I. Dependencia aleatoria 1. Representación de nubes de puntos

SM 4 – Estadística y Probabilidad
1
I. Dependencia aleatoria
1. Representación de nubes de puntos
Goles encaj.
Variables estadísticas bidimensionales son las que se obtienen de observar
simultáneamente dos aspectos de un mismo fenómeno o población.
Ejemplo: Si consideramos los equipos de fútbol de primera división, podemos
estudiar la relación entre su clasificación en la tabla y los goles encajados
mediante una variable estadística bidimensional, donde
Y
la población sería los equipos de primera división.
Los pares de valores que se obtienen para cada
equipo, u otra población que estemos considerando,
se pueden estudiar a través de una distribución
bidimensional y representarlos gráficamente en un
sistema de ejes cartesianos.
X
Clasif.
1 A un grupo de 10 alumnos de 4º de ESO se les ha preguntado por su altura y la
de su padre. Las respuestas, en cm, están reflejadas en la siguiente tabla:
Altura del padre
Altura del hijo
168
174
170
174
172
176
173
177
175
174
176
180
176
175
179
177
180
183
182
185
Representa gráficamente esta variable bidimensional y traza la nube de puntos
correspondiente.
2 En una empresa, se ha preguntado a un grupo de 8 empleados por el número de
zapato que usan y el número de pulsaciones por minuto que tienen en estado
normal. Las respuestas están reflejadas en la siguiente tabla.
Nº de zapato
Nº de pulsaciones
40
68
41
72
41
56
42
84
43
76
44
70
44
86
46
78
Obtén el correspondiente diagrama de dispersión y traza la nube de puntos.
3 En una frutería, las naranjas cuestan 80 PTA/kg. La siguiente tabla describe
el importe a pagar en pesetas, según el número de kilogramos de naranjas que
compremos:
Nº de kg
Importe (PTA)
1
80
2
160
3
240
4
320
5
400
6
480
Obtén el correspondiente diagrama de dispersión y traza la nube de puntos.
4 La tabla representa la clasificación mundial, según su riqueza, de 8 países y
la correspondiente esperanza de vida al nacer de sus habitantes, expresada en
años.
Clasificación
Esperanza de vida
1
79
20
72
55
70
86
66
102
60
130
53
149
51
163
42
Obtén el correspondiente diagrama de dispersión y traza la nube de puntos.
5 Los siguientes pares de valores (xi, yi) representan los datos ordenados que
se obtienen al estudiar dos características de una determinada población:
(3, 4); (2, 6); (7, 3); (1, 5); (5, 4); (4, 2); (6, 4); (1, 1); (3, 3); (2, 3).
Elabora la correspondiente tabla de la distribución bidimensional, represéntala
gráficamente y traza la nube de puntos correspondiente.
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2. Correlación
· Dependencia funcional
La relación entre las dos variables viene dada por una función.
Ejemplo: Entre el radio de una circunferencia y el área
correspondiente existe dependencia funcional, pues A = r2.
del
círculo
· Dependencia aleatoria
La relación entre las dos variables no se rige por una función.
El grado de dependencia entre las variables viene dado por la correlación que se
mide mediante el coeficiente de correlación, r.
-1 < r < 0
r = 0
0 < r < 1
Correlación negativa. Al aumentar una variable, disminuye la otra.
La relación es mayor cuanto más próximo sea r a –1.
Correlación nula. No hay relación entre las variables.
Correlación positiva. Al aumentar una variable, aumenta la otra.
La relación es mayor cuanto más próximo sea r a 1.
6 Para los ejercicios 1 a 4, establece el tipo de dependencia que existe y en
caso de que la dependencia sea aleatoria indica el grado.
a) Ejercicio 1:
b) Ejercicio 2:
c) Ejercicio 3:
d) Ejercicio 4:
7 Dadas las siguientes variables estadísticas bidimensionales, razona si entre
ellas existe una correlación positiva, negativa o nula.
a) La clasificación de un equipo de fútbol en la liga y la estatura media de
sus jugadores.
b) Las temperaturas diarias de una ciudad durante el mes de febrero y el
consumo de energía eléctrica por habitante.
c) El nº de coches por habitante y el nº de accidentes de tráfico en una
ciudad.
d) Las notas de Matemáticas y de Física y Química de un grupo de alumnos.
8 Para cada una de las variables bidimensionales siguientes, se ha hecho un
estudio para investigar la correlación existente entre los datos recogidos. Los
coeficientes de correlación obtenidos han sido: r1 = 0,9, r2 = -0,83, r3 = 1, r4
= 0,6 y r5 = 0.
