Funciones-de-una-variable

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FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL .
(Material preparado por Mauro Hernán Henríquez y Marta Lidia Merlos, Departamento
de Matemática, UCA ).
1. INTRODUCCION
Se usa el termino función para denotar la dependencia de una cantidad con respecto a otra.
Por ejemplo:
El área A de un cuadrado depende de la longitud l de su lado según la ecuación :
Se dice que el área A es función de l (la longitud del lado).
A=l 2 .
El volumen V de una esfera depende de r , la longitud de su radio, según la formula
4
V   r 3 . Decimos que el volumen V es función del radio r.
3
En cada caso se da una regla de correspondencia (una ecuación o una fórmula) mediante la
cual a cada valor de la variable l ( ó r ) se le asigna un valor al área A (ó al volumen V) y
decimos que l (ó r ) es la variable independiente y A (ó V ) es la variable dependiente
NOTA: Designaremos las funciones con letras minúsculas: f, g.
2. FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL.
2.1 DEFINICION DE UNA FUNCION
DEFINICIÓN: Una función f es una regla de correspondencia mediante la cual a cada
elemento x de un conjunto A se le asigna uno y solo un elemento y de un conjunto B
En general A, B no necesitan ser conjuntos de números reales; sin embargo sólo trataremos
funciones en la que A y B son ambos subconjuntos de los números reales. Tales funciones
son las que llamamos funciones reales de una variable real.
2.2 TERMINOLOGIA ASOCIADA CON UNA FUNCION .
En la definición anterior A se le llama dominio y B se llama codominio de f.
Si
S  A decimos que la función f esta definida en S.
Si x  A , entonces y = f ( x ) denota el único elemento en B que la función f asocia a x,
(se lee: y es igual a f de x o bien: y es el valor de f en x). En este caso x es la variable
independiente; y es la variable dependiente.
Al conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente y (o f(x) ) conforme x
varia en el dominio, se le llama rango de f
2
DIAGRAMA DE FLECHAS
2.3 MANERAS DE ESPECIFICAR UNA FUNCIÓN.
Una función puede especificarse así:
Haciendo una descripción de ella o


Estableciendo : su regla de correspondencia, (esto es una ecuación o fórmula para
evaluarla) y
Su dominio natural D, (esto es el conjunto de todos los valores de la variable
independiente para los cuales la regla de correspondencia origina un numero real).
NOTA: Si sólo se da la regla de correspondencia y no se especifica su dominio, asumimos
que se trata de su dominio natural.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
En los ejercicios 1, 2 formule la regla de correspondencia y establezca el dominio natural
para la función descrita.
1. La función f asigna a un numero real, el valor de su segunda potencia
2. La función g hace corresponder a un numero real, su valor recíproco.
SOLUCIÓN
Para 1: f ( x)  x2
D f  IR
Así : f ( 2 ) = 22 = 4
f (- 2 ) = (-2 )2 = 4
Para 2: g ( x) 
1
x
Así : g ( 2 ) 
g(
Dg  IR – { 0 }
1
2
1
1
) 1 2
2
2
3
3.GRÁFICA DE UNA FUNCION
El método más común para visualizar una función es su gráfica.
Definición. La gráfica de una función f es el conjunto de todos los puntos ( x, y ) en el
plano cartesiano, cuyas coordenadas satisfacen la fórmula o ecuación que define a f.
En símbolos:
Gráfica de f =
 x, y  
2
/ x  Df y y  f ( x)

ADVIERTA:
Si f ( x)  x2 entonces:


3,9 pertenece a la
2 ,5 
no pertenece
f ( 2 )  4 y 4  5.
Si g ( x) 


gráfica de f porque 3  D f
a la
y
gráfica de f
f(3) 9
2  Df
porque
pero
1
, entonces:
x
1

 3 ,  pertenece a la gráfica de g porque 3  Dg y
3

0,0 no pertenece a la gráfica de g porque 0  Dg
g 3 
1
3
NOTA: No toda curva en el plano x-y es la gráfica de una función. Esta última se
caracteriza geométricamente porque toda recta vertical que la corta lo hace exactamente en
un punto.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
A) Curva que es la grafica
de una función
B) Curva que no es la grafica
de una función
A Xo le corresponden dos valores distintos Yo y Y1.
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3.2 PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCION.
Para construir la grafica de una función se sugieren estos tres pasos.
PASO 1. Obtener las coordenadas de unos cuantos puntos que satisfagan la ecuación (o
fórmula) que define a la función. Presentar estos puntos en una tabla de valores.
PASO 2. Ubicar en el plano los puntos de la tabla de valores.
PASO 3. Unir los puntos mediante una curva de trazo continuo.
NOTA: Al construir la gráfica de una función definida en un intervalo [a, b] o ]a, b[,
conviene comenzar la tabla de valores con el punto de abscisa a y terminar con el punto de
abscisa b. Cuando el intervalo es abierto se eliminan los puntos terminales de la gráfica,
dejando en su lugar un hueco.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1.Construir la gráfica de f ( x)  x2
SOLUCIÓN
x
-1
0
1
2
f(x)
1
0
1
4
en
a) [-1, 2] ,
b]-1, 2 [
5
2.Construir una gráfica de g  x  
1
en [ 2 , 5 ]
x
SOLUCIÓN
x
f(x)
2
4
5
0.5
0.25
0.20
NOTA: cuando la regla de correspondencia de una función está dada por más de una
fórmula, se dice que la función esta definida en secciones. Por ejemplo la función f definida
por:
 x 2 si  1  x  2

