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CAPÍTULO VII
CORRIENTE ALTERNA
A.- CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
7.1.- Fuerza electromotriz inducida sobre un cuadro en rotación.
Supongamos que dentro de un campo de inducción magnética homogéneo B ,
se hace rotar un cuadro formado con N espiras, a una frecuencia constante 
mediante la acción de una fuerza de origen mecánico. Sus lados son l y m, y por lo
tanto su superficie es  l m , tal como se puede apreciar en la figura 7.1. Las espiras
terminan en dos colectores que giran con el cuadro de N espiras, que están a su vez
conectados mediante unas escobillas a una resistencia R de carga, donde se hace uso
de la corriente inducida generada, cuya expresión vamos a calcular.
El flujo del
vector inducción que
atraviesa el cuadro es:
 
 NB   N B cos 
La variación
del flujo en el tiempo
es:
d
d
  NBsen 
dt
dt
Fig. 7.1
y por lo tanto la
fuerza electromotriz inducida, según la ley de Faraday es:
e
d
d
 N Bsen 
dt
dt
Pero la velocidad angular del cuadro  es:

d
dt
y como suponemos  constante, podremos escribir:
VII A 1
e  N B  sen  t
es decir que:
e = emáxsen2ft
donde hemos usado los
reemplazos emáx = NB y
 = 2f, siendo f la frecuencia
de rotación del cuadro.
La figura 7.2 muestra el
gráfico de la función obtenida.
Como se puede observar, la
tensión varía en
forma
senoidal. De la misma manera
lo hará la corriente que circula
por la resistencia de carga R,
de la figura 7.1.
En lo que sigue,
Fig. 7.2
usaremos la notación que
daremos a continuación, por ser la de mayor aceptación, teniendo en cuenta que
V0 = R I0:
v  t   V0 sen 2  f t
(7.1)
i  t   I 0 sen 2  f t
(7.2)
7.2.- Aplicación a los elementos del circuito R, L y C.a) Circuito resistivo puro.
Supongamos el circuito de la figura 7.3 donde
usamos una fuente de tensión alterna v(t), aplicada a
una resistencia R. Se ve de inmediato que:
v t   i t  R
i t  
Fig. 7.3
VII A 2
v t 
R
b) Circuito capacitivo puro.
Si ahora suponemos el circuito de la figura
7.4, tendremos que:
q  t   C v t 
i t  
d v t 
dq
C
dt
dt
v t  
Fig. 7.4

1
i t  d t
C
c) Circuito inductivo puro.
Si finalmente aplicamos la misma fuente de tensión
alterna al inductor L, como se ve en la figura 7.5, tenemos:
v t   L
i  t 
Fig. 7.5
d i t 
dt

1
v t  d t
L
Es decir, que en los tres elementos pasivos de un
circuito, hemos obtenido la expresiones para v(t) y para i(t),
que usaremos en lo que sigue.
7.3.- Leyes de Kirchoff.En el capítulo II vimos las leyes de Kirchoff para corriente continua. Ahora
deben generalizarse para las corrientes alternas.
Los elementos pasivos del circuito son ahora R, L y C, y no solo los resistores
como en el caso de corriente continua. Cada uno de ellos tiene una diferencia de
potencial entre sus extremos o terminales, que debe ser tenida en cuenta en la ley de
Kirchoff correspondiente.
La generalización consiste en que ambas leyes deben ser válidas para todo
instante, es decir deben ser válidas para los valores instantáneos de las corrientes y de
las tensiones aplicadas. Las podemos enunciar así:
 “la suma algebraica de las corrientes instantáneas en un nodo es cero”;
VII A 3
 “la suma algebraica de las tensiones instantáneas aplicadas en una malla cerrada es
igual a la suma algebraica de las diferencias de potencial instantáneas entre los
terminales de cada elemento pasivo que se encuentre en la malla”.
En el caso de la segunda ley, se debe tener cuidado con los signos que se
aplican entre los terminales de los elementos, valiendo las reglas que oportunamente
se explicaron en cada uno de ellos.
7.4.- Valores eficaces de i(t) y v(t).Se definen como valores cuadráticos medios, o valores eficaces de la corriente
y tensión a:
T

