Soluciones interacción gravitatoria

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Departamento de Física y Química
I.E.S. VICENTE MEDINA
Sapere aude
CUESTIONES FÍSICA
INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1. Si una partícula se mueve a lo largo de una recta, ¿tendrá momento angular cero con respecto a
un origen cualquiera elegido al azar? ¿Tendrá momento angular cero con respecto a algún origen
específico? Justifica las respuestas.
El momento angular de una partícula viene dado por L = m v r sen , siendo r el vector de posición de la partícula respecto
del punto que se toma como referencia para hallar el momento, y  el ángulo que forma el vector r con el vector velocidad.
Según esto, una partícula que se mueve en línea recta tiene momento angular nulo respecto de todos los puntos de su
trayectoria, porque en este caso v y r tienen la misma dirección, siendo cero el ángulo que forman estos vectores. Por
tanto, no será el momento angular cero para cualquier origen que se tome como referencia.
2. Considere una órbita elíptica alrededor de una estrella. La distancia desde la estrella hasta el
punto más lejano de la órbita, llamado apoastro, es 1,2 veces la distancia al punto más cercano
de la órbita, llamado periastro. Si la velocidad de un cuerpo en esta órbita es de 25 km/s en el
periastro, ¿cuál es su velocidad en el apoastro? Razona la respuesta.


L A  LP , y dado que en esos puntos el
vector de posición y la velocidad son perpendiculares, podemos expresar: rA  m  v A  rP  m  v P . Como
vp
rA  1,2  rP , queda finalmente: 1,2  rP  m  v A  rP  m  v P de donde: v A 
1,2
Como el momento angular tiene que permanecer constante, se cumplirá que:
3. Dos satélites A y B, cuyas masas son tales que m A = 50 mB se mueven alrededor de la Tierra en
el mismo plano y con el mismo momento angular. Si sus velocidades son vA = 2 vB, ¿cuál será el
radio de la órbita de B?
Como
dan:
L A  LB se tiene que cumplir: R A  m A  v A  RB  mB  v B y sustituyendo las relaciones que nos
R A  50mB  2v B  RB  mB  v B de donde se deduce: RB  100R A
4. Dos masas aisladas se atraen gravitacionalmente. Si una es el doble que la otra, ¿cómo serán,
en comparación, las fuerzas que actúan sobre cada una de ellas? ¿Qué pasará a las fuerzas si la
distancia entre las masas se reduce a la mitad? ¿Cómo serán, en comparación, las aceleraciones
que adquirirán las masas?
Las fuerzas que se ejercen entre sí las dos masas citadas serán iguales y de signo contrario, ya que la fuerza gravitatoria
cumple el tercer principio de la dinámica de Newton.
Si la distancia entre las masas es r, la fuerza de atración será:
la mitad, se tendrá:
F  G 
MA MB
r
 
2
2
F  G
M MB

 4 G  A
r2

MA MB
r2

  4 F ,

, cuando la distancia disminuya a
es decir, la fuerza de atracción se
cuadriplica.
Aceleración que adquiere la masa A:
Si se cumple: MA = 2 MB , entonces:
Cuestiones de Física
F
Aceleración
MA
F
1
aA 
 aB
2M B 2
aA 
Interacción gravitatoria
que adquiere la masa B:
aB 
F
MB
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5. Imagínate que un planeta aumentara de tamaño sin alterar su densidad. ¿Se elevaría o
disminuiría el peso de los cuerpos en su superficie?
El peso de un cuerpo es, como sabemos: P = m.g. Para valorar la influencia de la densidad y el tamaño en el valor de
dicho peso, tratemos de expresarlo en función de estas magnitudes.
Sabemos que en la suspetrficie de un planeta:
g G
M
como:
2
4
M    V       r 3 , sustituyendo:
3
r
4
g  G  r . Observemos que si la densidad no se altera y el radio aumenta, el valor de g también lo hace, por lo
3
que el peso del cuerpo aumentará linealmente con la distancia.
6. Supongamos que la Tierra tiene una densidad media . Cuál sería el valor de g sobre su
superficie si:
a)
El diámetro fuese la mitad y la densidad fuese la misma.
b)
El diámetro fuese el doble sin variar la densidad
a) El valor de g en ls superficie terrestre es:
radio) se tendrá:
g  G 
g  G
 M
 4 G  T
2

RT2
 RT 



 2 
MT
b) Si el diámetro fuese el doble:
g   G 
MT
(2 RT ) 2
MT
RT2
, si el diámetro se reduce a la mitad (también lo hará el

 , es decir: g   4  g



1  M T
G
4 
RT2

 , por lo tanto: g   1 g

4

7. ¿Cuál sería la masa de la Tierra, comparada con la real, para que la Luna gire en torno a la Tierra
con el periodo actual, pero a una distancia dos veces mayor?
Cuando la Luna gira alrededor de la Tierra a la distancia habitual:
G
M L  MT
r
2
 M L  w 2 .r
es decir:
G  M T  M L  w2 .r 3
Si el radio de la órbita se hace dos veces mayor:
G  M T  M L  w2 .(2r ) 3 dividiendo ambas expresiones:
M T  8  M T
8. Sean dos masas m1 y m2 orbitando alrededor del centro de masas del sistema con idéntico
periodo T, a distancias respectivas r1 y r2. Dado que es la interacción gravitatoria mutua la que
proporciona la fuerza centrípeta necesaria a cada una, demuestra que debe cumplirse que:
2
m1  r2 



m2
r 
 1
Una consecuencia de la segunda ley de Kepler es que los planetas se mueven con momento angular constante. Por tanto,
para dos puntos cualesquiera:
Es decir:


L1  L2
r1  m1  v1  r1  m2  v 2
Cuestiones de Física
y como


r y p
son perpenndicluares:
L1  L2 .
2
2
 r12  m1 
 r22  m2 
de donde:
T
Interacción gravitatoria
T
m1  r2 
 
m2  r1 
2
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9. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio que redujese su radio a la
mitad manteniendo constante su masa, ¿cómo sería su periodo de revolución alrededor del Sol?
De acuerdo con la tercera ley de Kepler, para un planeta que gira alrededor del Sol,
T 2  K  r 3 , siendo r el radio de
la órbita. La variación del radio de la Tierra no implica que varíe su distancia al Sol. Por tanto, el periodo de la Tierra
permanece constante aunque varíe su tamaño.
10. Determina cuánto valdrá el trabajo que realiza la fuerza de un campo gravitatorio para desplazar
un cuerpo de masa m de un punto A a otro B si ambos pertenecen a la misma superficie
equipotencial.
W BA m  V A  VB  . Si los dos
El trabajo para trasladar una masa entre dos puntos de un campo gravitatorio es:
puntos pertenecen a la misma superficie equipotencial, ambos tienen el mismo valor del potencial, por lo tanto el trabajo
será nulo.
13. Dadas dos masas M1 y M2:
a)
¿Existirá algún punto del espacio en el que el campo gravitatorio provocado por esas dos
masas sea cero?
b)
¿Existirá algún punto del espacio en el que el potencial gravitatorio provocado por esas dos
masas sea cero?
a)
El campo será nulo en un punto situado entre las dos masas, ya que al tener la misma diracción y sentido, se
anulará cuando el módulo de ambos sea idéntico.
b)
Como el potencial es una magnitud escalar y siempre es negativo, no existe ningún punto en el que se anule el
potencial creado por las dos masas. Sólo en el infinito (donde no se aprecia el efexto del campo) se puede decir que
el potencial será cero.
15. Llamando g0 y V0 a la intensidad de campo gravitatorio y al potencial gravitatorio en la superficie
terrestre, respectivamente, determine, en función del radio de la Tierra:
a)
La altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad de campo gravitatorio es
b)
La altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es
a) Para un punto situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra:
g
g 0
2
, entonces:
G
MT
RT
 h 2

1 MT
G
2 Rt2
de donde:
h  RT
g G

b) El potencial en un punto situado a una altura h sobre la superficie terrestre es:
un punto de la superficie terrestre es:
de donde se deduce que:
Cuestiones de Física
V0  G
MT
RT
. Si
V
V 0
2
V0
2
MT
RT
g0
2
 h 2
. Si tiene que ser:

2 1
MT
y el potencial en
RT  h
MT
1 M
G
 G T
RT  h
2 RT
V  G
, entonces:
h  RT
Interacción gravitatoria
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15. Dos satélites de comunicación, A y B, con diferentes masas
Tierra con órbitas estables de diferente radio, siendo
o)
A gira con mayor velocidad lineal.
b)
B tiene menor periodo de revolución.
c)
Los dos tienen la misma energía mecánica
m
rA  RB .
A
 mB 
giran alrededor de la
G  MT
(no depende de la masa del satélite), por lo que al aumentar
r
el radio de la órbita disminuye la velocidad. Así pues: v A  v B . VERDADERO
a) La velocidad orbital de un satélite es:
v
T 2  K  r 3 . El periodo del satélite sólo depende del radio de la órbita, por lo que
al aumentar éste aumentará el periodo. Así pues: TB T . FALSA
A
b) Según la tercera ley de Kepler:
c) La energía mecánica de un satélite en su órbita es:
1 M m
EM   G T
. Por tanto, en general es falsa esta
2
r
afirmación, ya que depende de la masa y del radio de la órbita, que es diferente en cada caso.
16. El radio de la órbita de un satélite geoestacionario viene dado por la expresión:
 T GM 

