Informe # 3 - Pagina de Israel Yance

Informe de Laboratorio Nº3
OBJETIVOS
Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a
partir de ellos calcular los momentos de inercia.
Notar la relación de centro de inercia con periodo del péndulo físico.
Comprobar el teorema de Steiner.
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INSTRUMENTOS
Equipo:
Una barra metálica de longitud L con huecos.
Un soporte de madera con cuchilla.
Dos mordazas simples.
Un cronómetro digital.
Una regla milimetrada.
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FUNDAMENTO TEÓRICO
Se denomina péndulo físico a un cuerpo rígido capaz de pivotar en torno a un eje
horizontal fijo, como se ilustra en la figura 1.1. La figura 1.1.A muestra la orientación de
equilibrio del péndulo, con el centro de gravedad a una distancia vertical b del eje de
rotación. En esta configuración, la componente del torque de la fuerza en torno al eje de
rotación es igual a cero.
Sí el péndulo se desplaza de su posición de equilibrio, como lo ilustra la figura 11.B,
“aparece” un torque ejercido por la fuerza de gravedad en la dirección del eje que pasa por
punto de suspensión, que tiende a hacer girar el péndulo en dirección contraria a su
desplazamiento angular que y de ésta forma llevar al péndulo de nuevo a su posición de
equilibrio (torque recuperador), posición que no logra obtener debido a su inercia. La
ecuación de movimiento que describe ésta situación física es la siguiente:

 mgbsen  I b
Donde I representa el momento de inercia del péndulo físico respecto a un eje que pasa por
0
el punto de suspensión O, y b es la distancia que separa al centro de gravedad de dicho
punto de suspensión.
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Esta ecuación la podemos expresar en forma de ecuación diferencial:
d 2 m gb

sen  0
Ib
dt 2
Esta ecuación diferencial no es lineal, por lo que no corresponde a la ecuación
diferencial de un oscilador armónico.
Más, sin embargo, si hacemos la aproximación para pequeñas oscilaciones, sen    ,
la ecuación anterior se transforma en:
d 2 m gb