1 2
i  t dt
T
Ie 
(7.3)
0
T

1 2
v  t  dt
T
Ve 
(7.4)
0
Vamos a ver el sentido físico de estas definiciones aplicadas a nuestro caso, en
el cual la corriente está dada por la (7.3). La corriente eficaz deberá ser la que en un
periodo T produzca una cantidad de calor por efecto Joule, que es:
U  I 2e R T
que a su vez deberá ser:
T

R I T  R i2  t  d t
2
e
0
T
I 2e 

1 2
i  t d t
T
0
y aplicando a nuestro caso, donde la corriente está dada por la (7.2), como ya dijimos,
se obtiene (dejamos al lector la realización del cálculo):
T
I2
1 2
I 
i  t d t  0
T
2
2
e

0
es decir que, finalmente, podremos escribir los valores eficaces de tensión y corriente:
VII A 4
Ie 
I0
Ve 
V0
2
2
 0,707 I 0
(7.5)
 0,707 V0
(7.6)
Debemos aclarar que tanto los valores medios, vistos en el párrafo anterior,
como los valores eficaces, pueden ser calculados para otras funciones periódicas.
7.5.- Valores medios de i(t) y v(t).Como hemos visto en las expresiones (7.1) y (7.2), la tensión y la corriente
alterna varían con el tiempo en forma senoidal. Dichas expresiones dan, entonces, los
valores intantáneos de tensión y corriente.
Para calcular los valores medios de ambas magnitudes, lo haremos sobre un
semiperiodo. Si lo hiciéramos sobre el periodo T, ambos darían un valor nulo, como
es obvio. Por ello denominaremos en este caso valores medios de la tensión y de la
corriente, respectivamente a:
T/2
1
Im 
T/ 2
i t  d t
(7.7)
0
T/2
 v t  d t
1
Vm 
T/ 2
(7.8)
0
Calcularemos el valor medio de la corriente dada por la (7.2), utilizando la
(7.7). En realidad, lo que trataremos de hacer, es encontrar un valor medio Im
equivalente, tal que en un semiperíodo, circule una carga q igual a la que circula al
aplicar la i(t) dada por la (7.2). Resulta entonces que si:
i  t   I 0 sent
es:
d q  i  t  d t  I 0 sent d t
o sea:
T/ 2
q  I0
 sen  t d t  I  cos t   2I
0
T/2
0
0
VII A 5
0
q
2 I0 I0
 T
2f 
y como la corriente media es la carga que circula en un semiperíodo, resulta:
Im 
q
I0 T
2

 I 0  0,637 I 0
T/ 2 ( T/ 2 ) 
es decir que finalmente podremos escribir ambos valores medios:
I m  0,637 I 0
(7.9)
Vm  0,637 V0
(7.10)
7.6.- Relación de fases entre i(t) y v(t) en los circuitos con R, L o C.Vamos a analizar ahora las relaciones de fase existentes entre la tensión v(t) y
la corriente i(t) en los circuitos donde existe una resistencia R, o bien una inductancia
L, o un capacitor C.
a) Circuito resistivo puro.
Consideremos el circuito resistivo puro de la figura 7.6 en el cual es aplicada
una corriente:
Fig. 7.6
i ( t ) = I0 sen t
La tensión resultante será:
v  t   i  t  R  RI0 sent
(7.11)
y en la misma figura 7.6, se pueden observar representadas ambas funciones, que no
están desfasadas.
VII A 6
b) Circuito capacitivo puro.
Sea ahora el circuito de la figura 7.7, donde sólo se tiene un capacitor C, sobre
el cual actúa el generador de tensión v(t).
Si la corriente aplicada es como antes:
i  t   I0 sent
la tensión se puede obtener de las expresiones correspondientes obtenidas en el
párrafo 7.2 y será:
v t  


