Plan de clase (1/3) cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Grandes y chicos
Plan de clase (1/3)
Escuela: _______________________________________________Fecha: _____________
Profr. (a): ______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 7.5.2 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen
cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan relaciones entre el exponente entero
positivo o negativo, con la cantidad de ceros o la cantidad de cifras que hay después del
punto decimal en potencias de 10, para representar números en notación científica.
Consigna. Reúnete con un compañero y realicen lo que se indica enseguida.
1. Realicen las siguientes operaciones y escriban una regla que permita encontrar
rápidamente el resultado.
a) 1.75 x 10 =
d) 0.48 x 10 =
b) 6.45 x 100 =
e) 1.24 x 100 =
c) 7.45 x 1000 =
f) 0.38 x 1000 =
Regla:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2. Realicen las siguientes operaciones y escriban una regla que permita encontrar
rápidamente el resultado.
a) 1.75 ÷ 10 =
d) 0.48 ÷ 10 =
b) 6.45 ÷ 100 =
e) 1.24 ÷ 100=
c) 7.45 ÷ 1000 =
f) 0.38 ÷ 1000=
1
Regla:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
3. Completen la siguiente tabla y después contesten las preguntas.
Potencia
105
104
103
102
101
100
1
10 1 
10
1
10  2  2
10
1
10 3  3
10
1
10  4  4
10
1
10 5  5
10
Desarrollo
1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
1 x 10 x
1 x 10 x
1 x 10 x 10
1 x 10
1
1
10
1
10  10
1
10  10  10
Resultado
100 000
1 000
100
10
1
0.1
0.01
0.00001
a) ¿Cuál es el resultado de 104?_____________ ¿Y de 10-4? ______________________
b) ¿Cuál es el resultado de 106?_____________ ¿Y de 10-6? ______________________
4. ¿Por cuánto hay que multiplicar cada de uno de los siguientes números para que sea
equivalente a 352 000 000 000?
 352 x __________________
 35.2 x __________________
 3.52 x __________________
5. ¿Por cuánto hay que multiplicar cada de uno de los siguientes números para que sea
equivalente a 0.00000000352?
 352 x ______________
 35.2 x ______________
 3.52 x ________________
6. ¿Cuántas veces se tiene que multiplicar por 10 el 3.5 para obtener 35 000 000?
______________________ ¿Cómo lo escribirían con una potencia de 10? ____________
2
7. ¿Cuántas veces se tiene que dividir entre 10 el 2.4 para obtener 0.00000000024?
______________________ ¿Cómo lo escribirían con una potencia de 10? ____________
Consideraciones previas:
Con respecto a las actividades 1 y 2, se espera que los alumnos puedan establecer que
cuando se multiplica un número decimal por una potencia positiva de 10, el punto decimal se
recorre a la derecha tantas veces como indica el exponente, mientras que para una potencia
negativa de 10, se recorre el punto decimal hacia la izquierda tantas veces como indica el
exponente.
Con respecto a la tercera actividad, es importante analizar la tabla entre todos con la
finalidad de que los alumnos encuentren la relación entre el exponente positivo con la
cantidad de ceros que hay después del uno; mientras que en el caso de potencias negativas,
el número de cifras que hay después del punto decimal. Por ejemplo, para el caso 105, el
número de ceros que hay después del uno son cinco ceros, mientras que en 10-5 el número
de cifras que hay después del punto decimal son cinco.
Las relaciones entre el número de ceros (caso de exponente positivo) y el número de cifras
(caso de exponente negativo) se ponen en juego para las actividades 4 y 5.
