XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica Sociedad Mexicana de Ingeniería Geotécnica, A.C. Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo EVALUACIÓN DE INCERTIDUMBRE EN ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES CON EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO ESTOCÁSTICO ESPECTRAL EN GEOTECNIA Evaluation of uncertainty in analysis of stress and strain by spectral stochastic element finite method in geotechnical engineering Alma Rosa PINEDA CONTRERAS1, Gabriel AUVINET GUICHARD2 1Becaria, Instituto de Ingeniería, UNAM Instituto de Ingeniería, UNAM 2Investigador, RESUMEN: Por naturaleza los suelos son altamente variables en sus propiedades, situación que provoca que los resultados de los análisis con elementos finitos se consideren poco precisos. El Método del Elemento Finito Estocástico Espectral (MEFEE) permite analizar la influencia de la variabilidad espacial del módulo de elasticidad en el campo de desplazamientos calculados. Con base en los conceptos matemáticos de esta técnica numérica, en este trabajo se deducen expresiones matemáticas para evaluar directamente, con un análisis de segundos momentos, la incertidumbre en el campo de deformaciones y esfuerzos. En particular, en el planteamiento de los esfuerzos aleatorios se utiliza la expansión en caos polinomial para facilitar el manejo matemático de los campos aleatorios (módulo de elasticidad y deformaciones). Para ilustrar las implicaciones de las expresiones matemáticas aquí desarrolladas, se analiza una placa simplemente apoyada y se estudia el efecto de la distancia de correlación en el comportamiento aleatorio del material. Finalmente, se presentan conclusiones. ABSTRACT: Soils properties are naturally highly variable; this situation leads to uncertain results in finite element analyses. The Spectral Stochastic Finite Element Method (SSFEM) allows analyzing the influence of spatial variability of parameters such as the Young’s modulus on the calculated displacements field. Based on mathematical concepts of this numerical technical, in this paper mathematical expressions to evaluate, directly by second moment analysis, the uncertainty on strain and stress field are derived. In particular, in the approach of random stress the polynomial chaos expansion is used in order to facilitate the mathematical handling of the random fields (Young’s modulus, strain). To illustrate the implications of the mathematical expressions here developed, a simply supported plate is analyzed and the effect of the correlation length on the random behavior of material is studied. Finally, some conclusions are presented. 1 INTRODUCCIÓN El propósito de los análisis con el método del elemento finito es predecir el comportamiento de las estructuras geotécnicas; sin embargo, factores como la variabilidad espacial del suelo (condiciones de depósito) y los relacionados con la determinación de los parámetros aportan un grado de incertidumbre importante que afecta tal predicción. Estudiar cómo la incertidumbre en los parámetros del suelo se propaga en los resultados de los análisis es una tarea que se consigue con el Método del Elemento Finito Estocástico (MEFE) que combina la teoría de probabilidad con el Método del Elemento Finito (MEF) (Cambou y Auvinet 1974; Vanmarcke, 1983). En el MEFE la incertidumbre de los parámetros del suelo se puede representar a través de variables aleatorias cuando la información disponible respecto al parámetro de interés es escasa; o de campos aleatorios en donde se toma en cuenta la correlación espacial de las propiedades del suelo. Entre las técnicas numéricas para cuantificar incertidumbre se encuentra el método de perturbaciones que utiliza variables aleatorias y los métodos de simulación (Monte Carlo) (Auvinet, 2002) que consideran variables aleatorias o campos aleatorios. La utilización del MEFE en los análisis geotécnicos ha proporcionado conclusiones importantes respecto a cómo tomar en cuenta la incertidumbre relacionada con los parámetros mecánicos (Orlandi, 1996; Mellah, 1999; Auvinet et al., 2000; Louault, 1997; Pérez-Duarte, 2000) y con la conductividad hidráulica (López, 2010). Mejores SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 2 Evaluación de incertidumbre en análisis de esfuerzos y deformaciones con el Método del Elemento Finito Estocástico Espectral en Geotecnia resultados en los análisis de incertidumbre pueden obtenerse si se tiene presente que en Geotecnia, el principal factor que induce dispersión en los parámetros del suelo es la variabilidad espacial. Un método reciente que permite incorporar este tipo de incertidumbre en los análisis con el MEF es el enfoque espectral (Ghanem y Spanos, 1991) cuya formulación se basa en el concepto de campo aleatorio. El Método del Elemento Finito Estocástico Espectral (MEFEE) se aplica a problemas de elasticidad lineal (módulo de elasticidad E y relación de Poisson ) y solamente considera la variabilidad espacial de E. Su ventaja, es que la formulación se realiza en un espacio de funciones ortogonales (espacio de Hilbert) que permiten minimizar el error en la aproximación numérica de los resultados calculados (desplazamientos aleatorios). Hasta el momento, el enfoque espectral se ha empleado poco (Pineda y Auvinet, 2006; Pineda, 2007) en Geotecnia, pero sus resultados han proporcionado conclusiones importantes respecto al comportamiento aleatorio del material, aspecto útil para prever el comportamiento geotécnico de las estructuras. En este trabajo se plantean los conceptos probabilistas que permiten la representación de la incertidumbre y se explican brevemente las herramientas matemáticas del MEFEE. Además, se presenta la deducción de expresiones matemáticas para evaluar la incertidumbre en deformaciones y esfuerzos provocada por la variabilidad espacial de E. Para ilustrar las implicaciones de las expresiones desarrolladas se analizó una placa simplemente apoyada. 2 INCERTIDUMBRE EN GEOTECNIA 2.1 Fuentes de incertidumbre Existen dos fuentes principales de incertidumbre que dificultan la determinación de los parámetros mecánicos (módulo de elasticidad). La primera fuente se debe a la variabilidad espacial. Todas las propiedades de los suelos (físicas, mecánicas e hidráulicas) varían considerablemente de un punto a otro en el espacio debido a la composición mineralógica y a las condiciones de depósito del suelo; en ocasiones las técnicas de compactación y las condiciones ambientales introducen variaciones adicionales (Auvinet, 2000). La segunda fuente de incertidumbre es provocada por errores aleatorios y sistemáticos. Los aleatorios se cometen durante la realización de las pruebas de laboratorio; y los sistemáticos son debidos a un sesgo en la medición producido por el remoldeo de muestras o por otros factores similares (Auvinet, 2002). 2.2 Representación de la incertidumbre La teoría de la probabilidad es un camino racional para representar la incertidumbre de los parámetros de los materiales mediante los conceptos de variables o campos aleatorios. 2.2.1 Variables aleatorias Una variable aleatoria V se define como una función que asocia el resultado de un experimento a los números reales. Su uso es adecuando cuando se requiere modelar la incertidumbre asociada a escasa información respecto al parámetro de interés V, en donde la modelación se realiza por subdominios que reúnen ciertas condiciones de homogeneidad. Se caracteriza por su valor esperado E{V}=V y su varianza Var[V]. La representación de la variabilidad espacial por variables aleatorias no toma en cuenta la posición específica de las muestras ni la dependencia existente entre ellas. 2.2.2 Campos aleatorios El concepto de campo aleatorio V(X,) permite representar adecuadamente la variabilidad espacial de las propiedades del medio analizado. La propiedad de interés en cada punto X del medio analizado se considera como una variable aleatoria (función del resultado del experimento,). Un campo se define por medio de su valor esperado E{V(X,), su varianza Var[V(X,)] y su función de autocovarianza CV(X1,X2) que describe la correlación espacial entre las distintas variables locales. Los parámetros y funciones que definen un campo son: -Valor esperado: V ( X , ) E {V ( X , )} (1) -Varianza: V2 ( X , ) Var [V ( X , )] (2) -Desviación estándar: V ( X, ) V2 V ( X ) (3) -Coeficiente de variación: CV V / E {V ( X , )} (4) -Función de autocovarianza: CV ( X1, X 2 ) E V ( X1 ) V ( X1 ) V ( X 2 ) V ( X 2 ) (5) -Función de autocovarianza normalizada: V ( X1, X 2 ) CV ( X1, X 2 ) / V ( X1 )V ( X 2 ) (6) 2.3 Definición de campos aleatorios Los parámetros (valor esperado, varianza, etc.) que definen el campo aleatorio de las propiedades del material dependerán de la cantidad disponible de mediciones de campo y muestreo. Los parámetros se pueden conocer directamente a partir de tales mediciones, el campo es de tipo condicional. Sin embargo, en ocasiones los datos son muy limitados, SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. PINEDA A-R. et al. entonces conviene definir un campo aleatorio a partir de la experiencia obtenida en sitios con características semejantes. Mediante un análisis Bayesiano que tome en cuenta la información a priori es posible obtener los parámetros del campo (Spry et al., 1988). Un análisis más completo que tome en cuenta también la incertidumbre asociada a la falta de datos se puede lograr usando un enfoque Bayesiano y las herramientas del enfoque espectral (Mehrez et al., 2012; Ghanem et al., 2008). 