Ge022

AGENCIA INDEPENDIENTE GEOCUBA GEODESIA
GEOMÁTICA 2002
ALGORITMO PARA LA GEORREFERENCIACIÓN DE IMÁGENES DIGITALES
OBTENIDAS DE SATELITES NOAA.
Datos de los autores.
Nombre y apellidos: Dr. C. T. Eduardo Machado Mederos.
Institución: Grupo Empresarial Geocuba. Empresa IC. Filial UCT de Geocuba Geodesia.
Dirección. Loma y 39. Nuevo Vedado.
Teléfono: 55 – 54 – 09 al 12
Fax: 81 – 59 – 76.
Ponente: Dr. C. T. Eduardo Machado Mederos.
Introducción:
Un espejo plano giratorio acoplado a un mecanismo de rueda dentada a bordo del satélite
NOAA dado, recibe la radiación proveniente de la superficie terrestre. A través del
tratamiento termodinámico correspondiente y los sensores adecuados en cinco intervalos
estrechos de longitud de onda determinados, este nivel de radiación es convertido en
2048 valores numéricos por cada línea de la superficie terrestre escaneada por el espejo
en cada vuelta. Cada uno de estos 2048 puntos son los centros de zonas de la superficie
terrestres o pixel. El tamaño del pixel depende fundamentalmente de la altura del
Satélite, del paso de la rueda dentada y de la posición del pixel en la línea. Esta
información codificada junto con otros datos como la hora a que el espejo en rotación
comenzó a escanear cada línea, las efemérides del satélite, etc., es enviada al espacio
en señales de radio emitidas desde el satélite y captadas por los usuarios con antenas
preparadas el efecto enlazadas a computadoras. Surge entonces el problema de
decodificar esa información, determinar las coordenadas geográficas de cada uno de los
pixeles, así como la distancia cenital del Sol para cada pixel en el instante dado, con el
objetivo de poder calcular las magnitudes termodinámicas correspondientes como
reflectancia, temperatura, temperatura de brillo, etc. Determinar las coordenadas
geográficas de los pixeles es a lo que llamamos Georreferenciación.
Este trabajo presenta el algoritmo detallado para la Georreferenciación, el calculo de la
distancia cenital del Sol y el Satélite relativa a cada pixel.
Este algoritmo parte de la formulación de Ellickson. James, K y Henry Marie. D, 2. Este
algoritmo tiene entre sus datos de entrada la posición y velocidad instantánea del satélite.
Muchos autores suponen una órbita circular para determinar estos datos, sin embargo, lo
novedoso que se incluye en el algoritmo citado, es la determinación de la posición
y velocidad del satélite suponiendo una órbita elíptica Kepleriana sin tener en
cuenta las perturbaciones por achatamiento de la tierra, fricción con la atmósfera,
presión de la radiación solar y variaciones de la altura del satélite. También es
novedosa la inclusión del calculo de la distancia cenital del Sol y del satélite,
referido a cada pixel, suponiendo una tierra también elíptica así como el modo de
calculo del ángulo horario de Greenwich.
Objetivos:
 Determinar las coordenadas geográficas del pixel que está siendo sensado en el
instante universal t por el satélite NOAA dado.
 En el caso de que el Sol esté iluminando la escena, determinar la distancia cenital del
mismo para el pixel que está siendo sensado en el instante universal t por el satélite
NOAA dado.
 Determinar la distancia cenital del satélite para el pixel que está siendo sensado en el
instante universal t por el satélite NOAA dado.
1. Generalidades:
Los datos de entrada para el algoritmo son los instantes de tiempo  de la hora del reloj
del satélite para la cabeza de cada línea escaneada por el espejo y que vienen
contenidas en la imagen, las coordenadas de posición del satélite dadas en la
efemérides, así como la hora y longitud en los momentos en que el satélite corta el
ecuador terrestre, información que semanalmente es puesta en Internet en el boletín
llamado TBUS, las coordenadas ecuatoriales del Sol para la época dada, los coeficientes
terrestres para el calculo de la hora sideral a las cero horas de Greenwich y la
dimensiones del elipsoide terrestre WGS84.
4. ALGORITMO GENERAL.
4.1 Sistemas de coordenadas.
4.1.1 Sistema no inercial ECF (Earth Centred Fixed). Este es un sistema cartesiano
ortogonal, geocéntrico, rígidamente enlazado al cuerpo del planeta. El eje Z ECF coincide
con el eje de rotación general terrestre, el eje X ECF está en el plano del ecuador y emerge
por el meridiano de Greenwich, y el eje YECF es ortogonal a los primeros formando un
sistema derecho. El plano
X ECF , YECF
coincide por tanto con el plano del ecuador
terrestre.
4.1.2 Sistema inercial I. Este es también un sistema geocéntrico al igual que el ECF. El
eje Z I coincide con el eje de rotación terrestre, el eje X I es el lugar geométrico del corte
entre los planos del ecuador y la eclíptica (el plano de la eclíptica es en el que se mueve
el centro de masas del planeta en su recorrido anual alrededor del Sol), y el eje YI es
ortogonal a los primeros formando un sistema derecho.
Figura 1. Se ilustran el sistema no inercial ECF con los ejes en negro y el inercial I con los
ejes en rojo, así como el ángulo horario GHA. El eje X ECF es el que contiene al punto del
ecuador que emerge por Greenwich, y el eje X I emerge por el punto de equinoccio .
Se observa como los ejes Z ECF , y Z I son paralelos y coincidentes con el eje de rotación
terrestre.
Por su definición el eje X I apunta hacia el equinoccio vernal  también llamado nodo
ascendente, el cual equivale a una “estrella fija”. Al igual que en el sistema ECF, el plano
X I , YI en el sistema inercial I coincide con el plano del ecuador terrestre.
El sistema ECF gira alrededor del inercial I. En la figura 1 puede verse el ángulo
instantáneo que forman los ejes del sistema ECF con los del sistema inercial I en el
plano del ecuador.
4.1.3 Sistema PQS. Este es un sistema cartesiano ortogonal ligado al satélite. El origen
se encuentra en el centro del espejo, y el eje Z PQS está siempre dirigido a Nadir,
apuntando hacia el centro de la tierra, donde se encuentra el origen de los sistemas ECF
e I. El eje YPQS está dirigido en el sentido del vector velocidad angular  del espejo, el cual
se hace coincidir con el sentido del vector velocidad instantánea de traslación del
vehículo. El eje X PQS es ortogonal a los primeros formando un sistema derecho.
En la figura 2, además de ilustrar el sistema PQS, se ha tratado de dar una idea de cómo
funciona el sistema de barrido por líneas mientras el satélite con una órbita muy
circumpolar recorre el planeta.
Figura 2. El origen de coordenadas O del sistema PQS está en el centro del espejo
rotatorio
a bordo del satélite. El eje Z PQS se ha representado en negro, el eje YPQS que coincide
con el vector velocidad angular del espejo y con la velocidad lineal del satélite en azul, y
finalmente el eje
X PQS en verde. La línea en rojo sobre la superficie terrestre es
escaneada por el espejo bajo el ángulo  respecto a Nadir. Observe el sentido del barrido
en acuerdo con el sentido del vector velocidad angular del espejo.
4.2 Calculo de las coordenadas geográficas.
Una vez determinadas las coordenadas del pixel en el sistema ECF, es decir, una vez
conocidas
xECF ,
yECF ,
entonces las coordenadas geográficas buscadas se
zECF
determinan por las fórmulas siguientes:

  ArcTan

 1 

2

zECF
2
ECF
x
y
Donde
 - Latitud Geodésica en radianes.
2
ECF




(1)
  ArcTan yECF x



ECF 
{2}.
 - Longitud Geodésica en radianes.
 - Excentricidad del elipsoide terrestre.
4.3 Calculo de las coordenadas del pixel en el sistema ECF.
Las coordenadas del pixel en el sistema ECF se obtienen a partir de las coordenadas del
mismo pixel xI , yI , zI
en el sistema Inercial o sistema I como se le llamó arriba y del
ángulo horario GHA (Greenwich Hour Angle) en relación con Greenwich en el instante
universal dado.
Ellas se obtienen por la transformación siguiente:
xECF  xI cos(GHA)  yI sen(GHA) (3)
yECF  yI cos(GHA)  xI sen(GHA) (4)
zECF  zI
(5)
4.4 Calculo del ángulo horario GHA.
El GHA en el instante universal  al que le corresponde la fracción de dia f se calcula
según el algoritmo [1] por la siguiente fórmula:
GHA  G0  G1 * D  G2 * f (6)
donde:
G0 - Longitud de Greenwich (Este) para el inicio del año de interés.
G1  0.0172027912rad/dia. Incremento de la longitud de Greenwich por dia.
D - Número del dia del año para el momento t de interés.
G2  6.300388098 rad/dia - Velocidad angular media de rotación de la tierra
f - Fracción del dia para el momento de interés t.
La aplicación de la formula (6) tiene la dificultad de que el dato G0 hay que tomarlo de la
Efemérides Americana y Almanaque Náutico, publicación que no llega a nuestro país
desde hace varios años.
Sin embargo, la suma de los dos primeros términos del
miembro derecho de (6) es igual a la hora Sideral S0 a las cero horas de Greenwich del
dia dado D , cuyo algoritmo general, para calcularla con menos de una centésima de
segundo de error, está explicado en los Anuarios Astronómicos Soviéticos que obran en
nuestro poder.
El GHA se puede calcular entonces como sigue:
GHA  S0  G2 * f
Radianes (7)
Comparando (7) con (6) resulta evidente que se ha hecho S0  G0  G1 * D .
4.4.1 Calculo de la hora Sideral S0 a las cero horas de Greenwich del dia dado.
La hora sideral a las cero horas de Greenwich se calcula según la formula (8) en dos
partes:
S0  S0m  Cn
donde:
(8)
S0m - Hora sideral a las cero horas de Greenwich para un Sol medio ficticio.
Cn - Corrección por Nutación de la Ascensión Recta.
A su vez S0m se calcula como:
S0m  S  S
(9)
siendo:
S  24110.54841 8640184.812866* T  0.093* T 2  0.0000062* T 3 (10)
donde T es la fracción de siglo juliano para el dia de interés y
S  24 * (Trunc( Abs(S / 24))  1)  S
(11)
La función Trunc toma la parte entera sin redondear, y Abs indica tomar valor absoluto.
Antes de aplicar la ecuación (11), el resultado obtenido en (10) debe dividirse entre 3600
para convertirlo de segundos de tiempo a horas de tiempo Sidéreo.
Para convertir en fracción de siglo juliano T el dia de interés D se procede como sigue:
T 
 JF  2451545 .0
36525 .0
(12)
JF - Dia D Gregoriano expresado en días Julianos.
2451545 .0 - Dia juliano correspondiente al primero de enero del año 2000 a las 12 horas.
36525 .0 - Cantidad de días Julianos que tiene un siglo Juliano.
Para calcular JF se procede como sigue:
JF  1720994 .5  B  C  D  F (13)
donde:
 Y 
A  Trunc

 100
(14)
 A
B  2  A  Trunc 
 24 
(15)
C  Trunc365.25* Y  (16)
F  Trunc30.6001* M  1 (17)
D = Dia Gregoriano de interés.
M = Mes Gregoriano del dia D . Si M  3 entonces M  M  12
(18)
Y = Año Gregoriano del dia D . Si M  3 entonces Y  Y  1 (19)
Para calcular la corrección por Nutación de la Ascensión Recta Cn se usa la siguiente
formula:
Cn  ( FF  F1) * cosEK  . (20)
EK  E 0  E1  EE
(21)
E 0  84381.448 46.815* T  0.00059* T 2  0.001813* T 3 (22)
donde
FF - Componente de largo periodo de la Nutación por longitud.
F 1 - Componente de corto periodo de la Nutación por longitud.
EK - Oblicuidad de la eclíptica.
E1 - Componente de corto periodo de la Nutación por inclinación
EE - Componente de largo periodo de la Nutación por inclinación
Para calcular FF y EE se procede como se indica a continuación:
76
FF   Bi  Ci * T  * senH i 
(23)
i 1
76
EE   Di  Ei * T  * cosH i 
(24)
i 1
Bi - Argumentos de la anomalía media del Sol
Ci - Argumentos de la Latitud de la Luna.
Di - Argumentos de la diferencia de longitudes Luna – Sol.
Ei - Argumentos de la longitud media del Nodo ascendente de la órbita de la Luna.
T - Dia Gregoriano dado en Fracción de siglo Juliano.


