Unidad 1: razones trigonométricas

Instituto Profesional de Chile
Ingeniería en Industrias
Álgebra y trigonometría
Módulo de aprendizaje Nº 2
Triángulos; definiciones y propiedades.
Objetivos específicos del módulo
Al finalizar este módulo el alumno deberá ser capaz de conocer y aplicar las propiedades
generales de los triángulos y propiedades particulares de los triángulos rectángulos y
equiláteros.
Definición de triángulo
Un triángulo es un polígono de tres lados cuyos componentes elementales, mostrados en la
figura 2.1, se detallarán a continuación.
Figura 2.1
Fuente: libro matemática Cepech 2006
Elementos primarios de un triángulo
1. Vértices: los puntos en los cuales se interceptan los trazos se denominan vértices, los
cuales en la figura 2.1 están identificados por las letras mayúsculas A, B y C.
2. Lados: los segmentos AB, BC y AC, se llaman lados o bases del triángulo, cuyas medidas
están identificadas en la figura 2.1 por las letras minúsculas a, b y c.
3. Ángulos interiores: son los ángulos que se forman por la intersección de los segmentos,
al interior del triángulo, en la figura 2.1 están identificados por las letras del abecedario
griego , , y .
4. Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los interiores y que quedan por fuera
del triángulo, en la figura 2.1 están identificados por `,` y `.
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Relaciones primarias en un triángulo
1. Suma de ángulos interiores: en todo triángulo la suma de sus tres ángulos interiores
resulta siempre 180º
2. Suma de ángulos exteriores: en todo triángulo la suma de sus tres ángulos exteriores
resulta siempre 360º
3. Relación entre los lados: en todo triángulo siempre se cumple que el resultado de la suma
entre las medidas de dos de sus lados (cualesquiera sean), es siempre mayor que la medida
del tercer lado.
4. Relación entre los ángulos interiores y exteriores: en todo triángulo se cumple que la
medida de cada uno de sus ángulos exteriores es siempre igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes. Respecto de los datos de la figura 2.1, se verifica que
Clasificación de triángulos
Los triángulos se denominan de acuerdo a la medida de sus lados o la medida de sus
ángulos interiores. En el cuadro 2.1 se muestran los seis tipos de triángulos que existen
Cuadro 2.1
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Generalidades de un triángulo cualquiera
Se define la altura de un triángulo como la distancia entre un vértice y su base opuesta y se
denota por la letra h con un subíndice que corresponde a la base sobre la cual se mide dicha
distancia.
Sean a, b y c las medidas de los lados de un triángulo y ha, hb y hc las alturas
correspondientes a cada base, entonces para cualquier triángulo se tienen
Análisis del triángulo rectángulo
Figura 2.2
A
p
c
D
b
q
hc
B
a
C
Los elementos de la figura 2.2 son:
AC y BC : catetos, de medidas b y a respectivamente.
AB : hipotenusa, de medida c.
CD : altura interior, de medida hc.
AD : proyección del cateto AC sobre la hipotenusa, de medida p.
BD : proyección del cateto BC sobre la hipotenusa, de medida q.
En todo triángulo rectángulo, se comprueban las siguientes relaciones entre sus segmentos:
1. Teorema de Pitágoras
2
2
2
AC  BC  AB o bien a 2  b 2  c 2
3
2. Teorema de Euclides
i) b 2  p·(p  q)  p·c
ii) a 2  q·( p  q)  q·c
iii) hc2  p·q
3. Relaciones métricas para triángulos de ángulos 30º,60º, 90º y 45º,45º,90º.
Figura 2.3
Análisis del triángulo equilátero
Figura 2.4
En el triángulo de la figura 2.4 se comprueba que sus tres lados son congruentes, por lo
tanto, sus tres ángulos interiores , ,  son congruentes entre si e iguales a 60º.
Se comprueba además que las alturas trazadas son perpendiculares en el punto medio de los
tres lados y también son bisectrices de los ángulos interiores (los dividen en dos ángulos de
30º).
En el triángulo equilátero sus tres alturas son congruentes entre si, si le llamamos h a la
medida de la altura y a a la medida del lado (se habla del lado y de la altura en forma
4
singular dado que los tres lados y las tres alturas son congruentes), se pueden definir las
siguientes fórmulas para relacionarlos entre si.
a
3
2
a2 3
Área: A 
4
Perímetro: P  3·a
Altura: h 
Ejercicios resueltos
1.- En un triángulo ABC de la figura 2.5, AB = 13 cm y BC = 2 cm si el lado AC del
triángulo tiene un número par de centímetros, su medida puede ser:
Figura 2.5
B
a
b
A
c
C
Desarrollo:
Por relación básica de los lados de un triangulo, se sabe que la suma de dos lados siempre
tiene que ser mayor que el tercero, entonces si se conoce el valor de dos lados, se pueden
encontrar límites entre los cuales puede fluctuar la longitud del tercero.
Sea X la medida del tercer lado, entonces:
Limite inferior
Limite superior
X 13 – 2
X  13 +2
X  11 cm.
X  15 cm.
Se pide que el tercer lado sea un número par, entonces puede ser 12 ó 14 centímetros.
2.- En la figura 2.6 el área del  ABD es un sexto del área del  ABC. Si el área del 
DEC es la mitad del área del  ABD, ¿qué parte del área del  ABC está sin achurar?
Figura 2.6
C
E
D
A
B
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Desarrollo:
Con los datos del enunciado se puede determinar que :
Area ABD = 1/6 del area total
Área DEC = 1/12 del área total
Sumando las áreas anteriores, se tiene:
Área achurada = ¼ del área total
Por lo tanto se tiene que el área sin achurar corresponde a ¾ del área total.
3.- En el ABC rectángulo de la figura 2.7, ¿Cuánto mide el área del triángulo ABC si
AE = 2 cm. y EC = 8cm.?
Figura 2.7
B
A
C
E
Desarrollo:
Para determinar el área del triángulo se debe conocer una base y su altura correspondiente,
entonces si se conoce la hipotenusa que será igual a 10 cm. Estaría faltando la altura BE ,
la que se puede obtener por teorema de Euclides de la siguiente forma:
2
BE  AE  EC
reemplazando se tiene:
BE 2 = 2 cm. · 8 cm.
BE 2 = 16 cm2 / √
BE = 4 cm.
Por lo tanto, el área del triángulo será:
A
10cm  4cm
2
Área ABC = 20 cm2
4.- Calcular el área achurada que está comprendida entre ambos triángulos de la figura 2.8,
si el triángulo ABC y el triángulo interior a el, son equiláteros de lados 5 cm. y 4 cm.
respectivamente.
Figura 2.8
C
A
B
6
Desarrollo:
En todo triángulo equilátero de lado a, el área es:
a2  3
4
Área triángulo equilátero =
Entonces el área de cada triángulo de la figura será:
25 3cm 2
(5cm) 2  3
4
4
Área triángulo ABC =
=
(4cm) 2 · 3 16 3cm2