3 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO ESTOCÁSTICO ESPECTRAL En Geotecnia, por la naturaleza de los suelos, la variabilidad espacial es una fuente de incertidumbre que tiene mayor significancia en los resultados de los análisis con el MEF. Una herramienta numérica que permite modelar adecuadamente este tipo de incertidumbre es el Método del Elemento Finito Estocástico Espectral (MEFEE) (Ghanem y Spanos, 1991). En este método, el carácter aleatorio de los desplazamientos se toma en cuenta en forma intrínseca, desde la ecuación de equilibrio. Consiste en representar la variabilidad espacial del módulo de elasticidad E por medio de un conjunto de variables aleatorias Gaussianas contenidas en una expansión en serie llamada de Karhunen-Loève (Papoulis, 1965). La propagación de la incertidumbre en el campo aleatorio de la respuesta se estudia mediante una expansión en caos polinomial, cuyo fin es representar los desplazamientos de forma aleatoria utilizando el mismo conjunto de variables aleatorias Gaussianas que representan la incertidumbre de E. En esta sección se exponen, de forma resumida, los conceptos básicos del MEFEE, así como la formulación de su ecuación de equilibrio estocástica. 3.1 Representación de la variabilidad espacial Matemáticamente el MEFEE está formulado en un espacio de funciones de Hilbert cuya propiedad principal es la ortogonalidad. En el enfoque espectral, la modelación de la variabilidad del módulo de elasticidad se realiza con la expansión en serie de Karhunen-Loève. Esta expansión se basa principalmente en la descomposición ortogonal de la función de autocovarianza para conocer los valores y funciones característicos que permiten representar el campo aleatorio V(X,), en términos de coeficientes deterministas ortogonales. La realización del campo aleatorio se expresa por medio de un conjunto finito M de variables aleatorias y se escribe como: M V ( X, ) E {V ( X, )} i i ( X )i ( ) (7) 3 aleatorias Gaussianas con media cero y varianza unitaria; i y i son los valores y funciones característicos que se obtienen al solucionar la ecuación integral de Fredholm homogénea de segundo género con la siguiente forma: C ( X , X ) ( X )d V 1 2 i 2 X2 i i ( X1 ) (8) donde: es el dominio espacial del campo aleatorio; CV(X1,X2) es la función de autocovarianza, que es real, simétrica y positiva; X1 y X2 son las coordenadas espaciales. Ghanem y Spanos (1991) propusieron soluciones analíticas y numéricas de la ecuación 8. 3.2 Representación de los desplazamientos En el MEFEE se considera que cada desplazamiento nodal es una variable aleatoria. El conjunto de los desplazamientos aleatorios define un campo aleatorio, función de la variabilidad de E, con características desconocidas (valor esperado, desviación estándar, función de covarianza). La expansión en caos polinomial (Wiener, 1938) se utiliza para representar los desplazamientos aleatorios desconocidos en términos de variables aleatorias (i(): variables Gaussianas) conocidas a través de funcionales no lineales (({i()}), para i =1…M). Se puede decir que el concepto de caos polinomial es una generalización de las series de Taylor a funcionales no lineales (Cameron y Martín, 1947) y se define como el producto de polinomios de Hermite unidimensionales de variables Gaussianas, (Ghanem y Spanos, 1991, Matthies y Keese, 2005) de la siguiente manera: M H (i ), i 1 i i 0 (9) donde: es una secuencia de M enteros no negativos {1, …, M} y Hi es el polinomio de Hermite, de orden p, asociado a . El caos polinomial [{i()}] corresponde a los polinomios multidimensionales ; la secuencia M corresponde al número de variables aleatorias (i()) que provienen de la expansión de Karhunen-Loève. La expansión de cada desplazamiento nodal aleatorio en caos polinomial