MOVIMIENTO ALREDEDOR DE UN PUNTO FIJO Se considera el

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MOVIMIENTO ALREDEDOR DE UN PUNTO FIJO
Se considera el movimiento de un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un eje fijo.
A continuación se examinara el caso más general del movimiento de un cuerpo rígido que
tiene un punto fijo O.
En primer lugar, se demostrara que el desplazamiento mas general de un cuerpo
rígido con un punto fijo O es equivalente a una rotación del cuerpo en torno a un
eje que pasa por O. en vez de considerar al cuerpo rígido completo, se puede
desprender una esfera del centro O del cuerpo y analizar el cuerpo de la misma.
Es claro que el movimiento de la esfera caracteriza por completo el movimiento del
cuerpo dado. Puesto que 3 puntos definen la posición de un solidó en el espacio,
el centro O y dos puntos A y B sobre la superficie de la esfera definirán la posición
de esta misma y, en consecuencia, la posición del cuerpo. Sea que A1 y B1
caractericen la posición de la esfera en un instante y que A2 y B2 caractericen la
posición de un instante posterior (figura 15.31a). Como la esfera es rígida las
longitudes de los arcos de mayor círculo A1B1 Y A2B2 deben ser iguales,
aunque salvo que este requerimiento, las posiciones de A1, A2, B1, B2 son
arbitrarias. Se pretende demostrar aquí que los puntos A y B pueden trasladar,
respectivamente desde A1 y B1 hasta A2 y B2 mediante una sola rotación de la
esfera alrededor de un eje. Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un
cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un
punto permanece fijo.
Una rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de
puntos o vectores. Un movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad
angular , que es un vector de carácter deslizante, situado sobre el eje de rotación. Cuando
el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo».
La rotación también puede ser oscilatoria, como en el péndulo (izquierda). Los giros son
completos sólo cuando la energía es lo suficientemente alta (derecha).
En ingeniería mecánica, se llama revolución a una rotación completa de una pieza sobre su
eje (como en la unidad de revoluciones por minuto), mientras que en astronomía se usa esta
misma palabra para referirse al movimiento orbital de traslación de un cuerpo alrededor de
otro (como los planetas alrededor del Sol).
El tratamiento detallado de las rotaciones ha sido objeto de numerosos trabajos
matemáticos, que abordan el problema desde diversos puntos de vista y grados de
sofisticación: cuaterniones, matrices, operadores vectoriales, teoría de grupos... Todos estos
enfoques son matemáticamente equivalentes y se pueden derivar unos de otros, salvo en
algunos aspectos concretos y posibles resultados redundantes, y la elección de uno u otro
depende del problema concreto. Con la llegada de la robótica y los gráficos informáticos, la
matemática de las rotaciones ha cobrado un nuevo impulso y ha pasado a ser una materia de
estudio muy activo, con particular énfasis en el enfoque basado en cuaterniones.
En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas (es
decir, son isométricas) en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de
producto interior y cuya matriz tiene la propiedad de ser ortogonal y de determinante igual
a ±1. Si el determinante es +1 se llama rotación propia y si es −1, además de una una
rotación propia hay una inversión o reflexión y se habla de rotación impropia.
La conservación de la norma es equivalente a la conservación del producto interior, que se
puede expresar como:
Consecuencia de ella es que las distancias y las formas también se conservan.
Como parámetro que determina la rotación se puede usar un vector (que tiene carácter
deslizante) del eje de rotación y de longitud proporcional al ángulo de rotación. Sin
embargo, lo normal es separar este vector en el ángulo y un vector unitario, lo que en el
espacio da cuatro parámetros. Como consecuencia hay dos formas de representar una única
rotación, pues
Rotaciones en el plano
Cambio de base o rotación de un vector.
Sea un vector A en el plano cartesiano definido por sus componentes x e y, descrito
vectorialmente a través de sus componentes:
La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje de giro
puede siempre escribirse como la acción de un operador lineal (representado por una
matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector:
En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse de la manera
siguiente:
Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector,
obtendremos un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido antihorario:
siendo
las componentes del nuevo vector después de la rotación.
Las rotaciones en el plano pueden tratarse igualmente mediantes números complejos, ya
que eiα es una rotación de ángulo a.
Teorema de rotación de Euler
En matemáticas, el teorema de rotación de Euler dice que cualquier rotación o conjunto de
rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotación alrededor de una única
dirección o eje de rotación principal. De este modo, toda rotación (o conjunto de rotaciones
sucesivas) en el espacio tridimensional puede ser especificada a través del eje de rotación
equivalente definido vectorialmente por tres parámetros y un cuarto parámetro
representativo del ángulo rotado. Generalmente se denominan a estos cuatro parámetros
grados de libertad de rotación.
Rotaciones en el espacio
Las rotaciones tridimensionales revisten especial interés por corresponderse con el espacio
físico en que vivimos. En tres dimensiones conviene distinguir entre las rotaciones planas
o rectangulares, que son aquellas en las que el vector rotado y el que determina el eje de
giro forman un ángulo recto, y las cónicas, en las que el ángulo entre estos vectores no es
recto. Las rotaciones planas son de tratamiento matemático más simple, pues se pueden
reducir al caso bidimensional descrito más arriba, mientras que las cónicas son mucho más
complejas y por lo general se tratan como una combinación de rotaciones planas
(especialmente los ángulos de Euler y los parámetros de Euler-Rodrigues).
Las tres rotaciones planas de los ángulos de Euler. En la primera el eje es z, que apunta
hacia arriba y gira los ejes x e y; en la segunda el eje es x, que apunta hacia el frente y que
inclina el eje z, y en la última de nuevo el eje es z.
La expresión vectorial de las rotaciones cónicas es:
donde la expresión entre paréntesis funciona como operador y
. Hay ciertos casos especiales de este operador:
, de modo que

