Factor común de un Polinomio

U.E. Colegio Los Arcos
polinomio
Matemáticas Segundo año
Guía #10 Factor común en un
GUIA DE TRABAJO
Materia: Matemáticas Guía #9.
Tema: Factor común en un polinomio.
Fecha: ____________
Profesor: Fernando Viso
Nombre del alumno:___________________________________________
Sección del alumno:____________________________________________
CONDICIONES:






Trabajo individual.
Sin libros, ni cuadernos, ni notas.
Sin celulares.
Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para
resolver cada problema.
No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo.
No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni
calculadoras prestadas.
Marco Teórico:
Los números naturales compuestos se pueden descomponer en el producto de dos o más
factores. Por ejemplo:
 35  5  7
 42  2  3  7
 24  2  3  4
 9  32
Del mismo modo, factorizar un polinomio significa descomponerlo en el producto de dos
o más factores. Observa los siguientes ejemplos:

x2  9   x  3   x  3

x 2  2 x  1   x  1

x2  5x  6   x  2   x  3
2
1.- Factor común monomio: Observa los siguientes polinomios:

P  x   x3  x2

Q  x   3x6  6x4 12x3
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En cada polinomio los términos son divisibles por un mismo factor:
Cada término de P  x  es divisible por x2, es decir, x2 es factor común de P  x  .
Cada término de Q  x  es divisible por 3x3 , por lo tanto, 3x3 es factor común de Q  x  .
Entonces:
 x3 x 2 
P  x   x  x  x   2  2   x 2   x  1
x 
x
6
6 x 4 12 x3 
6
4
3
3  3x
Q  x   3x  6 x  12 x  3x   3  3  3   3x3  x3  2 x  4
3x 
 3x 3x
3
2
2


Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, se puede
factorizar el polinomio en el producto de dos factores, uno de los cuales es el factor
común. El otro factor se obtiene dividiendo cada término del polinomio entre el factor
común.
Ejemplo #1: Factorizar
P  x   45x10  30x6 10x4 .
1.- Se halla el factor común. Para determinar el factor común de un polinomio, se calcula
el máximo común divisor de los coeficientes y se multiplica por la menor potencia de x.
El m.c.d (45, 30, 10) = 5, entonces el factor común es
5x4 .
2.- Se divide cada término del polinomio entre el factor común:
45 x10 30 x6 10 x 4

 4  9 x6  6 x 2  2
4
4
5x
5x
5x
3.- El polinomio es igual al producto del factor común por el polinomio obtenido en el
paso anterior, luego:

P  x   45 x10  30 x 6  10 x 4  5 x 4  9 x 6  6 x 2  2

2.- Factor común polinomio:
Observa como se factorizan los siguientes ejercicios:

a  x  y   b  x  y  . El factor común es el binomio
 x  y ;
se divide cada
  x  y
 x  y   x  y  a  b
b
término entre  x  y  , así:  x  y   a


 
 x  y  
  x  y 
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
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  m  1  m  1 
n  m  1  m  1   m  1   n

   m  1   n  1
  m  1  m  1 
3.- Factor común por agrupación de términos:
Fíjate como se factoriza cada uno de los siguientes ejercicios:

az  bz  ay  by . En esta expresión no existe un factor común a todos
los términos, sin embargo “ z” es común a los dos primeros términos y “y” es
común a los dos últimos, entonces se sacan dichos factores así;
z  a  b  y  a  b . Al hacerlo se encuentra un nuevo factor común binomio,
entonces se multiplica y se divide cada término entre

a  b  z


 a  b ,
así:
a  b  y a  b   a  b  z  y

.
 
 a  b   a  b  
3x2  6 xy  4 x  8 y.
mientras que
2y
En los dos primeros términos
lo es
de los dos últimos.
3x
es factor común,
Se puede escribir:
 3x   x  2 y   4   x  2 y . Se originó el nuevo factor común, entonces se
multiplica y se divide cada término entre  x  2 y  para obtener la factorización

 x  2 y   4   x  2 y    x  2 y  3x  4 .

x

2
y

3
x






 
buscada:
 x  2y
 x  2 y  

 3ax  3x  4 y  4ay.
En este caso, 3x es factor común de los dos
primeros términos y 4 y de los dos últimos, luego, se puede escribir la siguiente
expresión: 3x   a 1  4 y  1  a . Se debe observar que no se originó otro factor
común. Los términos que están entre paréntesis difieren en la posición; en este
caso se invierte la posición de los términos de alguno de los paréntesis y se
cambia el signo que esté a la izquierda del paréntesis que se invirtió, es decir:
3x   a 1  4 y  1  a   3x   a 1  4 y   a 1 Estas dos expresiones
son iguales; para comprobarlo se puede aplicar la propiedad distributiva. Hay,
que observar que ahora se ha encontrado otro factor común; entonces, se
multiplica
y
se
divide
cada
término
entre
 a 1 . Luego:

 a  1  4 y   a  1   a  1  3x  4 y .
3x   a  1  4 y 1  a    a  1  3 x 
 


 a  1
 a  1 

PREGUNTAS:
1.- Factorizar los siguientes polinomios sacando el factor común:
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(a) 12 x  3
(b) x6  6 x3  2 x 2
© 40m5  24m3  3m
(d)
(e)
x m 4  x m 2
9 z 7  18z 4  27 z 3
(f) m100  m50
(g) 2 x 3  6
(h) x20  x16  x10  x20
(i) 93z 2m2 y  62z 2m3 y 2
(j)
a6  3a 4  8a3  4a 2
(k) a  x  3  5  x  3
(l) 10m n p  30m n
3 2
(m)
2
3a 2b  6ab  12ab2
(n)
100mn2 x2  150mn2 x3  200mn3 x3  50mnx 2
(ñ)
4   m  3  b   m  3


(o) x  3m  1  3m  1
2
2
(p)
b   c 1  c   c 1
(q)
3x   a  b  2   a  b
(r)
m   2a 1  m   2a 1
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2.- Factorizar las siguientes expresiones aplicando factor común por agrupación de
términos:
(a)
c2  cd  cy  dy
(b)
x2  a2  x  a2 x
©
6ab  3a  1  2b
(d)
xy  2my  2 xn  4mn
(e)
3c  b2  2b2 y  6cy
(f)
1  b  3ab  3a
(g)
3xa  4 ya  3x  4 y
(h)
4bn3  12bmn  n2  3m
(i)
m  m2  mn2  n2
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