TRIGONOMETRÍA I TEOREMA DEL SENO. c

TRIGONOMETRÍA I
TEOREMA DEL SENO.
C
En cualquier triángulo ABC se cumple que:
a
sen Aˆ

b
sen Bˆ

c
sen Cˆ
h
b
H'
a
h'
A
c
Demostración:
B
H
En el triángulo ABC trazamos la altura h correspondiente al vértice C. Como los triángulos
AHC y BHC son rectángulos, se tiene que:
h

sen Aˆ 
 h  b  sen Aˆ 
a
b

b

  a  sen Bˆ  b  sen Aˆ 
ˆ
h
sen A sen Bˆ
sen Bˆ 
 h  a  sen Bˆ 

a

(1)
De igual manera, si trazamos la altura h' correspondiente al vértice A, se tiene que:
h'

sen Bˆ 
 h '  c  sen Bˆ 
b
c

c

  b  sen Cˆ  c  sen Bˆ 
ˆ
h'
sen B sen Cˆ
sen Cˆ 
 h '  b  sen Cˆ 

b

De (1) y (2) se tiene que
a
sen Aˆ

b
sen Bˆ

c
sen Cˆ
( 2)
, con lo que queda demostrado el teorema.
Nota: Lo hemos demostrado para un triángulo acutángulo. Para un triángulo obtusángulo se
demostraría igual.
ˆ  sen (180º Aˆ ) 
Observar que: sen A
h
b
C
a
h
b
h'
A
c
B
1
TEOREMA DEL COSENO.
En cualquier triángulo ABC se cumple que:
1) a 2  b 2  c 2  2  b  c  cos Aˆ
2) b 2  a 2  c 2  2  a  c  cos Bˆ
3) c 2  a 2  b 2  2  a  b  cos Cˆ
Demostramos solamente la primera relación (las otras dos se demostrarían igual):
En el triángulo ABC trazamos la altura h correspondiente al vértice C. Ésta divide a la base
 en dos segmentos de longitudes p y m (como se observa en la figura). Como los triángulos
AHC y BHC son rectángulos, se tiene que:
a 2  h 2  m2
b2  h2  p2
(1)

h2  b2  p2
( 2)
con lo que (sustituyendo la segunda relación en la primera):
a 2  b 2  p 2  m2
( 3)
y, teniendo en cuenta que:
mc p

m 2  (c  p) 2  c 2  p 2  2  c  p
( 4)
y, sustituyendo la relación (4) en la (3), nos queda:
a2  b2  p2  c2  p2  2  c  p  b2  c2  2  c  p
y, como p  b  cos Aˆ se tiene que :
a 2  b 2  c 2  2  b  c  cos Aˆ
como queríamos demostrar
Nota: Trazando las alturas h' y h'' correspondientes a los vértices A y B, respectivamente, y
procediendo de igual manera se demostrarían las relaciones 2) y 3).
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA.
Resolver un triángulo cualquiera es determinar en él todos sus elementos desconocidos.
Para resolver un triángulo cualquiera hay que tener en cuenta las siguientes relaciones.
1) En cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos es 180º.
2) El teorema del seno.
3) El teorema del coseno.
Un triángulo cualquiera queda determinado cuando se conocen, como mínimo 3 datos, siendo
al menos uno de ellos un lado.
2
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- Resuelve el triángulo ABC, del que se conocen los siguientes datos (2 ángulos y el lado
común):
  60º ; B̂  40º ;
c  5 cm
Solución:
(Existe un único triángulo con estos datos)
Como se conocen dos ángulos : Aˆ y Bˆ , se halla Ĉ :
Â B̂ Ĉ  180º

Ĉ  180º Â B̂  180º60º40º  80º
Y, aplicando el teorema del seno, se hallan los lados a y b:
a
5

sen 60º sen 80º
 a
5  sen 60º
 4,397 cm
sen 80º
b
5

sen 40º sen 80º
 b
5  sen 40º
 3,264 cm
sen 80º
2.- Resuelve el triángulo ABC, del que se conocen los siguientes datos (2 lados y el ángulo
comprendido):
  40º ; b  7 cm ;
c  10 cm
Solución:
(Existe un único triángulo con estos datos)
Aplicando el teorema del coseno, se determina el lado a:
a 2  b 2  c 2  2  b  c  cosÂ
a 2  7 2  10 2  2  7  10  cos 40º
 a  7 2  10 2  2  7  10  cos 40º  6,46 cm
El ángulo B̂ se determina aplicando el teorema del seno:
6,46
7

sen 40º sen Bˆ
7  sen 40º
 sen Bˆ 
 0,6965
6,46
 Bˆ  arc sen 0,6965  44º 08' 54' '
o bien, aplicando el teorema del coseno:
b 2  a 2  c 2  2  a  c  cos Bˆ

