TAREAS T2 – ASTROFÍSICA 2009/10 Lectura L2

TAREAS T2 – ASTROFÍSICA 2009/10
Lectura L2: “On ships, trains and the equation of time” (A. Sajina).
1. Sabiendo que la Luna tarda 29.5 días en completar un ciclo de fases (período sinódico), deduce
el hecho de que cada día salga 48 minutos más tarde.
2. El cometa Halley tiene un período orbital de 76 años y su máxima distancia al Sol es de 35.3
UA. ¿Cuál será la distancia de máximo acercamiento al Sol? ¿Cuánto vale la excentricidad de
su órbita?
3. Busca las coordenadas ecuatoriales de la estrella Betelgeuse y calcula cuáles serán sus
coordenadas horizontales a las 21h TU del día 23 de Octubre de 2009 (TSG = 23h 6m 11s)
desde Murcia
( = 38º , = − 1º10' ). ¿A qué hora civil será mediodía solar verdadero en
Murcia ese día?
4. Demuestra que el vector de Runge-Lenz y la energía son invariantes en el tiempo cuando un
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planeta orbita alrededor del Sol. Deduce también la relación m e − 1 = 2EL .
5. Ejercicio computacional. Transforma la ecuación diferencial de Kepler en forma vectorial en
un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales acopladas a integrar numéricamente.
a) Caso de masa central infinita: integrar una órbita circular y otra elíptica. Comprobar que las
órbitas se cierran y que la energía y el momento angular se conservan.
b) Caso de dos masas desiguales pero del mismo orden (por ejemplo, 1 y 3 Msol): integrar una
órbita circular y otra elíptica.
c) Ahora integra la órbita del caso (a) pero usando un potencial gravitatorio del
− GM
2GM
tipo: = r − Rs (post-newtoniano) donde Rs≡ c2 (en todo lo demás, usa mecánica
newtoniana) y M=6.75Msol. Considera los casos a/ R s= 5,10,50 . Haz la órbita suficientemente
excéntrica como para apreciar la precesión pero evita distancias del periastro r P cercanas a 3Rs .
Desarrolla el potencial (o la fuerza) en una serie en términos de Rs , quédate sólo con el primer
término post-newtoniano y halla una expresión analítica para el ángulo de precesión por órbita.
Compara con los resultados numéricos. Por último, trata de generar una órbita circular
con r ≈ 3Rs y otra con r ≈ 3Rs y compara.
Lectura L3: “La ecuación de Kepler” (ecKepler.pdf o wikipedia: “ecuación de Kepler”).
6. Calcula la anomalía excéntrica de la Tierra para el 23 de Octubre de 2009 tomando como fecha
de su perihelio el 4 de Enero de 2009. Compara los resultados obtenidos por el método gráfico
(a mano o programado) y por aproximaciones sucesivas. Demuestra la
V
1 e
E
relación tan 2 = 1− e tan 2 u obtén tu propia expresión para calcular la anomalía verdadera
V a partir de la excéntrica. Extra: calcula y representa las posiciones de otros planetas del
Sistema Solar ese mismo día suponiendo que están todos en el mismo plano. Algunos datos:
20091004 Mercury at perihelion
20100516 Venus at perihelion
20090421 Mars at perihelion
19990505, 20110316 Jupiter at perihelion