4
4
Área triángulo interior =
El área achurada corresponde al área comprendida entre ambos triángulos, por lo tanto, esta
se determina por la diferencia entre ambas superficies:
25 3cm 2 16 3cm 2 9 3 2

cm
4
4
4
Área achurada =
-
Evaluación del módulo
1.- El triángulo ABC de la figura 2.9 es rectángulo en C. Si D es punto medio de AB ,
entonces se cumple siempre que:
A) El perímetro del triángulo ADC es igual al del triángulo CDB
B) CD es altura
Figura 2.9
C) CD es bisectriz
D) AD  DB  CD
E) AC  CB



C


A
D
B
2.- ¿Cuál es la medida de x en el triángulo rectángulo de la figura 2.10?
Figura 2.10
B
6 3cm
30º
C
( x  4)cm
A
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3.- Determine el valor del área de un triángulo equilátero cuya altura mide 8 3 cm
4.- Si en un triángulo rectángulo uno de sus catetos mide 6 cm. y la medida del otro cateto
es 2 cm. menor que la medida de la hipotenusa, entonces, ¿Cuánto mide el área de dicho
triángulo?
5.- Determine el perímetro y el área del triángulo ABC en la figura 2.11
Figura 2.11
A
D
4 cm
B
6 cm
C
6.- Determine la medida de los ángulos ` y ` en el triángulo rectángulo de la figura 2.12
Figura 2.12
1 cm
`
`
2 cm
Respuestas
1 D
2 14
3 64 3 cm 2
4
24cm2


A  9 5 cm 2 ; P  15  3 5 cm
6  ` 120º ;  ` 150º
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Bibliografía
Zill, Dennis G; Dejar, Jacqueline M. Álgebra y Trigonometría segunda edición, Colombia.
McGraw Hill, 2000.
Alcides Astorga M., Julio Rodríguez S.; Trigonometría. Revista digital matemática
educación e Internet. www.cidse.itcr.ac.cr
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