Recinto Universitario “Rubén Darío” Enseñanza Matemática

Recinto Universitario “Rubén Darío”
Facultad de ciencias de la educación y humanidades.
Departamento de Matemática
Enseñanza Matemática
Análisis y Diseño de un Material Educativo
Para facilitar la enseñanza en la matemática.
Tema:
Ecuación de la recta.
Elaborado por:
Raquel de los Ángeles Pavón Centeno.
Eylin Carolina López Barberena.
Profesora: Dra. Oneyda Ortega
Matemática Educativa.
II Año vespertino
Managua, 18 de noviembre de 2004.
Nuestro primer objetivo en este trabajo es facilitar al estudiantado el
estudio de la ecuación de la recta: diciendo que una recta es la
distancia más corta entre dos puntos. Pero esta definición se apoya en
el significado del término distancia. Si tramos ahora de definir la
distancia, veremos que cualquier explicación nos devuelve al punto de
partida. Nosotros admitiremos la siguiente definición de línea recta
basada en el concepto de pendiente para mayor asimilación.
Pendiente:
Cualquier par de punto en el plano determina una recta única. Si
p1 x1 , y1  y p2 x2 , y2  son dos puntos tales que x1  x2 , entonces al mismo
m
y2  y1
, x1  x2
x2  x1
Se llama pendiente de la recta determinada por estos dos puntos. Es
común llamar a y2  y1 , incremento en y a x2  x1 incremento en x. La
pendiente de una recta es, entonces, m 
increm entoen y
increm entoen x
Ejemplo:
En la figura comparemos las graficas de las rectas con pendiente
positiva, negativa, cero e indefinida. En la figura34(a)) vemos que una
recta con una pendiente positiva (m>o) crece a medida que x aumenta.
En la figura 34(b)) vemos que una recta con pendiente negativa (m = 0)
decrece a medida que x aumenta. Una recta con pendiente cero (m = 0)
es horizontal (véase en la figura 34) (C)
Si p1 x1 y1  y p2 x2 , y2  son dos puntos en una recta vertical, entonces,
x1  x2 y entonces x2  x1  0 por tanto la pendiente de esta recta es
indefinida (véase en la (d))
En general puesto que:
y2  y1   y1  y2  y1  y2


x2  x1  x1  x2  x1  x2
No importa a cuál de los dos puntos se llama p1 x1, y1  y a cuál se llame
p2 x2 , y2  en (6)
Y
P2
Incremento
en y>0
X
P1
Incremento en x>o
Figura (34 (a))
Y
Incremento
en x>0
P1
Incremento en
y<o
x
P2
Figura (34 (b))
Y
P1
P2
Incremento en
y=0
X
Figura (34 (c)) m = 0
P2
P1
(d) m indefinida
Incremento en
x=0
Cualquier par de puntos distintos en una recta determinará la misma
pendiente. Para probar estos, considere los triángulos semejantes
P1Q1P2 y P3Q2 P4 , mostrados en la figura:
Y
p4 x4 y4 
p2 x2 y2 
p3 x3 , y3 
Q1 x2 , y1 
X
p3 x3 , y3 
Q2 x4 , y3 
Puesto que sabemos que razones de los lados correspondientes son
iguales, tenemos:
y2  y1 y4  y3

x2  x1
x4  x3
Por tanto, la pendiente de la recta es independiente de la escogencia de
punto en la recta. A pesar que este argumento se baso en la colocación
de p1, p2 , p3 y p4 sobre la recta, la discusión sigue siendo válida para
cualquier colocación de estos 4 puntos.
Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,6) y (3,-4)
Grafique la recta.
Solución: sean (-2,6) el punto p1 x1 y1   3,4 el punto p2 x2 , y2 
La pendiente de la recta a través de estos puntos es.
m

y2  y1
46

x2  x1 3  (2)
 10
 2
5
Por lo tanto, la pendiente es -2 y la recta que pasa por p1 y p2 se
muestra en la figura:
Y
Incremento
en x =5
p1  2,6
Incremento
en y = -10
x
p2 3,4
Note el ejemplo 1 que si hubiéramos asignado a
p1 x1, y1  el punto 3,4 y p2 x2 y2  el punto (-2,6), entonces la ecuación (6)
habrían dado la misma pendiente m 
y2  y1 6  (4) 10


 2
x2  x1
23 5
Grafique la recta que pasa por el para de punto dado y determine su
pendiente.
(a) (-4,-1) y (5,2)
(b) (-3,3) y (4,-4)
(c) (-5, 2) y (-5,-4)
Solución: en la figura se marcan los puntos y se grafican las rectas. Las
pendiente se calculan utilizando (6)
Y
(-3, 3)
(5, 2)
(-5, 2)
X
(-4, -1)
(4, -4)
(-5, -4)
(a) m 
2  (1) 3 1
 
5  (4) 9 3
(b) m 
43 7

 1
4  (3)
7
(c) puesto que (-5,2) y (-5,-4) determinan una recata vertical la
pendiente es indefinida.
Ecuación de la recta.
Nombres de las distintas formas de expresar la ecuación de una recta.
Supongamos que tenemos la ecuación de una recta y haciendo las
modificaciones oportunas, la ponemos en esta forma: y = mx + n. Esta
forma se llama forma explicita. En este caso m es la pendiente de la
recta.
Si la ponemos en esta forma: y  y0  mx  x0  . Decimos que esta en
forma de punto-pendiente. En este caso m es la pendiente de la recta
y x0 , y0 las coordenadas de un punto cualquiera de la recta.
Si la ponemos en esta forma: x/a + y/b = 1 decimos que está en la forma
canónica o segmentaría. En este caso, a es la distancia desde el origen de
coordenadas al punto donde la recta corta al eje X y b es la es la
distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta
al eje Y.
Si la poneos en está forma ax + by + c = 0, decimos que está en forma
general. En este caso el vector (a, b) se llama vector característico de la
recta y es la pendiente a la recta.
Posición relativa de dos recta.
Dos rectas pueden:
1. Cortarse en un punto.
Para saber las coordenadas del punto de corte de dos rectas, sólo
tenemos que resolverle sistema de ecuaciones formado por las
ecuaciones de las dos rectas.
Sean las rectas y = 2x e y = x – 5. Para calcular el punto donde se
cortan esas rectas, resolvemos el sistema. Sustituyendo en la segunda
ecuación el valor de y de la primera tenemos. 2x = x – 5. Luego x = - 5
e y = - 10
Lo que hemos hecho al resolver el sistema de ecuaciones es buscar unos
valores de x e y que satisfagan las dos ecuaciones simultáneamente, que
es la condición que tiene el punto de corte: pertenecen a las dos rectas.
2. Ser paralelas
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
3 Ser coincidentes
Esto significa que la reta es la misma. Ocurre que a veces, nos dan la
ecuación de la recta en distintas formas, pero en realidad se refiere a la
misma recta.
Ahora estamos en condiciones de encontrar una ecuación de la una
recta L. para comenzar, suponga que la recta L mostrada en la figura
tiene pendiente m y pasa por un punto p1 ( x1 , y1 ) . Si p(x, y) denota
cualquier punto sobre L con x  x1 , entonces podemos escribir según
(6).
y  y1
m
x  x1
Esta ecuación puede escribirse de la forma y  y1  m( x  x1 )
(8)
Note que las coordenadas de todos los puntos sobre L, incluyendo
p1 ( x1, y1) satisfacen (8) al contrario, si las coordenadas de un punto
satisfacen (8), entonces es el punto deben localizarse sobre L. puesto
que (8) se determino conociendo la pendiente y un punto, decimos que
es la forma punto – pendiente para la ecuación de una recta o,
simplemente:
Ecuación de la recta punto – pendiente
y  y1  m( x  x1 )
(9 )
Y
Línea L con
pendiente m
P(x, y)
X
p1 ( x1, y1)
La recta que pasa por el punto dado p1 x1 , y1  y tiene la pendiente dada m, tiene por
ecuación y  y1  m( x  x1) )
 1 
Halle una caución de la recta con pendiente 4 que pasa por   ,2 
 2 
1
Solución siendo m = 4, x1   , y y1  2 obtenemos de la ecuación (9) la ecuación de
2
punto – pendiente
  1 
y  2  4  x    
  2 
1

Simplificando, nos da y  2  4 x   , o y = 4x + 4
2

Forma pendiente –intercepto de la ecuación de una recta
Y = mx + b
(10)
Nota. Una ecuación paralela al eje Y no tiene ordenada en el origen. Es
este caso no puede usarse la forma de ecuación que acabamos de
obtener:
Ejemplo:
Halle una ecuación de la recta con pendiente
2
e intercepto y en -3
5
Solución: utilizando m =
2
5
y b -3 o y =
2
x -3
5
Puede demostrarse también que la grafica de cualquier ecuación de la
forma y = mx + b es una recta con pendiente m e intercepto b en el
eje y.
RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES
Vimos en la figura 34 (c) que una recta horizontal tiene pendiente
m =0.
Por lo tanto, se puede obtener, según (9), la ecuación de una recta
horizontal que pasa por un punto (a, b):
Y-b = 0(x-a), o y = b
Ecuación de una recta horizontal
Y =b
(11)
Una recta vertical que pasa por (a, b) tiene pendiente pero todos los
puntos la recta tienen la misma coordenada x. Esta observación lleva
al siguiente resultado.
Ecuación de una recta vertical
X=a
(12)
Halle la ecuación para la recta horizontal y vertical que pasan por
(3,1-1). Grafique las rectas.
Solución: cualquier punto de la recta vertical que pasa por (3,1-1) tiene
a 3 como coordenada x. de la recta misma, cualquier punto de la recta
horizontal que pasa por (3,1-1) tiene coordenadas -1 en y. la ecuación
de la recta es Y = 1-1. Ambas rectas se grafican en la figura
x=3
y = -1
(3, -1)
Forma general de la ecuación de una recta
La ecuación de una recta cualquiera, en el plano coordenado, es de la
forma lineal.
Ax +By +C =0
(1)
En donde ya sea A O B debe ser diferente de cero y C no ser igual a
cero.
Ahora consideraremos el problema inverso, a saber, la ecuación lineal
(1), ¿representa siempre una línea recta?.Para contestar a esta
pregunta examinaremos las dos formas posible de la ecuación (1) con
respecto al coeficiente de y, es decir, las formas para B = 0 y B  0 .
Caso 1. B = 0. S i B = 0, entonces A  0 , y la ecuación se reduce a la
forma x  
C
A
(2)
Pero (2) es de la forma x=k la cual es la ecuación de una recta paralela
al eje y.
Caso (2) B  0 . Si B  0 , podemos dividir la ecuación (1) por B, i
A
B
entonces por transposición se reduce a la forma y   x 
C
B
(3)
Pero (3) esta en la forma y  mx  b y, por tanto, es la ecuación de una
recta cuya pendiente es 
A
C
y cuya ordenada en el origen es  En
B
B
consecuencia, vemos que en todos os casos la ecuación (1) representa
una recta.
Las ecuaciones (9), (10), (11) y (12) son casos especiales de la ecuación
lineal general. Donde a y b no son ambos cero. Y, viceversa, cuando a y
b son ambos cero, la grafica de (13) es una recta.
Por ejemplo, si b  0 , entonces despejando Y en (13) de la ecuación
pendiente – intercepto Y = (-a/b) x + (-c/b). Sin embargo, si b=0 y a  0 ,
La ecuación resultante x= -c/a representa una recta vertical.
Ejemplo:
1) Halle la pendiente y el intercepto en Y de la recta 3x-7y+5=0
Solución: despejando Y en la ecuación lineal.
3x  7 y  5  0
3
Según (10), vemos que la pendiente de la recta es m 
7 y  3x  5
7
3
5
y  x y
7
7
5
Y el intercepto en Y es b  si los intercepto en X y en Y son
7
diferentes, la grafica de la recta puede dibujarse pasando por los
puntos correspondiente sobre los ejes X y Y.
2) grafique la recta 3x-2y+8=0
Solución: primero establecemos que x=0 para hallar el intercepto en Y
3(0) – 2y +8 = 0
-2y+8=0
2y=8
Y=4
Luego establecemos que Y= 0 para hallar el intercepto en X:
3 x  2(0)  8  0
3x  8  0
3 x  8
x
3
8
Y
(0,4)
3x-2y+8=0
3 
,0 