Asigna a cada par de variables el correspondiente coeficiente:
a) Horas diarias que ve la televisión un alumno y asignaturas aprobadas en
una evaluación.
b) Peso de un recién nacido y color de sus ojos.
c) Número de partidos ganados y número de canastas conseguidas por un equipo
de baloncesto.
d) Nota final de Matemáticas y nota final de Lengua en 3.º de ESO.
e) Espacio recorrido por un coche en un tiempo determinado y velocidad del
mismo en dicho tiempo.
9 Explica si te parecen razonables las siguientes frases:
a) El coeficiente de correlación lineal entre el peso de un grupo de personas
y el número de horas diarias que ven la televisión es r = 0,9.
b) El coeficiente de correlación lineal entre la temperatura media de una
ciudad y el nº de horas diarias que sus habitantes ven la televisión es r = -0,7
c) El coeficiente de correlación lineal entre el nº de horas que un conductor
deja su coche en un estacionamiento público y el precio final a pagar es r = 1.
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3. Recta que mejor se ajusta a una nube de puntos
Cuando la nube de puntos n0 es muy ancha, es útil encontrar la recta que mejor
se ajusta a la nube, lo que nos va a servir para hacer las estimaciones.
Si la nube es muy ancha, no tiene sentido dibujarla porque no sirve para hacer
estimaciones.
Para trazar la recta tenemos que tener en cuenta que:
1.º Pasa por el punto ( x , y ), donde x e y son, respectivamente, las medias
aritméticas de las variables X e Y. Este punto se llama centro de la nube.
2.º Las desviaciones de los puntos de la nube que se encuentren por encima de la
recta deben estar compensadas por los que se encuentren por debajo.
10 La tabla muestra la clasificación final de los 8 primeros equipos de la
primera división de fútbol durante una liga, con el número de goles marcados y
los puntos conseguidos.
Equipo
Barcelona
Puntos (xi)
Goles (yi)
74
78
Ath.
Bilbao
65
52
Real
Sociedad
63
60
Real
Madrid
63
63
Mallorca
Celta
60
55
60
54
Atl.
Madrid
60
79
Betis
59
49
Halla la media aritmética de los puntos ( x ) y de los goles marcados ( y ) por
estos 8 equipos.
11 Considera las siguientes nubes de puntos. Indica cómo es la correlación y
asígnale a cada nube uno de los siguientes coeficientes: r1 = 0,95; r2 = 0,05; r3
= -0,73. Traza, si tiene sentido, la recta que mejor se ajusta a cada una de
ellas.
Y
Y
·
·· ·
· · ·
· ·
Y
·
·
·
·
·
·
·
·.·
· .·
.· ·
· ·
·
·
· ·
·
·
·
X
X
X
12 Considera las siguientes nubes de puntos. Indica cómo es la correlación y
asígnale a cada nube uno de los siguientes coeficientes: r1 = -0,5; r2 = 1; r3 =
0,86. Traza, si tiene sentido, la recta que mejor se ajusta a cada una de ellas.
Y
Y
·
·· . ·
· · .
· ·
· ·
Y
·
·
·
· ·
·
.
·
·
X
X
·
· .
· ·
·
X
SM 4 – Estadística y Probabilidad
4
4. Cálculo de la recta
coeficiente de correlación
de
regresión
y
del
· Recta de regresión
Una manera aproximada de buscar la ecuación de la recta de regresión es dibujar
«a ojo» la recta a partir de la nube de puntos.
La ecuación de la recta que pasa por un punto P(a, b) y tiene pendiente m, es de
la forma: y - b = m(x - a). Puesto que la recta de regresión pasa siempre por el
punto ( x , y ):
y - y = m(x - x )
Cálculo aproximado de m: Tomamos dos puntos de la recta A(xA, yA) y B{xB, yB)
(no tienen que ser necesariamente valores de las
variables)
yB  y A
m =
xB  x A
Cálculo exacto de m:
Hallamos la covarianza, Sxy y la varianza de la
variable x, Sx2
S xy
x y  x2 y2  .....  x n y n
Sxy = 1 1
- x· y
m =
n
S x2
· Coeficiente de correlación
r =
S xy
SxSy
13 En una ciudad se han celebrado en una semana 8 matrimonios. Las edades de
los novios están reflejadas la tabla.
Edad del novio (xi)
Edad de la novia (yi)
23
23
25
22
26
25
27
24
28
26
28
27
29
26
30
27
a) Representa la nube de puntos y calcula las medias aritméticas de las
edades de los novios ( x ) y de las novias ( y ).
b) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?
c) Escribe la ecuación de la recta de regresión.
d) ¿Qué edad cabe esperar para una novia cuando el novio tenga 34 años?
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5
II. Técnicas de recuento
5. Diagramas en árbol
Juan quiere estudiar una lengua extranjera y piensa acudir a una escuela en la
que puede matricularse en inglés, francés, alemán o italiano y, además, optar
por el turno de mañana o el de tarde ¿Entre cuántas opciones puede elegir?
Para hacer el recuento de todas las posibilidades
(inglés por la mañana, inglés por la tarde,
francés por la mañana...) puedes utilizar el
principio general de recuento: «Si una primera
experiencia puede hacerse de m formas distintas y
una segunda experiencia puede hacerse de n formas
distintas, entonces las dos experiencias juntas
pueden hacerse de m·n formas distintas».
Lengua elegida
Inglés
Francés
Alemán
Posibilidades: 4·2 = 8
Italiano
Turno
Mañana
Tarde
Mañana
Tarde
Mañana
Tarde
Mañana
Tarde
14 En un bar ponen bocadillos de jamón, chorizo, queso y mortadela. Hoy hay una
oferta, «Bocadillo con dos ingredientes distintos a elegir en pan normal o
integral: 150 PTA». Haz un diagrama en árbol de las combinaciones diferentes que
puedes elegir ¿Cuántas posibilidades hay en total?
15 Con los dígitos {1, 3, 5} se quieren formar números de tres cifras
distintas. Haz un diagrama en árbol de las diferentes posibilidades que existen.
¿Cuántos números de este tipo existen en total?
SM 4 – Estadística y Probabilidad
6
6.
Cálculo
de
permutaciones
variaciones,
combinaciones
El cambio de orden
el los elementos
¿Influye en el resultado?
Sí
¿Se toman todos
los elementos?
y
No
COMBINACIONES
Cm,n = Vm,n/Pn
Sí
No
PERMUTACIONES
¿Se pueden repetir?
Pn = n·(n - 1)·.....·2·1 = n!
Sí
No
VARIACIONES
CON REPETICIÓN
VARIACIONES
SiN REPETICIÓN
VRm,n = mn
Vm,n = m·(m – 1)·....·(m – n + 1)
16 En las siguientes experiencias, indica si influye o no el orden en el
resultado final y si se pueden repetir o no los elementos que las componen.
a) Elegir una pareja, entre 5 posibles jugadores, para disputar un partido de
tenis.
b) Formar números de 2 cifras con los dígitos {1, 3, 5, 7, 9}
c) Repartir las medallas de oro, plata y bronce en una carrera de 100 metros
lisos en la que participan 6 atletas.
d) Formar grupos de trabajo de 6 personas en una clase de 25 alumnos.
e) Nombrar al presidente, vicepresidente y secretario de una comunidad de
vecinos.
f) Rellenar un boleto de lotería primitiva.
17 Calcula los siguientes números:
a) V7,3 =
b) 5! =
c) VR4,2 =
d) C8,5 =
f) V6,2 =
g) 6! =
h) VR6,3 =
i) C6,3 =
e) 3! · V5,4 =
6! 9!
j)
=
10!
18 ¿De cuántas formas se pueden elegir el delegado y el subdelegado de una
clase que tiene 30 alumnos?
19 En una heladería hay helados de 7 sabores. ¿De cuántas formas se puede pedir
una copa que contenga dos bolas de sabores distintos?
20 ¿De cuántas formas se pueden crear grupos de trabajo con 6 personas en una
clase de 30 alumnos?
SM 4 – Estadística y Probabilidad
7
21 ¿De cuántas maneras pueden repartirse 5 regalos diferentes entre 5 personas,
de forma que cada una tenga un solo regalo?
22 ¿Cuántos números capicúas de 7 cifras existen que empiecen por 3?
23 Con todas las letras de la palabra PUERTO, ¿cuántas palabras se pueden
formar tengan o no significado, de manera que cada letra sólo se utilice una
vez? ¿Cuántas empiezan por P?
24 ¿De cuántas formas pueden colocarse 6 libros distintos en una estantería?
25 ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los dígitos {1,3,5,7,9}?
26 En una carrera participan 8 corredores. ¿De cuántas formas pueden repartirse
las meda1las de oro, plata y bronce?