Un aspecto que debe quedar claro para los alumnos es que una potencia negativa significa
cuántas veces se divide un número entre 10. Por ejemplo:
1 1 1 1 1
1
1
1  105       5 
 0.00001
10 10 10 10 10 10 100 000
Con respecto a las actividades 6 y 7, se espera que los alumnos expresen las cantidades
como: 3.5 x 107 y 2.4 x 10-10, respectivamente.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
3
Pobre
Transformaciones
Plan de clase (2/3)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 7.5.2 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen
cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Intenciones didácticas: Que los alumnos adviertan y utilicen el procedimiento para
transformar cantidades escritas en notación decimal a expresiones en notación científica y
viceversa.
Consigna. Organizados en parejas, realicen lo que se indica en cada caso.
1. Analicen la información presentada en la tabla y luego respondan lo que se pregunta:
Cantidad en notación decimal
El año luz es la distancia que recorre la luz
en un año y equivale aproximadamente a
9 500 000 000 000 km.
La era Terciaria o Cenozoica tuvo una
duración de 60 000 000 de años.
La velocidad de la luz es de
aproximadamente 300 000 000 metros por
segundo.
La distancia de la Tierra a la Luna es de
aproximadamente 384 000 km
Distancia de la Tierra al Sol es de
aproximadamente 150 000 000 km
El tamaño de un virus de la gripe es de
0.0000000022 m
El radio del protón es de 0.00000000005 m
Cantidad en notación científica
9.5 x 1012 km
6 x 107 años
3 x 108 m/s
3.84 x 105 km
1.5 x 108 km
2.2 x 10-9 m
5 x 10-11 m
a) ¿Por cuántos factores está compuesto un número expresado en notación científica?
___________________________________
b) Cuando el exponente de la potencia de 10 es negativo, ¿es un número pequeño o
grande? _______________________________
c) ¿Qué se le hizo a la distancia de la Tierra a la Luna para transformarla en notación
científica? ____________________________________________________________
2. Analicen la siguiente tabla y justifiquen para cada caso cómo se convierte el número
natural o decimal en notación científica.
4
Notación decimal
329 000 000
4 500
590 587 348 584
0.3483
0.000987
Notación científica
3.29 x 108
4.5 x 103
5.9 x 1011
3.5 x 10-1
9.87 x 10-4
Consideraciones previas:
Con respecto a la primera actividad, inciso a, es muy probable que la mayoría de los alumnos
responda que un número en notación científica está conformado por dos factores. En el caso
del inciso b, se espera que no tengan dificultad en reconocer que el exponente negativo de la
potencia de 10 corresponde a una cantidad muy pequeña, menor que la unidad. En el caso
del inciso c, es probable que algunos alumnos reconozcan que el punto decimal se recorre
cinco lugares a la izquierda relacionado con el valor del exponente. Otros, es probable que
respondan que se divide el número 384 000 entre cien mil, es decir:
384 000
 3.84 Y luego se multiplica por la potencia 105
100 000
Por lo que 384 000 es equivalente a 3.84 x 105
Si se considera conveniente, en este momento, se puede dar a conocer la convención de la
escritura de un número en notación científica, que es la siguiente:
Un número expresado en notación científica está compuesto por dos factores de la
forma:
a x 10n
Donde 1 ≤ a < 10, y n es un entero que recibe el nombre de exponente u orden de
magnitud.
El primer factor (a) suele llamarse coeficiente de la expresión
Una vez que los alumnos han comprendido las características de un número escrito en
notación científica, se puede proseguir con la actividad 2. Aquí es importante estar al
pendiente de los argumentos que den los alumnos con la finalidad de asegurar que han
comprendido cómo se expresa un número en notación científica.
Para reafirmar los conocimientos adquiridos por los alumnos, se pueden plantear actividades
como las siguientes.
 Completa la siguiente tabla:
Notación decimal
0.00009
850 000
0.650 000
Notación científica
5
1.95 x108
4.36 x 10-8
5.645 x 107
 La siguiente lista corresponde a la masa de algunos planetas del Sistema Solar.
Exprésalos en notación científica.
