Cuántos minutos le tomó completar una órbita? b) ¿Qué velocidad

Segundo parcial - 27/10/11
Problema Nº 1: Una varilla uniforme de largo L y masa m, (
)
está articulada en un extremo a un punto fijo O, inicialmente en reposo y
horizontal. Si ella se suelta, comienza a rotar respecto a la articulación bajo
el efecto del peso de la barra. Determine: a) la aceleración angular y la
velocidad angular en función del ángulo que ella ha girado, b) la fuerza
sobre la articulación en el instante que pasa por la posición vertical y c) la
energía cinética de la varilla en ese instante. Dar los resultados en función
de m y L.
Resolución:
a)
→
La velocidad angular puede ser obtenida de dos maneras:
1.- Mediante consideraciones energéticas. Tomando como nivel de
referencia para la energía potencial el eje x y considerando que el
trabajo de fuerzas no conservativas es nulo se puede escribir:
Por lo tanto la energía mecánica de la varilla en posición horizontal será igual a la que tiene cuando
forme un ángulo θ cualquiera. Entonces:
Y luego:
2.- A partir de la expresión de α en función de θ.
Poniendo
queda
y luego separando variables:
y después integrando
se llega ha:
b)
mg
c) La energía cinética en el instante que la varilla pasa por la posición vertical puede hallarse de tres
formas distintas:
1.Entre las posiciones A y B:
Por lo tanto:
Y luego:
Entonces:
2.-
3.-
Problema Nº 2: El péndulo de un reloj de pared está constituido por una varilla
homogénea de 1 m de longitud y masa m en cuyo extremo se encuentra un disco
macizo y homogéneo de masa M = 20 m. Calcular a) el radio que debe tener el disco
para que el reloj funcione con un periodo de 2 s sin amortiguamiento y b) el
coeficiente de amortiguamiento del sistema si la amplitud de las oscilaciones se
reduce a ¼ de la inicial en 11 minutos. Momento de inercia del disco:
Resolución:
Para oscilaciones de pequeña amplitud:
Por lo tanto la frecuencia angular de las oscilaciones es:
Y el período:
Despejando R se obtiene:
Reemplazando en la ecuación anterior los datos del problema, resulta: R = 4,7 cm.
b)
→
→
Problema Nº 3: Se bombea agua desde un río hasta un
depósito que abastece a un poblado, a través de una
tubería de 15 cm de diámetro. La toma del agua se
encuentra a h1 = 564 m de altura sobre el nivel del mar y
la salida de la cañería a h2 = 2096 m. Asumiendo un
comportamiento ideal, sin pérdidas en la cañería, a) ¿Cuál
es la presión mínima que debe suministrar la bomba para
que el agua llegue al depósito? b) Si para satisfacer el
consumo de la población, se deben bombear 4500 m3
diarios, ¿cuál deberá ser la velocidad del agua en la cañería? c) Un técnico debe verificar esta velocidad
midiendo la diferencia de altura que alcanza un líquido inmiscible en agua, de densidad 6000 kg/m3,
en las ramas de un tubo en U incerto en un tramo horizontal de la cañería, al mismo nivel que la
bomba. Una de las ramas del tubo en U está conectada a un punto donde la cañería tiene un
estrechamiento cuya sección es la 2/3 parte del área normal de la cañería. ¿Cuál debe ser la diferencia
de alturas h del líquido en dicho tubo si la velocidad del agua en la cañería es la necesaria para
mantener ese suministro? Tomar: presión atmosférica Po = 1,013 105 Pa, densidad del agua ρ =
1000 kg/m3.
Resolución:
a)
b)
→
→
c)
Aplicando las ecuaciones de Bernoulli y continuidad entre 1 y 2:
resulta:
Luego:
y
Como P3 = P4 se puede escribir:
Igualando * y ** se llega a:
h = 11,1 cm
Problema Nº 4: Un litro de gas ideal (γ = 5/3) que se encuentra a 20 ºC y 1 atm de presión es
sometido a los siguientes cambios: se aumenta el volumen al doble manteniendo la presión constante;
luego, isotérmicamente se lleva el volumen al triple del inicial; y, por último, se vuelve
adiabáticamente a la temperatura inicial. R = 0.08206 atm L K-1 mol-1. a) Representar el proceso en
un diagrama P-V. b) ¿Esta sucesión de procesos completa un ciclo? Justificar. c) Hallar la presión, el
volumen y la temperatura en cada uno de los estados. d) Calcular U, W y Q en cada transformación.
Resolución:
a)
b) La sucesión de transformaciones no constituye un
ciclo ya que luego de los
tres procesos no se vuelve
al estado inicial.
c)
→
En el estado 2:
, incertando la expresión de n queda:
porque el proceso 2→3 es isotérmico.
V3 es dato (3 L)
Entonces
En la transformación 3→4 es
, luego, como es adiabática:
Realizando los cálculos se obtiene:
1
2
3
4
P (atm)
1
1
0,667
0,118
V (L)
1
2
3
8,485
d)
y
Proceso 1→2:
Proceso 2→3:
entonces:
y
T(K)
293
586
586
293
Proceso 3→4:
Problema Nº 5: El 19 de Julio de 1969 la órbita de la nave espacial Apolo 11 alrededor de la Luna fue
ajustada a una órbita media de 111 km respecto a la superficie lunar. El radio de la Luna es 1785 km
y su masa 7,349 1022 kg. a) ¿Cuántos minutos le tomó completar una órbita? b) ¿Qué velocidad tenía
alrededor de la Luna? c) Cuando la nave Apolo transitaba por el “lado oscuro” de la Luna, ¿qué
porcentaje del campo gravitatorio sobre ella se debía al campo generado por la Tierra?
Masa de la Tierra = 5,983 · 1024 kg, Radio medio de la órbita lunar = 384000 km, G = 6,673 · 10 –11 N m2 kg-2
Resolución:
a) El módulo de la fuerza ejercida por la Luna sobre la nave se calcula
aplicando la ley de gravitación de newton, y asumiendo una órbita
circular queda:
Entonces:
T = 7407.35 s = 123.5 min
b)
v = 1608 m/s
c)
El campo gravitatorio (módulo) sobre la nave es:
El campo gravitatorio debido a la Tierra es:
El porcentaje del campo gravitatorio debido a la Tierra es: