de aplicación del Teorema de Pitágoras
1) En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm. y la medida de la
hipotenusa excede en 4 cm. a la medida del otro cateto ¿Cuál es el
valor de la hipotenusa?
a) 2 91
b) 6
c) 10
d) 12
Rta: b.
2) En un triángulo escaleno, la medida de sus lados están en
progresión aritmética cuya razón es 2 cm. Encontrar la medida del
lado mediano.
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
Rta:
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS
1. Es un triángulo rectángulo un ateto mide 8 cm y la medida de
la hipotenusa excede en 4 cm, a la longitud del otro cateto.
La medida de la hipotenusa es:
A.6
B. 10
C.12
D. 2
41
2. Cuál es la medida del cateto de mayor longitud de un
triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 40 cm y la medida
del otro cateto excede en 8 cm a la medida del cateto menor?
A. 48cm
B.32 cm
C. 24 cm
D. 8
26
3. Dada la siguiente figura. Determinar el área del triángulo
rectángulo ABC.
C
h
15
A
B
x
16
4. Calcular el área del triángulo rectángulo que se ilustra
figura
la
B (2,7)
7
6
5
4
3
2
1
C (2,1)
2
10
A (10,1)
5. El área de un hexágono regular es de 24
3
dm3 el perímetro
del hexágono es.
A. 48 dm
B. 24
3 dm
C: 12
3 dm
D.24
dm
Solución.
1.
Por Pitágoras
B
C
2.
a
Rta.
C 2  a 2  b2
1
B
a  42  82  a2
2
C
a  8a  16  64  a
8a  64  16
8a  48
2
a+4
8
P
A
a6
3
2
4
5
Aplicando el teorema de Pitágoras
C 2  a 2  b2
402  x 2   x  8
2
402  x 2  x 2  16 x  64
1600  2 x 2  16 x  64
2 x 2  16 x  64  1600  0
2 x   16 x  1536  0
x
x 2  8 x  768  0
40
a 1
b8
c  768
 b  b 2  4ac
x
2a
 8  82  41768
x
2
 8  64  3072
x
2
 8  3136
x
2
 8  56
x
2
8  56 48
x1 

 24
2
2
 8  56  64
x2 

 32
2
2
x 8
La
h
e
altura
es
media
proporcional
de
los
segmentos
de la hipotenusa
x
15
h 16
  h2  16 x
x h
(1)
Aplicando Pitágoras al rectángulo sombreado:
c 2  a 2  b2
152  h 2  x 2
225  h 2  x5
h 2  225  x 2
(2)
Igualando (1) con (2)
16 x  225  x 2
x 2  16 x  225  0
a  1 b  16 c  225
 b  b 2  4ac
x
2a
x
 16 
162  41 225
2
 16  256  900
2
 16  34
x
2
 16  34 18
x
 9
2
2
 16  34  50
x2 

 25
2
2
x
4.
A
cc
2
x
BC  y2  y1  7  1  6
AC  x2  x1  10  2  8
A
5.
6  8 48

 24u 2
2
2
P  ap
2
 e e 
2
2
A
e
ap
ap
e
p  6e
e
e2  ap 2   
 2
e2
e  ap 
4
2
2
ap 
e
3
4
Como
A
2
e2
ap  e 
4
2
2
3e 2
ap 
4
2
3e 2
ap 
4
2
P  ap
2
e
24 3  6e   3
4
3
24  e2  e2  16
2
e  16
p  6e
p  6 4 
p  24
e4