f x    1
 , si 2  x  5
x
es una función definida por secciones cuyo dominio es el intervalo [-1, 5 ] y cuya gráfica
consta de 2 secciones, las cuales se obtienen al trazar en el mismo sistema de ejes
coordinadas la grafica de
f ( x ) =x2 en –1 ≤ x ≤ 2 y
f x  
como se ilustra con la siguiente figura.
1
x
en 2 < x < 5
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4.FUNCIONES ESPECIALES Y SUS GRAFICAS .
a) FUNCION IDENTIDAD
f(x)=x
Df =IR
Gráfica de f(x) = x ,
-1 < x  2
b)FUNCION CONSTANTE
f(x) = C
Df = IR
Gráfica de f(x) = 4 ,
-1  x < 2
ADVIERTA: La gráfica de una función constante es una recta horizontal.
c) FUNCION RAIZ CUADRADA
f x   x
es el número no negativo que elevado al cuadrado es x,
Df   0,   
Gráfica de f  x   x en [ 0, 4 ]
ADVIERTA:
x origina un número real si el radicando x, es un número no negativo.
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5. FUNCIONES
FUNCIONES.
QUE
RESULTAN
DE
OPERACIONES
CON
5.1 FUNCION SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE
FRACCIONES
DEFINICIÓN. Sean f y g funciones. Entonces f + g , f – g , f g y
f
son funciones
g
que se especifican así:
a) ( f +g ) (x) = f (x) + g (x) , D= Df  Dg
b) ( f –g) (x) =f (x) – g (x)} , D= Df  Dg
c) (f g) (x) = f (x) . g (x ) ,
D= Df  Dg
f 
f ( x)
d)   ( x) 
,
D = Df  Dg - { x ε IR / g (x) =0}
g ( x)
g
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
Sea f (x ) = x 2 , Df = IR
g (x) =
x , Dg = [ 0,   [ , entonces

