La linealidad de un sistema T se define como

Teoría de Sistemas Lineales.
La teoría de sistemas lineales, es un campo bien desarrollado, comúnmente se usa
para describir el comportamiento de circuitos electrónicos y sistemas ópticos, también es
útil en una gran variedad de aplicaciones. La teoría de sistemas lineales, proporciona las
bases matemáticas en las cuales se apoyan el estudio de los efectos de: muestreo, filtrado y
resolución espacial.
Definiciones
Un sistema es cualquier “cosa” que acepta una entrada x(t) y produce una salida y(t)
como respuesta a esa entrada. Debido a que solo nos interesa la relación entre la entrada y
la salida, no tomaremos en cuenta que hay adentro de tal sistema. En otras palabras
consideraremos al sistema como una caja negra. La entrada y la salida pueden ser 1-D, 2-D
o de mas dimensiones.
Sistema lineal
Salida
Entrada
y(t)
x(t)
Figura 13-1. Notación para un sistema lineal 1-D
f(x,y)
g(x,y)
Figura 13-2. Sistema lineal 2-D
La figura 13-1 muestra un sistema lineal 1-D y la figura 13-2 es un esquema
simplificado de un sistema lineal 2-D.
Linealidad
La linealidad de un sistema T se define como:
Linealidad

T{ax1(n1, n2) + bx2(n1, n2)} = ay1(n1, n2) + by2(n1, n2)
(13-1)
donde
T{x1(n1, n2)} = y1(n1, n2)
(13-2)
y
T{x2(n1, n2)} = y2(n1, n2),
(13-3)
a y b son constantes cualesquiera. A esta condición se le llama el principio de
superposición. A  B se lee como A implica B y B implica A.
Invariancia.
En el caso de las señales 1-D, las cuales comúnmente son dependientes del tiempo,
se le conoce como invariancia temporal. En el caso de señales 2-D, se le llama invariancia
ante el desplazamiento, también conocida como espacialmente invariante (EI) o invariancia
espacial.
La invariancia espacial de un sistema se define como:
invariancia espacial 
T{x(n1 - m1, n2 - m2)} = y(n1 - m1, n2 - m2)
(13-4)
Respuesta al impulso.
Denotemos por h(n1, n2) la respuesta de un sistema T cuando se tiene a la entrada un
impulso (n1, n2).
La siguiente ecuación:
h(n1-k1, n2-k2) = T{(n1 - k1, n2 - k2)}
(13-5)
es la salida (respuesta al impulso) para un sistema T espacialmente invariante (EI).
Consideremos un sistema lineal T. La salida y(n1, n2) para una entrada x(n1, n2) la podemos
expresar como:


 x(k 1 , k 2) (n1  k 1 , n2  k 2)} .
y(n1 ,n2 )  T[x(n1 ,n2 )]  T{ 
(13-6)
k 1 0 k 2  0
Debido a la linealidad, podemos meter el operador T dentro de la sumatoria, por lo tanto
obtenemos la siguiente relación:


y(n1 ,n2 )  T[x(n1 ,n2 )]    X (k1 , k 2)T{h(n1  k1 , n2  k 2)}
(13-7)
k 1 0 k 2  0
Un sistema lineal puede ser completamente caracterizado por su respuesta a un
impulso (n1, n2) y sus desplazamientos (n1 - k1, n2 - k2). En otras palabras, si conocemos
T[(n1 - k1, n2 - k2)] para todos los valores de k1 y k2, entonces la salida de un sistema lineal
a cualquier entrada x(n1, n2), pude ser fácilmente obtenida.
Para un sistema lineal y espacialmente invariante (LEI), tenemos entonces que la
relación entrada salida esta dada por:


y(n1 , n2 )  T{x(n1 , n2 ) }  
 x(k 1 , k 2)h(n1  k 1 , n2  k 2) |
k 1 0 k 2  0
(13-7)
Esta ecuación establece que un sistema lineal y espacialmente invariante (LEI) queda
completamente caracterizado por la respuesta al impulso h(n1, n2).
Resumiendo, para un sistema lineal y espacialmente invariante, solamente con el
conocimiento de h(n1, n2), se puede determinar la salida de dicho sistema para cualquier
tipo de entrada. La relación (13-7) se corresponde con la convolución, y se denota por el
operador "*".