1
I
I
i  t  d t  0 sen  t d t   0 cos t
C
C
C
(7.12)
donde no hemos tenido en cuenta la constante de integración ya que nos interesa la
diferencia de fase entre la corriente y la tensión. Ambas funciones están representadas
en la figura 7.7, y como se puede observar la corriente i(t) está adelantada respecto de
v(t) en /2.
Fig. 7.7
c) Circuito inductivo puro.
Veamos ahora el caso de la figura 7.8, donde la tensión v(t) está aplicada a
una inductancia pura L.
Fig. 7.8
VII A 7
Si, como antes, la corriente es:
i  t   I 0 sen  t
la tensión resultante, aplicando la expresión correspondiente encontrada en el
parágrafo 7.2, es:
v t   L
di
 I 0  L cos  t
dt
(7.13)
El gráfico de ambas funciones se puede ver en la figura 7.8, donde v(t), está
adelantada respecto de la corriente i(t), en /2.
En las expresiones (7.12) y (7.13) hacemos:
XC 
1
C
XL  L
juegan el rol de R en la (7.11) y se denominan la reactancia capacitiva y la reactancia
inductiva, respectivamente. La unidad en ambos casos es el ohm (), tal como se
puede verificar reemplazando las unidades correspondientes de , C y L.
7.7.- Análisis de circuitos. Impedancia compleja. Diagramas de impedancia.Vamos a analizar ahora tres circuitos: el RL, el RC, y el RLC. Para ello en
lugar de utilizar funciones armónicas, vamos a emplear la notación exponencial,
debido a la gran comodidad que ofrece.
a) Circuito RL.
Supongamos inicialmente el
circuito RL de la figura 7.9, en el
cual hay una tensión aplicada. Atento
a que en este capítulo utilizamos
funciones armónicas, expresaremos
la tensión como:
v  t   V0 ej  t
(7.14)
Fig. 7.9
Este tipo de notación resulta además muy cómodo, debido a que las derivadas
e integrales son sencillas. Lo mismo sucede con los productos y cocientes. En los
VII A 8
ejemplos que damos a continuación, se podrá apreciar la simplicidad que implica
manejar estas funciones.
Si aplicamos en este circuito la segunda ley de Kirchoff, tenemos:
V0 e j  t  i  t  R  L
d i t 
dt
y si ahora suponemos que la corriente tendrá una expresión del mismo tipo de la
usada para la tensión, y que también será por lo tanto una función armónica:
i t Ke jt
donde K es una constante que deberemos calcular. Si reemplazamos en la anterior
i (t), tenemos:
V0 e
j t
 R Ke
j t
L
d  K ej t

dt
V0 e j  t  R Ke j  t  j LK e j  t
de donde K resulta:
K
V0
V0

R  j  L R  jX L
y reemplazándola en la expresión de la corriente:
i t  
V0
ej  t
R  jXL
Si definimos como impedancia al número complejo que resulta de dividir v(t)
por i(t) en sus formas exponenciales, resulta:
v t  V0 e j t
Z

R  jX L
i t  V0 e j t
R  jX L
(7.15)
Se puede representar Z en el plano complejo de la forma que se ve en la figura 7.10.
En el eje real se grafica la resistencia R, y en el eje imaginario la reactancia inductiva
XL Como la resistencia R siempre es positiva, se utilizarán para estos gráficos el
primer y cuarto cuadrante.
VII A 9
El ángulo (o argumento)  está
dado por la expresión:
X 
 = tg -1  L 
 R
Como en el eje real se representan
las resistencias, y éstas no desfasan la
corriente, se puede suponer que ese eje
representa la corriente. Este tipo de gráfico
se denomina diagrama de impedancias.
Fig. 7.10
b) Circuito RC.
Vamos a resolver ahora el circuito
RC de la figura 7.11. Si procedemos como
antes, y aplicamos la segunda ley de
Kirchoff, tenemos:
V0 e j  t  i  t  R 

1
i t  d t
C
y si la expresión de la corriente es:
i  t   Kej  t
Fig. 7.11
al reemplazar en la anterior se tiene:
V0 e j  t  Ke j  t R 

1
Ke j  t d t
C
V0 e j  t  K e j  t R 
K j t
e
j C
(omitiendo, como anteriormente, la constante de integración). La constante K resulta
K
V0
V0
V0


 I0
1
j R  jX C
R
R
jC
C
y por ello la expresión de la corriente es:
i t  
V0
ej  t
R  jXC
VII A 10
y la impedancia del circuito resulta
entonces:
Z
v t  V0 e j t