27 ¿De cuántas formas pueden registrarse 10 personas en un hotel que tiene 10
habitaciones individuales libres?
28 Si disponemos de 4 entradas de cine para repartirlas entre 9 personas, ¿de
cuántas formas se pueden entregar?
29 Para ir de Santander a Cádiz se puede optar por ir en avión, coche, tren o
barco. ¿De cuántas formas puede hacerse el viaje de ida y vuelta?
30 La carta de un restaurante dispone de 4 primeros platos, 5 segundos y 6
tipos de postre. ¿Cuántos menús distintos se pueden elegir escogiendo un primer
plato, un segundo y un postre?
31 Un test consta de 8 preguntas y cada una de ellas tiene
respuestas. ¿De cuántas formas distintas puede contestarse el test?
3
posibles
32 Un bar tiene 5 tipos de refrescos y 6 clases de bocadillos. ¿Entre cuántas
posibilidades se puede elegir para tomar un bocadillo y un refresco?
33 Para dar un premio de literatura en un centro escolar se forma un jurado
compuesto por 2 profesores y 4 alumnos. Si en el centro hay 40 profesores y 500
alumnos, ¿de cuántas formas puede constituirse el jurado?
34 Con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5}.
a) ¿Cuántos números de 7 cifras se pueden formar?
b) ¿En cuántos de los números del apartado a) no aparece el 3?
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8
III. Cálculo de probabilidades
7. Regla de Laplace
Cuando todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio tienen la misma
probabilidad de producirse se llaman sucesos equiprobables. La probabilidad de
que ocurra un suceso cualquiera se calcula utilizando la regla de Laplace:
Número de casos favorables
p(A) 
Número de casos posibles
¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par al tirar un dado?
Llamamos A al suceso «sacar un número par»:
Casos favorables a A: {2, 4, 6}, casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces
1
3
p(A) =
=
2
6
35 Tiramos un dado. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) A = «Sacar un 6»
b) B = «Sacar un múltiplo de 3»
c) C = «Sacar menos de 5»
36 Disponemos de una urna con 3 bolas blancas y 5 negras. Consideramos el
experimento «extraer una bola de la urna». ¿Cuál es la probabilidad de sacar una
bola blanca?
37 En una clase de 4º de ESO hay 30 alumnos, de los cuales 18 son chicas.
Elegimos un alumno al azar. Calcula la probabilidad de que sea chico.
38 ¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio con 2 hijos, los dos sean
del mismo sexo?
39 Extraemos una carta
probabilidad de que:
de
una
baraja
española
a) Sea el rey de copas.
b) Sea un caballo.
c) Sea un oro.
d) Sea una carta con el número menor o igual que 5.
e) No sea un rey
(40
cartas).
Calcula
la
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9
40 De una urna que contiene 1 000 bolas numeradas del 1 al 1 000 extraemos una
bola. Halla la probabilidad de que el número extraído:
a) Sea el 999.
b) Sea par
c) Sea múltiplo de 5.
d) Sea de 2 cifras.
e) Comience por 3.
f) Tenga 5 cifras.
41 Se lanzan dos monedas al aire; halla la probabilidad de que:
a) Salgan dos caras.
b) Salgan dos cruces.
c) Salga una cara y una cruz.
42 Cogemos el dado rojo y el amarillo del parchís y los lanzamos a la vez.
Calcula la probabilidad de que:
a) En el rojo salga un 5 y en el amarillo un 1.
b) En el rojo salga un 2.
c) La suma de puntos sea par
d) La suma de puntos sea 10.
43 ¿Cuál es la probabilidad de acertar una quiniela en el «pleno al quince»?
44 El juego del dominó consta de 28 fichas. Si elegimos una ficha al azar halla
la probabilidad de que:
a) Sea el seis doble.
b) Sea una ficha doble.
c) Al menos uno de sus puntos sea el 1.
d) Sus puntos sumen 9.
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10
8. Sucesos compatibles e incompatibles. Sucesos
contrarios
· Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez. En caso
contrario se llaman compatibles.
Ejemplo: Si la experiencia consiste en lanzar un dado, los sucesos A = «Sacar
pár» y B = «Sacar un 3» son incompatibles, mientras que C = «Sacar menos de 4» y
D = «Sacar impar» son compatibles.
· Dado un suceso A, el suceso que ocurre cuando no ocurre A se llama suceso
contrario de A. Se escribe A .
Ejemplo: El suceso contrario de «sacar par» al tirar un dado es «sacar impar».
La suma de las probabilidades de dos sucesos contrarios siempre es 1, puesto que
juntos forman el suceso seguro.
p( A ) 0 1 – p(A)
45 Se considera la experiencia consistente en sacar una carta de una baraja
española. En los siguientes pares de sucesos, señala si son compatibles o
incompatibles:
a) «Sacar un oro» y «sacar un caballo»:
b) «Sacar una figura» y «sacar un 3»:
c) «Sacar una carta menor que 6» y «sacar una espada»:
d) «Sacar el as de oros» y «sacar un rey»:
e) «Sacar una carta impar» y «sacar una copa»:
46 En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se considera la experiencia
consistente en extraer una bola de la urna. Describe los sucesos contrarios a
los siguientes sucesos y escríbelos entre llaves.
a) A = «Sacar un número par»
b) B = «Sacar un múltiplo de 5»
c) C = «Sacar un 3»
d) D = «Sacar un número primo»
e) E = «Sacar un número par o múltiplo de 3»
f) F = «Sacar un número par y múltiplo de 3»
47 Razona si son ciertas estas afirmaciones:
a) Dos sucesos contrarios son siempre incompatibles.
b) Dos sucesos incompatibles son siempre contrarios.
48 Extraemos al azar una bola de una bolsa en la que hay 3 bolas verdes, 4 rojas, 3 blancas y 6 azules. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) No sacar una bola azul.
b) Que la bola no sea ni verde ni blanca.
49 Si tiramos dos dados, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Que salga en los dos dados distinta puntuación (calcula la probabilidad de
que salga la misma puntuación en los dos dados y resta de 1 el valor
conseguido).
b) Que no salga un 2 en el primer dado.
50 Se lanza una moneda 3 veces. Calcula la probabilidad de que salga al menos
una cruz en alguno de los lanzamientos.
51 El Atlético Orejilla se enfrenta al Real Orejas C. F El presidente del
Orejilla es aficionado a la estadística y ha calculado que la probabilidad de
que su equipo gane el partido es 0,6, de que empate el partido es 0,3 y de que
pierda es 0,2. ¿Es correcto su razonamiento?
SM 4 – Estadística y Probabilidad
11
19. Probabilidad de la unión
El suceso unión de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando se
verifica A o B. Se representa por A  B.
El suceso intersección de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando
se verifican simultáneamente A y B. Se representa por A  B.
Ejemplo: En la experiencia de lanzar un dado, consideramos los sucesos:
A = «Sacar par» = {2, 4, 6} y B = «Sacar menos que 3» = {1, 2}: entonces,
A  B = «Sacar par a menos que 3» = {1, 2, 4, 6}.
A  B = «Sacar par y menos que 3» = {2}.
· Si A y B son sucesos compatibles
· Si A y B son incompatibles
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B)
p(A  B) = p(A) + p(B)
52 Lanzamos un dado y consideramos los siguientes sucesos:
A = «Sacar un 4», B = «Sacar menos de 3» y C = «Sacar par»
Escribe entre llaves los elementos de que consta cada uno de los sucesos dados:
A = {
}
B = {
}
C = {
}
y calcula:
A  B =
A  C =
B  C =
A  B =
A  C =
B  C =
53 Consideramos la experiencia consistente en extraer una carta de una baraja
española. Sean los sucesos A = «Sacar un oro» y B = «Sacar una copa». ¿Cuál es
la probabilidad del suceso C = «Sacar un oro o una copa»? (Observa que C = A 
B y que A y B son incompatibles.)
54 En un campamento internacional hay 3 jóvenes españoles, 4 franceses, 2
alemanes, 5 ingleses y un ruso. Se va a elegir, por sorteo, al encargado de
llevar las cuentas. Calcula la probabilidad de que la persona elegida sea:
a) Francesa o inglesa.
b) Española o rusa.
c) Alemana o inglesa.
SM 4 – Estadística y Probabilidad
12
55 En un grupo de 50 alumnos hay 10 que tienen 14 años, 13 que tienen 15 años,
17 que tienen 16 años y 10 que tienen 17 años. Se elige uno al azar. Halla la
probabilidad de que tenga 15 o 16 años.
56 Alberto tiene en su bolsillo 3 monedas de 1 PTA, 4 de 5 PTA, 6 de 25 PTA y 1
de 100 PTA. Saca, sin mirar una moneda del bolsillo. Halla la probabilidad de
que:
a) Sea de 1 PTA o de 5 PTA.
b) Sea de 100 PTA o de 25 PTA.
