Exámenes Mateco

Matemáticas para economistas 1
Examen 1
Duración: 2 horas
Modo: Sin apuntes, libros ni calculadoras
Responder a seis de las ocho primeras cuestiones y a seis de las ocho últimas.
1. ¿Por qué el sistema de los números racionales no es un campo completo y el de los
números reales sí lo es?
2. ¿Por qué una sucesión de números reales no puede tener exactamente tres límites?
3. ¿Es una relación de equivalencia la que en el sistema de los números enteros se
representa por >, es decir, la que establece que a > b si, y sólo si, a – b es un entero
positivo?
4. Si A es el conjunto de los números reales cuyo valor absoluto difiere de un entero en
menos de 1/3, hallar su frontera, su interior y su conjunto derivado.
5. Si f y g son funciones reales definidas en la recta real tales que ambas tienen límite en
el punto 3 de modo que el límite de f en 3 vale 5 y el de g en 3 vale -1, ¿existen los
límites de las funciones f + g y f / g? Caso que sí, ¿Cuánto valen ellos?
6. ¿Es posible que si f es una función continua en el punto a de su dominio, haya alguna
sucesión convergente al punto a pero tal que la sucesión formada por las imágenes de
los puntos de la sucesión tienda a 3 f (a), siendo que f (a)  0?
7. ¿Es posible deducir, mediante el teorema de Weierstrass, que si una función continua
tiene por dominio el intervalo ]a, b[, entonces ha de haber al menos un máximo global ó
un mínimo global de dicha función?
8. ¿Puede haber una función diferenciable en un punto a sin que ella sea continua en
dicho punto?
9. Si se tiene una función f tal que f (a) = 6 y f´(a) = -3 y se tiene otra función g tal que
g´(6) = 2, ¿cuánto valdrá la derivada de la compuesta g  f (a)? ¿También podría
saberse el valor de f  g (6)?
10. ¿Puede haber una función diferenciable en el intervalo [1, 3] tal que aunque las
imágenes de los puntos 1 y 3 sean iguales entre sí, las derivadas de dicha función en
cualquier punto del intervalo sean positivas?
11. Dar dos criterios que permitan reconocer cuándo una función continuamente
diferenciable hasta el orden 2 es cóncava.
12. ¿Qué puede afirmarse de dos antiderivadas de una función dada que sean diferentes
entre sí?
13. Por el método de integración por partes, integrar la función log x.
14. Hallar el conjunto de todos los vectores del 3 ortogonales al vector (-1, 0, a),
siendo a un número distinto de 0. ¿Es dicho conjunto una recta ó un hiperplano?
15. ¿Hay alguna matriz cuadrada 2 por 2 tal que sea igual a su cuadrado siendo que son
nulos los elementos de su diagonal principal? Caso que sí, hallar el conjunto de todas
tales matrices.
16. Si el determinante de una matriz vale cero, ¿qué puede afirmarse de su matriz
inversa?
Matemáticas para economistas 1
Examen 2
Duración: 2 horas
Modo: Sin apuntes, libros ni calculadoras
Responder a seis de las ocho primeras cuestiones y a seis de las ocho últimas.
1. ¿Es el sistema de los números racionales un campo arquimediano? ¿Y el de los
números enteros lo es?
2. ¿Es posible que una sucesión convergente de números reales posea alguna
subsucesión divergente?
3. ¿Es una relación de equivalencia la que en el sistema de los números enteros
establece que a R b si, y sólo si, a es un divisor de b ?
4. Si A es el conjunto de los números reales cuyo valor absoluto difiere de un entero en
más de 1/3, hallar sus puntos de acumulación y su clausura, y decir si es ó no compacto,
abierto ó cerrado.
5. Si f y g son funciones reales definidas en la recta real tales que ambas tienen límite en
el punto 3 de modo que el límite de f en 3 es infinito y el de g en 3 vale -1, ¿existen los
límites de las funciones f + g y f / g? Caso que sí, ¿Cuánto valen ellos?
6. ¿Puede haber una función continua definida en el intervalo [a, b] tal que, siendo f (a)
= 4 y f (b) = 1, no haya ningún punto del intervalo ]a, b[ en el que la función f tome el
valor ?
7. ¿Es verdad que si f es una función continua definida en el intervalo [a, b], entonces ha
de existir su función inversa?
8. ¿Puede haber una función continua en un punto a sin que ella sea diferenciable en
dicho punto?
9. Si f es una función diferenciable de dominio el intervalo [0, 1] que toma valores en
ese mismo intervalo y se sabe que existe su función inversa, ¿cuál será el valor de la
derivada de la inversa en el punto a sabiendo que f ´(a) = 5?
10. ¿Por qué puede afirmarse que si f es una función diferenciable en el intervalo [0, 2]
y ocurre que f (0) = 3 y f (2) = 1, entonces ha de haber algún punto de dicho intervalo
en el que la derivada de f valga -1?
11. Dar dos criterios que permitan reconocer cuándo una función continuamente
diferenciable hasta el orden 2 es estrictamente convexa.
12. Si la integral entre los 2 y 5 de cierta función real, f, vale 8, ¿cuánto valdrá la
integral de la función 2 f + 3 entre 2 y 5?
13. Por el método de sustitución de variables, integrar la función sen2(x) cos (x).
14. Hallar todos los vectores de 3 cuya norma valga 3. ¿Es dicho conjunto una recta ó
un hiperplano?
1  1
15. ¿Existe alguna matriz, B, tal que AB = 2ª, si es que A = 
 ? Caso que sí, hallar
0 1 
el conjunto de todas tales matrices.
16. Si en una matriz 2 por 2 la segunda columna es el triple de la primera, ¿qué puede
afirmarse de su matriz inversa?