H i   Aj  j *10  5* Z 4  j 
4
(25) siendo:
j 0
Z (0)  485866.733 1325* R0  715922.633 * T  31.31* T 2  0.064* T 3 (26) es la Anomalía
media de la Luna.
Z (1)  1287099.804 99* R0  1292581.224* T  0.577* T 2  0.012* T 3
(27) es la Anomalía
media del Sol.
Z (2)  335778.877 1342* R0  295263.137* T  13.257* T 2  0.011* T 3
(28)
es
el
(29)
es
la
argumento medio de latitud de la Luna.
Z (3)  1072261.307 1236* R0  1105601.328* T  6.891* T 2  0.019* T 3
elongación media de la Luna y el Sol (diferencia de longitudes).
Z (4)  450160.280 5 * R0  482890.539* T  7.455* T 2  0.008* T 3
media del nodo ascendente de la órbita de la luna sobre la eclíptica.
 Aj 
 j  Int   (31)
 10 
A0 - Argumento de la Anomalía de la Luna para j = 0.
(30) es la Longitud
Aj  j
(29) para j>0. (32)
Para el calculo de E1 y F 1 se tiene:
F1 
106
B  C * T * senH 
i  77
E1 
i
i
i
(33)
106
D  E * T * cosH 
i
i  77
i
i
(34)
Una vez calculado Cn es necesario transformarlo en horas Sidereas según:
Cn 
Cn
15 * 3600
(35)
R0  360* 3600 (36) (Segundos de una revolución)
Los 106 argumentos A, B, C, D y F pueden verse en la Tabla anexa 1
4.5 Calculo de las coordenadas del pixel en el sistema inercial.
Las coordenadas del pixel en el sistema inercial se determinan por la relación matricial
siguiente:
 xI   xSAT 
 Dx 
  

 
 yI    ySAT   R Dy 
z  z 
 Dz 
 I   SAT 
 
(37) donde:
xSAT , ySAT , zSAT - Son las coordenadas del satélite en el sistema inercial.
Dx, Dy, Dz - Son los cosenos directores de la normal a la superficie del espejo rotatorio en
el sistema inercial de coordenadas.
R - Es la distancia desde el centro del espejo hasta el pixel en cuestión.
4.6 Calculo de las coordenadas del satélite.
Las coordenadas del satélite se determinan a partir de los datos de la órbita Kepleriana
no perturbada, es decir se considera una órbita elíptica con uno de sus focos en el centro
de masas del planeta, en lugar de una órbita circular como hacen muchos autores. Esto
provoca una importante atenuación de los errores provocados por la altura del satélite.
Las coordenadas se encontrarán entonces según:
xSAT  x * cos1  y * cos1
(38)
ySAT  x * cos2  y * cos2
(39)
zSAT  x * cos3  y * cos3
(40)
siendo:
cos1   cosi * sinW * sin  cosW * cos (41)
cos2  cosi * sinW * cos  cosW * sin
(42)
cos3  sini* sinW
(43)
cos1   cosi * cosW * sin  sinW * cos (44)
cos2  cosi * cosW * cos  sinW * sin (45)
cos3  sini * cosW
(46)
siendo
i - Inclinación de la órbita.
W - Argumento del perigeo.
 - Ascensión recta del Nodo Ascendente.
Estos últimos tres datos se obtienen de la efemérides del satélite.
Por otro lado:
x  r * cos f 
(46)
y  r * sin f 
(47)
r  a * 1  e * cosE  (48)
f - Anomalía verdadera
e - Excentricidad de la órbita del satélite.
E - Anomalía excéntrica de la órbita.
a - Semi eje mayor de la órbita.
La excentricidad e de la órbita es un dato que se toma también de la efemérides del
satélite, pero la Anomalía verdadera, la excéntrica y el Semi eje mayor deben calcularse a
partir de otros datos de la órbita:
El Semi eje mayor a se determina a partir de la velocidad angular media  de la órbita
que se toma de las efemérides, según:
  
a3  2
 
(49)
donde   3.986036*1014 es la constante de la tercera ley de Kepler en el sistema
internacional, luego a resultará en metros. El Semi eje menor b puede determinarse
entones a partir de a como sigue:

b  a * 1  e2

(50)
La anomalía verdadera f se calcula por la formula:


b * sinE
 (51)
f  ArcTan
 a * (cosE   e) 
La Anomalía excéntrica E se determina a partir de relación con la anomalía media AM :
AM  E  e * sinE
(52)
La anomalía media AM en el instante de tiempo universal  expresado en horas se
determina por la formula siguiente:
AM  nm *   TP  * 3600 (53)
donde
nm - Velocidad angular media de la órbita del satélite en rad/seg.
TP - Tiempo de paso por el perigeo.
La velocidad angular nm se extrae de la efemérides pero el tiempo de paso por el perigeo
hay que calcularlo. La idea para el calculo es la siguiente; si se conoce la hora de paso
TE del satélite por el plano del ecuador, y la anomalía media M que le corresponde al
paso por el perigeo, entonces evidentemente el momento de paso TP por el perigeo será:
TP  TE 
M
(54)
nm * 3600
La información sobre TE se coloca en Internet semanalmente por la NOAA en un boletín
llamado TBUS.
La anomalía media M estará ligada a cierta anomalía excéntrica por una ecuación similar
a la (47):
M  E  e * sinE (55)
En (50) la magnitud E es también una incógnita, pero ella esta ligada al argumento del
perigeo W por la fórmula:
 b * sinE 