R  jX C
i t  V0 e j t
R  jX C
(7.16)
En la figura 7.12, vemos el
diagrama de impedancias de este circuito.
Se puede observar que la tensión está
atrasada respecto de la corriente en .
Fig. 12
c) Circuito RLC.
Vamos a resolver ahora el circuito RLC serie, que se muestra en la figura
7.13.
Si aplicamos la segunda ley
de Kirchoff, como antes se tiene:
V0 e j  t  i  t  R 
di t 
1
i t  dt L
C
dt

y si reemplazamos por la misma
expresión de la corriente que usamos
en los casos anteriores:
Fig. 7.13
i  t   Kej  t
se obtiene:
V0 e j  t  Ke j  t R 
d  Ke
1
Ke j  t d t  L
C
dt

V0 e j  t  K e j  t R 
jt
K jt
e  j L K e j  t
j C
de donde la constante K resulta:
VII A 11

V0
K
R  jL 
1
jC

V0
 I0
R  j(X L  X C )
y por lo tanto la expresión de la corriente es:
i t  
V0 e j  t
R  j XL  XC 
y la impedancia resultará:
Z
v t 

i t 
V0 e jt
R  j X L XC 
V0 e jt
R  j X L XC 
(7.17)
La figura 7.14 muestra el
diagrama
de
impedancias
correspondiente a este circuito.
Del mismo se desprende que:
tg
y el módulo
compleja es:
XL  XC
R
de
la
(7.18)
impedancia
Z  R2   XL  XC 
Fig. 7.14
2
(7.19)
Vamos a analizar ahora las caídas de tensión en el circuito RLC serie de la
figura 7.15.
Del mismo se desprende que los valores de tensiones eficaces Ve entre bornes de cada
uno de los elementos pasivos del circuito, si Ie es la corriente eficaz, son:
Ve ab  I e R
Ve bc  I e X L
Ve cd  I e X C
Por otra parte, hemos encontrado que la impedancia del circuito es
VII A 12
1 

2
Z  R 2  X L X C   R 2   L 

c 

y aplicando la ley de Ohm, resulta:
Vead I e Z
observándose claramente que:
Veab Vebc Vecd Vead
Fig. 7.15
es decir que la suma algebraica de las caídas de tensión, no es la caída obtenida por la
ley de Ohm. Ello se debe a que las caídas se deben obtener mediante el diagrama de
impedancias para cada elemento y luego componer en el mismo para obtener la caída
total. Es, como se puede ver, una suma de carácter vectorial.
7.8.- Resonancia en el circuito serie RLC.a) Frecuencia de resonancia.
Supongamos ahora que en el circuito de la figura 7.13, en el cual el módulo de
la impedancia estaba dada por la expresión (7.19):

1 
R   L 

C 

2
Z
2
variamos la frecuencia hasta que:
 L
1
C
lo que implica que existe un valor de  = 0, tal que:
0 
1
1
 f0 
LC
2  LC
(7.20)
donde f0 se denomina la frecuencia de resonancia del circuito.
b) Impedancia y corriente en la resonancia.
En la expresión (7.19), se puede ver que la impedancia Z correspondiente a la
frecuencia de resonancia es un mínimo, y vale Z = R.
VII A 13
2
En los gráficos de la figura 7.16, también se pueden ver la variación del
módulo de la impedancia Z , así como XL y XC , en función de . Se observa que en
Fig. 7.16
0, los módulos de las reactancias son iguales. En la resonancia, la tensión y la
corriente se encuentran en fase.
En la figura 7.17, hemos representado la
corriente en función de la frecuencia , donde
claramente se ve que para la frecuencia de
resonancia 0, hay un valor máximo para la
corriente, que es Imax.
Para estimar “ancho típico” de esta
curva conviene definir dos valores 1 y 2, en
I
los que I vale máx . Para estos valores de
2
frecuencia, la potencia disipada es la mitad de
la máxima. Definimos, entonces, ancho de
banda a la mitad de la potencia mediante la
expresión  = 2 - 1.
Fig. 7.17
c) Definición del factor de mérito Q.
Por otra parte, introduciremos ahora la definición del factor de mérito o de
calidad Q, del circuito resonante. En realidad, es un concepto general que se utiliza
también en otros casos de resonancia en la física. Este factor nos da una idea de cuan
alta es la curva, respecto de su ancho , lo que determina la máxima cantidad de
energía que se puede almacenar en el circuito respecto de la energía que se pierde
durante un periodo completo. Por ello, Q se define como:
Q  2
máxima energía almacenada
máxima energía disipada por ciclo
VII A 14
(7.21)
donde el factor 2 se ha introducido para simplificar la expresión de Q. Como se
sabe, la energía, solo puede almacenarse en el inductor L y en el capacitor C, y sólo
puede disiparse en el resistor R. Ello nos permite expresar a Q en términos de la
energía instantánea asociada con cada uno de los elementos reactivos, y con la
potencia promedio disipada por el resistor.
d) Cálculo de Q para un circuito resonante serie RLC.
De acuerdo a lo dicho, Q0 en la resonancia es:
Q 0 = 2
[U L ( t )  U C ( t )] max
PR T
donde UL (t) y UC (t) son los valores instantáneos de las energías almacenadas en el
inductor y en el capacitor, respectivamente, en la resonancia, PR es la potencia media
disipada en la resistencia, y T es el período.
Si en un circuito serie RLC (figura 7.15), se tiene:
i(t) = I0 sent
es
vC  t   
I0
cos  t
C
y por lo tanto podremos calcular:
1
1
UL ( t ) = Li2 ( t ) = LI20 sen2 0t
2
2
1
I2
1
UC (t)= Cv 2 (t ) = 02 cos2 0 t  LI02 cos2 0 t
2
20 C
2
donde hemos usado la (7.20). La suma de ambas energías instantáneas da un valor
constante, que es el valor máximo.
Es fácil ver que la potencia promedio absorbida por el resistor en un período
es:
1
PR = I 02 R
2
entonces,
VII A 15
PR T=
1 2
I0 R
2f0
Si ahora calculamos Q0, tenemos:
L
1 2
LI0 (cos2t sen 2t)
L
L
Q 0  2 2