 8 
X
La grafica que pasa por la figura, se dibuja pasando por (0,4) y
0,4 y   8 ,0 
 3

Observación:
Algunos profesores en ves de utilizar le palabra pendiente dicen el
ángulo que forma la recta con el eje x o la horizontal. Es fácil decir, la
pendiente es la tangente de ese ángulo.
Otros profesores (que pretenden que nos equivoquemos ya sabéis que
hay profesores de todo tipo) dicen el ángulo que forma la recta con el
eje y, o la vertical, en este caso el ángulo que tenemos que utilizar es el
complementario (90-ángulo).
Rectas paralelas
Dejamos ejercicios probar el siguiente resultado sobre rectas paralelas.
(Véase en el problema)
Pendiente para rectas paralelas
Dos rectas son verticales con pendiente m1 y m2 . Son paralelas sí y solo
sí m1  m2
EJEMPLO:
La ecuaciones 3x + y 02 y 6x +2y =15
Puede escribirse de la forma pendiente de cada recta es -3 por tanto,
las rectas son paralelas (véase en la figura)
Y
y  3x 
15
2
Y = -3x+2
X
Rectas perpendicular:
Puede demostrarse que cuando dos rectas con pendiente definidas son
perpendiculares, entonces sus pendiente son recíprocas y de signo
contrario.
Pendiente de rectas perpendiculares
Dos rectas con pendiente m1 y m2 son perpendiculares si y solo si
m1m2  1 , esto es m1 
1
1
y m2 
m2
m1
Ejemplos:
Halle la ecuación de la recta que pasa por (0,-3) que es pendiente –
intercepto 4x -3y +69 = 0 grafique las rectas.
Solución: expresemos la ecuación dada de la forma pendiente –
intercepto de:
4x  3 y  6  0
3y  4x  6
4
y  x2
3
4
. La pendiente de una
3
4
3
recta perpendicular a ella será el recíproco negativo de , ó  . Por
3
4
3
tanto, la recta que estamos buscando tiene pendiente
e intercepto
4
3
y -3. Su ecuación es y   x  3 su grafica de la recta de color de la
4
Según (10), sabemos que esta recta pendiente
figura.
Y
4x-3y+6=0
X
3
y   x3
4
Nota. Una recta paralela al eje Y no tiene ordenada en el origen. En
este caso no puede usarse la forma de ecuación que acabamos de
obtener.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por
dos cualquiera de sus puntos. Analíticamente, la ecuación de una recta
también queda perfectamente determinada conociendo las
coordenadas de dos cualquiera de sus puntos.
Y
p1 ( x1 , y1 )
X
O
X
p2 ( x2 , y2)
Y
La recta cuyas intercepciones con ejes X y Y son a  0 y b  0,
respectivamente, tiene por ecuación
x y
  1.
a b
Nota:
1. Si a = 0 entonces también cuyas intercepciones b = 0, y la forma
simétrica no puede usarse. En este caso. Solamente se conoce un punto,
el origen, y no es suficiente para determinar una recta.
2. como una recta queda perfectamente determinada por dos
cualesquiera de sus puntos, la manera más convincente de trazar una
recta a partir de su ecuación.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la mediatriz (perpendicular en su punto medio)
del segmento (-2, 1), (3, -5).
Solución: supongamos que la mediatriz es la recta L y que el segmento
es L las coordenadas del punto medio M de L son (1/2, -2).
m  1  (5)  2  3  
6
5
Y
L
O
X
X
M
L
Y
(3,-5)
Como l es perpendicular a L , su pendiente, es m = 5/6. Por tanto, la
ecuación de L es
y + 2 5/6(X-1/2).
La cual se reduce a
10x-12y-29=0
En síntesis:
A
B
 , osea , AB  AB  0 Saber si dos rectas son paralelas es
A B
muy fácil: Sólo tenemos que calcular sus pendientes, si son iguales las rectas son
paralelas.
a) Paralelismo,
b) perpendicularidad, AA  BB  0 Saber si dos rectas son perpendiculares es
muy fácil: Sólo tenemos que calcular sus pendientes, m y m', y multiplicarlas, si el
resultado es -1, las rectas son perpendiculares
C) Coincidencia, A  KA, B  KB, C  KC( K  0);
D) Intercepción, en un punto y solamente un punto;
A
B
 , o sea AB  AB  0.
A B
Distancia de un punto a una recta
Los malos profesores te hacen estudiar fórmulas, los buenos te
enseñarán a razonar.
Seguramente tendrás una fórmula para calcular la distancia de un
punto a una recta. No la necesitas si sabes pensar:
La distancia de un punto a una recta es la medida sobre una recta
perpendicular a la anterior y que pase por el punto (lógicamente).
Como nos darán la ecuación de la recta, sabremos la pendiente de la
recta (sea m esta pendiente), entonces la pendiente de las rectas
perpendiculares a esta tendrán pendiente -1/m. Como además esa recta
tiene que pasar por el punto que nos dicen, nos será muy fácil calcular
la ecuación de esa recta.
Ya tenemos entonces las ecuaciones de las dos rectas. Si resolvemos el
sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas,
obtendremos el punto en el que se cortan las rectas.
Ya tenemos entonces las coordenadas de dos puntos (uno el punto
original y otro sobre la recta, este punto es el mas cercano al primero),
y entonces si hacemos un dibujo de los dos puntos y ponemos las
coordenadas de los puntos sabremos calcular la distancia.
Ejercicios propuestos:
En los problemas, halle la pendiente de la recta que pasa por los
puntos dados.
1). (3,-7), (1,0)
2). (5,2), (4,-3)
3). (-1,2), (3,-2)
En los problema grafique la recta que pasa por (1,2) con la pendiente
dada.
1).
2
3
2). 3
3). -1
En los problemas halle una ecuación de la recta indicada.
1). Pasa por el punto (5, 6) con pendiente 2
2). Pasa por el punto (2,-2) con pendiente -1
3). Pasa por el punto (0,4) con pendiente
1
4
4).Pasa por los puntos (2,2) y (-2,-2).
5).pasa por los puntos (0,0) y (a, b).
6). Con interfecto x en 7 e interfecto y en -2.
En los problemas halle la pendiente y el intercepto en y de la recta
dada.
1). 2x-4y-7=0
2). -3x+y=0
3). Ax+by+c=0
En los problemas haga la recta de la grafica dada.
1). 3x-4y+12=0
2
3
2).y=  x  1
3).-3x+y=8
Halle la ecuación de la recta que pasa por (-2, 4) y es paralela a
3x+y-2=0.
Halle la ecuación de la recta que pasa por (2,-3) y es perpendicular a
x-3y+1=0.
Halle la ecuación de la recta que pasa por (-5,4) que es perpendicular a
la recta que pasa por (1,1) y (3,7).
Una recta tangente a una circunferencia en un punto P de la
circunferencia es perpendicular a la recta que pasa por P y por el
centro de la circunferencia. Halle la ecuación de la tangente L en la
siguiente figura.
Y
P
L
(x-2)^2+ (y-3) ^2=4
3
X
Halle la ecuación de la bisectriz perpendicular del segmento de la recta
1
3
que une  ,10 y  ,4  .
2

2

En los problemas determine cuales de las rectas dadas son paralelas
entre sí y cuales perpendiculares entre sí.
1). (a) 3x-5y+9=0
(b) 5x= -3y
(c) -3x+5y=2
(d)3x+5y+4=0
(e) -5x-3y+8=0
(f) 5x-3y-2=0
2). (a) 3x-y-1=0
(b) x-3y+9=0
(c) x+3y=0
(d) x+3y=1
(e) 6x-3y+10=0
(f) x+2y+8=0
3). (a) y+5=0
(b) 4x+6y-3=0
(c) x=7
(d) 12x-9y+7=0
(e) 2x-3y-2=0
(f) 3x+4y-11=0
Use la grafica de la recta dada para calcular su pendiente.
Y
4
5
X