W  ArcTan
 acos E  e 
(56)
Para extraer E de la expresión (56) donde se encuentra implícita, se necesita de un
procedimiento iterativo:
El procedimiento se basa en que la magnitud W es un dato que se puede extraer de la
efemérides del satélite. El procedimiento es el siguiente:
1. Se calcula un valor de E aproximado para una tierra perfectamente esférica, esto es
e  0 , luego:


E  ArcTan a * TanW 
b
2. Se reduce el valor de E al cuadrante correcto
Si E < 0 y W < entonces E    E
Si E > 0 y W > entonces E    E
Si E < 0 y W >3*/2 entonces E  2 *   E
(58)
(57)
3. Se determina el argumento del perigeo W 1 que le correspondería a la anomalía
excéntrica calculada en los dos pasos anteriores pero por la formula exacta, esto es:
 b * sinE 
 (59)
W 1  ArcTan
 a * cos E  e 
4. Se reduce W 1 al cuadrante correcto:
Si W 1 < 0 y E < entonces W 1    W 1
Si W 1 > 0 y E > entonces W 1    W 1
(60)
Si W 1 < 0 y E <3*/2 entonces W 1  2 *   W 1
5. Se halla la diferencia entre el valor aproximado W 1 y el exacto W :
dW  W 1  W
(61)
6. Se determina el pequeño incremento dE que le corresponde a una variación pequeña
dW :
 b * cosE  e * e cosdWE  1
dE  a
2
(62)
7. Se halla el nuevo valor mas exacto de la anomalía excéntrica, añadiéndole al valor
aproximado el pequeño incremento:
E  E  dE
(63)
8. Se pregunta si ya la diferencia dW es menor que cierta norma previa que garantice la
exactitud que buscamos, y si aun no satisface, con el ultimo valor de E obtenido se
repiten los pasos del 2 al 8.
Con el valor de E finalmente encontrado podemos hallar la anomalía M que le
corresponde al perigeo por la (50), con ella, encontramos el momento de paso por el
perigeo por la (49), y por la (48) determinamos la anomalía media AM . Ahora por un
procedimiento similar al descrito arriba (en ocho etapas), podemos finalmente determinar
la anomalía excéntrica E que le corresponde a la media AM a partir de (47).
La diferencia radicaría solo en la forma de encontrar el valor inicial aproximado de la
anomalía excéntrica E , que seria (59) en lugar de (52):
1
E  AM  e * sin AM   e 2 * sin2 AM 
2
(64)
Ya resulta posible determinar f por la (46), hallar r a partir de (43), y por (41) y (42)
respectivamente determinar x e y .
Al hallar la anomalía verdadera f por la (46), el resultado debe también ser reducido al
cuadrante correcto:
Si f < 0 y   TA
entonces f    f
Si f > 0 y   TA
entonces f    f
Si f < 0 y   TA
entonces f  2 *   f
(65)
Aquí  es el momento de tiempo universal de interés, y TA es el momento de paso por el
apogeo, el cual puede determinarse fácilmente a partir de TE y TP como sigue:
1. Se determina el tiempo medio dT0 en que el satélite realiza una revolución por su órbita
según:
dT0 
2 *
3600 * nm
(66)
2. Se indaga si el tiempo que demora el satélite en pasar por el perigeo, contado a partir
de su paso por el ecuador es mayor que la mitad de su periodo de revolución es decir,
si TP  TE 
dT0
. Si no es mayor, o sea si se cumple la anterior desigualdad, entonces
2
el momento de paso por el apogeo TA se determina como:
TA  TP 
dT0
(62)
2
Bibliografía
2
Ellickson James. K, y Henry Marie. D. Formulation of a Generic Algorithm for Earth
Locating Data From NOAA Polar Satellites. Science Systems And Applications, INC
Agosto 31 1988.