R  
2 
4



2
a)
 T 2 g 0 RT
b) R  
 4 2

1
3
1
2


1
 TGM 2  3

c) R  
2 
4



17. Calcula el trabajo necesario para mover un satélite terrestre de masa m de una órbita de radio
2RT a una de radio 3RT. Exprésalo de forma general.
El trabajo vendrá dado por la diferencia de energía entre las dos órbitas.
Órbita 1:
1 M m
EM 1   G T
2
2RT
Órbita 2:
1 M m
. Por tanto:
EM 2   G T
2
3RT
1 M  m 1 MT  m
1 M m
W  EM  EM 2  EM 1   G T
 G
 W G T
2
3RT
2
2RT
12
RT
Cuestiones de Física
Interacción gravitatoria
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18. El radio de un planeta es la tercera parte del radio terrestre y su masa la mitad. Calcule la
gravedad en su superficie y la velocidad de escape del planeta en función de sus
correspondientes valores terrestres.
La aceleración de la gravedad en su superficie será:
La velocidad de escape del planeta es:
MT
9
gp G
G 2
 g0
2
2
2
Rp
 RT 


 3 
Mp
2G  M p
ve 
RP

MT
2 
RT
3
2G
M
3
G T 
2
RT
3
 ve(tierra)
2
19. Si para un cuerpo situado en un campo gravitatorio su energía cinética es igual a su energía
potencial (en valor absoluto), significa:
a)
Que el cuerpo puede escapar al infinito.
b)
Que el cuerpo acabará cayendo sobre la masa que crea el campo.
c)
Que seguirá en una órbita circular.
Si la energía cinética es igual, en valor absoluto, a la energía potencial:
EM  0
lo que significa que el cuerpo puede
escapar al infinito.
20. Dos satélites siguen órbitas circulares en un mismo plano con radios R 1 < R2 ¿Pueden girar
ambos con el mismo periodo?
NO. Tendría que cumplirse la relación:
m1  r2 
 
m2  r1 
2
obtenida en la cuestión nº 8.
21. Si la energía potencial de un cuerpo se mantiene constante en una región del espacio, ¿qué se
puede decir de la fuerza que origina el potencial en esa región?
22. Si el Sol se colapsará de pronto, transformándose en una enana blanca (igual masa en un
volumen mucho menor) ¿cómo afectaría al movimiento de la Tierra alrededor del Sol?
23. ¿Qué relación existe entre las energías cinética y potencial gravitatoria de un satélite que gira en
una órbita circular en torno a un planeta? ¿Cuál es la relación entre las energías potencial
gravitatoria y la energía mecánica?
1 2
GM
1 M .m
mv y como : v 2 
 Ec  G
2
r
2
r
M .m
La energía potencial es: E p  G
r
1 M .m
G
E
Ec
2
r 1  E  p
Por tanto:

c
M .m
2
2
Ep
G
r
1 M .m
La energía mecánica viene dada por la expresión: E M   G
Por tanto:
2
r
M .m
G
Ep
r

 2  E p  2EM
1
M
.m
EM
 G
2
r
a) La energía cinética es:
b)
Cuestiones de Física
Ec 
Interacción gravitatoria
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m1  m y m2  4m describen sendas trayectorias circulares alrededor
R1  R y R2  2R , respectivamente.
24. Dos satélites de masas
de la Tierra, de radios
a)
¿Cuál de las masas precisará más energía para escapar de la atracción gravitatoria
terrestre?
b)
¿Cuál de ellas tendrá una mayor velocidad de escape?
a)
Cualquier satélite cuya energía mecánica en la superficie de la Tierra sea cero escapará de la atracción gravitatoria,
puesto que ese será el valor que tenga el satélite en el infinito.
b)
La velocidad de escape para un satélite en órbita alrededor de la Tierra viene dada por la expresión:
ve 
2GMT
r
siendo r el radio de la Tierra. Por tanto, la velocidad de escape no depende de la masa del
satélite y sí del radio de la órbita, de tal manera que cuanto mayor es dicho radio, menor será la velocidad de
escape. Así pues, tendrá una mayor velocidad de escape el satélite de radio R1.
25. Dos satélites artificiales de masas
mismo radio
r  2RT
siendo
RT
m0
y
2m0
respectivamente, describen órbitas circulares del
el radio de la Tierra. Calcula la diferencia de las energías
mecánicas de ambos satélites.
Energía mecánica del satélite de masa
1 M m
m0 : E m 0   G T 0
2
2 RT
 1 M m 
1 M  2m0
2m0 : E2m0   G T
 2  G T 0 
2
2 RT
2 RT 
 2
1 M m
E 2m0  E m0   G T 0
2
2RT
Energía mecánica del satélite de masa
La diferencia de energías será:
Copia el enunciado de las cuestiones en tu cuaderno y contesta de forma razonada a cada una
de ellas.
Interpreta el enunciado y dale el enfoque que creas conveniente, siempre que sea
lógicamente correcto y físicamente adecuado.
Utiliza desarrollos matemáticos siempre que sea posible.
Ayúdate de diagramas, esquemas, gráficas….
Utiliza un lenguaje preciso, claro conceptualmente y con un orden lógico.
Esto te ayudará a mejorar la presentación en los exámenes, algo que te vendrá bien de cara al
examen de selectividad.
Y no olvides lo que decía Séneca:
“Estudia no para saber más sino para saber algo mejor”
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