Ya solamente nos resta hallar el ángulo
Â B̂ Ĉ  180º
cos Bˆ 
a2  c2  b2
2 a  c

Bˆ  44º 08' 54' '
Ĉ :
 Ĉ  180º Â B̂  180º40º44º 08' 54' '  95º 51' 06' '
3
3.- Resuelve el triángulo ABC, del que se conocen los siguientes datos (3 lados):
a  35m ; b  20 m ;
c  40 m
Solución:
Como el lado mayor es menor que la suma de los otros dos ( c  a  b ), existe un único
triángulo con estos datos.
Se comienza determinando el ángulo correspondiente al lado menor, que tiene que ser agudo.
Aplicando el teorema del coseno:
b 2  a 2  c 2  2  a  c  cos Bˆ

a 2  c 2  b 2 35 2  40 2  20 2
cos Bˆ 

 0,866
2 a  c
2  35  40

 Bˆ  arc cos 0,866  30º
Después, aplicando el teorema del seno, se determina el ángulo  :
35
sen Aˆ

20
sen 30º
35  sen 30º
sen Aˆ 
 0,875
20

Finalmente, se halla el ángulo
Â B̂ Ĉ  180º


Aˆ  arc sen 0,875  61º 02 ' 42 ' '
Ĉ :
Ĉ  180º Â B̂  180º61º 02 ' 42 ' '30º  88º 57 '18 ' '
4. Resuelve el triángulo ABC que verifique los siguientes datos (2 lados y el ángulo opuesto a
uno de ellos) :
a) Cˆ  140º ; b  11cm ; c  17 cm
Solución:
Como conocemos el lado c y su ángulo opuesto y el lado b, aplicando el teorema del seno
determinamos el ángulo B̂ :
b
sen Bˆ

c
b  sen Cˆ 11  sen 140º
sen Bˆ 

 0.416
c
17

sen Cˆ
Como el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, obtenemos dos soluciones:
Bˆ  24º34 ' 38 ' ' y Bˆ  180º24º34 ' 38 ' '  155º 25 ' 22 ' '
Como
bc
Bˆ  Cˆ y Bˆ  Cˆ  180º (por tanto, la única solución válida es la 1ª)

Existe, por tanto, un único triángulo que verifica estos datos.
Bˆ  24º34 ' 38 ' '
Como conocemos Bˆ y Cˆ , se determina el ángulo  :
Â B̂ Ĉ  180º

Aˆ  180º24º34 ' 38 ' '140º  15º 25 ' 22 ' '
Y, aplicando el teorema del seno, se obtiene el lado a:
a
sen Aˆ

c
sen Cˆ

a
c  sen Aˆ 17  sen 15º 25 ' 22 ' '

 7 cm
sen 140º
sen Cˆ
4
5. Resuelve el triángulo ABC que verifique los siguientes datos (2 lados y el ángulo opuesto a
uno de ellos) :
a) Bˆ  20º ; b  3 cm ; c  8 cm
Solución:
Como conocemos el lado b y su ángulo opuesto y el lado c, aplicando el teorema del seno
determinamos el ángulo
c
sen Cˆ

b
sen Bˆ
Ĉ :
sen Cˆ 

c  sen Bˆ 8  sen 20º

 0.912
b
3
Como el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, obtenemos dos soluciones:
Cˆ  65º47' 27' ' y Cˆ  180º65º47' 27' '  114º12' 33' '
Como
bc

Bˆ  Cˆ y Bˆ  Cˆ  180º (las dos soluciones son válidas).
Existen, por tanto, dos triángulos que verifican estos datos.
Primer triángulo: Para
Cˆ  65º47' 27' ' .
Se obtiene el ángulo  :
Aˆ  180º20º65º47' 27' '  94º12' 33' '
Y, aplicando el teorema del seno, se obtiene el lado a:
a
sen Aˆ

b
sen Bˆ

a
b  sen Aˆ 3  sen 94º 12' 33' '

 8.75cm
sen 20º
sen Bˆ
Cˆ  114º 12' 33' ' .
Segundo triángulo: Para
Se obtiene el ángulo  :
Aˆ  180º20º114º12' 33' '  45º 47' 27' '
Y, aplicando el teorema del seno, se obtiene el lado a:
a
sen Aˆ

b
sen Bˆ

a
b  sen Aˆ 3  sen 45º 47 ' 27 ' '