es una rotación plana de (1/2)π rad. La aplicación sucesiva de este operador da
,
,
,
, etc., con un comportamiento parecido
a la unidad imaginaria (i). Es un operador hemisimétrico y en coordenadas
castesianas su matriz es:

es una rotación plana de ángulo θ. Una notación alternativa es
La forma matricial de este operador en los ejes cartesianos principales es
particularmente sencilla; por ejemplo, para i es:

es una rotación cónica binaria (de π rad). Una rotación cónica arbitraria
de ángulo θ se puede representar con dos rotaciones binarias, perpendiculares a y
que forman un ángulo (1/2)θ (Gibbs, p. 343-344); la manipulación de este par de
rotaciones binarias (o, de modo equivalente, de dos reflexiones) se puede tomar
como la base para la descripción mediante los parámetros de Euler-Rodrigues. Así,
el segundo de estos ejes se obtiene mediante una rotación plana del primero con
, que da los cuatro parámetros:
Ángulos de Euler
Artículo principal: Ángulos de Euler
Mediante los ángulos de Euler se puede representar una rotación cualquiera con una
sucesión de tres rotaciones planas alrededor de tres ejes ortogonales. No hay acuerdo sobre
los tres ejes concretos y en la literatura científica aparecen diversos convenios; hay, en
concreto, 12 posibilidades, pero lo más habitual es que se tomen zyz y zxz. A estos 12
convenios hay que añadir posibles variaciones en el signo, orientación relativa de ejes
(horario o antihorario) y punto de vista (operación en vectores o transformación de
coordenadas).
.
Los ángulos de Euler fueron el sistema más popular en los siglos XIX y XX para
representar las rotaciones, pues permiten modelizar fácilmente varios sistemas mecánicos,
como los trompos, los giroscopios, los barcos y los aviones. En el caso del trompo, los ejes
se corresponden con la precesión, la nutación y la rotación. En los aviones se toman como
ejes xyz, de modo que se correspondan con el alabeo (o balanceo en barcos), el cabeceo y
la guiñada; este convenio específico de ejes se llama también ángulos de navegación o de
Tait-Bryan.
Los ángulos de Euler presentan una singularidad cuando el ángulo del segundo giro es 0 o
π, pues en tal caso el primer ángulo y el segundo pasan a quedar indefinidos, y solo está
definida su suma, si el ángulo es 0. Con ello se pierde un grado de libertad, lo que en los
dispositivos mecánicos que combinan varios ejes, como los giroscopios, puede conducir a
un bloqueo del sistema, conocido como bloqueo de cardán (en inglés, gimbal lock).
Matemáticamente, es posible evitar estas singularidades con sistemas de cuatro parámetros,
como los parámetros de Euler-Rodrigues (o cuaterniones).
Parámetros de Euler-Rodrigues y cuaterniones
Los cuaterniones proporcionan un metodo para representar rotaciones que no presentan
singularidades a costa de ser redundantes. Pueden introducirse axiomáticamente o derivarse
a partir rotaciones vectoriales, es especial mediante la construcción de Rodrigues.
Históricamente, los cuatro parámetros que forman los cuaterniones fueron introducidos de
modo independiente y con diferentes tratamientos matemáticos y geométricos por Gauss,
Rodrigues y Hamilton, entre otros, aunque aparentemente Euler, a pesar del nombre, los
desconocía. Rodrigues llegó a ellos mediante trigonometría esférica como una combinación
de reflexiones; Hamilton, poco después, lo formuló de modo axiomático como una
extensión de los números complejos. En mecánica cuántica también se llegó a ellos con las
matrices de Pauli.
Concepto de rotación y revolución
Ejemplo de rotación.
Ejemplo de revolución.
El movimiento de la estructura de una noría corresponde a un movimiento de rotación. Por
el contrario, las barquillas de la noria realizan un movimiento de traslación o revolución
con trayectoria circular.
En astronomía es habitual distinguir entre el movimiento de rotación y el de revolución con
los siguientes sentidos:


La rotación de un cuerpo alrededor de un eje (exterior o interior al cuerpo)
corresponde a un movimiento en el que los distintos puntos del cuerpo presentan
velocidades que son proporcionales a su distancia al eje. Los puntos del cuerpo
situados sobre el eje (en el caso de que éste sea interior al cuerpo) permanecen en
reposo.
o La orientación del cuerpo en el espacio cambia continuamente durante la
traslación.
o Un ejemplo de rotación es el de la Tierra alrededor de su propio eje de
rotación, con un periodo de rotación de un día sidéreo.
La revolución de una partícula o de un cuerpo extenso corresponde a un
movimiento de traslación del cuerpo alrededor de otro.
o Un ejemplo de revolución es el de la Tierra alrededor del Sol, con un
periodo de revolución de un año.
La distinción entre rotación y revolución esta asociada con la existente entre rotación y
traslación de un cuerpo extenso. Si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cada uno
de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas
esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). Pero, en
general, la velocidad de traslación no tiene por que ser constante y la trayectoria puede ser
curvilínea.
Las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias,
todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se
presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la figura: la armadura
de la noria gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha
armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación
con trayectorias circulares.
Movimiento rotatorio
Rotación infinitesimal
En una rotación en un ángulo infinitesimal δθ, se puede toma cos δθ ≈ 1 y sen δθ ≈ δθ, de
modo que la expresión de la rotación plana pasa a ser:
Si se componen dos rotaciones infinitesimales y, por ello, se descartan los términos de
orden superior al primero, se comprueba que poseen la propiedad conmutativa, que no
tienen las rotaciones tridimensionales finitas.
Velocidad angular
Artículo principal: Cinemática del sólido rígido
La velocidad lineal v de una partícula se puede expresar a partir de la velocidad angular
como:
Mientras que la aceleración a es:
Dinámica de rotación
La velocidad angular de rotación está relacionada con el momento angular. Para producir
una variación en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que
ejerzan un momento de fuerza. La relación entre el momento de las fuerzas que actúan
sobre el sólido y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa
la inercia o resistencia del sólido a alterar su movimiento de rotación.
La energía cinética de rotación se escribe:
siendo el tensor momento de inercia.
La expresión del teorema del trabajo en movimientos de rotación se puede expresar así:
de modo que, la variación de la energía cinética del sólido rígido es igual al producto
escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ángulo girado (Δθ).
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