4taguiaestudio 2doparcial areasplanas solidosrevolucion integral675 v1

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675
3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 1erParcial – 4taGuíaEstudio
Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
4ta Guía de Estudio – 2do Parcial
Aplicaciones de la Integral Definida:
Cálculo de Áreas Planas entre Curvas
Sólidos de Revolución: Método de Discos/Arandelas
Sólidos de Revolución: Método de Cascarones Cilíndricos
Guía Complementaria No.04
Comentarios Generales
Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que
posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún
momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un
formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar
especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I
Integral, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de
Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del Catedrático, genera un valor agregado en el
conocimiento de los futuros profesionales de la Ingeniería.
Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado
que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del
conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo.
Instrucciones Específicas:
Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá
cumplir las siguientes condiciones:
a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja.
b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás
elementos que apliquen según sea el caso).
c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía.
d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su
respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será:
“X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual.
Aplicaciones de la Integral Definida: Cálculo de Áreas Planas entre Curvas
A.-) En los problemas del 1 al 11, calcule el valor del área delimitada por las funciones
planteadas a continuación;
1.-) y  3x  2; y   1 x  2 & y   1 x  1
3
8
2.-) Alguna de las dos rectas x  5 o x  5 y las dos curvas f x   x 3  1 & gx    x 2  1 .
3.-) y  sen x ; y  cos x ; 0  x  2 
4.-) x  y 2 ; x  y 2  2 y  1; x  0
5.-) y  8  x 2 ; y  x 2 ;  3  x  3
6.-) Elipse de semieje mayor a  3 y semieje menor b  2, centro en el origen.
7.-) y   x 2  4 x  3 & su recta tan gente en P 0 ,3 ; y   x  3
8.-) Triángulo de vértices A 3,0 , B 6 ,3 y C 8,0 
9.-) y  4 x  x 2 y las rectas tan gentes a la curva en los int erceptos con el eje y  0
10.-) y  3 x 3  x 2  10 x ; y   x 2  2 x
11.-) y  lnx ; x  0; y  4; & su recta tan gente en el punto x  e 2
Aplicaciones de la Integral Definida – Cálculo de Áreas Planas & Sólidos Revolución
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Aplicaciones de la Integral Definida:
Cálculo de Sólidos de Revolución – Método de Discos/Arandelas
B.-) En los problemas del 12 al 24, calcule el valor del área delimitada por las funciones
planteadas a continuación;
12.-) y  lnx ; y  1; y  2; x  0; ER  y
13.-) y  1 x 2 ; y  5  x 2 ; ER  x
4
2
14.-) x  y ; x  1; ER  x  1
15.-) y  x ; y 
x ; ER  x  2
2
2
16.-) y  x ; x  y ; ER  x  1
17.-) y  x ; y  0; x  2; x  4; ER  x  1
2
18.-) y  4  x ; x  0; x  2; ER  y  0
2
19.-) y  x ; y  3  2 x ; ER  y  0
3
20.-) y  x  4 x
2
 3 x ; 0  x  3; ER  y  0
21.-) y  x
2
22.-) y 
100  x 2 ; y  1; ER  y  0
 2; y  x  1; x  0; x  1; ER  y  0
23.-) y  x 2 ; y  16 2 ; x  3; x  3; y  0; ER  y  0
x
24.-) y  e
x


y su recta tan gente en P 2, e 2 ; x  0; y  0; ER  y  1
Aplicaciones de la Integral Definida:
Cálculo de Sólidos de Revolución – Método de Cascarones Cilíndricos
C.-) En los problemas del 25 al 35, calcule el valor del área delimitada por las funciones
planteadas a continuación;
4
25.-) y  x ; y  0; x  1; ER  x  2
26.-) y 
x ; y  0; x  1; ER  x  1
2
27.-) y  4 x  x ; y  3; ER  x  1
2
2
28.-) y  x ; y  2  x ; ER  x  1
3
29.-) y  x ; y  0; x  1; ER  y  1
2
2
30.-) y  x ; x  y ; ER  y  1
31.-) x
2
 y 2  4; ER  x  3
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32.-) y   x
2
 3 x  6; x  y  3  0; ER  x  3
33.-) y  2x  2  ; y  2 x ; ER  x  1
2
34.-) 4 x  y ; 4 8  x   y ; ER  y  4
2
35.-) y  e
x
2