( f + g ) (x) = x 2 +

( f –g) (x) = x 2 -

(f g) (x) = , ( x 2 ) (

 f 
x2
  ( x ) 
,
x
g
x ,
x ,
x ),
D = IR  [ 0,   [ = [ 0,   [
D = IR  [ 0,   [ = [ 0,   [
D = IR  [ 0,   [ = [ 0,   [
D = IR  [ 0,   [ - { x ε IR /
D =  0,   
x  0}
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5.2 FUNCION MULTIPLO CONSTANTE.
DEFINICIÓN. Sea f una función, k una constante. “La función múltiplo constante de
f”, denotada por k f, tiene como dominio, el dominio de f y como regla de
correspondencia (k f ) (x) = k f (x).
 3 x , si x  0
1. Si f(x) = x, entonces 3 f  x   
 3 x , si x  0
, si x  0
0
2. Si f(x) = U(x) , entonces  2 f  x   
 2 , si x  0
7. GRAFICAS DESPLAZADAS Y GRAFICAS REFLEJADAS.
GRAFICAS DESPLAZADAS.
Para un numero real o mayor que cero:
• La gráfica de y = f(x) + c es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia arriba.
• La gráfica de y = f(x) – c es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia abajo.
• La gráfica de y = f(x + c) es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia la
izquierda.
• La gráfica de y = f (x – c) es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia la
derecha.
NOTA: Cuando la gráfica desplazada corta al eje x conviene ( para futuras aplicaciones)
encontrar los valores de x donde se cortan ambas.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
1. Las gráficas de y = x2 + 4, y = x2 – 4 , y = (x + 4)2
 y = ( x – 4 ) 2 se obtienen de la
gráfica de y =x2 desplazándola 4 unidades hacia arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha
respectivamente.
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2. La gráfica de y = (x – 4)2 – 1 se obtiene de la gráfica de y = x2, desplazándola 4
unidades hacia la derecha y luego una unidad hacia abajo.
Al desplazar esta última gráfica una unidad hacia abajo, corta el eje x en los puntos donde
y = 0 ; es decir donde
(x – 4)2 –1 = 0
[(x – 4) - 1] [(x – 4) + 1] = 0
(x – 5)(x – 3) = 0
x=5
x=3
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3. Construir la gráfica de y = x2 + 2 x.
Para construirla como desplazamiento de la gráfica de y = x 2 , primero completemos un
trinomio cuadrado perfecto así:
y = x2 + 2x = x2 + 2x + 1 –1 = (x + 1)2 – 1.
De este modo la gráfica a construir es la gráfica de y = x 2 desplazada una unidad a la
izquierda y luego una unidad hacia abajo.
Corta el eje x en
x=0
y
x = -2
(VERIFICARLO)
Cuando de trata de de una función compuesta en la cual la función externa es el valor
absoluto, se grafica la función interna y luego se refleja.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
1. Construya la gráfica de
a) y  4  x  1
2
SOLUCION.
a)
b) y  x 2  2 x
11
b)
8. FUNCIONES ALGEBRAICAS.
8.1 DEFINICION
DEFINICIÓN. Una función algebraica es cualquier función f cuya regla de
correspondencia se obtiene a partir de la variable independiente y constantes, mediante las
operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y sustracción de raíces. Su
dominio depende de las operaciones involucradas en su regla de correspondencia.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
x3 √x 2 + 4
1. la función de f definida por f ( x ) =
es algebraica.
x –2x+3
2
¿Su dominio es IR ?
√x
2. La función g definida por g(x) =
es algebraica
x+4
¿ Su dominio es  0,    ?
Las funciones algebraicas que definimos a continuación son las más frecuentes.
8.2 FUNCIONES POLINOMIALES
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DEFINICIÓN. Una función polinomial es cualquier función f que tenga como regla de
correspondencia una expresión de la forma
f(x) = a n x n + a n –1 x n –1 + . . . + a 2 x 2 + a1 x + a o
donde los coeficientes a n , . . ., ao , son números reales y los exponentes son enteros no
negativos. Obviamente el dominio de cualquier función polinomial es IR.
Si a n ≠ 0, n es el grado de la función polinomial. Particularmente, una función polinomial



de grado 1, f(x) = a x + b, se llama función LINEAL.
de grado 2, f(x) = ax2 + bx + c, se llama función CUADRÁTICA.
de grado 3, f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , se llama función CUBICA.
8.3 FUNCIONES RACIONALES.
DEFINICIÓN: Una función racional es cualquier funcion f que tenga como regla de
correspondencia una expresión de la forma
a n x n + a n-1 + . . . + a 2 x2 +a, x + a o
f (x
)=
bm x m + b m –1 x m –1 + . . . + b2 x2 + b, x + b o
y como dominio los números reales, excluidos aquellos que hacen cero el denominador.
(Una función racional se describe diciendo que es el cociente de dos polinomios). Se dice
que la función racional es impropia, cuando n ≥ m y es propia cuando n<m .
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
x+5
1. ¿La función f definida por f(x)=
es una función racional impropia ?.
x–7
¿ Su dominio son los números reales excluido el 7 ?
x+5
2. ¿ La función g definida por g(x) =
es una funcion racional propia ?.
x – x –6
2
¿ Su dominio son los números reales excluidos el –2 y el 3 ?
8.4 GRAFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES.
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CASO 1. Si la función polinomial es lineal, su gráfica es una línea recta.
puntos.
Bastan dos
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
1. Graficar
x
f(x)
0
-2
4
0
2. Graficar
x
f(x)
0
2
4
0
y = 4 + 2x
y = 4 – 2x
ADVIERTA: La gráfica de una función lineal de la forma
crece si a > o y decrece si a < o (¿ Si a = 0 ?)
y = a x + b es una recta que
CASO 2. Si la funcion polinomial es cuadrática, su gráfica es una parábola, la cual se
puede construir :


TABULANDO (como con las funciones especiales)
COMPLETANDO UN CUADRADO PARA LUEGO
REFLEJAR LA GRAFICA DE Y = X2.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
1) Graficar: y = x2 + 2x + 5.
y = x2 + 2x + 5 = ( x2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)2 + 4
DESPLAZAR
Y
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2. Graficar y = 8 –2x – x2
y = 8 – 2 x – x2 = 8 – ( x2 + 2x ) = 8 - (x2 + 2x + 1) +1 = 9- (x +1)2
La gráfica corta al eje x cuando y = 0 es decir cuando
9 – (x + 1)2 = 0
[3 – (x + 1)] [3 + (x + 1)] =0
[3 – x – 1] [ 3 + x + 1] = 0
[ 2 – x] [4 + x] = 0
x = 2, x = - 4
ADVIERTA. La gráfica de una función cuadrática de la forma y = ax2 + bx + c es una
parábola abierta hacia arriba si a > 0 y abierta hacia abajo si a < 0