57 En una urna hay 50 bolas numeradas del 1 al 50. Se extrae una bola al azar.
Calcula la probabilidad de que:
a) Acabe en 2 o en 3.
b) Acabe en 0 o en 5.
c) No acabe en 7.
58 Se extrae una carta de una baraja española y se consideran los sucesos A =
«Sacar un rey» y B = «Sacar una espada». ¿Cuál es la probabilidad del suceso A
 B? (Piensa primero cuál es el suceso A  B.)
59 En una urna hay 40 bolas numeradas del 1 al 40. Se extrae una bola al azar
¿Cuál es la probabilidad de que sea par o múltiplo de 5?
60 En un grupo de 30 alumnos hay 14 que hacen natación y 8 que usan gafas. Se
sabe que 3 de las personas que hacen natación usan gafas. ¿Cuál es la
probabilidad de que elegida una persona al azar use gafas o haga natación?
61 La probabilidad de que un alumno de una clase de 4º de ESO apruebe
Matemáticas es del 80 %, que apruebe Lengua es del 70 % y de que apruebe las dos
es del 60 %. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe, al menos, una de las dos
materias?
62 Se tiran simultáneamente dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que, al
menos en uno de ellos, salga un número par?
SM 4 – Estadística y Probabilidad
13
IV. Probabilidad condicionada
10. Sucesos dependientes e independientes
· Experiencia compuesta: Está formada por dos o más experiencias simples
claramente diferenciadas.
Ejemplo: El lanzamiento de un dado y una moneda es una experiencia compuesta
formada por dos experiencias simples: el lanzamiento del dado y el lanzamiento
de la moneda.
El número de resultados posibles de una experiencia compuesta es el producto de
todos los resultados simples que la componen.
Ejemplo: En el lanzamiento de un dado y una moneda el número de resultados
posibles es 6 · 2 = 12.
· En una experiencia compuesta, dos sucesos A y B se dicen independientes cuando
el hecho de que se verifique A no hace más fácil ni más difícil que ocurra B o
viceversa. En caso contrario se dice que A y B son dependientes.
Para saber si dos sucesos A y B de una experiencia compuesta son dependientes o
independientes:
1.º Sitúalos en el tiempo, de forma que uno ocurra antes que el otro. Supongamos
que A sucede primero y B después.
2.º Ahora piensa que sucede B y contesta a la pregunta: ¿en el resultado de B
influye lo que ha pasado previamente en A?
3.º Si la respuesta es SÍ, A y B son dependientes.
Si la respuesta es NO es que son independientes.
63 En las siguientes experiencias compuestas señala cuántos resultados son
posibles.
a) Sacar una carta de una baraja y a continuación, lanzar un dado.
b) Lanzar 2 monedas al aire y anotar si sale cara o cruz.
c) Lanzar 3 dados y anotar el número que sale.
d) Anotar el sexo de los 3 hijos de una familia.
64 ¿Cuántos resultados posibles hay en la experiencia que consiste en tirar un
dado, a continuación una moneda y por último, extraer una bola de una urna con
10 bolas numeradas de 0 a 9?
65 Se lanzan 3 monedas. ¿Cuáles son los sucesos elementales que componen los
siguientes sucesos?
a) A = «Sacar 3 caras»
b) B = «Sacar una cara y dos cruces»
c) C = «Sacar al menos una cara»
d) D = «Sacar cara en la primera moneda»
66 En los siguientes sucesos, señala si los sucesos simples que los componen
son dependientes o independientes:
a) Lanzar una moneda dos veces y que salgan 2 caras.
b) Sacar sucesivamente dos bolas pares de una urna con 10 bolas numeradas del
1 al 10, sacando la segunda bola sin devolver la primera.
c) De dos hermanos gemelos, que los dos sean hombres.
d) La suma de puntos al tirar 2 veces un dado, sea 8.
e) En una bolsa con bolas negras y blancas, sacar sucesivamente dos bolas
blancas, si devolvemos la primera bola antes de sacar la segunda.
f) Al elegir dos personas al azar entre los alumnos de una clase, su apellido
comience por la misma letra.
SM 4 – Estadística y Probabilidad
14
11. Probabilidad condicionada
En un experimento compuesto, la probabilidad de un suceso B puede estar influida
por haber ocurrido otro suceso A.
p(B/A) es la probabilidad de que se verifique B sabiendo que ha ocurrido A.
El suceso B/A se lee «B condicionado a A».
Ejemplo: Extraemos sucesivamente, y sin devolución, dos cartas de una baraja
española. Tenemos los sucesos A = «La primera carta es un as» y B = «La segunda
carta es un as».