y su recta tan gente en P 2, e 2 ; x  0; y  0; ER  x  1
Bibliografía Utilizada en la Conformación Teórica y Selección/Solución de los Ejercicios Planteados
1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación.
2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores
3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores.
4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana.
5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores.
6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación.
7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación.
8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile.
Santiago de Chile.
11. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. CengageLearning Editores.
12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana de
Venezuela.
13. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio
Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela.
14. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago de
Chile, Chile.
15. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores.
JCLZ1209® D.R.2015
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Respuestas De Todos Los Ejercicios
Aplicaciones de la Integral Definida: Cálculo de Áreas Planas entre Curvas
1. R/=
A

6
5
24
25
3x  2   18 x  1dx    13 x  2   18 x  1dx  36 25 u
24
6
5
2
5
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2. R/=
A 
5  x
1
2
 

 1  x 3  1 dx 
0 x
5
3
 

 1   x 2  1 dx  3751 u2
12
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3. R/=
y  sen x ; y  cos x ; 0 ,2 
A

5
2
2
0 f x dx  0 4 cos x   sen x dx   4 4 sen x   cos x dx  5  4 cos x   sen x dx
A  4 2 u2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------4. R/=
x  y 2 ; x  y 2  2 y  1; x  0
A
1
0.5
0 f y dy  0
y
2

1
 0 dy  
0.5
y
2
 
 2 y  1  0 dy
A  0.08333 u2
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5. R/=
y  8  x 2 ; y  x 2 ; x  3; x  3
A
 3 f x dx  2 0 8  x
3
2
2


3

2

3



 x 2 dx  2  x 2  8  x 2 dx

2
A  2  8  2 x 2 dx  2  2 x 2  8 dx
0
2
A  30 .6667 u2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------6. R/=
Elipse de semieje mayor a  3 y semieje menor b  2, centro en el origen
x2 y2
x2

1  y  2 1
 y  2 1  1 x2
9
9
4
9
A  2
3
3
3
1  1 x 2    1  1 x 2 dx  2  2 1  1 x 2 dx
9
9
9
3



 cambio
 ...  18 .849u2

 trigonomét rico 
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7. R/=
y   x 2  4 x  3 & su recta tan gente en P 0 ,3 ; y   x  3
Tangente de y   x 2  4 x  3 en P 0 ,3   y  4 x  3
A
2
1.2
2
2
2
0 f x dx  0 4 x  3   x  4 x  3dx  1.2  x  3   x  4 x  3dx
A
0
1.2
x 2 dx  
2
1 .2
x
2

 5 x  6 dx  1.0667 u2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------8. R/=
Triángulo de vértices A 3,0 , B 6 ,3  y C 8,0 
Usando la fórmula y  y1  mx  x1  se det er min a
Ecuación que pasa por AB  y  x  3 & BC  y   3
A
2
x  8 
3 f x dx  3 x  3  0dx  6  3 2 x  8   0 dx  7.50u
8
6
8
2
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9. R/=
y  4 x  x 2 y las rectas tan gentes a la curva en los puntos de int er sec ción
con el eje y  0
Tangente en P 0 ,0   y  4 x ;
A
0 f x dx  0 4 x  4 x  x
4
2
2
Tangente en P 4 ,0   y  4 x  16
dx    4 x  16   4 x  x dx
4
2
2
A  5.333u2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------10. R/=
y  3 x 3  x 2  10 x ; y   x 2  2 x
A
2 f x dx   2 3x
2
0
3
 

2

 

 x 2  10 x   x 2  2 x dx    x 2  2 x  3 x 3  x 2  10 x dx
0
A  24 und 2
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11. R/=
y  lnx ; x  0; y  4; y su recta tan gente en el punto x  e 2

 
e x  1   4 dx   e x  1  lnx dx
e x  5dx   e x  1dx   lnx dx
Tangente en P e 2 , ln e 2  y  e  2 x  1
A
A
e4
0
e4
0
e2
2
2
e4
e2
e4
2
2
e2
e4
A  3.6763 und 2
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12. R/=
y  lnx ; y  1; y  2; x  0; ER  y
y  lnx   e y  x
Y
X
X
Y
V
2
2 y
2
1 A y dy   1 e   0  dy
2
V
2
e
4
 e2

V  74 .156 u3
Z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------13. R/=
Z
Y
X
X
y  1 x 2 ; y  5  x 2 ; ER  x
4