 6.29 cm
sen 20º
sen Bˆ
5
6. Resuelve el triángulo ABC que verifique los siguientes datos (2 lados y el ángulo opuesto a
uno de ellos) :
a) Aˆ  40º ; a  30 cm ; b  40 cm
Solución:
Como conocemos el lado a y su ángulo opuesto y el lado b, aplicando el teorema del seno
determinamos el ángulo B̂ :
a
sen Aˆ

b
sen Bˆ
sen Bˆ 

b  sen Aˆ 40  sen 40º

 0.857
a
30
Como el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, obtenemos dos soluciones:
Bˆ  58º59 '13 ' ' y Bˆ  180º58º59 '13 ' '  121º 00 ' 47 ' '
Como a  b

Aˆ  Bˆ y Aˆ  Bˆ  180º (las dos soluciones son válidas).
Existen, por tanto, dos triángulos que verifican estos datos.
Primer triángulo: Para Bˆ  58º59 '13 ' ' .
Como Â B̂ Ĉ  180º
, se obtiene el ángulo Ĉ :
Cˆ  180º58º59 '13 ' '40º  81º00 ' 47 ' '
Y, aplicando el teorema del seno, se obtiene el lado c:
a
sen Aˆ

c
sen Cˆ

c
a  sen Cˆ 30  sen 81º00 ' 47 ' '

 46 ,1cm
sen 40º
sen Aˆ
Segundo triángulo: Para Bˆ  121º 00 ' 47 ' ' .
Como Â B̂ Ĉ  180º
, se obtiene el ángulo Ĉ :
Cˆ  180º121º 00 ' 47 ' '40º  18º59 '13 ' '
Y, aplicando el teorema del seno, se obtiene el lado c:
a
sen Aˆ

c
sen Cˆ

c
a  sen Cˆ 30  sen 18º59 '13 ' '

 15 ,18 cm
sen 40º
sen Aˆ
6
EJERCICIO DE APLICACIÓN.
Calcula la altura del edificio de la figura si   15º ,   20º y d  10 m
C
5º
h
a
b
20º
160º
A
15º
10 m
B
h  b  sen 20º
Calculamos b.
Aplicando el teorema del seno:
b
sen Bˆ

c
sen Cˆ

b
c  sen Bˆ 10  sen 15º

 29,7 m
sen 5º
sen Cˆ
h  b  sen 20º  29,7  sen 20º  10,16 m
7
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Dos observatorios, separados 1.200 km, localizan el epicentro de un seísmo con ángulos de
depresión de 52º y 36º, respectivamente. ¿A qué distancia se encuentra el epicentro?
1.200 km
A
36º
52º
B
h
b
a
C
2.- Una antena de 1,5 metros de altura se ha colocado en la terraza de una casa. Desde un
punto de la calle medimos los ángulos de elevación de la base y de su extremo superior, que
son 46º y 50º, respectivamente (como se observa en la siguiente figura). ¿Qué altura tiene la
casa?
3.- Los radaristas de dos portaaviones, que están separados 350 m, observan el vuelo de un
helicóptero situado en el mismo plano vertical que los navíos, con ángulos de elevación de 30º
y 50º, respectivamente (como se observa en la siguiente figura), ¿a qué altura vuela el
helicóptero?
8
TRIGONOMETRÍA I. EJERCICIOS RESUELTOS.
1.- Dado un triángulo equilátero de lado a, determina el valor de
a
en función del radio
sen Â
r de la circunferencia circunscrita al triángulo (interpretación geométrica del teorema del
seno).
A
Â
c
b
O

r
M
B
C
a
El ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Por tanto,
  Â

sen   sen Â
a
a
sen   2 
r 2r

sen  
a
2r

a
 2r
sen Â
2.- Resuelve los siguientes triángulos:
1) Datos : Aˆ  24º 25 '52 ' '
Bˆ  35º
2) Datos : Aˆ  38º
Bˆ  65º 12 '15 ' '
c  25 m
a  4m
3) Datos : Aˆ  54º
4) Datos : a  15 m
b  12 m
b  36 m
c  20 m
c  20 m
5) Datos : a  20 m
6) Datos : Bˆ  30º
b  15 m
c  20 m
b  30 m
c  24 m
7) Datos : Bˆ  30º
8) Datos : Bˆ  30º
b  20 m
c  24 m
b  12 m
c  24 m
9) Datos : Bˆ  30º
b  10 m
c  24 m
Mirar los ejemplos resueltos en los apuntes. (Resolución de triángulos cualesquiera).
9
3. Dos individuos A y B observan un globo que se eleva verticalmente. La distancia entre los
individuos es de 2 km. En cierto momento, los ángulos de elevación del globo desde los
observadores son 66º y 72º, respectivamente. Determina a que altura se encuentra el globo,
en ese momento, y la distancia a cada observador.
C
a
b
h
66º
72º
B
A
2-x
x
2 Km
Resolveremos el problema utilizando el método de la doble observación (o de las tangentes):
tg 66º 
h
x