se expresa como: P 1 u( ) uj j [{i ( )}]; i 1...M (10) j 0 donde: uj son las coordenadas de los desplazamientos u() y P es el número de coeficientes necesarios para representar la variabilidad de u(). Por simplicidad, se asume que j[{i()}] = j(). i 1 donde: E{V(X,)} es la esperanza matemática del campo aleatorio; i() es un conjunto de variables SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. Evaluación de incertidumbre en análisis de esfuerzos y deformaciones con el Método del Elemento Finito Estocástico Espectral en Geotecnia 4 3.3 Formulación estocástica de la ecuación de equilibrio del MEF La forma general de la ecuación de equilibrio del método del elemento finito determinista se escribe con el siguiente sistema de ecuaciones: K U F (11) siendo F un vector de fuerzas nodales y volumétricas, U es un vector de desplazamientos nodales y K es la matriz de rigidez que contiene las propiedades del material. Como la variabilidad se encuentra contenida en K, la forma estocástica de esta matriz es: K ( ) B D( X, )Bd T (12) donde: es dominio de estudio, B es la matriz de forma que relaciona deformaciones y desplazamientos y D(X,) representa el campo aleatorio del módulo de elasticidad. De acuerdo con Ghanem y Spanos (1991) la formulación de la ecuación de equilibrio se obtiene al representar D(X,) con la expansión de KarhunenLoève (7) y U con la expansión en caos polinomial (10), teniendo: M P 1 K Ki i ( ) Uj j ( ) F j 0 i 1 (13) siendo K la matriz de rigidez que contiene el valor esperado del módulo de elasticidad y Ki es igual a: Ki ( ) i i ( X )B D0Bd T (14) D0 es una matriz de elasticidad unitaria. El punto principal en la formulación del MEFEE es minimizar el error M,P resultante del truncamiento de las series. Mediante el método de Galerkin (Zienkiewicz y Taylor, 1995) es posible hacer cero el error al proyectarlo ortogonalmente en el espacio del caos polinomial k(). Así la ecuación (13) se puede escribir como: La ecuación 16 representa la ecuación de equilibrio estocástica global que establece un sistema de ecuaciones lineales de dimensiones NxP x NxP, donde N es el número físico de grados de libertad en el modelo de elemento finito y P es el número de coeficientes que se utilizan en la expansión en caos polinomial. Para conocer los desplazamientos aleatorios es necesario calcular los coeficientes cijk que denotan la esperanza matemática del producto de dos polinomios y una variable aleatoria (Sudret y Der Kiureghian, 2000; Dumitriu et al., 2007) representada por E{ijk}. 4 CÁLCULO DE MOMENTOS ESTADÍSTICOS La solución de la ecuación de equilibrio estocástica del MEFEE proporciona un conjunto de desplazamientos nodales aleatorios que por si solos no reflejan la incertidumbre en los desplazamientos. Sudret y Der Kiureghian (2000) propusieron un análisis de segundos momentos (Cornell, 1971) para conocer las características del campo de respuesta. Como se explicó en el inciso 3.2 cualquier cantidad de respuesta (desplazamientos, esfuerzos y deformaciones) se puede representar por la expansión en caos polinomial como: P 1 R Rj j (18) j 0 De acuerdo con el análisis de segundos momentos, el valor esperado de la respuesta R corresponde al primer momento, que es el primer término de la expansión (18). Se tiene que: E {R } R0 (19) La varianza de la respuesta se calcula con el segundo momento, expresada como: P 1 R2 E {2 }Rj RTj (20) j 1 M P 1 E {M ,P , k } Ki U j E {i j k } E {F k } 0 (15) i 1 j 0 E{} representa el operador de la esperanza matemática, Fk=E{Fk} es cero para k>0. En la minimización del error se recurre a la propiedad del producto interno porque es un camino algebraico para sintetizar la ecuación (13) de la siguiente forma: P 1 K jk U j Fk (16) j 0 con: 5 EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN DEFORMACIONES Y ESFUERZOS En esta sección se deducen expresiones matemáticas para calcular la incertidumbre en deformaciones y esfuerzos. Las expresiones se derivan considerando la variabilidad de los desplazamientos, y en los esfuerzos se considera también la del módulo de elasticidad. En particular, el algebra de la deducción de esfuerzos aleatorios se apoya en la propiedad del producto de polinomios (caos polinomiales). M Kjk c ijk Ki (17) i 0 SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. PINEDA A-R. et al. 5.1 Evaluación de incertidumbre en deformaciones En el elemento finito las deformaciones se calculan en cada elemento de la malla; para un punto X se escriben: ( X ) B( X )Ue (21) donde: Ue es el vector de desplazamientos aleatorios del elemento e, expandido en caos polinomial es: P 1 Ue Ue, j j (22) j 0 Considerando (22), las deformaciones aleatorias se escriben como: P 1 i ( ) Gik k donde: Gik son coeficientes a evaluar por medio de métodos numéricos (Berveiller, 2005). Cuando las variables que representan el campo aleatorio son Gaussianas los coeficientes se calculan simplemente como: Gi0= , Gi1=, Gik=0 para k2. Al sustituir 29 en 28, los esfuerzos aleatorios se escriben como: M i 1 (24) La expresión (23) cumple con la forma general de representación de cantidades aleatorias, señalada en el inciso 4, siendo posible escribir el valor esperado y la varianza de las deformaciones como: P 1 Var ( ) E {2j } 2j E { } 0 Para cada elemento de la malla, el vector de esfuerzos se expresa, para un punto X, como: ( X ) D ( X ) (26) En la expresión anterior la matriz de elasticidad D contiene la variabilidad del módulo de elasticidad y su representación estocástica se realiza recurriendo a la expansión de Karhunen-Loève, teniendo: M D( ) E {E } i i ( X )i ( ) D0 i 1 (27) Considerando el campo aleatorio D() y las deformaciones aleatorias (23), el vector de esfuerzos estocásticos es: ( X, ) E {E } i i ( X )i ( ) D0B( X )Ue, j j i 1 J o M (28) Para facilitar el manejo algebraico de esta expresión se recurre a un artificio matemático que permite caracterizar los esfuerzos aleatorios en términos del caos polinomial. Wiener (1938) establece que cualquier variable aleatoria con varianza finita se puede expandir en polinomios multidimensionales (productos de polinomios de Hermite) de variables Gaussianas. Así i() se representa como: (30) P 1 k j dlkj l (31) l 0 Los coeficientes dlkj se calculan de la siguiente forma (Rosic, 2008): E {l k j } (32) E {2l } Finalmente, el producto de polinomios permite simplificar de forma adecuada los desplazamientos aleatorios y expresarlos de la forma señalada en la sección 4. P 1 P 1 l 0 l o ( X, ) E {E }D0 ( )j l* l l l (33) con: M P 1 P 1 l* i i ( X )Gik dlkj (34) i 1 k 0 j 0 De acuerdo con el análisis de segundos momentos (sección 4), el valor esperado y la varianza de los esfuerzos se expresan como: E { } 0 P 1 Si se considera que el producto de dos polinomios sigue siendo un polinomio (Malliavin, 1997), se tiene que: dlkj 5.2 Evaluación de incertidumbre en esfuerzos k 0 D0 B( X )Ue, j j j o (25) j 1 P 1 (23) j ( X ) B( X )Ue, j P 1 ( X , ) E {E } i i ( X )Gik k ... j 0 con (29) k 0 P 1 ( X , ) j ( X ) j 5 P 1 Var ( ) E { 2j } 2j (35) j 1 6 EJEMPLO DE APLICACIÓN Las expresiones para calcular incertidumbre en esfuerzos y deformaciones se implementaron en una subrutina del programa FERUM (Finite Element Reliability Using Matlab) llamada FERUMssfem (Sudret y Der Kiureghian, 2000). Este programa permite estudiar la influencia de la incertidumbre del módulo de elasticidad en los desplazamientos SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 6 Evaluación de incertidumbre en análisis de esfuerzos y deformaciones con el Método del Elemento Finito Estocástico Espectral en Geotecnia mediante el MEFEE, considerando un comportamiento constitutivo elástico lineal El programa realiza análisis en dos dimensiones. 6.1 Descripción del problema Para ilustrar la funcionalidad de las expresiones desarrollas en este artículo, se analizó una placa metálica simplemente apoyada colocada de canto (Auvinet et al. 2000). El espesor de la placa es de 4mm y está sujeta a una carga de 120 kN. Las dimensiones del elemento se muestran en la Figura 1. En el análisis se asume un estado de esfuerzos planos. La placa está constituida por un material aleatorio cuyo módulo de elasticidad (E) se considera como un campo aleatorio Gaussiano con las siguientes características supuestas: E{E}=21x104 MPa; CV{E}=0.1. La función de autocovarianza normalizada es de tipo exponencial: E ( X1, X2 ) e 2 X1 X2 (34) L donde: L es la “distancia de correlación”, y se define como la distancia a partir de la cual la correlación se considera despreciable. En el estudio de la propagación de la incertidumbre de E en el campo de esfuerzos y deformaciones, la distancia de correlación se consideró como un parámetro de análisis. La relación de Poisson se asumió determinista. Figura 1. Placa simplemente apoyada. (incertidumbre) de los esfuerzos y deformaciones es nula en todo el cuerpo de la placa, debido