A x    5  x 2
V

2

  1 x2
4

2
2 A x dx  2 25  10 x
2

V   176
2
3
  184.307u

  25  10 x 2  x 4  1 x 4
16
2
 15
16

2


x 4 dx  2   25  10 x 2  15
0
16

x 4 dx
3
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14. R/=
x  y 2 ; x  1; ER  x  1

A y    1  y 2
V


2
  1  2y 2  y 4
1 A y dy   1 1  2 y
1
1
1

2


 y 4 dy

V  2   1  2 y 2  y 4 dx
0
 15   3.351u
V  2 8
3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Z
z
Y
y
15. R/=
y  x; y 
x ; ER  x  2
   2  y 
A y   4  4 y  y   4  4 y  y 
A y   y  5 y  4 y 
V   A y dy    y  5 y  4 y dy
V  8   1.676 u
15
A y    2  y 2
2
2
2
4
4
2
2
1
1
0
0
4
X
2
3
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16. R/=
y  x 2 ; x  y 2 ; ER  x  1

A y    y  1

2  y 2  12  y  2
 
y  1  y 4  2y 2  1

 

 2 y dx  29   3.0369 u
30
A y    y  2 y  1  y 4  2 y 2  1   y  2 y  y 4  2 y 2
V
0 A y dy  0 y  2
1
1
y  y4
2
Z
3
Y
z
y
X
-----------------------------------------------------------------------------------------------------17. R/=
y  x ; y  0; x  2; x  4; ER  x  1
A1 y   4  1  2  1  9  1  8
2
2
 
 
A 2 y   4  1  y  1   9  y 2  2 y  1    y 2  2 y  8
2
2

4
V
0 A y dy
V
0 A1 y dy  2 A 2 y dy
2
4
2
4
0
2

Y
y

V    8dx     y 2  2 y  8 dx
 3   79.587u
V   76
z
3
Z
X
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18. R/=
y  4  x 2 ; x  0; x  2; ER  y  0

A x    4  x 2
V

2
 0    16  8 x 2  x 4
2
0 A x dx   0 16  8 x
2

Z
2
2

z

 x 4 dx
V  17   53 .407 u3
X
x
Y
y
-----------------------------------------------------------------------------------------------------z
Y
19. R/=
y  x 2 ; y  3  2 x ; ER  y  0

A x   3  2 x   0    x 2  0
2
V 
1
3
1
A x dx   
3

2
9  12 x  4 x

  9  12 x  4 x 2  x 4
2


X
x
 x 4 dx
 1088 
V  

 15 
Z
V  227 .87u3
Y
z
X
x
Z
y
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20. R/=
y  x 3  4 x 2  3 x ; 0  x  3; ER  y  0

A x   0  x
 
 3 x 
A1 x    x 3  4 x 2  3 x  0
2
V 
V 
3
1
2
2
 4x2

 x

 3x 
  x 3  4 x 2  3x
3
 4x2
2
2
Zz
3
0 A1 x dx  1 A 2 x dx
0 x
1
3
3

2
V   x 3  4 x 2
0
  x  4 x  3x  dx
Y
 162 
 3 x  dx  
  14 .5411u
 35 
 4 x 2  3 x dx 
3
3
2
2
1
2
3
y
X
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Z
21. R/=
y  x 2  2; y  x  1; x  0; x  1; ER  y  0

A x   x
A x   x
 
A x    x 2  2  0
V
2
2

4
 4 x 2  4  x 2  2x  1
4
 3x 2  2 x  3
0 A x dx   0 x
1
 x  1  0 
1
4


X
x

Y
 3 x 2  2 x  3 dx
 16 
V     10 .0531u 3
 5 
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Z
22. R/=
y  100  x 2 ; y  1; ER  y  0
2
2
A x    100  x 2  0   1  0 



 

99  x dx
A x dx   
A x    100  x 2  1   99  x 2
V


99
99
99
V   396 11
2
Y
 99

Xx
V  4 ,126 .12u 3
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Z
23. R/=
z
y  x 2 ; y  16
x2
; x  3; x  3; y  0; ER  y  0
    256 x 
x   x   0   x 
A 1 x    16 x 2  0
A2
2
2
2
4
4
 2