 
 h  2  x   tg 72º 


 h  x  tg 66º
h
tg 72º 
2x
igualando ambas expresiones:
x  tg 66º  2  x   tg 72º
x  tg 66º  2  tg 72º  x  tg 72º
x  tg 66º  x  tg 72º  2  tg 72º
x  tg 66º  tg 72º   2  tg 72º
2  tg 72º
x
 1,156 Km
tg 66º  tg 72º
h  x  tg 66º  1,156  tg 66º  2,6 Km
a  h 2  (2  x) 2  2 , 7 Km
b  h 2  x 2  2 , 8 Km
Como este año ya sabemos resolver cualquier triángulo podemos utilizar otro procedimiento
para resolver este problema:
Aˆ  Bˆ  Cˆ  180º 
Cˆ  180º Aˆ  Bˆ  180º66º72º  42º
Calculamos a y b aplicando el teorema del seno:
c
sen Cˆ

a
sen Aˆ

a
c  sen Aˆ 2  sen 66º

 2 , 73 Km
sen 42º
sen Cˆ
10
c
sen Cˆ

b
sen Bˆ
 b
c  sen Bˆ 2  sen 72º

 2 , 84 Km
sen 42º
sen Cˆ
Finalmente se calcula h: h  b  sen 66º
ó
h  a  sen 72º 
h  b  sen 66º  2 , 6 km
Como vemos, este 2º método, es mucho más fácil.
4.- Una antena de televisión se encuentra situada sobre una colina. Desde un punto A (en el
terreno llano) el extremo superior de la antena se ve bajo un ángulo de 50º y el extremo
inferior bajo un ángulo de 43º. Si la colina tiene una altura de 120 metros, calcula la altura de
la antena.
C
C
h
h
133º
B

7º 47º
c
120 m
120 m
50º
50º
43º
43º x
A
B
A
Se calcula el lado c:
sen 43º 
120
c

c
120
 175 , 95 m
sen 43º
Ahora se procede igual que antes:
ˆ  Bˆ  180º 7º 133º  40º
Se calcula el ángulo Cˆ  180º  A
Finalmente, se calcula h, aplicando el teorema del seno:
c
sen Cˆ

h
sen Aˆ
 h
c  sen Aˆ 175 , 95  sen 7º

 33 , 36 m
sen 40º
sen Cˆ
También se puede hacer aplicando el método de la doble observación:
tg 43º 
120
120
 x
x
tg 43º
tg 50º 
120  h
x
 h  x  tg 50º 120 
120
 tg 50º 120  33 , 36 m
tg 43º
11
5. Un buceador desciende al fondo de un lago para recoger un objeto siguiendo una
trayectoria rectilínea que forma un ángulo de 30º con la superficie del lago. Cumple su
objetivo y regresa saliendo a la superficie siguiendo otra trayectoria rectilínea que forma un
ángulo de 35º con la superficie del lago. Sabiendo que la distancia entre el punto de entrada y
el de salida es de 100 metros, averigua cual es la profundidad del lago.
Se resuelve igual que el nº 3.
6. Un barco A envía un S.O.S. y las señales son recibidas por dos estaciones de radio B y C,
que distan entre sí 80 km. La visual que va desde la estación B al barco forma un ángulo de
80º con la visual que va de la estación B a la C y la visual que va desde la estación C al barco
forma un ángulo de 70º con la visual que va de la estación C a la B. ¿ A qué distancia de cada
estación se encuentra el barco?
A
b
c
80º
B
70º
C
80 km
Aˆ  Bˆ  Cˆ  180º 
Aˆ  180ºBˆ  Cˆ  180º80º70º  30º
Calculamos b y c aplicando el teorema del seno:
a
sen Aˆ
a
sen Aˆ