3
p(B/A) =
porque después de sacar un as sólo quedan 3 en las 39 cartas
39
restantes.
4
p(B/ A ) =
porque quedan los 4 ases en las 39 cartas restantes.
39
67 Una caja tiene 6 bolas blancas, 3 verdes y 4 azules. Se saca una bola y, sin
devolverla, se extrae una segunda bola. Calcula la probabilidad de que la
segunda bola sea blanca, si:
a) La primera bola fue blanca.
b) La primera bola no fue blanca.
68 En una clase de 30 alumnos, hay 14 chicos y 16 chicas. El número de personas
que llevan gafas, dependiendo del sexo, se distribuye según esta tabla:
Con gafas
Sin gafas
Total
Chicos
5
9
14
Chicas
4
12
16
Total
9
21
30
Elegimos una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Lleve gafas.
c) Sea chico sabiendo que tiene gafas.
b) Sea una chica sin gafas.
d) No lleve gafas sabiendo que es una chica.
69 Se
que:
a)
b)
c)
saca al azar una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de
Sea el tres de oros.
Sea el tres de oros sabiendo que la carta extraída es un oro.
Sea el tres de oros sabiendo que la carta extraída es un tres.
70 ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo de una familia sea varón,
sabiendo que el primero ha sido una chica?
71 En una clase de 4º de ESO con 25 alumnos, hay 13 chicos y 12 chicas. El
número de alumnos que cursan Matemáticas A o B, dependiendo del sexo, se
distribuye según esta tabla:
Matemáticas A
Matemáticas B
Total
Chicos
6
7
13
Chicas
4
8
12
Total
10
15
25
Elegimos una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea chica.
c) Sea un chico y curse Matemáticas B.
b) Curse Matemáticas A.
d) Sea chica sabiendo que cursa Matemáticas A.
72 Lanzamos un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4, sabiendo que ha
salido un número par?
SM 4 – Estadística y Probabilidad
15
12. Probabilidad de la intersección
· Si A y B son sucesos independientes
p(A  B) = p(A)·p(B)
· Si A y B son sucesos dependientes
p(A  B) = p(A)·p(B/A)
Ejemplo: Extraemos sucesivamente y
española y queremos saber cuál es la
Descomponemos el suceso en dos: A =
«Sacar as en la segunda extracción».
sin devolución
probabilidad del
«Sacar as en la
Debemos calcular
dos cartas de una baraja
suceso«sacar dos ases».
primera extracción» y B =
p(A  B).
A y B no son independientes puesto que al no devolver la primera carta al mazo,
la probabilidad de sacar un as en la segunda extracción es distinta si en la
primera extracción salió un as (hay 3 casos favorables entre 39 posibles) o no
salió un as (hay 4 casos favorables entre 39 posibles).
4
3
1
p(A  B) = p(A) · p(B/A) =
·
=
130
40 39
73 Se lanza una moneda tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3
cruces?
74 En una urna hay 5 bolas blancas y 7 negras. Si se extraen dos bolas, una a
continuación de la otra, calcula cuál es la probabilidad de que las dos sean
blancas:
a) Si devolvemos a la urna la primera bola antes de extraer la segunda.
b) Si no hay devolución.
75 En una familia con dos hijos, calcula la probabilidad de que:
a) El primero sea chico y la segunda chica.
b) Uno de los hijos sea chico y el otro chica.
76 La probabilidad de que una persona fume es 0,4. Elegidas 3 personas al azar
¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas fume?
77 En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Si extraemos sucesivamente
tres bolas de la urna, halla la probabilidad de que salgan, por este orden, el
1, el 2 y el 3, si:
a) Hay devolución después de cada extracción.
b) No hay devolución.
78 La probabilidad de que Juan enceste un tiro a canasta es 0,7. ¿Cuál es la
probabilidad de que enceste tres tiros seguidos a canasta?
79 Se extrae una carta de una baraja española y se guarda y a continuación se
extrae una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea
el as de oros y la segunda sea otro oro?
80 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado 5 veces nos salga el 6
todas las veces que tiramos?
SM 4 – Estadística y Probabilidad
16
13. Probabilidad total
Si un suceso se puede obtener por varios caminos, es útil mostrar mediante un
esquema o un diagrama en árbol las diferentes posibilidades, teniendo en cuenta
que la probabilidad de que dicho suceso ocurra es la suma de las probabilidades
de todos los caminos por los que puede suceder.