 0  C
11 2
R
R
R
I0 R
2 f0
0
(7.22)
que es función de los tres elementos del circuito R, L y C.
e) Cálculo de Q para un circuito resonante paralelo RLC.
Haremos el mismo cálculo para el circuito RLC en paralelo (fig. 7.18). En ese
caso se tiene:
i(t) = I0 sent
v(t) = R I0 sent
ya que la corriente que sale de la fuente pasa por la resistencia, y la impedancia en
resonancia del paralelo LC es infinita. El valor de 0 coincide con el del circuito
serie.
Entonces:
1
1
UC (t) = Cv2 ( t ) = CR2I 20 sen2 0 t
2
2
1
1
1
1  dv 
UL(t)= Li2(t) Li2L(t)  LiC2 (t)  L C C 
2
2
2
2  dt 
2
como ya se dijo, iL = iC (en módulo) ya que no entra corriente al paralelo LC en
resonancia.
UL (t) 
1
1
LC 202 R 2 I02 cos 2 t  CR 2 I02 cos 2 0 t
2
2
donde hemos usado la (7.20). La suma de ambas energías instantáneas máximas, da
un valor constante, que es el valor máximo:
UC (t)  U L (t) 
VII A 16
1
CR 2 I 02
2
Es fácil ver que la potencia promedio
absorbida por el resistor en un periodo es:
1 2
I R
2 0
1 2
PR T =
I R
2f 0 0
PR =
Fig. 7.18
Si ahora calculamos Q0 tenemos:
1
CR 2 I 20
C R
Q0 = 2  2
= 0 RC= R

1 2
L
L
I0 R
2f0
C
(7.23)
que es función de los tres elementos del circuito R, L y C.
f) Otra expresión para Q y 0.
Es posible demostrar, haciendo uso de la (7.20), (7.21) y de la (7.23), que Q0
se puede expresar como:
Q0 =
0

(7.24)
que muestra que Q0 tendrá un valor tanto más alto, cuanto más pequeño sea el ancho
de banda a la potencia mitad. También se puede demostrar que:
0 =
1 2
(7.25)
Dejamos la realización de estas demostraciones para cursos posteriores.
7.9.-Potencia.Cuando se hace el análisis de circuitos, además de las respuestas del mismo a
las fuentes de energía eléctrica que se le apliquen, existe interés en conocer la
cantidad de energía suministrada por las fuentes, la energía disipada o almacenada en
el circuito, y la forma en que se entrega energía a los puntos en los cuales se calculan
las respuestas.
Es importante también analizar la tasa a la cual se genera o absorbe energía.
Por ello, vamos ahora a prestar atención a la potencia, para lo cual introduciremos las
definiciones de mayor uso en la técnica.
VII A 17
a) Potencia instantánea.
El producto de la tensión instantánea aplicada a un dispositivo, por la
corriente instantánea que pasa por él, es la potencia instantánea:
p (t )  v (t) i(t )
(7.26)
b) Energía total suministrada.
La energía total suministrada a un dispositivo, al cabo de un tiempo t= t2 - t1 ,
resultará entonces, teniendo en cuenta la (7.26):
t2
U =
 p( t ) d t
(7.27)
t1
c) Potencia media o activa.
Se define potencia media o activa a:
T
1
Pm   p(t) d t
T0
(7.28)
Vamos a calcular esta potencia para valores de tensión y corriente dados por
las expresiones que siguen, donde  es el desfasaje genérico entre ambas:
v t V0 sent
i t I0 sen t  
Si reemplazamos en la expresión (7.28), se tiene:
T