Urano: 86 700 000 000 000 000 000 000 000 kg. __________________
Tierra: 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg. ____________________
Neptuno: 102 900 000 000 000 000 000 000 000 kg. ________________
Saturno: 569 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. ________________
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
6
Pobre
Operaciones científicas
Plan de clase (3/3)
Escuela: ________________________________________________ Fecha: ____________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 7.5.2 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen
cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Intenciones didácticas: Que los alumnos operen con números expresados en notación
científica para resolver problemas.
Consigna. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes problemas:
1. El sector salud pretende iniciar una campaña de vacunación en las cuatro entidades más
pobladas del país para contrarrestar la enfermedad del virus contra la gripa aviar. Para
ello cuenta con 3.5 x 108 vacunas.
Número aproximado de habitantes por entidad federativa
Lugar a
nivel
Entidad Federativa
nacional
Habitantes
(año 2010)
1
Estado de México
1.5 x 107
2
Distrito Federal
8.9 x 107
3
Veracruz de Ignacio de la Llave 7.6 x 107
4
Jalisco
7.3 x 107
Fuente: http://cuentame.inegi.org.mx/monografias/informacion
a) ¿Es suficiente la cantidad de vacunas con que cuenta? ________ ¿Por qué?
________________________________________________________________
b) Si nada más se aplican las vacunas a la población del Estado de México y del Distrito
Federal,
¿cuántas
vacunas
quedarán
para
las
otras
entidades?
______________________________
2. Los científicos determinaron que una persona tiene una
concentración de glóbulos rojos en la sangre de
5.6x106 por cada mililitro de sangre, y que en total tiene
4.6x103 mililitros de sangre. ¿Cuántos glóbulos rojos
contiene la sangre humana? ____________________.
7
3.
¿Sabes que significa un año luz?
Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año (360
días). Esta distancia es aproximadamente 9.5 x 1012 km. Se
estima que la Vía Láctea tiene un diámetro de 1.9 x 1018 km.
¿Cuántos años luz de diámetro tiene la Vía Láctea?
Consideraciones previas:
En el primer problema, inciso a, para poder responder si la cantidad de vacunas es
suficiente, tendrán que sumar el número de habitantes dando un total de 25.3 x 10 7 .Luego,
para poder determinar si este número es mayor o menor a la cantidad de vacunas, será
necesario expresarla como 2.53 x 108. Con ello, es posible determinar si la cantidad de
vacunas es suficiente. Tal vez algunos alumnos realicen la sustracción 3.5 x 108 – 2.53 x 108
y determinen que el número de vacunas sobrantes es de 0.97 x 10 8, o lo que es lo mismo 9.7
x 107 vacunas (97 000 000). Aquí, se sugiere discutir en grupo y acordar cómo se deben
sumar o restar este tipo de expresiones.
En el caso del inciso b, los alumnos realizarán la suma del número de habitantes de las dos
entidades:
1.5 x 107 + 8.9 x 107 = 10.4 x 107, o bien 1.04 x 108.
Para luego obtener la respuesta:
3.5 x 108 – 1.04 x 108= 2.46 x 108.
Por lo tanto, el número de vacunas para las otras entidades es de 2.46 x 108, o lo que es lo
mismo 246 000 000.
La expectativa en el problema 2 es que se multiplique la cantidad de glóbulos rojos que hay
en cada mililitro por el total de mililitros de sangre que tiene el cuerpo humano.
5.6  106  4.6  103  5.6  4.6106  103   25.76  109  2.576  101  109  2.576  1010
Por lo tanto, el cuerpo humano tiene 2.576 x 1010 glóbulos rojos.
Es importante hacer notar al alumno, si no lo identifica por si mismo, la utilidad de asociar
para operar los números decimales por separado de las potencias de 10.
Los números se multiplican en forma normal y en las potencias de 10 se suman sus
exponentes.
Si el producto decimal resulta mayor o igual a 10 (es decir con dos o más cifras en la parte
entera) se rescribe en notación científica: 25.76  109  2.576  101  109
8
Se suman los exponentes de las potencias: 101 x 109 = 10(1+9) = 1010.