b
sen Bˆ
c
sen Cˆ
 b
ˆ 80  sen 80º
a  sen B

 157 , 57 Km
sen 30º
sen Aˆ
 c
a  sen Cˆ 80  sen 70º

 150 , 35 Km
sen 30º
sen Aˆ
12
7.- Calcula la distancia d = AC:
8,4 km
d
40º
9 km
Aplicando el teorema del coseno:
b 2  a 2  c 2  2  a  c  cos Bˆ
donde b = d (distancia AC)
d  a 2  c 2  2  a  c  cos Bˆ  8,4 2  9 2  2  8,4  9  cos 40º  6 km
8.- Determina cuanto mide el lado a de un triángulo cualquiera, sabiendo que  mide 30º y
que el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo mide 6 cm.
A
B
30º
O
6 cm
60º
a
6 cm
C
El ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Por tanto, el
ángulo central es de 60º.
Aplicando el teorema del coseno al triángulo COB se halla la longitud del lado a.
a 2  6 2  6 2  2  6  6  cos 60º
a  6 2  6 2  2  6  6  cos 60º  6 cm
(lógico, ya que el triángulo COB es equilátero. Sus 3 ángulos internos son iguales. Por tanto,
sus 3 lados deben ser iguales). Bˆ  Cˆ  120º y Bˆ  Cˆ
 Bˆ  Cˆ  60º
13
9.- Sabiendo que la longitud del lado de un octógono regular es 12 cm. Determina:
a) El radio de la circunferencia circunscrita.
b) El área del octógono.

2
R
R
a
6 cm
45º
R
 22,5º  22º 30'
6 cm
12 cm
12 cm
Se halla el ángulo central:  

360º
 45º
8


2
360º
n
 22,5º  22º 30'
Calculamos R:
sen

2

6
R

R
6
 15,68 cm
sen 22º 30'
Para hallar el área necesitamos calcular previamente la apotema:
tg 22º 30' 
A
6
a

a
6
 14,49 cm
tg 22º 30'
P  a 8  12  14,49

 695,52 cm 2
2
2
Nota: Se puede hacer de varias formas (explicar en clase)
¿Cómo se halla el ángulo interno en un polígono regular de n lados?

180ºn  2
n
14
10.- Determina los ángulos de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 6 y 12 cm.

6 cm

2

2

tg

2

2

3
 0,5
6
 90º

2

3 cm

2
 arc tg 0,5  26º 33' 54' '
 63º 26' 06' '
   53º 07' 48' '
   126º 52'12' '
11.- Determina el perímetro y el área de un decágono regular, sabiendo que el radio de la
circunferencia circunscrita al decágono mide 8 cm.
Igual que el ejercicio nº 9.
15
12.- Determina el perímetro y el área de un paralelogramo cuyas diagonales miden 24 y 16 cm,
respectivamente, y se cortan formando un ángulo de 120º.
b
D
8 cm
120º
C
12 cm
60º
12 cm

A
a
O
8 cm
B
h
E
Calculo b, aplicando el teorema del coseno al triángulo DOC ó AOB
Calculo a, aplicando el teorema del coseno al triángulo BOC ó AOD
P  2b  2a
Para calcular el área, necesito hallar la altura h
Considero el triángulo rectángulo AEC:
sen  
h
24

h  24  sen 
Basta determinar  , aplicando el teorema del coseno al triángulo AOB
Finalmente,
Abh
13.- Hallar las distancias AC y BC
Se calcula el ángulo Ĉ
Cˆ  180º  Aˆ  Bˆ  180º 60º 45º  75º
Calculamos a = BC y b = AC aplicando el teorema del seno:
c
sen Cˆ
c
sen Cˆ


a
sen Aˆ
b
sen Bˆ
 a
c  sen Aˆ 80  sen 60º

 71,73 m
sen 75º
sen Cˆ
 b
c  sen Bˆ 80  sen 45º

 58,56 m
sen 75º
sen Cˆ
16
14.- Hallar la distancia AC.
Solución: 2.653 metros
15.- Hallar la distancia c = AB
Aplicando el teorema del coseno
c 2  a 2  b 2  2  a  b  cos Cˆ
c  a 2  b 2  2  a  b  cos Cˆ  520 2  400 2  2  520  400  cos 40º  334,28 m
16.- Hallar la altura h del promontorio.
Se calcula
 (aplicando el teorema del coseno)
c 2  a 2  b 2  2  a  b  cos Cˆ
cos  
a2  b2  c2
 cos Cˆ 
2ab
a 2  b 2  c 2 50 2  65 2  85 2

 0,076923
2a b
2  50  65

  94º 24' 42' '
17
Se calcula   180º 
  180º  94º 24' 42' '  85º 35'18' '
Se calcula h  65  cos 
h  65  cos 85º 35'18' '  5 m
18