V I
1
Pm 
V0 I 0 sen  t sen   t    d t  0 0 cos 
T
2
0
Pm  Ve I e cos
d) Potencia aparente.
En la (7.29), se denomina potencia aparente al factor:
VII A 18
(7.29)
SVe I e
(7.30)
donde Ve e Ie son los valores eficaces de la tensión y corriente respectivamente.
e) Factor de potencia FP.En la (7.29), se denomina factor de potencia al factor:
FP  cos
(7.31)
siendo  el ángulo de desfasaje entre la tensión y la corriente.
Si la carga del circuito es puramente resistiva, el ángulo de desfasaje es 0, y el
FP = 1. La potencia media, y la potencia aparente son iguales. Podría suceder que se
tuviera un FP = 1 para circuitos donde las cargas tengan inductancias y capacitancias,
siempre y cuando los valores de los elementos y la frecuencia de operación se
eligieran para dar una impedancia de entrada con  = 0.
Una carga puramente reactiva, que no contenga resistencias, causará un
 = 90 grados, lo que implica un FP = 0.
Se dice que la fase está adelantada o atrasada, referida a la corriente respecto
de la tensión. Una carga inductiva tendrá un FP atrasado y una capacitiva, un FP
adelantado.
La entrega de potencia a consumidores importantes, se hace generalmente con
una cláusula de FP en las tarifas que se cobran. Si este factor cae por debajo de un
valor dado, generalmente 0,85 de atraso, se hace un cargo adicional. En estos casos,
la carga es generalmente inductiva, por lo que tienen un FP atrasado.
La potencia media Pm entregada a la carga es una medida del trabajo útil por
unidad de tiempo que la carga puede realizar. Esta potencia es transmitida a través de
las líneas de distribución, y de los transformadores. Para el caso usual de una carga
inductiva, es posible a menudo mejorar el factor de potencia colocando capacitores en
paralelo con la carga. Como la tensión a través de la carga, no cambia, la potencia útil
no debe cambiar. El FP crece, la corriente y la potencia aparente decrecen, lográndose
de esa forma una utilización más eficiente del sistema de distribución de potencia.
Se desprende de lo dicho, que hay varias razones por las cuales se cobra por
un FP bajo: la compañía debe entregar una mayor cantidad de corriente desde sus
generadores, para proporcionar la requerida para operar con factores de potencia
bajos, si la tensión y la potencia son constantes. Además hay mayores pérdidas en los
sistemas de distribución y transmisión.
VII A 19
f) Potencia reactiva.
Se denomina potencia reactiva a:
Q  Ve I e sen
(7.32)
La unidad de Q se define como el var, que significa voltamperes reactivos.
(No se debe confundir la potencia reactiva con el factor de mérito del circuito
resonante, a pesar de que tienen el mismo símbolo).
g) Triángulo de potencia.
Las ecuaciones asociadas con las potencias media, aparente y reactiva, pueden
ser representadas mediante un triángulo denominado “triángulo de potencia”. Se
puede ver que se cumple:
S2 = Pm2 + Q2
La figura 7.19 muestra este triángulo para un circuito inductivo, pudiéndose
ver el atraso de la corriente respecto de la tensión. Se observa que la tensión Ve es la
referencia. La componente Q está por debajo de la horizontal.
Fig. 7.19
En la figura 7.20 en cambio, se muestra el adelanto de la corriente respecto de
la tensión, en un circuito capacitivo. En este caso, la componente Q, está por encima
de la horizontal.
VII A 20