Se puede comprobar el resultado con la calculadora introduciendo las cantidades de la
siguiente manera. (Nota: si la calculadora no es científica, es probable que no pueda escribir
este tipo de números)
Teclear (5.6 x 10 xy 6 ) x ( 4.6 x 10 xy 3) = la calculadora devolverá 25 760 000 000 o bien
2.576
10
si la pantalla de la calculadora no tiene el suficiente número de dígitos.
Otra forma de teclear en la calculadora científica la notación científica para realizar
operaciones es la siguiente:
Teclear: 5.6 EXP 6 X 4.6 EXP 3 = La calculadora devolverá 25 760 000 000 o bien
2.576
10
si la pantalla de la calculadora no tiene el suficiente número de dígitos.
Hacer notar que la calculadora oculta la base 10 porque está trabajando en el sistema
decimal (donde la base es 10).
Es razonable pensar que no todos los docentes tendrán a su alcance este recurso
tecnológico, pero igual pueden tener una sola calculadora y mostrar el resultado al alumno.
Este hecho no debe impedir que se propongan alternativas como esta para diversificar
procedimientos de resolución.
El problema 3 puede resolverse mediante una división.
Si un año luz equivale a 9.5 x 1012 km y de acuerdo con el problema, la Vía Láctea tiene un
diámetro de 1.9 x 1018 km. Al dividir el diámetro de la vía láctea entre el valor de un año luz
expresado en kilómetros encontraremos el valor del diámetro en años luz.
Al aclarar este punto los alumnos centrarán su atención en cómo realizar la operación.
Diámetro= 1.9 x 1018
km
¿Cómo dividir
?
Podemos descomponer en factores que representen potencias iguales a 10 6 (por no decir 10
x 10 x10 …, 18 veces y 10 x 10 x 10…. 12 veces en el denominador):
9
Al descomponer las potencias de 10 en potencias iguales podemos aplicar la cancelación
(a/a = 1), luego dividir por separado los coeficientes
Hacer notar que el resultado obtenido 0.2 x 10 6 no cumple la regla de escritura de la
notación científica, por lo tanto:
Así, el diámetro de la Vía Láctea es igual 200 000 años
luz.
Igual que en el problema 2 se puede comprobar el resultado con la calculadora introduciendo
las cantidades de la siguiente manera. (Nota: si la calculadora no es científica, es probable
que no pueda escribir este tipo de números)
Teclear (1.9 x 10 xy 18 ) ÷ ( 9.5 x 10 xy 12) = la calculadora devolverá 200 000
Se pueden proponer más problemas de este tipo u operaciones directas con la finalidad de
practicar los procedimientos estudiados para realizar los cálculos.
En síntesis se puede concluir con los alumnos que:
Exponente
Coeficiente
Potencia
 Al sumar o restar dos números en notación científica se suman los coeficientes,
siempre y cuando las potencias tengan el mismo exponente.
 Al multiplicar dos números en notación científica se multiplican por separado los
coeficientes y se suman los exponentes de la potencia de 10.
 Al dividir dos números en notación científica se dividen por separado los coeficientes y
se restan los exponentes de las potencias de 10.
Para reafirmar los conocimientos adquiridos, se pueden plantear ejercicios como por
ejemplo:
a) 16 × 106 + 32 × 106 = (16 + 32) x 105 =
b) 34×108 - 0.2×108 =
c) 16 × 104 + 8 ×105 - 4 ×103 =
d) 8.2 × 105 + 3 × 105 – 0.06 × 105 =
e) (9 × 103) × (2 × 102) =(9 x 2) x 103x102 =
10
f)
36  103 36 10  10  10



9  102
9
10  10
g)
24  104 24 10  10  10  10



6  102
6
10  10
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
14/15
11