a un efecto de compensación estadística que elimina la desviación estándar (Auvinet, 2002). Una característica del enfoque espectral es que permite modelar este comportamiento, conocido como campo aleatorio de tipo “ruido blanco” en donde el material se comporta como homogéneo no aleatorio. Para la distancia de correlación intermedia (L=0.015 m) la Figura 3 muestra que en los puntos donde la esperanza de los esfuerzos y de las deformaciones es mayor, la desviación estándar también es mayor. Este mismo efecto se presenta de forma incrementada cuando la distancia de correlación es igual a infinito (Figura 4), distancia para la cual la incertidumbre ya es máxima y está condicionada por la impuesta en el módulo de elasticidad. En este momento el material tiene un comportamiento homogéneo aleatorio. En particular, la incertidumbre máxima en el cuerpo de la placa se localiza bajo la carga. El comportamiento general del material se resume con la gráfica de la Figura 5 que presenta la influencia de la distancia de correlación en los esfuerzos horizontales, para el elemento A localizado en la parte superior de la placa. Cuando la distancia de correlación es pequeña, la incertidumbre en los esfuerzos es nula (efecto de compensación estadística), conforme la distancia de correlación crece la incertidumbre en los esfuerzos sigue incrementándose y alcanza su mayor valor cuando la distancia de correlación es aproximadamente cien veces la longitud de la placa, a partir de esta distancia, la incertidumbre se mantiene constante y el material tiene un comportamiento estrictamente homogéneo pero aleatorio. La máxima incertidumbre alcanzada en los esfuerzos depende de la impuesta en el módulo de elasticidad. La situación es similar para los esfuerzos cortantes y las deformaciones (horizontales y por cortante). Los resultados aquí presentados son típicos y muestran el potencial que puede tener el método en mecánica en general y en particular en geomecánica donde las incertidumbres son particularmente grandes. 6.2 Resultados El efecto de la variabilidad del módulo de elasticidad en las deformaciones y esfuerzos se evaluó con la desviación estándar, para diferentes distancias de correlación (cero, intermedia=0.015m e infinita). En las gráficas de curvas de isovalores de las Figuras 2 a 4 se observa el valor esperado (que coincide con el presentado en Auvinet et al. 2000) y la desviación estándar de los esfuerzos (horizontales, verticales y cortantes) y de las deformaciones (horizontales, verticales y por cortante) en todo el cuerpo de la placa. Para la distancia de correlación igual a cero, se observa (Figura 2) que la desviación estándar 7 CONCLUSIONES Se presentaron los conceptos básicos de la formulación del Método del Elemento Finito Estocástico Espectral que permite analizar la propagación de la incertidumbre del módulo de elasticidad en el campo de desplazamientos. Con base en estos conceptos, se realizó la deducción de expresiones matemáticas para evaluar la incertidumbre en el campo de deformaciones y de esfuerzos. Con un ejemplo sencillo de análisis estructural se mostró la funcionalidad de las expresiones desarrolladas aquí. Se puso en evidencia que la distancia de correlación es un SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. PINEDA A-R. et al. parámetro determinante en el comportamiento del material. En los análisis geotécnicos, la implicación de los resultados presentados es que para materiales variables pero poco correlacionados (distancias de correlaciones pequeñas) se tienen menores riesgos de falla o excedencia de estados límites de servicio. Por el contrario, los materiales bien correlacionados (distancia de correlación grande) presentan generalmente mayores riesgos. Por ejemplo, en una zapata, la influencia de la variabilidad del módulo de deformación del suelo en los asentamientos totales y diferenciales se considera mínima para distancias de correlación pequeñas. Por lo contrario, cuando la distancia de correlación es muy grande respecto a la dimensión horizontal del cimiento, la incertidumbre es máxima en cuanto a asentamientos totales pero Esperanza de los esfuerzos 0.10 0.07 0.07 0.03 0.03 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 pequeña en cuanto a asentamientos diferenciales. Finalmente cuando la distancia de correlación es intermedia es decir del mismo orden de magnitud que la dimensión del cimiento, la incertidumbre sobre