y(n1 , n2 )  x(n1 , n2 ) *h(n1 , n2 )  

 X (k 1 , k 2)h(n1  k 1 , n2  k 2)
k 1 0 k 2  0
(13-8)
Notas

que la respuesta al impulso h(n1, n2), la cual juega un papel importante en los sistemas
LEI, pierde su significado para un sistema que no es lineal o que es espacialmente
variante.

un sistema LEI puede ser completamente caracterizado por la respuesta del sistema a
cualquier otra sucesión de entradas. La elección de (n1, n2) como la entrada que
caracteriza a un sistema es la más simple, tanto práctica como conceptualmente.

Para un sistema no lineal, el conocimiento de T[(n1 - k1, n2 - k2)] para todos los valores
enteros de k1 y k2 no nos dice como es la salida del sistema.

La caracterización de un sistema se simplifica si le adicionamos la restricción de
invariancia espacial.
Definición de la operación Convolución

y(n1 , n2 )  x(n1 , n2 ) *h(n1 , n2 )  

 X (k 1 , k 2)h(n1  k 1 , n2  k 2)
k 1 0 k 2  0
(13-9)
Propiedades de la convolución.
El operador de convolución tiene propiedades que son extensiones directas el caso
1-D. Algunas de las más importantes son listadas a continuación.

Conmutatividad.
x(n1, n2)* y(n1, n2) = y(n1, n2)* x(n1, n2)

(10)
Asociatividad.
{x(n1, n2)* y(n1, n2) }* z(n1, n2) = x(n1, n2)* {y(n1, n2) *z(n1, n2))}

(13-11)
Distribución.
x(n1, n2)*{y(n1, n2) + z(n1, n2))} = {x(n1, n2)* y(n1, n2)} + {x(n1,n2)*z(n1, n2)} (13-12)

Convolución con un impulso desplazado.
x(n1, n2)*(n1 - m1, n2 - m2) = x(n1, - m1, n2 - m2)
(13-13)
La propiedad conmutativa establece que la salida de un sistema lineal y espacialmente
invariante (LEI), no es afectada cuando la entrada y la respuesta al impulso intercambian
papeles. Por otro lado la propiedad asociativa establece que una cascada de dos sistemas
LEI con respuestas al impulso h1(n1, n2) y h2(n1, n2), tienen la misma relación entrada salida
que un sistema LEI con respuesta al impulso h1(n1, n2)*h2(n1, n2). Finalmente la propiedad
distributiva establece que una combinación en paralelo de dos sistemas LEI con respuesta
al impulso h1(n1, n2) y h2(n1, n2) tiene la misma relación entrada salida que un sistema cuya
respuesta al impulso esta dada por h1(n1, n2) + h2(n1, n2). En el caso especial de la
convolución con un impulso cuando m1 = m2 = 0, se puede ver que la respuesta al impulso
de un sistema identidad es (n1, n2).
La convolución de dos sucesiones x(n1, n2) y h(n1, n2) puede ser obtenida evaluando la
ecuación (13-9). Sin embargo es más simple e ilustrativo evaluar la convolución
gráficamente. Concretamente el termino de la sumatoria en la convolución puede ser
interpretada como la multiplicación de dos sucesiones x(n1, n2) y h(n1 - k1, n2 - k2), la cual
depende de las variables k1 y k2,. El resultado se obtiene al sumar todos los productos para
todos los valores enteros de k1 y k2.
Un sistema LEI se dice que es separable, si su respuesta al impulso h(n1, n2)es una
sucesión separable. Para un sistema separable, es posible reducir el número de operaciones
aritméticas requeridas para calcular la suma de convolución.
n2
n2
x(n1, n2)









h(n1, n2)
3 4
 
1 2 
n1
(a)
n1
(b)
(c)
k2
k1
h(k1, k2)
3 4
 
1 2 
x(k1, k2)


k1
(d)
Reflexión de h(k1, k2) y
cambio de nombre






k2
h(n1 - k1, n2 - k2) =
g(k1 - n1, k2 - n2
k2
k2
n2
g(k1, k2) = h(-k1, -k2)
2 1
 
4 3 
k1
2 1 
 
4 3
k1
(e)
n1
(f)
n2
y(n1, n2)








