Funciones-_Analíticas_2014

PROGRAMA DE ASIGNATURA
AÑO: 2014
ASIGNATURA: Funciones Analíticas
CARÁCTER: Obligatoria
CARRERA: Licenciatura en Matemática
RÉGIMEN: Cuatrimestral
CARGA HORARIA: 120 hs
UBICACIÓN en la CARRERA: Tercer año – segundo cuatrimestre
FUNDAMENTACIÓN Y OBJETIVOS
El estudio de las funciones de variable compleja está entre las materias de
matemática básica y forma parte de los fundamentos del análisis con aplicaciones a
otras muchas áreas como la geometría, la teoría de números y la física.
El objetivo del curso es presentar a los alumnos el núcleo básico y universal de
herramientas y resultados del área y dotarlos de destreza suficiente en su manejo
para la resolución de problemas afines.
Se espera que comprendan los conceptos importantes de manera que pueda
estudiar y trabajar en otras áreas en las que aparezcan las funciones de variable
compleja como herramienta.
CONTENIDO
Parte I: Introducción a las funciones analíticas
Capítulo 1: El cuerpo de números complejos. El plano complejo y su
topología. Funciones diferenciables en R2. Las series exp, sen y cos.
Capítulo 2: Funciones analíticas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. La función
exponencial. Funciones armónicas. Integrales de linea. El Teorema de Cauchy para
triángulos y generalizaciones. Series de potencia. El test-M de Weierstrass. La
fórmula integral de Cauchy para un círculo. El Teorema de Morera. El Principio de
reflexión de Schwarz. Representación de funciones analíticas por series de potencia.
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Capítulo 3: La exponencial, el seno y el coseno. El Teorema de Liouville. El
Principio del módulo máximo.
Parte II: El Teoremna de Cauchy y sus aplicaciones
Capítulo 4: Logarítmos y argumentos. El índice de un punto respecto a una
curva cerrada. El Teorema de Cauchy.
Capítulo 5: Singularidades. Series de Laurent. El Teorema de CasoratiWeierstrass. Residuos. El Principio del argumento. El Teorema de Rouché. El
Teorema de la aplicación abierta.
Capítulo 6: Transformaciones de Möbius. Mapas conformes. Mapas del disco.
Capítulo 7: Fórmula integral de Poisson. El problema de Dirichlet en un disco.
Continuación analítica.
Parte III: Familias de funciones analíticas y factorización
Capítulo 8: El espacio de funciones analíticas A(Ω). El Teorema de Hurwitz. El
Teorema de Montel. El Teorema de Vitali. El Teorema de Riemann. El Teorema de
Cauchy versión homotópica. El Teorema de Runge.
Capítulo 9: Productos infinitos. El Teorema de factorización de Weierstrass. El
Teorema de Mittag-Leffler.
BIBLIOGRAFÍA
PRINCIPAL
Ash, Robert and Novinger W. Complex variables. Dover Publications 2004. New
York.
COMPLEMENTARIA
Conway, John. Functions of complex variable. Springer-Verlag.
Ahlfors, Lars. Análisis de variable compleja. Aguilar
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METODOLOGÍA DE TRABAJO
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Clases teóricas con participación de los estudiantes en la discusión de los
contenidos expuestos.
Clases prácticas con resolución de ejercicios y problemas donde consulten y
expongan los razonamientos elaborados por ellos mismos al docente.
Espacios de exposición por parte de los alumnos de los problemas o
resultados planteados en clases teóricas o prácticas para ponerlos en
discusión con los docentes y sus compañeros.
EVALUACIÓN
 Dos evaluaciones parciales y un recuperatorio. Las evaluaciones parciales
son escritas, sobre problemas teórico-prácticos.
 El examen final consta de una evaluación escrita sobre problemas teóricoprácticos (de las características de los trabajos prácticos), y una evaluación
consistente en una exposición oral, sobre temas desarrollados en las clases
teóricas.
CONDICIONES PARA OBTENER LA REGULARIDAD
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ASISTENCIA: Participar del 70% de la totalidad de horas previstas de clases,
tanto teóricas como prácticas.
EXÁMENES PARCIALES: Aprobar 2 exámenes parciales, con calificación
mayor o igual a 4. Se puede recuperar alguno de los parciales en caso de no
haber sido aprobado uno de ellos. Pueden presentarse al recuperatorio
incluso aunque hayan aprobado los dos parciales.
EXPOSICIÓN EN CLASE: Realizar por lo menos 2 exposiciones de
problemas o resultados planteados en las clases teóricas o prácticas.
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