Un gato persigue a un ratón; en un momento determinado el camino se divide en 3
caminos, los tres con iguales posibilidades de ser tomados por el ratón. Si
elige el primero se salva pues hay un momento en que el camino se estrecha de
forma que cabe el ratón pero no el gato. Si elige el segundo, la probabilidad de
que se salve es 0,6 y el tercer camino es un callejón sin salida. Calcular la
probabilidad de que el ratón escape de las garras del gato.
A
G
R
B
p(A) = 1/3 · 1 = 1/3
p(B) = 1/3 · 0,6 = 0,2
C
p(C) = 1/3 · 0 = 0
Por tanto, la probabilidad de que se salve es: p(A) + p(B) + p(C) =
8
15
81 Ana guarda en el cajón de su armario 6 camisetas: 2 blancas, 3 negras y 1
azul. En otro cajón tiene 5 pantalones: 2 negros y 3 azules. Si abre un cajón y
coge una camiseta sin mirarla y luego abre el cajón de los pantalones y elige
uno, también sin mirarlo, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean del mismo
color?
82 En una urna hay 3 bolas rojas y 4 verdes, en otra urna hay 3 rojas y 2
verdes. Se toma al azar una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que
las dos sean del mismo color?
83 Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos dados salgan
dos números pares o dos impares?
84 En una clase hay 12 chicos y 18 chicas, se eligen consecutivamente dos
personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo sexo?
85 En una bolsa hay 5 refrescos de limón, 6 de naranja y 4 de cola. Sin mirar
una persona coge un refresco y a continuación, otra persona coge otro refresco.
¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan cogido sus refrescos del mismo
sabor?
86 Se extraen sucesivamente y sin devolución dos cartas de una baraja española.
¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo palo?
SM 4 – Estadística y Probabilidad
17
14. Probabilidad experimental
A veces no es posible asignar a un suceso una probabilidad teórica para poder
aplicar la regla de Laplace y hay que recurrir a la experimentación.
Se repite el suceso muchas veces y se le asigna como probabilidad el cociente
entre los casos que ha sucedido y los casos totales de que consta el
experimento.
Ejemplo: Así es posible determinar si una moneda está trucada, en qué porcentaje
una máquina fabrica piezas defectuosas o, incluso, si es cierto que cuando se
cae una tostada siempre lo hace con la parte de la mantequilla hacia abajo.
87 Una empresa compra una máquina de hacer cerraduras. Para sus márgenes
comerciales es aceptable que salgan un 2 % de cerraduras defectuosas. Después de
un mes, en la empresa comprueban que de 4 000 cerraduras fabricadas, 56 han
salido defectuosas ¿Deben cambiar la máquina?
88 La probabilidad de un jugador de un equipo de fútbol de acertar un penalti
es del 0,7. Otro jugador ha tirado en su vida profesional 479 penaltis y ha metido gol en 350 ocasiones. ¿A cuál de los dos elegirías para lanzar un penalti?
89 En un hospital se han aplicado dos tratamientos a una serie de personas para
tratar cierta enfermedad. Los resultados están reflejados en la tabla. ¿Cuál de
los dos tratamientos es más efectivo?
Tratamiento A
Tratamiento B
Pacientes tratados
496
629
Curados
321
402
90 Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de salir cara es 0,4.
¿Cuántas caras cabe esperar que se obtengan al lanzar la moneda 300 veces?
91 La probabilidad de que las bombillas de una determinada marca sean
defectuosas es del 0,02. Si una empresa necesita 1 500 bombillas, ¿cuántas debe
encargar teniendo en cuenta que ha de desechar las defectuosas?
92 Si al menos el 18 % de una población sufre determinada enfermedad, las
autoridades sanitarias recomiendan la vacunación de toda la población. En caso
contrario es preferible no vacunar a la gente por los efectos secundarios que
tiene la vacuna. En Orejilla de Abajo, localidad con 16 300 habitantes, 2 764
personas han contraído esa enfermedad. ¿Se debe vacunar a todos sus habitantes?
93 En un país A, hay 5 465 837 vehículos en circulación y el pasado año se
produjeron 84 237 accidentes. En otro país B, hay 4 839 345 vehículos y se
produjeron, ese mismo año, 75 865 accidentes. ¿Dónde es más segura la
conducción, en el país A o en el B?
94 La probabilidad de sufrir un accidente en las carreteras de un país C es del
1,25 %. ¿Dónde es más segura la conducción, en el país A, en el B, del problema
anterior o en el país C?