(g)






 n1

Transformada de Fourier
La sucesión x(n1,n2) se puede obtener como una combinación adecuada de
exponenciales complejas de la forma X(1,2) ej1nlej2n2. La relación entre x(n1, n2) y
X(1, 2) esta dada por:

X( 1 , 2)  

j
j
 x(n1 , n 2) e  1n1 e  2 n 2
(13-14)
k 1   k 2  
x(n1, n2) = x(n1 , n 2 ) 


1
j
j
  X ( 1 , 2) e  1n1 e  2 n 2
2
2  1     2   
(13-15)
La función X(1, 2) se llama la transformada de Fourier espacial discreta, o transformada
de Fourier de x(n1, n2). La sucesión x(n1, n2) se llama la transformada de Fourier inversa
espacial discreta.
Transformada de Fourier discreta.
Es la representación en el espacio de frecuencias de sucesiones de extensión finita
(imágenes). Se obtiene a partir de suponer sucesiones infinitas y periódicas.
N 11 N 2 1
X (k 1 , k 2)  

 2




 2


x(n1 , n2) e j  N 1 k 1n1 e j  N 2 k 2n2
n1 0 n2  0
(13-16)
inversa
xn1 , n2  
1 N 11 N 21
 
N 1 N 2 k 10 k 20
X k 1 , k 2  e j  N 1 k 1n1 e j  N 2 k 2n2 (13-17)

 2



 2


k1, y k2 representan las frecuencias, que en este caso son discretas también.
Transformada de Fourier rápida.
Una manera de obtener la transformada de Fourier es fijando uno de los índices (por
ejemplo n2) y realizar operaciones sobre el otro. Esto es equivalente a realizar una
transformación de Fourier unidimensional en todos los renglones
En formulas esto significa lo siguiente
N 11

 2


f (k 1 , n2)   x(n1 , n2) e j  N 1 k 1n1 , (13-18)
n1 0
después realizar la siguiente operación ( que equivale a hacer la transformada de Fourier
unidimensional en la dirección de la columnas).
N 2 1
X (k 1 , k 2)  
n2  0

 2


f (k 1 , n2) e j  N 2 k 2n2
(13-19)
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
x(n1, n2) 
X(1, 2)
y(n1, n2) 
Y(1, 2)
Propiedad 1
Linealidad
ax(n1, n2) + by(n1, n2)  aX(1, 2) + b Y(1, 2)
Propiedad 2
Convolución
x(n1, n2) * y(n1, n2)  X(1, 2) Y(1, 2)
Propiedad 3
Multiplicación
x(n1, n2) y(n1, n2)  X(1, 2) * Y(1, 2)
Propiedad 4
Sucesión separable
x(n1, n2) = x1(n1) x2(n2)  X1(1) X2(2)
Propiedad 5
Sucesión desplazada y su transformada de Fourier
x(n1 - m1, n2 - m2)  X(1, 2) e-j1m1 e-j2m2
ejv1n1 ejv2n2 x(n1, n2)  X(1 - v1, 2 - v2)
Propiedad 6
Derivación (diferenciación)
-jn1x(n1, n2)  X(1, 2)/1
-jn2x(n1, n2)  X(1, 2)/2
Propiedad 7
Valor Inicial y teorema del valor DC
(a)
 1   
x(0,0)      X (1 ,  2 )d1 d 2
 2  1   2 
(b)
X (0,0)  n1  n2  x(n1 , n2 )
2
Propiedad 8
Teorema de Parseval
 1   
(a) n1  n 2 x(n1 , n2 ) y * (n1 , n2 )      X (1 ,  2 )Y * (1 ,  2 )d1 d 2
 2  1    2  
2


 1   
(b) n1  n2  x(n1 , n2 )      X (1 ,  2 ) d1 d 2
 2  1    2  
2


2