 0 4 
4
3 A x dx  2  3 256 x dx   2  2 x dx 
 11,264 
V  
  87.3751u 3
405


V
3
x
X
Y
y
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24. R/=


y  e x y su recta tan gente en P 2, e 2 ; x  0; y  0; ER  y  1
 




e  1  1  dx    e  1  e x  e  1  dx
e  2e dx   e  2e   e x  e  1e x  e
Tangente en P 2, e 2  y  e 2 x  e 2
1
V  
0
1
V  
0
2
x
2
2
2
x
2
2
2
1
2x
x
2
2x
x
2
2
1
2
2

 1 dx
V  20 .8322  23 .1148  43.947 und 2
Z
Xx
Y
-----------------------------------------------------------------------------------------------------25. R/=
y  x 4 ; y  0; x  1; ER  x  2
V
1
0 2  rg  hdx
X
  
V  2   2 x  x dx
Zz
1
V  2   2  x  x 4  0  dx
0
1
4
5
Y
0
V
7
  1.4661u 3
15
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26. R/=
y
V
x ; y  0; x  1; ER  x  1
0 2  rg  hdx  2 0 x  1 x   0 dx
1
1
Y
yz
1 
1 3
V  2    x 2  x 2 dx
0


32
V
  6.7021u 3
15
X
-----------------------------------------------------------------------------------------------------27. R/=
y  4 x  x 2 ; y  3; ER  x  1
V
1 2  rg  hdx  2 1 x  14 x  x
3
3
3

y
2
  3dx

V  2    x 3  5 x 2  7 x  3 dx
1
V
8
  8.3776 u 3
3
Y
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28. R/=
Z
y  x 2 ; y  2  x 2 ; ER  x  1
V
1
1 2  rg  hdx
1
V  2 
1
1
V  2 
1
V
z
1  x 2  x 2   x 2 dx
2  2x  2x
2
X
Y

 2 x 3 dx
16
  16 .7552 u 3
3
z
------------------------------------------------------------------------------------------------------
29. R/=
y  x 3 ; y  0; x  1; ER  y  1
V
0 2  rg  hdy  2 0 1  y  1  3 y dy
1
1
1
4 
1
V  2   1  y  y 3  y 3 dy
0


5
V
  1.122u 3
14
Y
X
Z
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30. R/=
17 .) y  x 2 ; x  y 2 ; ER  y  1
V
1
1
2
0 2  rg  hdy  2 0 y  1 y   y dy
1
1 3

29
V  2    y 2  y 2  y 3  y 2 dy 
  3.0369 u 3
0
30


Z
Y
X
x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------31. R/=
x 2  y 2  4; ER  x  3
V
2
2
2 2  rg  hdx  2 2 3  x 2
2
V  2    6 4  x 2  2 x 4  x 2 dx
2 

V  24  2  236 .871u 3
4  x 2  dx

X
Yy
Z
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32. R/=
y   x 2  3 x  6; x  y  3  0; ER  x  3
V
1
3 2  rg  hdx
1
V  2 
3
1
V  2 
3
3  x  x 2  3x  6   3  x dx
x
3

 x 2  9 x  9 dx
z
256
V
  268 .083u 3
3
Y
X
Z
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zz
33. R/=
y  2x  2  ; y  2 x ; ER  x  1
2
V
1 2  rg  hdx  2 1 x  1 2 x   2x  2 
4
4
4

3
2
2

dx
V  2    2 x  8 x  2 x  8 dx
1
V  63   197 .92u 3
Yy
X
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34. R/=
4 x  y 2 ; 4 8  x   y 2 ; ER  y  4
V
4
 4 2  rg  hdy



4  y  8  y
4
V  2 
4
V  2 
4
 y2

4   4
2
 1 y 3 dy
2

4
V
2
32  8y  2y


  dy

Y
Xx
1,024
  1,072 .33u 3
3
Z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------35. R/=


y  e x y su recta tan gente en P 2, e 2 ; x  0; y  0; ER  x  1


Tangente en P 2, e 2  y  e 2 x  e 2
b
c
a
1
b
V  2   h1 rg1 dx  2   h 2 rg 2 dx
V  2 
0
1
V  2 
0
e
e
x
x


 0  x  1 dx  2  

 x  1 dx  2  
2
1
e
2
1
x
e  e
x
2


x  e 2  x  1  dx


 e 2 x  e 2  x  1 dx
V  17 .079  13 .872  30 .9512 und 2
Z
X
Y
y
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