Aplicaciones del Cálculo a la Física Trabajo

Aplicaciones del Cálculo a la Física
Trabajo
1. Un tanque hemisférico, colocado de modo que su parte superior es una región circular cuyo radio
es de 6 pie, se llena de agua hasta una altura de 4 pie. Calcule el trabajo realizado al bombear el
agua hasta la parte superior del tanque.
2. Un tanque tiene la forma de un cilindro circular recto, de 12 pie de profundidad y un radio de 4
pie, está lleno hasta la mitad de aceite que pesa 60 lb/pie3. Determine el trabajo realizado al
bombear el aceite hasta una altura de 6 pie por arriba del tanque.
3. Un tanque en forma de cono circular recto invertido tiene un diámetro de 8 m en su parte
superior y una profundidad de 10 m. Si el tanque se llena a una altura de 9 m con agua, calcule
el trabajo efectuado al bombear el agua hasta la parte superior del tanque.
Fuerza ejercida por la opresión de un líquido
4. El fondo de una alberca es un plano inclinado. La alberca tiene una profundidad de 2 pie en un
extremo y 8 pie en el otro. Si el ancho de la alberca es de 25 pie y su longitud de 40 pie,
determine la fuerza ejercida por la presión del agua sobre el fondo.
5. La cara de una presa, que está en contacto con el agua, está inclinada un ángulo de 45° con
respecto a la vertical. La cara es un rectángulo de 80 pie de ancho y una altura inclinada de 40
pie. Si la presa está llena de agua, calcule la fuerza ejercida por la presión del agua sobre la
cara.
6. Una compuerta de una acequia tiene la forma de un segmento (casquete) de círculo de 4 pie de
radio. La parte superior de la compuerta es horizontal y está 3 pie arriba del punto más bajo de la
compuerta. Si el nivel del agua está 2 pie por arriba de la parte superior de la compuerta, calcule
la fuerza ejercida por la presión del agua sobre la compuerta.
Tractriz
7. Una tractriz, la cual tiene aplicaciones en problemas de persecución, es una curva tal que la
longitud del segmento de cada recta tangente desde el punto de tangencia hasta el punto de
intersección con el eje x es una constante positiva a. Vea la figura adjunta.
 a  a2  y 2

y

Demuestre que una ecuación de la tractriz es x  a ln 

  a2  y2


Sugerencia: sea P  x, y  cualquier punto de la tractriz y sea  el ángulo de inclinación de la
recta tangente a la tractriz en P . Muestre que sin   y a , y en consecuencia que
tan    y
a 2  y 2 . Después resuelva la ecuación diferencial
y
y
, donde

x
a2  y 2
y  a cuando x  0
8. Suponga que usted pertenece a la marina y que está en la orilla de un muelle mientras jala un
bote mediante una cuerda de 15 pie de longitud, de modo que el bote se desplaza sobre una
tractriz (vea el ejercicio anterior). Refiérase a la figura adjunta donde el muelle está a lo largo del
eje x , y que inicialmente usted estaba en el origen y el bote en el punto  0,15 sobre el eje
y.
¿Cuánto habrá caminado usted cuando el bote se encuentre a 12 pie del muelle?, (b) ¿Qué tan
alejado estará el bote del muelle cuando usted halla caminado 20 pie? Necesitará la graneadora
para resolver la ecuación.
Circuito CR
9. Si i t  coulombs por segundo es la corriente desde un capacitor cargado bajo decaimiento
pasajero a través de un resistor a los t segundos, entonces:
1
i  t    xe x x , Si E  t  watts es la energía disipada para t 0, T  , entonces
0
T
E  t   R  i  t  t . Donde R ohms es la resistencia. Si R  50 , ¿cuánta energía se ha
2
0
disipado cuando T  1 ?
10. La cara de una presa tiene la forma de un arco de la curva…
 1

y  100cos 
 x   x   100,100 y la superficie del agua esté hasta la parte
 200 
superior de la presa. Determine la fuerza debida a la presión del agua sobre la cara de la presa
sí la distancia se mide en pies.