 0
Ib
dt 2
Que sí corresponde a la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia angular:

mgb
Ib
Y con período,
T  2
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Ib
m gb
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Como el experimento se realiza con una regla de metal, b sería la longitud l que viene
a ser la distancia del centro de gravedad (CG) al eje de giro.
Si aplicamos el Teorema de Steiner (“teorema de ejes paralelos”):
I l  I G  Ml 2
I G  Ml 2
T  2
mgl
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CÁLCULOS Y RESULTADOS
1. Llene la tabla con las siguientes características
# de hueco
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
l (cm)
0.061
0.110
0.160
0.209
0.260
0.310
0.362
0.411
0.459
0.511
t1 (s)
33.450
32.840
32.430
31.810
31.740
32.020
33.200
17.450
20.310
26.720
t2 (s)
33.380
32.900
32.370
31.750
31.770
32.120
33.220
17.610
20.380
26.660
t3(s)
33.430
32.810
32.480
31.790
31.720
32.060
33.150
17.690
20.260
26.840
# de osc.
20
20
20
20
20
20
20
10
10
10
Periodo (prom.)
1.671
1.643
1.621
1.589
1.587
1.603
1.660
1.758
2.032
2.674
2. a) Grafique T vs l, T en la vertical y l en el eje horizontal.
b) A partir de la ecuación (1), con Il dada por la ecuación (2), encuentre el valor de l
donde el periodo es mínimo.
De la ecuación:
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…(1)
Il = IG + Ml2 …(2)
Resolviendo con las dos ecuaciones:
IG + Ml2 = (T2*M*g*l)/(2 )2
Siendo IG, M, g, y (2 )2 constantes el periodo solo depende de l, entonces tenemos una
función T=T(l) y para obtener el valor de periodo mínimo derivamos respecto a l e
igualamos a cero.
De lo cual obtenemos:
l2= IG/M
Teniendo IG = 0.1883, M = 1.850
l = 0.319m
c) Compare el valor de l obtenido en b) con el que obtiene de la grafica en (a).
Aproximando la gráfica obtenemos:
T = 11.43l2 - 8.0572l + 2.916…(3)
Derivando (3) para obtener el mínimo e igualando a cero, tenemos:
22.86l – 8.0572= 0
Obteniendo: l = 0.352m
d) ¿Cuál es el periodo para esta distancia?
Hallaremos el periodo con l = 0.352m con la ecuación (1)
Il = 0.1883 M = 0.185
T = 1.603s
e) De su gráfico, ¿puede deducir dos puntos de oscilación del mismo periodo?
Indíquelos.
Teniendo la grafica simétrica respecto al eje Y (del periodo), tendrán el mismo periodo los
que se encuentren a una distancia a la derecha igual a una distancia a la izquierda del centro
de gravedad, pero también se puede observar que en cada rama existe una concavidad que
produce un mínimo en el periodo lo que resulta dos valores de l positivos que tiene el
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mismo periodo. Analíticamente para dos valores de l positivos tenemos que cumplen la
siguiente relación: l1*l2 = IG/M.
Con los datos obtenidos tenemos que los periodos en los huecos Nº2 (T=1.6425) y Nº7
(T=1.6595) son aproximadamente iguales.
3. Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre, utilizando la relación (1),
el valor de Il y llene la Tabla 2 con las siguientes características.
# de hueco
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
l (cm)
0.511
0.459
0.411
0.362
0.310
0.260
0.209
0.160
0.110
0.061
T^2 (s^2)
2.792
2.698
2.629
2.525
2.519
2.571
2.754
3.092
4.128
7.150
MI Il
0.655
0.568
0.496
0.420
0.358
0.307
0.264
0.227
0.208
0.200
l^2 (cm^2)
0.261
0.211
0.169
0.131
0.096
0.068
0.044
0.026
0.012
0.004
4. Haga el grafico Il vs. l2, y ajústelo por el método de mínimos cuadrados cuando los
puntos obtenidos estén muy dispersos.
MOMENTO DE INERCIA Vs. LONGITUD^2
0.700
Momento de Inercia
0.600
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
Longitud^2
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Aproximando por mínimos cuadrados obtenemos:
Il = 1.802l2 + 0.1865 …(4)
5. Del grafico anterior, y por comparación de la ecuación (2), determine IG y M.
De la ecuación (4) comparamos con la ecuación (2) y obtenemos
IG = 0.1865 y M = 1.802
6. Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la forma analítica para
una barra de longitud L y ancho b, IG = M*(L2+b2)/12. ¿Qué error experimental
obtuvo?, y, ¿qué puede decir acerca de la masa?
Tenemos M =1,850Kg, L =1.103m, b =0.07m, con lo cual resulta IG = 0.1883
Obtuvimos experimentalmente el valor de IG = 0.1865, entonces el error experimental es:
El error cometido experimentalmente no es tan significante, en cuanto a la masa,
también podemos calcular el error cometido:
Notamos que el error cometido en la masa es más notorio y quizá se deba a una mala
medición de ella.
7. Halle la longitud del péndulo simple equivalente, para este cálculo solicite al
profesor del aula que le asigne el número de hueco.
El número de hueco proporcionado por el profesor para el calculo del péndulo simple
equivalente es el Nº5. La ecuación (6) nos da dicha longitud.
Calcularemos L5 teniendo como datos Il = 0.358, M = 1.85, l = 0.31
Con lo cual se obtiene el valor de L5 = 0.624
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8. Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2)
La demostración de la ecuación (1) se presenta en el fundamento teórico.
La demostración de la ecuación (2) se demuestra con el teorema de Steiner, de los ejes
paralelos, deducido por los resultados de las integrales cuando estas eran movidas a otros
ejes respecto a su centro de masa.
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CONCLUSIONES
No se puede determinar el periodo en el centro de gravedad, porque en el se va a
producir el equilibrio mecánico.
Se concluye que existe relación entre el periodo de oscilación y el Il.
El periodo mínimo del experimento es T = 1.603s (experimental)
Se pudo deducir hasta 4 distancias al centro de gravedad con el mismo periodo que
cumplían una relación.
Se demostró experimentalmente el Teorema de Steiner, teorema de los ejes paralelos.
La longitud del péndulo equivalente para el hueco # 5 es L5= 0.624.
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OBSERVACIONES
Se puede notar que el error en el experimento debido a que se toman periodos
promedios, el fallo en el calculo exacto de las medidas de longitud, masa, y periodos.
El error en el cálculo de la longitud es 0.5mm.
El error en el calculo de la masa es de 0.0005Kg
El error en el cálculo del periodo es 0.005s.
Fue tomada la gravedad con g = 9.8 m/s2
A pesar de todo, los errores que se cometieron fueron leves y los resultados fueron muy
próximos a los idealizados.
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