asentamientos diferenciales es máxima. Los autores realizan actualmente un estudio específico de esta problemática. El método presentado se puede considerar como una técnica útil para evaluar los riesgos de falla en todo tipo de estructuras. Se espera que los resultados presentados marquen la importancia de realizar análisis de incertidumbre en el campo de la Geotecnia, y que a la vez despierten el interés de los ingenieros geotecnistas por incorporar estas técnicas en sus quehaceres ingenieriles. . Desviación estándar Distancia de correlación = cero Esperanza de las deformaciones 0.10 0.25 0.30 0.00 0.00 7 0.10 0.07 0 0.03 0.05 Horizontales 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Horizontales 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Esfuerzos y deformaciones horizontales 0.10 0.10 0.10 0.07 0.07 0.07 0.03 0.03 0.03 0 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Esfuerzos y deformaciones verticales Verticales Verticales 0.00 0.00 0.10 0.10 0.10 0.07 0.07 0.07 0.03 0.03 0.03 0 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Cortantes 0.25 0.30 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Por cortante 0.25 0.30 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Esfuerzos y deformaciones cortantes Figura 2. Esperanza y desviación estándar de los esfuerzos y deformaciones. Distancia de correlación: cero SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. Evaluación de incertidumbre en análisis de esfuerzos y deformaciones con el Método del Elemento Finito Estocástico Espectral en Geotecnia 8 Desviación estándar. Distancia de correlación = 0.015 Esperanza Desviación estándar. Distancia de correlación infinita 0.10 0.10 0.10 0.07 0.07 0.07 0.03 0.03 0.03 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.00 0.05 Esfuerzos horizontales 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.00 0.10 0.10 0.07 0.07 0.07 0.03 0.03 0.03 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.00 0.05 Esfuerzos verticales 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.00 0.10 0.07 0.07 0.07 0.03 0.03 0.03 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.00 0.05 Esfuerzos cortantes 0.10 0.15 0.20 0.15 0.20 0.25 0.30 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Esfuerzos verticales 0.10 0.05 0.05 Esfuerzos verticales 0.10 0.00 0.00 0.10 Esfuerzos horizontales 0.10 0.00 0.00 0.05 Esfuerzos horizontales 0.25 0.30 0.00 0.00 0.05 Esfuerzos cortantes 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Esfuerzos cortantes Figura 3. Esperanza y desviación estándar de los esfuerzos. Distancia de correlación: 0.015 e infinita Desviación estándar. Distancia de correlación = 0.015 Esperanza Desviación estándar. Distancia de correlación = infinita 0.10 0.10 0.10 0.07 0.07 0.07 0.03 0.03 0.03 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.00 Deformaciones horizontales Deformaciones horizontales 0.10 0.10 0.10 0.07 0.07 0.07 0.03 0.03 0.03 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.00 Deformaciones verticales Deformaciones verticales 0 0.10 0.07 0 0.07 0.03 0 0.03 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Deformaciones por cortante 0.30 0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Deformaciones verticales 0.10 0.00 0.00 0.05 Deformaciones horizontales 0.30 0.00 0.00 Deformaciones por cortante 0.05 0.10 0.15 0.20 Figura 4. Esperanza y desviación estándar de las deformaciones. Distancia de correlación: 0.015 e infinita SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 0.25 Deformaciones por cortante 0.30 PINEDA A-R. et al. Desviación estándar de los esferzos horizontales, MPa 70 60 120 kPa Elemento A 50 Material estrictamente homogéneo 40 30 20 Material fuertemente heterogéneo 10 0 1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03 1.E+05 Distancia de correlación, m Figura 5. Influencia de la distancia de correlación en la incertidumbre de los esfuerzos horizontales REFERENCIAS Auvinet, G. y González, J. L. (2000). “Threedimensional reliability analysis of earth slopes”, Computers and Geotechnics, Vol. 26, pp. 247-261. Auvinet, G., Mellah, R. ,Masrouri, F. et Rodríguez, J.F. (2000) “La méthode des éléments finis en Géotechnique”, Revue Française de Géotechnique, 93(4). Auvinet, G. (2002). “Incertidumbre en geotecnia”, Decimosexta conferencia Nabor Carrillo, Publicación SMMS, Queretaro, México, pp. 34-35. Auvinet, G. 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