Documento 398234

RESPONSABLE:
Tomás Recio Muñiz
REFERENCIA DE LA
ACTIVIDAD:
FUT-C2-0045
TITULO DE LA ACTIVIDAD:
Cinco Oportunidades Cientí-fico-Tecnológicas de las Matemáticas:
Logística, Componentes, Astrofísica, Mecánica Social e Hidráulica
Ambiental
MEMORIA CIENTÍFICA DE LAS ACTIVIDADES DESARROLLADAS:
Astrofísica:
En los modelos de predicción de distribución de masa en cúmulos de galaxias se suele
imponer una geometría en el modelo a fin de facilitar el cálculo de la distribución de
masas.
J. M. Diego ha desarrollado un modelo en el cuál no se impone ninguna geometría a la
distribución de masas. En su lugar, se analizan tres fuentes de datos comúnmente
utilizados en este tipo de problemas. Emisión de rayos X (XR), dispersión de la
radiación de fondo de microondas mediante el efecto Sunyaev-Zeldovich (SZ) y efecto
de lente gravitacional producido por las mismas masas.
En este modelo, no se impone ninguna geometría a priori en el cúmulo, sino que se
trata de recuperar la distribución tridimensional a través de las fuentes de datos de
datos anteriormente citadas. Además, se imponen una serie de restricciones para
asegurarse que la solución tiene sentido físico: todas las soluciones deben ser no
negativas y se deben cumplir un conjunto de ecuaciones no lineales que representan el
equilibrio hidrostático en la posible distribución de galaxias.
Se ha comenzado con una simulación en la que se parte de una distribución
tridimensional conocida de galaxias y se calculan los datos observados que se deberían
obtener de esta distribución. A partir de estos datos observados, la aportación
matemática consiste en desarrollar métodos para recuperar los datos de partida. Esta
es una primera aproximación para comprobar que el modelo es razonable. Se puede
comprobar que los datos de partida forman una solución a un sistema de ecuaciones
lineales que representan la proyección de los datos reales en los datos observables y
una serie de ecuaciones no lineales codificando las condiciones de equilibrio
hidrostático de la distribución. Además, como se ha indicado, todas las soluciones
deben tener todas sus coordenadas no negativas.
Para poder calcular la solución en la simulación se ha diseñado un método iterativo
adaptado a la estructura lineal-no lineal de las ecuaciones. Se ha comprobado que este
método converge muy rápidamente en los datos de la simulación utilizados. Si se
normalizan las ecuaciones para evitar problemas numéricos, se ha comprobado que la
solución obtenida aproxima mejor los datos observados y las condiciones de equilibrio
que los datos originales y, si bien se aleja de los datos originales, se aprecia que el
método es capaz de detectar la estructura de las soluciones, discriminando las zonas
con mayor y menos masa, XR, SZ.
Haciendo un análisis del método empleado, parece que está más adaptado a los datos
de la simulación que al problema en concreto, por lo que se ha tratado de aplicar un
método general de resolución de ecuaciones. Se ha optado por aplicar el método de
Newton, a pesar de estar trabajando con un sistema sobredeterminado. Se ha
comprobado que el método no converge debido a desbordamientos en las operaciones.
La siguiente tabla muestra algunos datos comparando cómo se aproxima la solución
obtenida con el método iterativo a los datos originales de la simulación y a los datos
observables calculados en la simulación.
Proyecto Ingenio Mathematica
OTRI-Pabellón de Gobierno, Universidad de Cantabria, Avda. Los Castros s/n, 39005 Santander
Datos Reales
Solución Propuesta
Norma vector incógnitas
7.0075e+11
5.0009e+11
Norma vector incógnitas,
masa
1.5260e-02
1.5734e-02
Norma vector incógnitas,
rayos X
2.2494e+11
9.5003e+10
Norma vector incógnitas,
efecto SZ
6.6367e+11
4.9099e+11
Suma de masas negativas
0
0
Error relativo datos reales, 0
masa
1.1044e+00
Error relativo datos reales, 0
rayos X
0.67282
Error relativo datos reales 0
M, efecto SZ
0.90643
Error relativo observable, 1.7898e-01
masa
1.7634e-01
Error relativo observable, 4.8528e-09
rayos X
1.4766e-16
Error relativo observable, 1.6954e-15
efecto SZ
2.5801e-16
Error condiciones de
equilibrio hidrostático
1.0271e-10
3.7618e-10
Se puede apreciar que la solución calculada aproxima mejor los datos observables y las
condiciones de equilibrio que los datos reales de la simulación (los errores relativos se han
calculado usando la norma euclídea).
VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS:
Se ha logrado diseñar un algoritmo que calcula una solución matemáticamente aceptable de la
simulación disponible. Este paso es necesario para poder desarrollar el método que se pretende.
Desde un punto de vista matemático se ha resulto el problema en esta simulación.
Proyecto Ingenio Mathematica
OTRI-Pabellón de Gobierno, Universidad de Cantabria, Avda. Los Castros s/n, 39005 Santander
ESTIMACIÓN DEL IMPACTO DE LOS RESULTADOS EN LAS ACTIVIDADES FUTURAS:
Es difícil estimar el impacto debido a la restricción de trabajar con una sola simulación, lo que
impide determinar la bondad del método propuesto. Por otro lado, si bien la solución encontrada
es matemáticamente correcta, parece que no lo es tanto desde un punto de vista físico/ del
modelo. Se hace necesario encontrar más parámetros y restricciones matemáticas que
discriminen entre una solución válida y otra inválida.
Proyecto Ingenio Mathematica
OTRI-Pabellón de Gobierno, Universidad de Cantabria, Avda. Los Castros s/n, 39005 Santander